23 2 2.1 n n r x, y, z ˆx ŷ ẑ 1 a a x ˆx + a y ŷ + a z ẑ 2.1.1 3 a iˆx i. 2.1.2 i1 i j k e x e y e z 3 a b a i b i i 1, 2, 3 x y z ˆx i ˆx j δ ij, 2.1.3 n a b a i b i a i b i a x b x + a y b y + a z b z. 2.1.4 i1 Einstein 2 a b θ ab cos θ 1 ˆx ˆx 1 ŷ ˆx 2 ẑ ˆx 3 2!
δ ij δ ij 1 0 0 0 1 0 0 0 1. 2.1.5 ˆx ˆx ŷ ŷ ẑ ẑ 0, 2.1.6 ˆx ŷ ŷ ˆx ẑ, 2.1.7 ŷ ẑ ẑ ŷ ẑ, 2.1.8 ẑ ˆx ˆx ẑ ŷ, 2.1.9 a b a x ˆx + a y ŷ + a z ẑ b x ˆx + b y ŷ + b z ẑ a y b z a z b y ˆx + a z b x a x b z ŷ + a x b y a y b x ẑ ˆx ŷ ẑ a x a y a z. 2.1.10 b x b y b z c a b a b a b θ ab sin θ a b c ˆx ŷ ẑ i c i ϵ ijk a j b k ϵ ijk ϵ xyz ϵ yzx ϵ zxy 1 ϵ xzy ϵ zyx ϵ yxz 1 others 0 2.1.11 ϵ ijk ϵ lmk ϵ ijk ϵ klm ϵ ijk ϵ mkl δ il δ jm δ im δ jl. 2.1.12
a b b a, 2.1.13 a b + c a b + a c, 2.1.14 ca b a cb ca b, 2.1.15 a b c b c a c a b, 2.1.16 a b c ba c ca b. 2.1.17 3 a b c a b c 6 ϵ ijk a b c ϵ ijk a j ϵ klm b l c m δ il δ jm δ im δ jl a j b l c m a j b i c j a j b j c i ba c ca b. 2.1.18 [ ]. a b a i b j a x b x a x b y a x b z a y b x a y b y a y b z a z b x a z b y a z b z 2.1.19 tensor 2.2 a t da dt lim t 0 at + t at. 2.2.1 t da dt dax dt, da y dt, da z. 2.2.2 dt
r r dr/dt a dv/dt d 2 r/dt 2 t ct at bt d dt d dt d dt ca dc dt a + cda dt, 2.2.3 da db a b b + a dt dt, 2.2.4 da db a b b + a dt dt. 2.2.5 [ ]. 3 s rs ˆt dr ds. 2.2.6 r lim s 0 s 1 2.2.7 v dr dt dr ds ds dt ˆtv. 2.2.8 θ ˆn dˆt dθ dˆt ds ds dθ R dˆt ds 1 dˆt κ ds. 2.2.9 R ds/dθ κ 1/R ˆn ˆt a dv dt dv dt ˆt + v dˆt dθ ds dθ ds dt dv dt ˆt + v ˆn 1 dv v. R dt ˆt + v2 ˆn. 2.2.10 R r x, y, z r 2
f f x, f y, f z 3 m r f/m d 2 r dt 2 f m. 2.2.11 ṙ [ ] 1 2.3 r field scalar field vector field ϕr ϕx, y, z 1 ϕ/x ϕ/y ϕ/z 3 /x /y /z ϕx, y, z ϕ ϕ x, y, ˆx z x + ŷ y + ẑ z 2.3.1 Ar A x r, A y r, A z r A A ϕr ϕx, y, z grad ϕr ϕr, x ϕx, y, z, y ϕx, y, z. 2.3.2 z 3 f x f y f z f f
ϕr ϕr ϕr dϕr ϕr dr. 2.3.3 ϕr 2 ϕr 1 ϕr dr 2.3.4 r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 r 2 r m ϕr mgz. 2.3.5 fr ϕr 0, 0, mg mgẑ mg. 2.3.6 M r m ϕr G Mm r. 2.3.7 fr ϕr GMm x r 3, GMm y r 3, GMm z r 3 G Mm r r 2 r. 2.3.8 q r ϕr 1 4πϵ 0 q r. 2.3.9 Er ϕr 1 4πϵ 0 q r 2 r r. 2.3.10 divergence Ar Ar : divar Ar ˆx x + ŷ y + ẑ A x ˆx + A y ŷ + A z ẑ z A x x + A y y + A z z. 2.3.11
