9.. x + y + 0. x,y, x,y, x r cos θ y r sin θ xy x y x,y 0,0 4. x, y 0, 0, r 0. xy x + y r 0 r cos θ sin θ r cos θ sin θ θ 4 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 x x + y x 0 x x + mx + m m x r cos θ 5 x, y 0, 0, r 0. y r sin θ x,y 0,0 x y x + y r 0 r 4 cos θ sin θ r r 0 r cos θ sin θ 0 x y x4 + y 4 0. x,y 0,0 0 x y x + y x4 + y 4 x + y x + y x + y x y x + y x + y x + y x + y, 0, x,y 0,0 x y x + y
40 6 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 y x + y x 0 mx x + mx m + m m 7 sin y x, x x sin y x x. x sin y x,y 0,0 x 0. 8 x r cos θ y r sin θ x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 sinx + y x + y sin r r 0 r.. 9 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 x x + y x 0 x x + mx + m m f0, 0, fx, y fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 x,y 0,0 x,y 0,0 x x + y + x x + y + 0 0 + 0 + fx, y x, y 0, 0 f0, 0 0, fx, y 0 fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 x y x r cos θ x,y 0,0 x + y y r sin θ. x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 x y x + y r 0 r cos θ r sin θ r cos θ sin θ θ fx, y x, y 0, 0 f0, 0 0, x,y 0,0 x,y 0,0 fx, y 0 fx, y x, y 0, 0 x r cos θ y r sin θ x y x + y
. x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 x y x + y r 0 r cos θ sin θ r fx, y x, y 0, 0 r 0 rcos θ sin θ 0 0 x y x + y x yx + xy + y x + y x y + xy x + y x y + xy x + y x y + x + y x y x + y 0. x,y 0,0 4 f0, 0 0 x,y 0,0., x,y 0,0 x y 0, x,y 0,0 4 x y x + y fx, y 0 fx, y x, y 0, 0 x + y cos x + y 0 xy cos x + y xy xy cos x,y 0,0 xy 0, 0 fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 xy cos x + y.. f x x, y y x, f y x, y x y, x x y y f x x, y x x + xy x + xy x x + y + y, f y x, y x y + xy y + xy y x + xy f x x, y y x + y x + y y x x + y, f y x, y x + y yy x + yy y x + y f x x, y x y x x x y x y, f y x, y x y y x y y x y y x + y x x + y x + y
4 4 f x x, y y + y, f y x, y x xy y y 4 x x y 5 fx, y x y x x y + y, f x x, y x y y x f y x, y x + y x + y x 6 f x x, y + x y y x + x y + x y x f y x, y + x xy y y y + x y y x x + y y y y x + y, 7 f x x, y xy x cosx + y + xycosx + y} x y cosx + y xy sinx + y, f y x, y xy y cosx + y + xycosx + y} y x cosx + y xy sinx + y 8 f x x, y x + y x + y x x + y, f y x, y x + y x + y y 9 f x x, y f y x, y x y x y x y x x y y y x + y y x + y x y x y y y x, xy x y y x
4.4. v, v fx, y v r 0 fx + r, y r fx, y r [ x + r + x + r y r + y r 0 r ] x + xy + y [ x + rx + r 0 r r + xy rx + ry r + y ry + ] r x xy y x + r 0 r x + y y x y r v fx, y v r 0 r 0 r r 0 r fx + r cos θ, y + r sin θ fx, y r [ x + r cos θ + x + r cos θy + r sin θ x + xy ] [ x + 6rx cos θ + r cos θ + xy + ry cos θ + rx sin θ + r sin θ cos θ x xy ] r 0 [6x cos θ + r cos θ + y cos θ + x sin θ + r sin θ cos θ] 6x cos θ + y cos θ + x sin θ.5. fx, y f, + P x + Qy + gx, y x,y, gx, y fx, y f, P x Qy xy P x Qy gx, y x + y x,y, xy P x Qy x + y 0
