1 ( ) 1 4 5 1 J. L. eiberg (ed.) rchimedis Opera Omnia cum Commentariis utocii (3 vols.) Teubner 18801881 2 J. L. eiberg (Iterum didit). S. Stamatis (Corrigenda diecit) rchimedis Opera Omnia cum Commentariis utocii (4 vols.) Teubner 19721975 3 T. L. eath (ed.) The Works of rchimedes Dover 2002 4 ( ) ( ) 1981 ( 56) 5 ( ) ( ) 1990 ( 2) 6 ( ) ( ) ( 9) 1972 ( 47) 7 1999 ( 11) 8 ( ) 1971 ( 46) 9 ( ) ( 5 1 3 ) 2008 ( 20) 10 J. Torelli (recensio) rchimedis quae supesunt omnia cum utocii ascalonitae commentariis Oxonia (Oxford) 1792 11 F. Peyrard (ed.) Oeuvres d'rchimède, traduites littéralement, avec un commentarire François uisson 1807 12 3 ( 174) 2010 ( 22)

1...................................................................... 3 2.................................................................. 5 3 1............................................... 17 4 2............................................... 24 5 1.................................................... 29 6 2.................................................... 50 7................................................................ 55 8.................................................... 75 9 1....................................................... 103 10 2....................................................... 108 11........................................................................ 117 12................................................................. 131 2

Κύκλου Μέτρησις Dimensio Circuli 1 ΑΒ Ε O Ρ Π Ξ Α 2 ΒΖ ΖΑ ΑΜ Μ Ν ΖΑ ΝΞ ΝΞ Ε Ε 2 ΟΑΡ 3 18 ΟΡ > ΜΡ ΜΡ = ΡΑ ΡΟΠ > 1 ΟΖΑΜ 2 Ε ΑΒ ΠΖΑ Ε ΝΑ Ε 2 11 : 14 ΑΒ Η Ε = 2 ΕΖ = 1 7 3

3 3 7 1 10 71 Α Ε Ζ ΖΕ 3 1 ΕΖ : Ζ = 306 : 153 Ε : Ζ > 265 : 153 Α ΒΑ 3 1 ΑΒ : Β < 1351 : 780 3 10 71 = 3.1408450704 < π = 3.1415926535 < 3 1 = 3.1428571428 7 3 = 1.7320508075 > 265 = 1.7320261437 153 3 < 1351 = 1.7320512820 780 4

Τετραγωνισμὸς Παραβολῆς Quadratura Parabolae 1 ΑΒ Β Α Β Α = Α = Α Β 2 ΑΒ Β Α Β Ε Β = ΒΕ 3 ΑΒ Β Β Α ΕΖ Β : ΒΖ = Α 2 : ΕΖ 2 4 ΑΒ Α Β 5

Β Ζ Β Ζ : Η = Α : Ζ I I 5 ΑΒ Α ΖΑ Ζ ΖΑ ΑΖ Α Α Α Α I I Β Α Ζ ΑΖ // Β Κ // ΑΖ Κ Κ : = ΑΚ : Κ 6 ΑΒ Β Β Β Β Ζ Α Α Ζ Β Ζ Β 3 1 6

7 Α Β Β Η Η Η Β Α Ζ Η Ζ Η 3 1 8 Α Β Β Ε Ε Ε Ζ Α Ε ΑΒ : ΒΕ = Ε : Κ Ζ Ε Κ 9 Α Β Κ Κ Ε Ε Ζ Α Κ Κ : = ΑΒ : ΒΕ Ζ Κ 10 Α Β ΒΗΚ Β Η Κ ΒΚΗ : = ΒΑ : ΒΗ ΒΗΚ Β Η Ζ Α ΒΚΗ Ζ 7

11 Α Β ΚΤΡ Κ ΤΡ Ρ ΚΤ Β Ρ Β ΑΒ : ΒΗ = ΚΤΡ : ΚΤΡ Β Η Ζ Α Ζ ΚΤΡ Ζ < T Ρ 12 Α Β ΕΚΗ Ε Η Κ ΕΗ ΑΒ : ΒΗ = ΚΕΗ : Μ ΑΒ : ΒΕ = ΚΕΗ : ΚΕΗ Ε Η Ζ Α Μ > Ζ > I 13 Α Β ΚΤΡ Κ ΤΡ Τ ΚΡ Β Ε Η Ζ Α ΚΤΡ Μ > Ζ > 8

Ρ T 14 Β Β Β Β Β Β ΒΕ ΕΖ ΖΗ ΗΙ Ι ΕΣ ΖΤ ΗΥ ΙΞ Β ΚΕ Ζ ΜΗ ΝΙ ΞΙ 3 ΖΦ Η ΙΠ ΙΟ 3 I I Ρ Χ Ψ Φ O Π Ξ Υ Ξ Ω T I ϙ Σ Φ Π O ΑΒ ΑΒ Β Α Β Β Β Β Α Ρ Χ Ψ Ω ϙ Ρ Ε Χ ΖΣ Ψ ΤΗ Ω ΥΙ ϙ ΞΙ Β Ρ + Χ + Ψ + Ω + ϙ 3 6 Β Β Β ΣΕ Β : ΒΕ = ΣΕ : ΕΦ 5 ΒΑ : ΒΕ = Ε : ΚΕ ΑΒ : ΒΖ = ΣΖ : Ζ ΑΒ : ΒΗ = ΤΗ : ΜΗ ΑΒ : ΒΙ = ΥΙ : ΝΙ Ε Β Ε Α Ζ ΒΑ : ΒΕ = Ε : ΚΕ ΚΕ > Ρ 10 ΖΣ Ζ Ε 9

ΣΤ Α Χ ΒΑ : ΒΕ = ΖΣ : ΖΦ ΑΒ : ΒΖ = ΖΣ : Ζ Ζ > Χ > ΖΦ 12 ΜΗ > Ψ > Η ΝΟΙΗ > Ω > ΠΙ ΞΙ > ϙ > ΙΟ 8 ΚΕ > Ρ Ζ > Χ ΜΗ > Ψ ΝΙ > Ω ΞΙ > ϙ Ρ + Χ + Ψ + Ω + ϙ Ρ + Χ + Ψ + Ω + ϙ = 1 Β 6 Β < 3 (ΚΕ + Ζ + ΜΗ + ΝΙ + ΞΙ) 3 ΖΦ < Χ Η < Ψ ΙΠ < Ω ΙΟ < ϙ ϙ + Ω + Ψ + Χ Β ΦΖ Η ΙΠ ΙΟ 3 3 15 Β Β Β Β Β Β Β Β ΒΕ ΕΖ ΖΗ ΗΙ Ι Ε Ζ Η Ι ΕΣ ΖΤ ΗΥ ΙΞ 3 (ΒΦ + Ζ + ΜΗ + ΝΙ + ΙΞ) > Β > 3 (ΖΦ + Η + ΙΠ + ΟΙ) I Ρ Χ Ψ Φ Π Υ O Ξ Ω ϙ T Σ 16 Β Β Β 10

Ζ Β 3 1 Β Ζ Ξ Π Χ Φ Ρ Ψ T O Σ I Β Ζ Β Β ΒΕ Β ΒΕ Β Β ΒΕ Η Ι Κ Η Ι Κ ΜΦ ΝΡ Ξ ΠΟ Β ΒΕ < Β Ζ Ζ + ΒΕ < Β ΒΕ ΜΕ Φ Ρ Ο ΟΣ ΜΕ Μ = Φ Ξ = Ρ ΧΞ = Ο ΧΠ = ΟΣ Ζ < Μ + ΞΡ + Π + ΠΟ Β = 3 Ζ Β < 3 (Μ + ΡΞ + Π + ΠΟ) Β 3 1415 Β Ζ Ζ Β Β Β ΒΕ Β ΒΕ Ζ Β ΒΕ Β Ζ Ζ < ΕΜ + ΦΝ + ΨΞ + ΠΤ + ΠΣ Β = 3 Ζ Β < 3 (ΕΜ + ΦΝ + ΨΞ + ΠΤ + ΠΣ) ΒΕ + Β < ΕΜ + ΦΝ + ΨΞ + ΠΤ + ΠΣ ΒΕ ΒΕ ΕΜ + Φ + Ρ + Ο + ΟΣ Β Ζ 11