44 P, Q fx, y x, y, x r cos θ. x, y,, r 0. y r sin θ x,y, xy P x Qy x + y r cos θ + r sin θ + P r cos θ Qr sin θ r 0 r [ r sin θ cos θ + r sin θ + r cos θ + P r cos θ Qr sin θ ] r 0 r [r sin θ cos θ + P cos θ + Q sin θ] r 0 P cos θ + Q sin θ P Q fx, y x, y, fx, y f, + P x + Qy + + gx, y gx, y fx, y 5 P x Qy + x + y 5 P x Qy + x,y, x,y, gx, y x + y + x + y 5 P x Qy + x + y 0 x,y, P, Q fx, y x, y, x r cos θ. x, y,, r 0. y + r sin θ x + y 5 P x Qy + x + y + r cos θ + + r sin θ 5 P r cos θ Qr sin θ r 0 r [ r cos θ + 4r cos θ + 4 + r sin θ r sin θ + 5 P r cos θ Qr sin θ ] r 0 r [r + 4 cos θ sin θ P cos θ Q sin θ] r 0 4 P cos θ Q + sin θ, P 4, Q fx, y x, y,
fx, y f0, 0 + P x + Qy + gx, y gx, y fx, y P x Qy x y P x Qx x, y 0, 0 x + y 0 x, y 0, 0 x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 x y P x + Qy x + y x + y P, Q fx, y x, y 0, 0 x r cos θ x, y 0, 0, r 0. y r sin θ x,y 0,0 r 0 x y P x + Qy x + y x + y r cos θ sin θ P r cos θ Qr sin θ r r cos θ sin θ P cos θ Q sin θ r 0 P cos θ Q sin θ, P Q 0 fx, y x, y 0, 0 4 fx, y f0, 0 + P x + Qy + gx, y gx, y fx, y P x Qy x + y P x Qx x, y 0, 0 x + y 0 x, y 0, 0 x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 x + y P x + Qy x + y x + y P, Q fx, y x, y 0, 0 x r cos θ x, y 0, 0, r 0. y r sin θ x,y 0,0 r 0 r 0 x + y P x + Qy x + y x + y r cos θ + r sin θ P r cos θ Qr sin θ r } cos θ + sin θ P cos θ Q sin θ r 0 0 45
46 P, Q fx, y x, y 0, 0.6. f x x, y xy y f y x, y x xy x, y,, fx, y x, y, v, v v v f, f x, f y, y f x x, y x + y, f yx, y x x, y, x + y fx, y x, y, v 5, v v 5 v f, f x, f y, 5 5 5 f x x, y x x + y, f yx, y y x + y x, y,, fx, y x, y, v f, f x, cos θ f y, sin θ cos θ + sin θ 4 f x x, y logx + y + x x + y, f yx, y x x, y, x + y fx, y x, y, v 5, v v 5 v f, f x, 4 f y, 5 5 4 5 log 0.7. f x x, y y, f y x, y xy x, y, fx, y x, y, x, y, z f x, x + f y, y + f, z 4x + 4y 9
z.8. xy x,y 0,0 x + y, r 0. x r cos θ y r sin θ xy x,y 0,0 x + y r cos θ sin θ cos θ sin θ r 0 r xy x,y 0,0 x + y fx, y x, y 0, 0 f x x, y y x y, f yx, y fx, y x, y x, y, z f x, 6 x + 47 x, y 0, 0 fx, y x, y 0, 0 x + f y, 6 y π + 6 x x y x, y,, y + f, x 4 f x x, y x + y, f y yx, y x, y, x + y fx, y x, y, x, y, v z f x, x + f y, y + f, z x + y + log cos θ v sin θ f0, 0 v r 0 fr cos θ, r sin θ f0, 0 r θ sin θ r cos r 0 r cos θ sin θ fx, y x, y 0, 0 fx, y x, y 0, 0 fx, y f0, 0 + P x + Qy + gx, y P x + Qy + gx, y x,y 0,0 gx, y x + y 0
48 P, Q fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 x y P x Qy x + y x r cos θ y r sin θ x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 r 0 r x y P x Qy x + y r cos θ sin θ P r cos θ Qr sin θ cos θ sin θ P cos θ Q sin θ θ 0 P 0, θ π Q 0, θ π P + Q 4 P, Q fx, y x, y 0, 0.9. f x x, y x + y, f y x, y x, f xx x, y, f xy x, y f yx x, y, f yy x, y 0. f x x, y f y x, y x y y y x, xy x xy y y x, } f xx x, y y x x y x x x y x f xy x, y f yx x, y y x y y, f yy x, y x y y x x y y x y x + y x } y y x y x y x xy x y y x,
49.0. f x x, y f y x, y 4 f x x, y + x y y + x xy y f xx x, y y x + y, x x + y, y x + y x xy x + y, f xy x, y f yx x, y x + y yy x + y x y x + y f yy x, y x y x + y xy x + y x x y, f y yx, y x y f xx x, y x y x y x, } x x y x y x, x y x y f xy x, y f yx x, y x x y y xy, x y x y f yy x, y } y x x y y + y x y x + y y x y 5 f x x, y yx y, f y x, y x y log x, f xx x, y yy x y y x x y f xy x, y f yx x, y x y + yx y log x x y + y log x f yy x, y x y log y 6 f x x, y e x y, f y x, y e x y, f xx x, y e x y, f xy x, y f yx x, y e x y, f yy x, y e x y f x x, y xy, f y x, y x y f xx x, y y, f xy x, y 6xy, f yy x, y 6x y, f xxx x, y 0, f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y 6y, f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y xy, f yyy x, y 6x
50 fx, y xy, f x x, y y, f y x, y xy, f xx x, y 0, f xy x, y y, f yy x, y xy. f xxx x, y 0, f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y 0, f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y y, f yyy x, y 6xy 4 fx, y yx + y, f x x, y yx + y, f y x, y x + y yx + y x + y x + y y xx + y, f xx x, y yx + y, f xy x, y x + y + yx + y x + y x y + y y xx + y, f yy xx + y f xxx x, y 6yx + y 4 f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y x + y 6yx + y 4 x + y 4 x + y 6y x yx + y 4 f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y x + y y xx + y 4 x + y 4 x + y y + x x yx + y 4 f yyy x, y 6xx + y 4 4 f x x, y y cos xy, f y x, y x cos xy, f xx x, y y sin xy, f xy x, y cos xy xy sin xy, f yy x, y x sin xy, f xxx x, y y cos xy f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y y sin xy xy cos xy f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y x sin xy x sin xy x y cos xy x sin xy x y cos xy f yyy x, y x cos xy
5.. u x y + x v xy fu, v u + cos v. f x f u u x + f v v x xy + sin v y u xy + x y + y sin xy f y f u u y + f v v y u x sin v x x x y + x sin xy u x + e xy v x cosx + y fu, v u v. f x f u u x + f v v x v x + yexy u cosx + y x sinx + y} v x + yexy x cosx + y x + e xy cosx + y x sinx + y} x cos x + y x + ye xy x cosx + y x + e xy cosx + y x cos x + y + x + e xy x sinx + y } x + xy e xy x cosx + y f y f u u y + f v v y + x + e xy sinx + y x cos x + y v xexy u x sinx + y} v xe xy x cosx + y xx + e xy sinx + y x cos x + y e xy cosx + y + x + e xy sinx + y x cos x + y