Ζ 17 3 1 ΑΒ Α Β Β 18 19 3 1 12

20 21 2 8 22 4 I 23 4 3 1 3 1 13

I a 4 a 4a 4 2 a 4 n 1 a n 1 4 k a + 1 3 a = 4 ( 4 n 1 a ) = 4n 3 3 a k=0 24 3 1 ΑΒΕ ΑΒ Κ = 4 ΑΒ 3 Κ = ΑΒΕ I ΑΒΕ Κ ΑΒ ΒΕ 2 ΑΒΕ Κ Κ 4 ΑΒ ΑΒ ΒΕ 4 21 4 3 1 23 Κ 3 1 ΑΒΕ Κ ΑΒ = Ζ Η = 1 Ζ = 1 Η 4 4 Κ I Ζ + Η + + Ι + 1 Ι = 4 Ζ 3 3 14

23 Κ = 4 Ζ Κ = Ζ + Η + + Ι + 1 Ι 3 3 Κ Ζ Η Ι Ι Ι Ζ Η Ι 4 22 ΑΒΕ Κ Κ Κ ΑΒ 3 1 ΑΒΕ ΑΒ 3 1 15

1 Επιπέδων ἱσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων De Planorum equilibriis sive De Centris Gravitatis Planorum 1 2 3 4 5 O G 6 7 1 2 3 Α Β Α Α Β Α < Β 4 2 Α Α Β Β ΑΒ 2 17

5 3 3 Α Β Α Β Α Β Α Β 1 2 2 6 Α Β Α Β Ε Α : Β = : Ε Α Β 10 10 1 18

10 2 5 5 1 5 2 7 ΑΒ Ε ΕΖ ΑΒ : = Ε : ΕΖ ΑΒ Ε 8 ΑΒ ΑΒ Ε Α Ε Ζ : Ε = Α : Η ( ) Ζ Η Ζ 9 ΑΒ ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ I 19

10 ΑΒ ΕΖ ΑΒ 2 Κ Α Β ΑΒ ΕΖ 11 2 2 ΑΒ ΕΖ Α : Ζ = ΑΒ : Ε = Β : ΕΖ Ν ΑΒ Ν ΕΖ 12 2 2 ΑΒ ΕΖ Α : Ζ = ΑΒ : Ε = Β : ΖΕ Α Η 2 ΒΗ ΑΒ ΒΗ ΕΖ 13 20

ΑΒ Β Α ΑΒ Α Σ Υ I Ξ Ρ Π T Φ Χ O Ω Ψ Β Ι 2 Ι Β Α ΕΖ ΗΚ Μ Β ΜΝ ΥΣ ΚΞ ΤΥ ΖΟ Τ 9 Σ 4 Ρ Ρ Α Φ Α ΑΜ ΜΚ ΚΖ Ζ Α Α : ΑΜ ΑΜ ΜΚ Ζ ΚΖ ΑΒ Α Η ΗΕ ΕΒ ΒΑ : Α ΑΒ Α : ΑΜ Α : ΑΜ > ΦΡ : Ρ Α : ΑΜ = : Ω = ΦΡ : ΡΠ ΑΒ ΦΡ : Ρ ΜΝ ΚΞ ΖΟ Φ : Ρ Χ : Ρ ΑΒ ΜΝ ΚΞ ΖΟ Ρ Ρ ΡΧ Χ Ρ 8 Χ Χ Α 21

ΑΒ Α Β ΑΒ Α Α Β Ε ΖΕ ΒΑ Α Α ΕΚ Ζ Κ Κ ΜΝ ΒΑ Ζ ΑΒ Ζ ΑΒ Ζ 11 ΕΒ Κ ΕΒ Ζ ΕΒ = Ζ Κ ΒΕ : ΕΑ = ΒΚ : Κ Ζ : ΖΑ = : Κ Ν Β Κ Β : = ΚΝ : Ν Ν ΑΕΖ Μ 10 ΕΒ Ζ ΑΕΖ ΜΝ ΑΒ ΜΝ ΜΝ Α ΑΒ Α Α 14 15 2 2 2 2 O Ρ T Σ Π Ξ ΑΒ Α // Β Ε Ζ Α Β Ν ΑΒ Τ Μ 3 ( 22

Β Κ 3 Β ΝΚΤ Μ Ζ ΒΕ ΟΞ ) ΕΖ ΕΠ : ΠΖ = (2 Β + Α) : (2 Α + Β) Π ΑΒ 23

2 Επιπέδων ἱσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων De Planorum equilibriis sive De Centris Gravitatis Planorum 1 2 2 ΑΒ Ε Ζ ΑΒ : = Ζ : Ε ΑΒ Ξ Π 2 1 Η // ΙΖ // ΚΕ // Α Ν = ΝΗ ΙΜ = ΜΖ Κ = Ε = Α ΒΝ : ΝΜ : Μ : = 1 : 3 : 5 : 7 ΑΒ ΑΕΖΗΒΙΚ Β I 24

3 2 2 ΑΒ ΞΟΠ Β ΟΡ ΕΚ ΖΙ Η ΣΤ ΥΦ ΧΨ I Υ Χ O ϛ ϡ Ψ Φ Σ Ω T Ξ Ρ Π 4 ΑΒ Β Β 5 ΑΒ Β Χ I 6 25

ΑΒ ΑΒ Ζ ΑΒ : Κ = Β : Ζ ΑΒ ΑΚΒ Κ Ε Ε Ζ 7 2 2 ΑΒ ΕΖΗ Β Ζ ΑΒ Κ ΕΖΗ Κ Ξ 8 ΑΒ Β Β = 3 2 26

Σ Ξ Χ ΑΒ ΑΒ Ε ΒΑ Β Ζ Η 2 Β ΚΖ Η ΑΚΒ Β ΑΚΒ Μ Β Ν ΖΗ ΜΝ Κ Χ ΚΜ : ΜΖ = Β : ΚΖ : ΖΜ = Β : 5 18 Β : ΚΖ = : ΜΖ 5 16 Β = 4 ΚΖ = 4 ΜΖ Β = 4 ΚΜ = 4 ΣΧ ΣΧ ΒΣ + Χ = 3 ΣΧ ΒΣ = 3 ΣΞ Χ = 3 ΞΧ Β = 4 ΒΣ ΒΣ = 3 ΣΞ ΞΒ = 1 Β 3 ΑΒ Ε Ε = 1 Β 3 ΞΕ = 1 Β 3 ΑΚΒ Β Χ ΑΒ Ε ΑΒ Χ : Ε 1 8 ΑΒ 3 Χ = 3 ΧΞ ΞΕ = 5 Ε Ε = 5 Ε Ε = ΞΕ = 6 Ε Β = 3 Ε Β = 3 2 Β = 4 ΚΖ ΑΒ Β ordinatus Α ΑΒ ΑΒ Ζ Ζ Β ΕΖ ΑΒ Ε Ζ ΕΗ Ζ ΑΖ = ΒΖ ΑΒ = 2 ΖΒ Β = 2 Β Α = 2 Ζ = 2 ΕΗ Α 2 = 4 ΕΗ 2 Β = 4 ΒΗ 1 20 Β = 2 Β Β = 2 ΒΗ Η = ΗΒ ΕΗΖ ΗΒ = ΕΖ Β = 4 ΖΕ 9 4 3 3 5 2 2 4 3 6 4 3 5 2 10 3 10 4 5 3 27

2 5 4 ΑΒ Β Β ΒΕ ΒΕ : ΕΑ = ΖΗ : Α (2 ΑΒ + 4 Β + 6 Β + 3 ΒΕ) : (5 ΑΒ + 10 Β + 10 Β + 5 ΒΕ) = Η : Α Ζ = 2 ΑΒ 5 O 3 5 10 5 5 2 2 2 2 Α Ε ΑΒ ΒΖ Α Ε Β ΑΕ ΖΗ ΗΖ 5 5 Κ Ι : ΙΚ = ΑΖ 2 (2 Η + ΑΖ) : Η 2 (2 ΑΖ + Η) ΑΕ Ι Χ Ρ I Ξ O T Ι : ΙΚ Ι : ΙΚ = Α 2 (2 Ε + Α) : Ε 2 (2 Α + Ε) Α = 2 ΑΖ Ε = 2 Η 28

1 Περὶ Σϕαίρας καὶ Κυλίνδρου De Spahera et Cylindro 1 (καμπύλη γραμμή) (εὐθεῖα) 2 (ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη) 3 (ἐπιϕάνεια) 4 5 (τομεὺς στερεός) 6 (ῥόμβος στερεός) 1 2 3 4 29