5 u xy y v xy fu, v u cos v. f x f u u x + f v v x cos v y + u sin vy y cos xy xy y sin xy f y f u u y + f v v y cos v x y + u sin vx x y cos xy x y xy sin xy 4 u x y v x y fu, v tan v u. f x f u u x + f v v x v u + v u v u + v x y + x 4 y x y + + v u u xy x y + u u + v xy } x y x y + xy x y x y + 4x y 4xy x y + x 4 y x y x y 4xy x y + x 4 y x y f y f u u y + f v v y v u + v x y + x 4 y + x y u u + v x y x y + x x y x x y + x x y x y + x 4 y x y x x y x y + x y x y.. x u cos θ v sin θ y u sin θ + v cos θ z u z x x u + z y y u z x z v z x x v + z y y v z x cos θ + z y sin θ + z y sin θ, cos θ,
5 z z + u v z z cos θ + x z x y sin θ + cos θ + z x z y z + x z z + x y z x sin θ cos θ + sin θ z x z y z sin θ + y cos θ z sin θ y sin θ cos θ + z cos θ y z u z x x u + z y y u z x cos θ + z y sin θ, z u z x u cos θ + z y u sin θ zx x x u + z x y y zy cos θ + u x x u + z y y y sin θ u z x cos θ + z y x sin θ z cos θ + x y cos θ + z y sin θ sin θ z x cos θ + z y x sin θ cos θ + z x y sin θ cos θ + z y sin θ, z v z x x v + z y y v z x sin θ + z y cos θ, z v z x v sin θ + z y v cos θ zx x x v + z x y y zy sin θ + v x x v + z y y y cos θ v z x sin θ + z y x cos θ sin θ + z x y sin θ + z y cos θ cos θ z x sin θ z y x sin θ cos θ z x y sin θ cos θ + z y cos θ
54 z u + z v z x cos θ + z x z y x + z x sin θ + z y sin θ cos θ + z y x sin θ cos θ z x y sin θ cos θ + z y sin θ z x y sin θ cos θ + z y cos θ.., x r cos θ y r sin θ z r z r z x x r + z y y r z x cos θ + z y sin θ z x r cos θ + z y r sin θ zx x x r + z x y y zy cos θ + r x x r + z y y y sin θ r z x cos θ + z y x sin θ z cos θ + x y cos θ + z y sin θ sin θ z x cos θ + z y x sin θ cos θ + z θ z x x θ + z y y θ z x r sin θ + z y r cos θ yz x + xz y z x y sin θ cos θ + z y sin θ, z θ yzx x y z + x θ + yz x y x r sin θ + z y + x z x y z x r sin θ z x r cos θ z y r sin θ y xzy + θ x z x + y z y x r cos θ r sin θ + x z y r cos θ z y x r sin θ cos θ x θ + xz y y } } z x y r sin θ cos θ + z y r cos θ y θ
55 z r + r z r + r z x cos θ + z x z y x z θ sin θ cos θ + + r z x cos θ + z y sin θ + r z x r sin θ z x r cos θ + z y z y r sin θ z x y sin θ cos θ + z y sin θ z y x r sin θ cos θ z x y r sin θ cos θ + z y r cos θ.4. f x x, y x + y, f y x, y x + y. f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y, φ x f xx, y f y x, y x + y x + y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y x + y 6x + yx + y + x + y x + y 0x + xy + y x + y 0 x + y φx fx, y x + xy + y 0
56 f x x, y x x, f y x, y y, f xx x, y 6x, f xy x, y 0, f yy x, y, φ x f xx, y f y x, y x x y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y 6x 4y + x x 8y xy + 9x 4 8x 4 4y x4 + 8xx x + y + 4xy 4 4y x4 + 8x + 4xy 4 4y x x + 8x + 4xy 4 4y xx y + + 8x + 4xy 4 4y x + xy + 9x 4 4y x y + + xy + 9x 4 4y xy + x y + 9x 4y, φx fx, y x x + y 0 x fx, y x x + y f x x, y y xy, f y x, y xy x, f xx x, y y, f xy x, y y x, f yy x, y x, φ x f xx, y f y x, y y xy xy x y xy x xy
57 φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y yxy x y xy xyxy x + xy xy xy x yx y x 4xyy xy xy x + xy y x x y x xyy x 4yy xy xy x + y y x x y x 6yx y xy + y x x y x 6y 4 + y x x y x 6yx y + 4 x y x φx fx, y xy x y 0 4 f x x, y x + y, f y x, y x y, f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y, φ x f xx, y f y x, y x + y x y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y x y x + yx y x + y x y 5x + 5y 5xy x y 0 x y φx fx, y x + xy y 0
58 5 f x x, y e x e x+y, f y x, y e x+y + e y, f xx x, y e x e x+y, f xy x, y e x+y, f yy x, y e x+y + e y, φ x f xx, y f y x, y ex e x+y e x+y + e y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y ex e x+y e x+y + e y + e x+y e x e x+y e x+y + e y + e x+y + e y e x e x+y e x+y + e y ex e x+y e x+y + e y e x+y + e y + e x+y + e x e x+y e x+y + e y ex e x+y e x + e y e x+y + e y ey e x + e y e y e x ex + e y e y e x e x+y e y e x e x e x φx fx, y e x e x+y + e y 0.5. f x x, y x, f y x, y y, f xx x, y fx, y x + y 0 f x x, y x 0 x, y 0, ±. f y 0, ± ± 0 f xx 0, ±, ±, x 0 f y 0, ± y, x 0 y f x x, y x, f yx, y y, f xx x, y fx, y 4 x + y 0 f x x, y x 0 x, y 0, ±. f y 0, ± ± 0 f xx 0, ±, ±, x 0 f y 0, ± 4 y, x 0 y
59 f x x, y x y, f y x, y x + y, f xx x, y fx, y x xy + y 0 a f x x, y x y 0 b b y x a x x ±., y x, x, y ±, ± f y ±, ± ± 0, f xx ±, ± f y ±, ± ±, x y, x y 4 f x x, y x y, f y x, y x + y, f xx x, y 6x fx, y x xy + y 0 a f x x, y x y 0 b b y x. a x x 0. x 0,., y x x, y 0, 0,, 4. f y 0, 0 0 x 0, f y, 4 + 6 + + 6 0 f xx, 4 f y, 4 > 0, x y 4.6. f x x, y x + y, f y x, y x + 4y 4, f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y 4 Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 7 fx x, y x + y 0 f y x, y x + 4y 4 0 x, y H 4 7, 8 7 x, y 4 7, 8 7, f xx 4 7 7, 8 > 0 7 4 7, 8 f 4 7 7, 8 7 6 7
60 f x x, y x + y, f y x, y x, f xx x, y 6x, f xy x, y, f yy x, y 0 Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4 < 0 fx, y f x x, y x + x, f y x, y y + y, f xx x, y 6x +, f xy x, y 0, f yy x, y 6y + Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4x + y + fx x, y x + x 0 a f y x, y y + y 0 b a x x + 0. x, b y y + 0. y, x, y,,,,,,, x, y, H, 6 > 0, f xx, 4 > 0, x, y, f, 44 7 x, y, H, 6 < 0, x, y, x, y, H, 6 < 0, x, y, x, y, H, 6 > 0, f xx, 4 < 0, x, y, f, 4
6 4 f x x, y x y, f y x, y x + y +, f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y > 0 fx x, y x y 0 f y x, y x + y + 0 x, y, 4 H, 4 > 0, f xx, 4 > 0, x, y, 4 f, 4 4. 5 f x x, y x 6y, f y x, y 6x + y, f xx x, y 6x, f xy x, y 6, f yy x, y 6y Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 6xy fx x, y x 6y 0 a f y x, y 6x + y 0 b a y x. b xx 8 0 x 0,. y x x, y 0, 0,, x, y 0, 0 H0, 0 6 < 0, x, y, H, 08 > 0, f xx, > 0, x, y, f, 8 6 f x x, y x y + y y, f y x, y x + xy x, f xx x, y 6xy, f xy x, y x + y, f yy x, y 6xy Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 9x 4 9y 4 + 8x y + 6x + 6y fx x, y x y + y y 0 f y x, y x + xy x 0 a b a yx +y 0. y 0 x +y., b xx +y 0. x 0 x +y 4