5 5 5 4 10 1 1 2 2 2 2 2 3 2 30

2 Π Ξ T O 4 2 2 ΑΒ ΑΒ Β Α ΑΒ ( ) Ξ O Π 5 2 2 6 2 31

4 6...... ( ) 5 7 ΑΒ ΑΒ a c b G c 8 ΑΒ ΕΖ ΑΒ 32

9 ΑΒ Α Α Α Α Α 10 2 ΑΒ Ε Α Ε Α ΕΑ Ε Ε ΑΕ Ε ΑΕ Ε ΑΒ Ξ O 11 2 2 ΑΒ Α Β Α Β ΑΒ 33

12 2 2 2 2 ΑΒ Α 2 Α 2 Η 2 2 (2 ) ΑΒ 1 2 13 Α Α ΕΖ Η ΕΖ Η Β Β 34

T Ρ 14 Α Ε Β Ε Β 15 Α Β Α Α Β 16 2 2 2 ΑΒ Ε ΒΗ Α Ζ ΗΑ Ε Α 1 2 3 35

4 5 17 2 2 2 ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ ΑΗ Ε Κ 18 2 Β Α 2 ΑΒ ΑΒ ΑΒ Ζ 1 ΗΚ ΗΚ Ζ O Ξ 19 2 ΑΒ Ε Ζ Ε Ζ 2 ΒΖΕ Ε Α Ζ ΑΒ ΖΗ Κ ΑΒ ΒΖΕ Κ 36

20 2 2 2 ΑΒ ΕΖ ΕΖ ΕΒΖ Α ΕΖ ΒΑ Κ Κ 21 2 1 1 1 ΑΒ ΑΕΖΒΗΜΝΚ ΕΚ Ζ Β ΗΝ Μ 2 Ε ΕΑ 37

Ξ Π Ρ Σ O T Υ Φ Χ 22 1 ΑΒ Α ΑΒ Α ΖΗ Ε ΖΗ Ε ΑΞ ΒΞ Ζ ΖΒ Ξ 23 4 ( ) ΑΒ 4 Α Β Α ( ) ΑΒ Α ΑΒ Β ΑΖ ΑΝ ΖΝ Α ΖΗ ΜΝ ΜΗ ΖΗ ΜΝ Α ( ) ΒΗ Μ ΑΒ Β ΒΗ Μ Α ( ) 38

24 2 ΑΒ 4 ( ) 2 ΕΖ Η Κ ΜΝ ΑΕ ΕΖ Η Κ ΜΝ Ξ 25 4 ΑΒ 4 ( ) 4 Ρ I 39

26 1 ΑΒ 1 Ρ Ρ Χ Ρ I 27 4 Χ Ξ Ρ 28 4 ( ) 29 1 2 1 40

24 ( ) 2 = ΑΖ (ΕΖ + Η + + Κ + ΜΝ) 30 4 Σ Χ 31 30 ΑΒ 12 ΑΒ ΧΣ 4 32 1 1 ΑΒ 4 ΕΗ Ζ Α Β ΖΒ ΕΗ Ε ΑΚ 41

Π 33 4 Α 4 Α Α Α 2 Α 2 Β Β ΕΖΗ Β Α Α Α Β Α Β Β Β Α Α Α Α 4 34 4 42

I Ξ ΑΒ 4 4 ΑΒ 4 Ξ Ξ Ξ 2 Ξ 2 Κ Η Κ Ι Ι Η Ι ΑΒ 4 Κ Ι Α Β Α ΑΒ Κ Ι Κ Ι Κ Η Κ Ι Κ Η Κ Η Ξ Ξ ( 2 3 ) Ξ 4 4 Ξ Κ Η Κ Η Ξ Κ Η Ι Κ Ι ΑΒ ΑΒ Κ Ι Κ Ι Κ Η Κ Ι Κ Η Κ Η Ξ Ξ 2 3 Ξ ΑΒ 4 4 1 (3/2 ) 1 (3/2 ) 43

2r r r 2r r r 2πr 3 4 2 3 πr3 3 πr3 ( ) 6πr 2 4πr 2 5 + 1 πr 2 35 1 ΑΗ ΑΗ ΑΗ ΑΕΖΗ Α ΕΖ ΑΚ 36 ( ) ΑΕΖ ΑΒ ΑΒ Ζ Ε Α Β Ε ΑΒ ΑΒ 37 44

ΑΒΕΖ ΑΒ Ε Α Α Μ Μ 38 1 ΑΒ Ε ΑΒ Α Β Α Ε 1 Κ Κ ΑΕ 39 ΑΒ ΑΒ Α Β Α Β ΑΒ ΕΚ ΑΒ ΑΒ 45

ΖΗ ΑΒ ( ) 1 40 O Ξ 1 Κ 2 41 1 1 ΑΒ ΑΒ ( ) 46

ΗΒ 42 ΑΒ ΑΒ Α ΑΒ Ζ ΑΒ Ζ Ζ Α Ζ 2 Ζ ΑΒ 2 1 1 Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ 47

43 44 ΑΒ ΑΒ Β ΑΒ 2 2 Ε Ε Ε Ζ Ζ Η Η Ε 2 Ζ Η Ζ 2 Ζ Ζ Ε Ζ Ε Ε ( 2 3 ) Ε Ε 48

Ζ Η Ζ Ε 49

2 Περὶ Σϕαίρας καὶ Κυλίνδρου De Spahera et Cylindro 1 2 ( ) Α Α Β Α Ζ Β Η Κ Β Ε Κ Ε Κ Κ = Η 2 : Η 2 = Κ : ΕΖ = Η : ΕΖ Η 2 = ΜΝ ΜΝ : Η = Η : ΜΝ 1 Η : ΕΖ = 2 : Η 2 = 2 : ΜΝ = : ΜΝ : Η = ΜΝ : ΕΖ 2 1 2 : Η = Η : ΜΝ = ΜΝ : ΕΖ Η ΜΝ ΕΖ 2 3/2 2 Α r = 3 h = 4 Ε = 2r = 2 3 = 6 ΕΖ = (3/2)h = (3/2) 4 = 6 Η = ΜΝ = 6 Η = 6 R = 3 Β Α V Α = π 3 3 4 = 36π Ε V Ε = π 3 2 6 = 54π = (3/2)V Α Β V Β = (4/3) π 3 3 = 36π Α r = 6 h = 3 3/2 Ε = 2r = 12 ΕΖ = (1/2)h = (1/2) 3 = 3/2 50

Η = 6 ΜΝ = 3 Β R = 6 2 = 3 V Α = (1/3) π 6 2 3 = 36π V ε = π 6 2 (3/2) = 54π = (3/2)V Α V Β = (4/3) π 3 3 = 36π 1 2 Α Α ΒΖ Α + ΑΕ : ΑΕ = Ε : Ε + Ε : Ε = ΚΕ : ΕΑ ΒΖ Κ ΒΖ ΒΚΖ Α 3 3 ΑΒΕ ΑΒ ΑΒ ΑΒΕ Ε Α Β Ζ : Η Α : Β = Ζ : Η ΑΒΕ ΑΕ Α 4 51

ΑΒ Χ Ρ Π Σ Π : Σ ( Π > Σ) Β ΚΒ = ΒΖ Ζ ΒΖ Ζ : Β = Π : Σ Β ΧΖ : Ζ = Β 2 : Χ 2 Χ Χ Β r = 60 Π : Σ = 3 : 1 Ζ : Β = 3 : 1 ΒΖ = 60 Ζ = 45 Β = 15 ΒΧ = x ΧΖ : Ζ = Β 2 : Χ 2 (x + 60) : 45 = 120 2 : (120 x) 2 x 3 180x 2 + 216000 = 0 x x = 39.1622186 ΒΧ 39 (Κ + Χ) : Χ = ΡΧ : ΧΒ Χ = Β ΒΧ = 120 39 = 81 141 : 81 = ΡΧ : 39 ΡΧ = 611/9 = 67.888 68 (ΚΒ + ΒΧ) : ΒΧ = Χ : Χ 99 : 39 = Χ : 81 Χ = 2673/13 = 205.6153 206 Α : ΑΒ = Α : ΑΡ = Χ : ΡΧ 206 : 68 = 3.0294 : 1 ΒΧ = 39.2 ΡΧ = 68.3089 Χ = 204.4734 ΡΧ = 68 Χ = 204 3 : 1 5 2 ΑΒ ΕΖΗ ΑΒ ΑΒ ΕΖΗ ΕΖ Η ΑΒ ΕΖΗ Χ Ψ Ω Φ Υ Σ Ρ Π T O Ξ 52

2 ΑΒ ΕΖΗ ΑΒΝ ΕΗΖΟ Ν ΗΟ Π Σ ΠΝ + ΝΤ : ΝΤ = ΧΤ : Τ ΣΟ + ΟΦ : ΟΦ = ΩΦ : ΦΗ Χ Ω ΩΦ : ΕΖ = ΧΤ : ΑΒ 2 Κ ς (ΑΒ : Κ = Κ : ς = ς : ) Κ ΕΖΗ Κ ΚΞ ΚΞ Κ 6 2 ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ Π Ρ 2 ΑΒ ΕΖΗ 2 Α Β Π Β : ΕΖ = Β : Ν Ν Ν Ν Π : ΠΒ = ΝΡ : Ρ Ρ Ρ Ν ΚΜ ΚΜ 7 ΑΒ Β Α ΑΒ ΑΒ 53

ΑΒ Β Ε Κ : Κ 3 : 2 (Ε + Β) : Β = 3 : 2 Κ : Κ > (Ε + Β) : Β : Κ = Ε : Ζ Ζ Ζ Β Α Α Β ΑΒ 8 2 1 ΑΒ Β Α ΑΒ ΑΒ ΑΒ Α 2 1 9 ΑΒ Α ΕΖΗ ΕΗ Α ΕΗ Β Ζ Ξ O Ρ Ξ Ρ O Ξ : Κ = ΜΑ : ΑΚ ΑΡ 2 = ΑΚ Ξ = (1/2)ΑΒ 2 ΕΝ = Ε ΕΖ = ΑΒ 54

Περὶ Ελίκων De Lineis Spiralibus ( ) P O 2 π X 1 2 ΑΒ 2 Ε 55

ΖΗ Ε Η : Ε = ΖΗ : Η 2 2 2 ΑΒ Κ ΑΒ 2 Ε Κ ΖΗ Η ΑΒ Κ 1 ΖΗ Ε 1 Η 1 : Ε = ΖΗ : Η Ξ 3 4 2 5 ΑΒ Κ Ζ Β Ε Κ Ζ ΑΗ Ε Β Η Κ Ζ : Κ = Β : Η 6 56

ΒΕ Β Ζ : Η ΑΒ Κ Α Ζ : Η : Κ Κ Α Α ΚΝ Κ ΕΒ : Β = Ζ : Η 7 ΕΙ Ι Ζ : Η Ζ : Η : Κ ΕΙ : Ι = Ζ : Η I 8 ΑΒ Α Ξ : Κ Ζ : Η Κ Ζ : Η < Κ : 57

Κ : Ξ = Ζ : Η Ξ > Κ Ξ ΒΕ : Ι Ζ : Η Ξ I 9 ΑΒ Α Ξ : Κ Ζ : Η Ζ : Η > Κ : Κ : Ξ = Ζ : Η ΒΕ : Ι Ζ : Η Ξ I 10 3 3 Α Β Ε Ζ Η Β Ι 58

Η Κ Ζ Ε Ε Μ Ζ Ν Η Ξ Β Ο Α Α Α Β Ε Ζ Η 3 Α Β Ε Ζ Η 3 I Ξ O θ θ a 1 = θ d = θ n a n = n θ n n n n (a n ) 2 + (a n ) 2 + a 1 (a 1 + a 2 + + a n ) = 3 { (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 + + (a n ) 2} n (n θ) 2 + (n θ) 2 + θ (θ + 2 θ + + n θ) = 3 { (θ) 2 + (2 θ) 2 + + (n θ) 2} (n + 1) n 2 + 1 (1 + 2 + + n) = 3 ( 1 2 + 2 2 + + n 2) 3 3 3 3 3 { (θ) 2 + + ((n 1) θ) 2} < n (n θ) 2 < 3 { (θ) 2 + + ((n 1) θ) 2 + (n θ) 2} 3 { 1 2 + + (n 1) 2} < n 3 < 3 { 1 2 + + (n 1) 2 + n 2} 11 1 59

3 1 ΑΒ ΕΖ ΕΖ Η Η ΙΚ ΙΚ Μ Μ ΝΞ 1 Ο ΕΖ 2 ΕΠ Η 3 ΗΡ ΝΞ ΑΒ 2 : ΑΒ ΝΞ + 1 3 ΝΥ2 ΑΒ O Π Ρ Σ T Υ I Φ Χ Ψ Ω ϡ ϙ Ξ a d n {a k } (n 1) (a n ) 2 : { (a 2 ) 2 + + (a n 1 ) 2 + (a 1 ) 2} > (a n) 2 : a n a 1 + 1 (an a1)2 3 > (n 1) (a n) 2 : { (a 2) 2 + + (a n 1) 2 + (a n) 2} (7 1)ΑΒ 2 : ( Μ 2 + ΙΚ 2 + Η 2 + ΕΖ 2 + 2 + ΝΞ 2) > ΑΒ 2 : ΑΒ ΝΞ + 1 3 ΝΥ2 > (7 1)ΑΒ 2 : ( Μ 2 + ΙΚ 2 + Η 2 + ΕΖ 2 + 2 + ΑΒ 2) 3 1 60

1 2 3 4 1 2 2 5 1 1 2 2 2 6 7 1 1 1 2 2 O P X O OX 1 P P 1 OP O 1 2 1 2 P 1 1 1 O OP O 1 O 1 2 O 2 12 ΑΒ Α Α ΑΕ ΑΖ ΑΒ Α Α Α 61

13 1 Α Β Α Α ΕΖ 1 14 2 1 ΑΒΕ Α Α ΚΗ 1 Α ΑΕ Α Ζ Η ΑΕ : Α = ΚΖ : ΚΗ 15 2 14 1 ΑΒ ΕΜ 2 ΑΒ ΑΕ Α Α 62

ΑΕ 1 ΚΖ 1 ΚΗ 16 Α Β Α Α ΚΗ 1 ΕΖ Α Α Ζ Α Ρ Ξ I T 17 2 ΕΖ 2 16 ΡΝ Α Ζ 63

Χ I Ρ Σ T 18 1 ΑΒ Α Α ΗΚ 1 Ζ Α Α ΑΖ Ζ Α Ζ Ζ ΖΑ ΚΗ Ρ Χ Π Χ 64

19 2 2 2 ΑΒ ΕΤ 2 ΚΗ 1 ΤΜΝ 2 ΤΖ ΤΑ ΖΑ ΤΖ ΑΤ ΤΖ ΖΑ ΤΜΝ 2 T Σ Ρ Χ 20 ΑΒ ΕΖ Α Α Α Κ Α ΖΑ Ζ 16 ΖΑ ΚΜΝ Χ Ρ 2 65

Α 1 21 1 ΑΒ Α 1 ΖΗΙΑ ΑΗ ΖΙ 2 1 1 ΑΚ Α Κ 4 Κ Α Ο Κ ΟΜ Μ Ν Ν Κ Μ I T Ρ Χ Σ Π O 66

22 2 2 2 ΑΒΕ Α ΕΑ 2 ΑΖΗ 2 ΑΗ ΖΙ Ρ I 1 2 23 1 ΑΒΕ Α Ε Α Ε Α Ζ Ε ΑΖ 2 67

24 1 1 3 1 ΑΒΕ Α 1 ΑΚΖΗΙ 1 3 1 ϙ ϙ O ϙ I ΑΒΕ Α ϙ 21 ΑΚ ΕΟ ϙ Α Ε 68

3 10 ΑΖΗΙ ΑΖΗΙ 3 ΑΖΗΙ ϙ 3 ϙ ΑΒΕ Α ϙ I Ρ O Ξ ϙ ΑΒΕ Α ϙ 21 ΡΞ ΟΕ ϙ 12 Α Ε ΑΖΗΙ 3 10 ΑΖΗΙ ΑΖΗΙ 3 ΑΖΗΙ ϙ 3 ϙ ϙ ΑΒΕ Α 69

P θ y S s = 1 3 x 2πa r = a θ 1 ( ) S s Sc S s = 1 2 2π 0 (a θ) 2 dθ = 1 [ ] 2π 1 2 a2 3 θ3 = 4 3 π3 a 2 1 2πa S c S c = π (2πa) 2 = 4π 3 a 2 0 25 2 2 2 7 : 12 2 1 2 1 3 1 2 2 ΑΒΕ Ε 1 ΑΕ 2 ΑΖΗΙ 2 ΑΗ ΙΖ ΑΒΕ ΑΕ ΑΖΗΙ 7 : 12 Ρ O O I I 1 3 1 70

y 2πa 4πa x 2 S s 2 S c S c = π (4πa) 2 = 16π 3 a 2 S s : S c = 28 : 16 = 7 : 12 3 S s = 1 2 = 1 2 4π 0 1 2 4π 2π (aθ) 2 dθ 2π 0 (aθ) 2 dθ = 1 2 a2 [ 1 3 θ3 ] 4π 2π (aθ) 2 dθ = 28 3 π3 a 2 26 1 3 1 1 ΑΒΕ Α Ε Α Ε Ζ ΑΒΕ Α Ε ΑΖ Α Ε + 1 3 ΕΖ2 : Α 2 O O 27 3 2 2 4 2 3 5 2 4 2 2 6 1 2 Ε 71