6 a y 0 x 0 b y 0 x + y c x 0 x + y d x + y x + y x, y 0, 0, ±, 0, 0, ±, 4 x + y x + y x y x + y 4x. x ±, y ± x, y 0, 0, ±, 0, 0, ±, ±, ±, ±, x, y 0, 0 H0, 0 < 0 x, y ±, 0, 0, ± H±, 0 H0, ± 4 < 0 x, y ±, ± ±, ± > 0, f xx ±, ± > 0 H x, y 8 x, y H x, y ±, ± f ±, ± ±, ±, > 0, f xx ±, < 0 ±, f ±, 8 7 f x x, y xy y, f y x, y x xy +, f xx x, y y, f xy x, y x y, f yy x, y x Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4x xy + y fx x, y xy y 0 a f y x, y x xy + 0 b
a+b x y 0. y ±x a y x x x, y ±, ±, y x x, x, y ±, ± H±, ± 4 < 0 fx, y 8 f x x, y xy x, f y x, y x y y, f xx x, y y, f xy x, y 4xy, f yy x, y x Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4x y 6x y fx x, y xy x 0 a f y x, y x y y 0 b a xy 0. x 0 y ±, b yx 0. y 0 x ±, x, y 0, 0, ±, ±, ±,. x, y 0, 0 H0, 0 4 > 0, f xx 0, 0 < 0 x, y 0, 0 f0, 0 x, y ±, ±, ±, H±, ± H±, 6 < 0 6.7. Lx, y, t fx, y tgx, y x + y tx + y g x x, y x, g y x, y y, L x x, y, t tx, L y x, y, t ty, L t x, y, t x + y, L xx x, y, t t, L xy x, y, t 0, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y 8tx + y + L yy x, y, tg x x, y L x x, y, t tx 0 L y x, y, t ty 0 L t x, y, t x + y 0 a b c
64 a, b x y c t t. t ± x y t x, y, t ±, ±, ± H ±, ±, ± 8, x, y fx, y gx, y x + y 0 f,, x, y, fx, y gx, y x +y 0 f, Lx, y, t fx, y tgx, y xy tx + y g x x, y x, g y x, y y, L x x, y, t y tx, L y x, y, t x ty, L t x, y, t x + y, L xx x, y, t t, L xy x, y, t, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y 8ty + xy + tx + L yy x, y, tg x x, y L x x, y, t y tx 0 L y x, y, t x ty 0 L t x, y, t x + y 0 a b c a y tx. b x 4t 0. x 0 t ± x 0 y tx y 0 c t ± t y tx y x c x. x, y ±, ±.
65 t y tx y x c x. x, y ±, x, y, t ±, ±,, ±,, x, y, t ±, ±, H ±, ±, 8 < 0 ±, ± x, y fx, y gx, y x + y 0 f ±, ±, x, y, t ±,, H ±,, 8 > 0 x, y ±, fx, y gx, y x + y 0 f ±, g x x, y y, g y x, y x Lx, y, t fx, y tgx, y x + y txy L x x, y, t x ty, L y x, y, t y tx, L t x, y, t xy, L xx x, y, t, L xy x, y, t t, L yy x, y, t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y x + txy + y L x x, y, t x ty 0 L y x, y, t y tx 0 L t x, y, t xy 0 + L yy x, y, tg x x, y a b c
66 a x t y b y4 t 0 y 0 t ± y 0 c t ± t x t y x y c y x, y, t ±, ±, t x t y x y c y H±, ±, 8 > 0, x, y ±, ±, fx, y gx, y xy 0 f ±, ± 4 g x x, y x, g y x, y y Lx, y, t fx, y tgx, y 4x + 4xy + y tx + y L x x, y, t 8x + 4y tx, L y x, y, t 4x + y ty, L t x, y, t x + y, L xx x, y, t 8 t, L xy x, y, t 4, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y 84 ty 4xy + tx } + L yy x, y, tg x x, y L x x, y, t 8x + 4y tx 0 L y x, y, t 4x + y ty 0 L t x, y, t x + y 0 a b c a y 4 tx b xtt 5 0 x 0 t 0, 5 x 0 y 4 tx y 0 c t 0, 5 t 0 y 4 tx y x c 5x x, y, t ±,, 0 5 5 t 5 y 4 tx y x c 5 4 x x, y, t ±, ±, 5 5 5