Κ 2 3 Μ 4 Ν 5 Ξ Κ 6 1 Μ 2 Ν 3 Ξ Κ 6 1 Κ + 2 7 : 12 25 2 1 12 : 3 1 Κ 3 : 1 24 Κ 6 1 Κ++Μ 3 Β+ 1 3 Β2 : 2 25 3 2 2 : Β 2 12 2 2 Κ+ Β 2 : Β Α+ 1 3 ΑΒ2 25 Κ + + Μ : Κ + = Β + 1 3 Β2 : Β Α + 1 3 ΑΒ2 = 19 : 7 Κ + + Μ : + Κ = 19 : 7 Μ : Κ + = 12 : 7 5 17 Κ + : = 7 : 6 Μ : = 12 : 6 5 22 Μ = 2 Κ + + Μ + Ν + Ξ Ε Ε + 1 3 Ε2 : Ε 2 25 Ε Ε 2 : 2 12 2 Κ + + Μ + Ν 2 : + 1 3 2 25 Κ + + Μ + Ν + Ξ : Κ + + Μ + Ν = Ε + 1 3 Ε2 : + 1 3 2 5 17 Ξ : Κ + + Μ + Ν = Ε + 1 3 Ε2 ( + 1 3 2) : + 1 3 2 Ε + 1 3 Ε2 ( + 1 3 2) = Ε ( Ε = ) = Ε Ξ : Κ++Μ+Ν = Ε : + 1 3 2 Ν : Κ++Μ = Β : Β+ 1 3 Β2 Ν : Κ++Μ+Ν = Β : Β+ 1 3 Β2 + Β Β + Β + 1 3 Β2 = + 1 3 2 ( = Β ) Ξ : Κ + + Μ + Ν = Ε : + 1 3 2 Κ + + Μ + Ν : Ν = + 1 3 2 : Β 5 7 Ξ : Ν = Ε : Β = : (Ε = Β ) 5 72

22 Ξ : Ν = : Ν : Μ = : Β Μ : = Β : Α Β Α k ( 2) (k 1) k S k k = 2 k = 3 Μ r = aθ S k = 1 2 2πk 2π(k 1)(aθ) 2 dθ 1 2 2π(k 1) 2π(k 2) (aθ) 2 dθ = 8π 3 a 2 (k 1) S 2 = 8π 3 a 2 S 3 = 16π 3 a 2 S 2 S k : S 2 = 8π 3 a 2 (k 1) : 8π 3 a 2 = (k 1) : 1 S 3 S 2 2 S 4 S 2 3 S k S 2 (k 1) 1 2πa 2 4πa 3 6πa 1 4π 3 a 2 2 16π 3 a 2 3 36π 3 a 2 Κ + + Μ 3 4 + 8 + 16 : 36 = 19 : 27 3 4 3 : 2 = 36 : 16 = 27 : 12 2 : Κ + = 16 : + 8 = 12 : 7 3 Κ + + Μ : Κ + = 19 : 7 θ = α θ = 0 θ = 0 θ = α ( α > 2π) r = aθ θ = α ( ) T T = 1 2 = 1 2 α 0 α (aθ) 2 dθ 1 2 α 2π (aθ) 2 dθ α 2π = 1 3 a2 ( 3πα 2 6π 2 α + 4π 3) 0 (aθ) 2 dθ ( 0 θ α α 2π θ α 0 θ α 2π 0 < α 2π T = 1 α 2 0 (aθ)2 dθ ) α = 2πk (k 2) T k T k = 1 2πk (aθ) 2 dθ = 4 2 3 π3 a 2 ( 3k 2 3k + 1 ) 2π(k 1) α = 8π (k = 4) T 4 = 1 2 = 148 3 8π 6π (aθ) 2 dθ = 1 2 a2 ( 512 3 π 3 216 3 π 3 a 2 = ( 4 3 + 8 + 16 + 24) π 3 a 2 π 3 ) 28 2 2 2 73

3 2 3 1 1 ΑΒ 2 Α Α Α 2 Ξ : Π = Α + 2 ΗΑ : Α + 1 ΗΑ 3 3 Π Ξ 74

Περὶ Κωνοειδέων καὶ σϕαιροειδέων De Conoidibus et Sphaeroidibus I ( ) 1 1 75

76

II ( ) 2 2 2 1 2 77

2 2 Α Β Ε Ζ Η Ι Κ Μ 2 2 Α : Β = Η : Β : = : Ι Α Β Ε Ζ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Η Ι Κ Μ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Α : Ν = Η : Τ Β : Ξ = : Υ Α + Β + + + Ε + Ζ Ν + Ξ + Ο + Π + Ρ + Σ = Η + + Ι + Κ + + Μ Τ + Υ + Φ + Χ + Ψ + Ω I Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω 2 1 3 1 1 Α Β Ε Ζ Η Β Η Ι Κ ΑΒ + Ι = Α Κ + = Β + Ι = 2Ι Κ + = 3Κ Ι Κ ΑΒ Α Α ΑΕ ΑΖ ΑΗ + Ι + Κ + : Ι + Κ ΑΒ + Ι + Κ + : Ι + Κ 78

I I I I I I I Α a ( ) 1 Η x ΑΗ ( ) x(a + x) Η Ζ Ε x x n Β nx n ΑΒ ( ) (nx)(a + nx) Ι Κ = Ι = 1 2 a Κ = 1 (nx) = 2 Κ 3 n ΑΒ : ΑΗ + + ΑΒ < Α + Β : n(nx)(a + nx) : 1 2 Α + 1 3 n (kx)(a + kx) < a + nx : k=1 Β < n ΑΒ : ΑΗ + + Α 1 2 a + 1 3 (nx) n 1 < n(nx)(a + nx) : (kx)(a + kx) k=1 3 2 3 17 Α Β Ζ ΕΖΚ Ε Β Α ΕΖ ΖΚ : Ζ Ζ = Α 2 : Β 2 3 79

2 2 ΑΒ 2 ΑΕ Β ΑΕ Ζ Β ΒΗ Ζ = ΒΗ ΑΕ Β 4 Α Β Α Β Α Β : Α Β : ΕΖ Ψ ΑΕΖ Β : ΕΖ Ψ 80

O Ξ Π Ρ Σ Ψ 5 Χ Α Β Α Ψ ΕΖ Χ : Ψ = Α Β : ΕΖ 2 Χ Ψ 6 2 Α Β 2 Α ΕΖ Α : Β = : ΕΖ Ψ 81

7 ΑΒ ΑΒ Ξ Π Ρ O 8 ΒΑ ΑΒ ΑΒ Π Ρ 9 82

ΑΒ ΑΒ ΑΒ Ξ O 10 2 12 11 14 2 3 3 12 10 11 (a) (b) 83

(c) (d) 12 ΑΒ Α Β Α Α Α Β Α 84

T Ρ 13 ΑΒ Α Β Κ Κ Α Κ Κ ΑΒ Β ΕΖ ΕΖ Κ Ρ T 14 ΑΒ Α Β Χ ΠΡ ΒΤ Β 85

Ν ΗΝ Α Μ Χ Α T Π Χ Ρ 15 (a) (b) (c) 1 16 (a) 1 (b) (c) 2 17 2 ΑΒ ΕΖ Η Α Β 16(c) 86

18 2 19 ΑΒ ΑΒ 11 Α Β Α 11 I Ρ O Π Ξ 20 87

ΑΒ Α Α ΦΥ Α Β ΦΥ Α Β 16(b) Β Β Β Β Β Β Β Α 2 Β Β Φ I Ρ Υ 21 ΑΒ Α Β Β Α Β Ψ Α Β Ψ Ψ 88

Σ I T Ψ Π Ξ Ω 22 ΑΒ 11(a) Α Α Β ΦΥ Β Α 2 ΦΥ Α Β 16(b) Β Β Α Α 12 Φ Σ T Υ I Ξ 23 2 2 ΑΒ Β 11(a) ΑΖ Ε ΖΑ 89

Β Κ Β Β 2 ΑΖ ΕΒ Κ Β ΑΚ ΕΒ ΑΖ ΕΒ 3 ΑΧ Κ Β = Κ Ε = ΑΧ Β ΑΖ Μ Β O Π Χ 24 2 2 Κ Κ 2 : 2 25 3 2 ΑΒ Α Β Β Β = Ζ = ΖΗ Η : Ζ 90

Υ O Ρ Φ Ψ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ω Ω Ω Ω Ω ΦΑ Υ Ψ Β Η : Ζ Ψ > Ψ Ψ 19 Α Β ΑΦΥ Ψ Ψ ΒΡ Β 3 1 Η = 3 Ρ Α Β Η : Ρ 3 : 1 Ψ Ζ : Η 5 18 Ψ Ζ : Ρ 5 23 Β 91

ΖΒ Ξ Ζ Β ΖΟ ΟΒ Ν Β ΒΟ Ζ Β Ω Α Ε Κ Ε Α 2 : ΚΕ 2 Α 2 : ΚΕ 2 = Ζ Β : ΖΕ ΒΕ 1 21 ΞΝ Ζ Β ΞΜ ΖΕ ΒΕ Ξ = ΖΒ Μ = ΒΕ Ν = Β Α Ε, Κ Ε Ω ΞΜ Ε 1 1 Ω Ξ Ε Ω 2 2 Ω Ω Ξ Ω 1 Ω 1 Ν + Ξ : Ξ + 1 Ν 2 3 2 Ψ Ζ : Ρ Ν + Ξ = Β + ΖΒ = Ζ 1 2 Ξ + 1 Ν = Β + ΒΡ = Ρ 3 Ψ Ψ Ψ Ψ < Ψ Ψ Ψ Ψ Ε Ε Ω ΞΝ ( ) Ε Ω Ξ 1 Ω 92

1 Ω 1 Ξ + Ν : Ξ + 1 Ν 2 3 2 Ζ : Ρ Ζ : Ρ Ψ Ψ Ψ 5 8 Ψ Ψ 5 17 2 1 1 18 3 3 3 3 1 3 1 23 20 3 2 1 3 4 6 1 3 4 6 21 3 2 1 3 4 6 1 3 4 6 22 2 3 Α Β 3 Ε Ζ Α : Β = : Ε Β : = Ε : Ζ Α : = : Ζ 23 3 2 3 Α Β 3 Ε Ζ Α : Β = Ε : Ζ Β : = : Ε Α : = : Ζ 26 3 2 93

ΑΒ 11(b) Α Β Α ΦΥ Β Β Α 2 Β Β Β Β = Ζ = ΖΗ ΦΥ Α Β 16(b) Α Α 13 Υ Ρ O Φ 27 2 ΑΒ 11(c) Β Β Α Β 11 18 4 Α Β 2 94

I Χ Π Ρ 5 4 3 2 1 Σ T Υ Φ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Β 2 Ψ Ψ Ψ Ψ 19 Ψ Ψ Α Β ΑΒ 3 12 10 Ψ 2 Ψ ΑΒ Ξ Β Β ΒΙ ΒΙ Ι Β 2 = (ΒΙ + Ι) 2 = ΒΙ 2 + 2 ΒΙ Ι + Ι 2 Ι 2 = (Β ΒΙ) 2 = Β 2 2 Β ΒΙ + ΒΙ 2 2 ( Β 2 Ι 2) = 2 ΒΙ (Ι + Β) = 2 ΒΙ Ι Β 2 (Β ΒΙ) 2 = I Ι 2 ΒΙ ΒΧ Χ ΒΙ 1 Β 2 Ε Ε Ε Α 2 : ΚΕ 2 12 11 12 2 Β : ΒΕ Ε 1 21 2 Ε 95

ΞΞ 2 2 1 ΞΡ ΞΣ ΞΤ ΞΥ ΞΦ 2 ΞΞ 3 3 10 1 3 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ε Ε ΕΠ 2 ΕΠ 2 2 Ε 1 3 Ψ Ψ Ψ 96

2 1 2 2 2 L 28 2 ΑΒ 11(c) Α Α 14 Α Β Κ ΜΝ Κ ΜΝ Α Β 16(b) Β 16(c) Β Β Β Α 9 29 ΑΒ 11(c) Β Α ΒΖ 11 18 4 Β ΖΗ = Β Β Η : Ζ 97

Ρ Χ O O O O O Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ 30 ΑΒ 11(c) Α Α Β Ζ ΠΡ ΣΤ Α Β Ζ 16(b) ΒΖ 16(c) Α 14 Β Α 9 Β Α 8 Β Η : Ζ ΖΗ = Ζ 98

Π Ρ Σ T 31 ΑΒ Β 11(c) Α Β Β Η ΒΖ Β ΕΗ : Ε Ξ 11(c) Κ 2 18 2 27 4 Α : Ε Κ 2 : ΕΑ 2 Κ 2 : ΕΑ 2 = Β : ΒΕ Ε 1 21 Ξ : = : Ε 6 11 Ξ Β : Β = : Ε Ξ Β : Β 99

Β : ΒΕ Ε Χ Β : ΒΕ Ε Κ Α Ξ Β : ΒΕ Ε Α ΒΕ Ε : ΖΕ Ε Ξ Β ΖΕ Ε 5 22 ΖΗ Ξ : Β Ξ ( ΖΗ = 4Β 4 ) Ξ Β : ΖΕ Ε ΖΗ Ξ : ΖΕ Ε 5 22 ΖΗ Ξ ΖΕ Ε : ΖΕ Ε 5 17 ΖΗ Ξ ΖΕ Ε = Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ : ΖΕ Ε ΖΕ Ε : ΒΕ Ε ΒΕ Ε : ΒΕ 2 12 14 Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ : ΒΕ 2 5 22 ΕΗ : Ε Ξ ΕΗ : Ξ Ε = ΕΗ : Ε ΞΕ ΖΕ : ΖΕ Ε = ΕΗ : Ε Ξ Ε = Η ΞΕ : Ε = ΕΗ : Ε Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ : Ξ Ε + ΖΕ Ε = ΕΗ : Ε ΕΒ 2 = Ξ Ε + ΖΕ Ε Β 2 = Ξ Ε Β = ΒΖ ΒΕ 2 Β 2 = ΖΕ Ε ΕΗ : Ε 32 ΑΒ 11(c) Α Α Β ΠΡ ΣΤ Α Β 16(b) Β Β Η ΒΖ ΕΗ : Ε 100

Π Σ Ξ Ρ T 101

1 Περὶ τῶν ὕδατι ἐϕισταμένων ἢ περὶ τῶν Οχουμένων De iis, quae in humido vehuntur 1 1 1 G D DG D G 2 2 GD GD O L P G R X D 3 3 GD T 103

GT G GD L T XOP GT RSY L G T X O S R P Y D 4 4 GD R R G G G XOP R R G X O P 5 5 T 104

L G T X O S R P Y D 6 6 G G D G D G D G 7 7 G G D D D G D 105

G D 2 (ieron (Ιέρων)) 2 6 pp.389390 2 8 8 9 9 GD T T R C O L T G D R C O L T G D 106

R C O T P G L D 107

2 Περὶ τῶν ὕδατι ἐϕισταμένων ἢ περὶ τῶν Οχουμένων De iis, quae in humido vehuntur 1 F F F F F I F I F I RO I R F I RO F O R I 2 1 4 3 L I F R G S O P T Ω eath 3 (p.264) If a right segment of a paraboloid of revolution whose axis is not greater than 3 p (where p is the principal parameter of the 4 108

generating parabola), and whose specic gravity is less than that of a uid,... O 3 p 4 Peyrard 11 (p.383) Lorsqu'un segment droit d'un conoïde parabolique n'a pas son axe plus grand que trois fois la moitié du demi-paramètre; si ce segment, quelle que soit sa pesanteur par rapport a celle d'un uide,... 1 4 3 y 2 = 4px x 4p 3 1 POL PF IS IS PF TO P Ω I G R S L F 4 1 1 POL O IS IS O 109

L I F T G R S P O Ω 5 1 1 POL O IS IS O O P Ω I R G T F S L 4p 1 O > 3p = 3 4 : { O 2 (O 3p) 2} : O 2 (4p) 110

6 1 15 4 1 1 POL S O OF F 2 F O FΩ 15 4 Ω O Ω O FΩ F PC POL S PI O L G L I S F T R Ω G F Ω P O C T I P R O S C 7 1 15 4 1 1 POL SL PF I PF RP RF 2 R PF RΩ 15 4 Ω PF Ω RΩ R SL 111

O CO O PF C S O P I Ω R G T L S P C T Ω O R G F L F 8 1 15 4 1 D D 2 R C R 1 FQ D F Q 2 FQ D C D C 1 FQ C F R RX F D R X X X 112