H 67 ±,, 0 40 > 0, x, y ±, 5 5 5 5 fx, y gx, y x + y 0, f ±, 0 5 5, H ±, ±, 5 40 < 0, x, y ±, ± 5 5 5 5 fx, y gx, y x + y 0, f ±, ± 5 5 5 5 g x x, y x + y, g y x, y x + y Lx, y, t fx, y tgx, y xy tx + xy + y L x x, y, t y tx ty, L y x, y, t x tx ty, L t x, y, t x + xy + y, L xx x, y, t t, L xy x, y, t t, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y + L yy x, y, tg x x, y tx + y tx + yx + y tx + y L x x, y, t y tx ty 0 L y x, y, t x tx ty 0 L t x, y, t x + xy + y 0 a b c t 0 a, b x y 0 c t 0 a x t y b t yt + t 0 y 0 t, y 0 x t y x 0 c t t, t x t y x y c t y x, y, t ±,, t x t y x y c t y x, y, t ±, ±,
68 H ±,, 8 > 0, x, y ±, fx, y gx, y x + xy + y 0 f ±,, H ±, ±, 8 < 0, x, y ±, ± fx, y gx, y x + xy + y 0 f ±, ±.8. f x x, y e x y, f y x, y e x y, f xx x, y e x y, f xy x, y e x y, f yy x, y e x y, f xxx x, y e x y, f xxy x, y e x y, f xyy x, y e x y, f yyy x, y e x y fx, y e x y x, y, f, + f x, x + f y, y } + fxx, x + f xy, x y + f yy, y }! + fxxx, x + f xxy, x y! + f xyy, x y + f yyy, y } + x y } + x x y + y } x x y + x y y } 6, 4, 5 f x x, y cosx y, f y x, y cosx y, f xx x, y 4 sinx y, f xy x, y sinx y, f yy x, y sinx y, f xxx x, y 8 cosx y, f xxy x, y 4 cosx y, f xyy x, y cosx y, f yyy x, y cosx y fx, y sinx y x, y, f, + f x, x + f y, y } + fxx, x + f xy, x y + f yy, y }! + fxxx, x + f xxy, x y! + f xyy, x y + f yyy, y } x y } 8x x y + 6x y y } 6
fx, y x y x y, f x x, y x y, f y x, y x y, f xx x, y x y, f xy x, y x y, f yy x, y x y, f xxx x, y 6x y 4, f xxy x, y 6x y 4, f xyy x, y 6x y 4, f yyy x, y 6x y 4 fx, y x, y, 0 x y 69 f, 0 + f x, 0x + f y, 0y} + fxx, 0x + f xy, 0x y + f yy, 0y }! + fxxx, 0x + f xxy, 0x y! + f xyy, 0x y + f yyy, 0y } x y} + x x y + y } x x y + x y y } 4 f x x, y e x log + y, f y x, y e x + y, f xx x, y e x log + y, f xy x, y e x + y, f yy x, y e x + y, f xxx x, y e x log + y, f xxy x, y e x + y, f xyy x, y e x + y, f yyy x, y e x + y fx, y e x log + y x, y 0, 0 f0, 0 + f x 0, 0x + f y 0, 0y} + fxx 0, 0x + f xy 0, 0xy + f yy 0, 0y }! +! fxxx 0, 0x + f xxy 0, 0x y + f xyy 0, 0xy + f yyy 0, 0y } y + xy y + 6 x y xy + y e x log + y 5 f x x, y e y sin x, f y x, y e y cos x, f xx x, y e y cos x, f xy x, y e y sin x, f yy x, y e y cos x, f xxx x, y e y sin x, f xxy x, y e y cos x, f xyy x, y e y sin x, f yyy x, y e y cos x fx, y e y cos x x, y 0, 0
70 f0, 0 + f x 0, 0x + f y 0, 0y} + fxx 0, 0x + f xy 0, 0xy + f yy 0, 0y }! +! fxxx 0, 0x + f xxy 0, 0x y + f xyy 0, 0xy + f yyy 0, 0y } + y x y 6 x y y cos x e y 6 fx, y x + y x + y, f x x, y x + y, fy x, y x + y, f xx x, y 4 x + y, fxy x, y x + y, f yy x, y x + y, f xxx x, y 8 x + y 5, fxxy x, y 4 x + y 5, f xyy x, y x+y 5, fyyy x, y x+y 5 fx, y x + y x, y, f, + f x, x + f y, y + } + fxx, x + f xy, x y + + f yy, y + }! +! fxxx, x + f xxy, x y + + f xyy, x y + + f yyy, y + } + x + y + } 8 x + 4x y + + 4y + } + 48 x + 8x y + + 6x y + + 4y + }