L G X T S Q X F R C D Ω I P Y O L G X T Ω S Q X F R C D P I Y O 9 1 15 4 1 D D 2 R C R 1 D FQ D F Q 2 D C D D FQ D C 1 D 113

FQ D C FQ C F R F RX R X X D O Y P S Ω C T I X F R Q C D G L Y O S P Ω C I D C R X T F Q G L 10 15 4 1 2 1 114

Y P Q F m T v X O c G S D R C X Φ n I Q L POL D D D 2 D C 15 4 C C R R DS 1 S R 1 C D T 2 D T T T I TD L I R I Y G Y G D OG PYQ TD X F POL O P PΦ OX 3 POL I TD XGO Q QFYP OG GX IL L D DI 2 LI L 2 5 C D 6 15 2 5 C D D D D D 2 LI L D DI 5 1 2 5 5 1 2 1 GO GX 2 PY YF 2 DS R 1 S 1 1 S D 2 S D XO D X 3 1 XO D 115

1 X 3 2 PF D 1 Φ 4 FP D XO D 5 FP D Φ 1 116

Ἀρχιμήδους Περὶ τῶν Μηχανικῶν εωρημάτων πρὸς Ερατοσθένην Εϕοδος rchimedis De echanicis Propositionibus ad ratosthenem ethodus 1 2 ( ) 3 4 2 5 ( ) 6 (2 ) 7 8 2 9 2 10 3 11 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 Α ΑΒ ΑΒ Α 2 ΒΕ ( ) ΑΒ Β ( ) ΑΒ ΑΒ 1 1 3 ΑΖ Α ΒΕ ( ) Ζ Β Κ Κ Κ Κ ΜΞ Ε 117

T O X Ξ 2 4 1 1 2 ΑΒ Α Β ( ) ΑΒ Β ( ΑΒ ) Α ( ) ( ) Α ΕΖ Α Ε ΖΗ Α Α Α Α Β ΜΝ ΜΝ ΑΒ Ξ Ο Α Σ ΑΕ Π ΑΖ Ρ ΜΝ Α ΜΝ ΑΒ ΞΟ ΑΕΖ ΠΡ Ψ O Ω Ρ Σ Π Φ Ξ X Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ Α ΣΜ ΑΣ ΠΣ ΑΞ ΞΣ ΣΠ Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ ΞΣ ΣΠ Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ Α Α Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ ΜΣ ΜΣ ΣΠ ΞΣ ΣΠ ΜΣ ΣΠ Α ΑΣ ΜΣ ΞΣ ΣΠ ΜΣ ΞΣ ΣΠ ΜΝ ΞΟ 118

ΠΡ ΜΝ ΞΟ ΠΡ ΜΝ ΠΡ ΞΟ Α ΑΣ Α ΑΣ ΞΟ ΠΡ Α Ζ ΕΖ Α Α ( ) ( ) Α Κ Α Α ΑΚ Α ΑΚ 2 2 3 3 2 2 2 ΑΕΖ 1 2 ΑΕΖ ΑΒ 8 ΕΖ Β 2 8 2 ΑΒ Α Α Β 4 Β Ζ Α ΦΒΧ ΨΩ ΦΨ ΧΩ Α ΦΩ Φ 2 ΑΒ 3 ΦΩ ΑΒ 6 ΑΒ 4 1 1 2 ( ) 4 4 ( ) ( ) 3 1 1 2 ( ) 2 ( ) ΑΒ ( ) Α Β Κ Α Β Α ( ) ( ) Α ΕΖ ΕΖ Α Α Α Α Α Ζ ΕΖ ΜΝ ΜΝ Α 119

ΜΝ ΞΟ ΠΡ Ψ O Ρ Σ Ω Φ Ξ Π X 4 1 1 2 ΑΒ ( ) Β (2 ) Α ( ) Α Α Α Α ( ) Α Β Β Α Β Α (Ε) ΜΝ Β ΜΝ Α ΜΝ ΞΟ O Σ Ξ 5 ( ) 2 120

ΑΒ ( ) ( ) ( ) Β ( ) ( ) ΑΒ Α Α Α Α Α ( ) ΒΑ Α Β ΞΟ Ξ Ο Π Ρ O Ρ Σ Π Ξ 6 ( ) 5 3 ΑΒ Α Β Β Α Β Α ΒΑ Α Α Α Α Α ΒΑ Β ΞΟ Ξ Ο Π Ρ Α Ε ΑΕ ΞΟ ΞΟ ΠΡ O Ρ X Φ Π Ξ 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 121

O Ρ Υ Σ X Φ Ω Π Ξ T Ψ ΜΝ Α ΜΝ ΞΟ ΕΖ Α ΠΡ ΜΝ ΞΟ ΠΡ 2 Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( Α ) ΑΗ ΑΧ ΧΗ Χ ΗΦ ΑΗ 1 3 Φ Χ ΑΗ 2 (3 ) Α ( ) ΕΖ ΒΑ Α ΑΧ ΗΑ ΗΦ 3 Η ΗΦ ΑΗ Η 1 ΗΒ ΑΗ Η 3 Η ΗΦ ΒΗ 1 3 Α ΑΧ Κ ΑΒ ( ) ( ) ( ΑΒ) : ( ΑΒ) = ( 1 2 Α + Η) : Η ( 5 pp.55 57) ΑΒ Α ΤΥ Α = Α Β ΜΝ Ψ ΑΕΖ ΑΒ 2 ΜΝ ΠΡ ΞΟ Α Β Α 122

Ω Χ Ω O Ξ Ρ Π Ψ ΑΧ = ΧΗ ΗΦ = 1 ΑΗ Χ Ψ 3 Α : ΑΧ = ( Ψ) : ( ΑΕΖ + ΑΒ) ( Η ΗΦ ) = 1 ( ΑΗ Η ) 3 ( ΗΒ ) = ( ΑΗ Η ) ( Η ΗΦ ) = 1 ( ΒΗ ) ( ΑΗ ) = 3( 3 ΑΗ ΗΦ ) = 3( ΑΧ ΑΦ ) Α = ΚΗ ΑΗ = ΗΕ 1 ( Α ) : ( ΑΗ ) = ( Ψ) : ( ΑΕΖ) 3 ( Α ) : ( ΑΧ ΑΦ ) = ( Ψ) : ( ΑΕΖ) Α = Α = ΑΦ + Φ ( Α ) : ( ΑΦ ΑΧ + Φ ΑΧ ) = ( Ψ) : ( ΑΕΖ + ΑΒ) ( Α ) : ( Φ ΑΧ ) = ( Ψ) : ( ΑΒ) ( Α ) : ( Α ) : 1 ( ΒΗ ) = ( Ψ) : ( ΑΒ) 3 1 ( ΒΗ ) = ( Α ) : ( Η ΗΦ ) 3 ( Φ ΑΧ ) : ( Η ΗΦ ) = ( ΑΒ) : ( ΑΒ) ΑΗ = 2 ΑΧ = ΑΦ + ΦΗ = 3 ΦΗ Φ = ΦΗ + Η = 1 ΑΗ + Η 3 ( Φ ΑΧ ) = ( 1 3 ΑΗ 3 ΦΗ ) + 2 ( Η 3 ΦΗ ) 2 = ( ΦΗ 1 Α + Η ) 2 ( ΑΒ) : ( ΑΒ) = ( 1 Α + Η) : Η 2 8 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 2 123

O Π X Φ Ξ Ρ 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 2 11 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 ( ) 4 12 13 ( ) ( 2 ) (2 ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 6 ΑΒ Β ΕΖ 2 ΕΖ ΜΝ ΞΟΠΡ (ΜΝ) Ξ Ο Π Ρ ΕΖ Κ ΠΞ Κ 2 ΣΤ ΟΠΡ ΠΧ ΣΤ ΞΠ ΞΟΠΡ ( ) ΟΠΡ ΣΤ ( ) ΣΤ Ν Υ 124

Ν Υ ΕΙ ΠΧ Ε ΒΩ Ε Ν Ι Ε Β (Ν Ι ) Ε Ι Ω Ν ΒΩ ΥΝ ΒΩ ΥΝ ΣΤ ( ) Ε Π Ι Χ Π Ξ Ε Χ Ρ T Υ I Ξ Χ Π Ν Ω O Σ ( ) Ξ Ξ ΠΞ Ξ Ξ Χ Ξ (Ξ ) ( ) Ξ Χ Χ Ξ Χ Ξ ΟΠΡ Π Π ΞΟΠΡ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ ( ) Ρ Ξ Υ Χ Σ Κ Π Φ Ζ Τ O ΜΝ ΞΟΠΡ Μ Η Μ Η ΟΠΡ (2 ) ( ΟΠΡ ) ΜΗ ( ) 125

1 ΟΠΡ ΜΝ ΠΞ 4 Κ Τ Υ ΟΠΡ Κ Τ ΟΡ Σ Ζ Η Μ Χ Φ ( ) Κ Τ Υ ΟΡ (2 ) ΞΟΠΡ ΟΠΡ Κ Σ ΗΜ Χ ( ) ( ) Τ Ζ (ΗΜ) Υ Φ eiberg 12 13 eiberg 3 ( 5 p.81) 3 ΜΝ eiberg 13 14 1 ΑΒ ( ) Ε Ζ Η ΑΒ ΕΖΗ (ΕΖΗ) ΑΒ 1 4 ( ) 3 2 ΕΖΗ ΖΚ ( ) 12 (ΕΖΗ ) = 1 ( ) 6 12 14 15 Ξ Σ Η ΚΖ ΜΝ ΜΝ Ξ ( ) ΜΝ Ν ΝΖ ΜΝ Ν 126

ΚΗ Σ ΜΝ ΕΗ 1 ΜΝ 1 Ν ( ) ( ) ΕΗ 1 ΜΞ 1 ΚΝ Ξ ( ) ΜΝ Μ ΜΞ ΜΝ Μ ΜΝ ΜΞ ΜΝ ΜΞ ΜΝ ΜΞ ΜΝ Μ ( ) ( ) ( ) (Η) ΚΖ ΕΗ Η ΚΖ ΕΗΖ ( ) ΕΗ Η ΚΖ ( ) Η ΕΗ ( ) Η Η ΚΖ ( ) ΕΗ Η ΕΗ ΕΖΗ Η ΕΗ 1 1 2 1 1 2 2 3 3 ( ) 4 12 2 12 ( ) 1 2 15 1 ΑΒ ΕΖΗ (ΕΖΗ) (ΑΒ) Ε Ζ Η Κ (ΕΖΗ) ΕΗ ( ) 1 6 127

Π Ρ O Σ ( 5 pp.9599) ΑΒ 1 ΕΖΗ Κ ΕΖΗ ΕΗ ( ) ΠΡ ( ) = 1 ( ) 6 ΗΠΕΡ ΗΕ 1 ( 10 1 ) ΗΠΜΝ ( ) ( ) = 2( ΗΠΜΝ) ΗΠΕΡ 1 4 1 6 ΗΠΕΡ 2 3 I ( ) > 2 ( ΗΠΕΡ) 3 ( ) ( ) < ( ) 2 3 ( ΗΠΕΡ) ( ) > 2 ( ΗΠΕΡ) 14 3 ΚΖ ( ) Ε Ζ Η ( ) 14 11 ( 1) ( ΗΠΕΡ) : ( ) = ( Η) : ( ) ( 128

Η) < 3 ( ) ( 2 ) ( Η) = 3 ( ΕΖΗ) 2 ΗΠΕΡ 2 3 II ( ) < 2 ( ΗΠΕΡ) 3 ( ) ( ) < 2 ( ΗΠΕΡ) ( 3 ) ( ) < 2 3 ( ΗΠΕΡ) ( ΗΠΕΡ) : ( ) = ( Η) : ( ) ( Η) > 3 2 ( ) ( Η) = 3 ( ΕΖΗ) 2 ΗΠΕΡ 2 3 ( ) = 2 3 ( ΗΠΕΡ) = 1 6 ( )..................................................... 2 ( ) 1 12 15 1 ( ) ( ) (2 ) 4 ( ) ( ) (2 ) 4 ( ) 2 ( ) 2 3 15 2 y Υ Υ Χ Χ x Ψ Ψ z Φ Φ 129

z y y a a 2 t 2 x a z = t a 2 t 2 x a a 1 a z = t 1 2 a 2 t 2 S(t) = 4 ( a 2 t 2) ( ) V a V = 2 4 ( a 2 t 2) dt = 16 3 a3 = 2 ( 8a 3 ) = 2 3 3 ( ) 0 130

Liber ssumptorum 1 2 2 CD CD 2 D D D D 2 G F GF D GF C F G D C G F D 2 C DC D C D F F CD G C G G D D F F C C 3 C D C D D F CF C F D C 4 C C 2 D DC D 131

; rbelos ; ἄρβηλος ( 2 ) D C D 5 C 2 C C C CD 2 2 2 2 DC F G C 2 C C F 1 F 2 C F C D F F F F D G GC C G G I I I F D I G L C y O P 0 Q R C k T S 1 x 1 2 k r r 1 (1 k) 2 2 ( O) L ( P) 12 132

= 1 C = k 2 r : C = D : = CD : C = 1 : k D = CD D = (1 k)cd C : = CD : D = 1 : (1 k) = (1 k)c = k(1 k) k(1 k) = 1 2 r = 1 = 1 2 2 C C a b 2 OQ = 1 2 k + r QR = 1 2 k r ab a+b OR 2 = OQ 2 QR 2 = ( 1 k + 2 r)2 ( 1 k 2 r)2 = 2kr = k 2 (1 k) OR = k 1 k R = C CR = k r = 1 k(1 + k) 2 PS = 1 (1 k) + r ST = 1 (1 k) r 2 2 PT2 = PS 2 ST 2 = k(1 k) 2 PT = (1 k) k T = C + CT = k + r = 1 k(3 k) 2 2 O ( 1 k(1 + k) k 1 k) P ( 1 k(3 k) (1 k) k) 2 2 6 C D D DC 1 D DC 2 3 F C F C F 2 2 CF F C 2 FG C 2 D DF DI DL F O P F I G L O D P C D G D DI O FP C L 2 DL DI C D DC F O OP CD D C CP PO D DC 1 O OP 1 OP CP 1 3 O OP PC PC 4 OP 6 O 9 C 19 PO F C F 19 6 D DC 3 4 4 5 D : DC = : F = O : OP DC : D = C : = CP : OP D : DC = r : 1 CP : OP : O : C = 1 : r : r 2 : (1 + r + r 2 ) 133

F = OP C : F = (1 + r + r 2 ) : r r = 4 C : F = ( 1 + 4 + ) 16 3 3 9 : 4 = 37 : 12 3 7 2 2 D F C G 8 C C D F 3 D F C G 9 2 CD ( ) 2 D C 2 C D D G F C 10 D D DC C D C F D F C FG FG G C 134

F D G C 11 2 CD C D D C F 12 C 2 D 2 F D CF G CG D C F G 13 2 CD CD 2 CD 2 F CF D I CD IG D L G C F I 135

14 C D C CD D 2 CD F G FG 2 ; ; salinum ; σάλινον G C D F 15 C 1 C D CD F C D F FG G C D F G 136

.................................... 132.................................. 106................................... 30.................................. 136................................ 132..................................... 132................. 30........................................... 103...................................... 86........................................ 55...................................... 77...................................... 77.............................. 29.................................... 75...................................... 76.................................... 75........................................ 86.......................................... 76................................... 132...................................... 97........................................ 61....................................... 136........................................... 75, 76................................ 7577................................... 77.......................... 75............................................ 61............................................ 61.................................. 117.................................. 117.................................... 117.................................. 117.......................... 124.............................. 123......................... 20, 22, 117.................................. 117................................... 22.................... 120.................... 124.................................. 121..................... 19, 20, 117........................ 25, 26........................... 28 4............................. 13........................ 58, 77, 78............................ 59................................... 77........................................ 61...................................... 76................................... 17, 20 1.......................................... 61 1.......................................... 61 1........................................ 61 2.......................................... 61 2.......................................... 61 2........................................ 61................................... 43.................. 119.......................... 123........................ 94, 97....................... 40................................ 42, 118........................... 51, 121............. 88, 89, 120.................... 124............................... 48............................... 36............................................ 12................................... 77............................................ 76................................. 12, 55, 75, 76................................ 7577...................................... 76......................................... 109.................................... 75............................................ 76................................... 80........................................ 18...................................... 75............................................ 12............................................ 55................................ 7577................................... 77............................................ 73.................................. 93.................................... 75.................................... 4 1..................... 64............................................ 19..................... 3. 97, 98. 99, 100 2............ 90, 93................................... 43....................... 41 137

....................... 39..................................... 42................. 46................. 44................................. 34............................. 35................. 32................. 32............................... 35....................... 48....................... 47....................................... 132............................ 19...................................... 76.......................................... 80..................................... 108............... 10, 12, 14, 117....................... 71 1..................... 68............................................ 19......................................... 55, 61.......................................... 93........................................ 29........................................ 29 138