ˆx ŷ ẑ ρr vr x, y, z x + x, y + y, z + z : M M jr ρrvr. 2.3.12 Mx, y, z, t + t Mx, y, z, t [ j x x, y + 1 2 y, z + 1 2 z + j xx + x, y + 1 2 y, z + 1 2 z y z + j y x + 1 2 x, y, z + 1 2 z + j yx + 1 2 x, y + y, z + 1 2 z z x + j z x + 1 2 x, y + 1 2 y, z + j zx + 1 2 x, y + 1 ] 2 y, z + z x y t jx x, y, z + j yx, y, z + j zx, y, z x y z t. 2.3.13 x y z + 1 2 x + 1 2 y + 1 2 z M/ x y z ρ ρx, y, z t + jx, y, z 0. 2.3.14 jr 1 fr 0, 0, g g, m 2.3.15 g 0. 2.3.16 1 m fr GM r r 2 r GM ˆr, 2.3.17 r2 fr m Er Er GM r 0. for r 0 2.3.18 r3 q r 4πϵ 0 r 3, 2.3.19 q r 0 4πϵ 0 r3 for r 0. 2.3.20
[ ] vr 2 3 vr r, 2.3.21 vr r r 2. 2.3.22 rotation Ar Ar rotation curl : rotar Ar ˆx x + ŷ y + ẑ A x ˆx + A y ŷ + A z ẑ z Az y A y Ax ˆx + z z A z Ay ŷ + x x A x ẑ y ˆx ŷ ẑ. 2.3.23 x y z A x A y A z [ ] Ar r, 2.3.24 Ar By, 0, 0, 2.3.25 Ar 0, Bx, 0, 2.3.26 Ar 1 2 By, 1 2 Bx, 0, 2.3.27 y vr x 2 + y, x y 2 x 2 + y, 0 2 ρ, x ρ, 0, 2.3.28 vr 1 y x 2 + y 2 x 2 + y, 2 x x 2 + y 2, 0 y ρ 2, x ρ 2, 0. 2.3.29 x 0, y 0.z 0 x 0 + x, y 0.z 0 x 0 + x, y 0 + y.z 0 x 0, y 0 + y.z 0 x 0, y 0.z 0
r 0 r 0 + x ˆx r 0 + x ˆx + y ŷ r 0 + y ŷ r 0 2.3.30 Ar r I Ar dr 2.3.31 4 I Ar 0 + 1 2 x ˆx x ˆx + Ar 0 + x ˆx + 1 y ŷ y ŷ 2 +Ar 0 + 1 2 x ˆx + y ŷ x ˆx + Ar 0 + 1 y ŷ y ŷ 2 Ay x A x x y y A ẑ x y. 2.3.32 3 A r 0 1 A z v vorticity z ϕ ω r vr v r sin θ sin ϕ ϕ, r sin θ cos ϕ ϕ, 0 ωy, ωx, 0 ωẑ r ω r. 2.3.33 ω ωẑ vr ˆx ŷ ẑ x y z ωy ωx 0 2ωẑ 2ω 2.3.34 2.3.29 vr z z! z : z I Br µ 0I y 2π ρ, x ρ, 0 2.3.35
ρ x 2 + y 2 ρ 0 B 0 Laplacian 1.2.10 2 2 Laplacian ϕ ϕ 2 ϕ ϕ ˆx x + ŷ y + ẑ ˆx z x + ŷ y + ẑ ϕ z 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2. 2.3.36 4 2 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 2.3.37 2 2 A x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 A 2 A x x 2 + 2 A x y 2 + 2 A x z 2, 2 A y x 2 + 2 A y y 2 + 2 A y z 2, 2 A z x 2 + 2 A z y 2 + 2 A z z 2 2.3.38 [ ] fr r x 2 + y 2, 2.3.39 fr ln r ln x 2 + y 2. 2.3.40??? 4
ϕψ ϕψ + ϕ ψ, 2.3.41 ϕa ϕ A + ϕ A, 2.3.42 ϕa ϕ A + ϕ A, 2.3.43 A B B A + A B, 2.3.44 A B B A B A A B + A B, 2.3.45 A B B A + A B + B A + A B, 2.3.46 ϕ 0, 2.3.47 A 0, 2.3.48 A A 2 A. 2.3.49 [ ] 2.4 2 5 x r cos ϕ, y r sin ϕ. 2.4.1 r x 2 + y 2, ϕ Arctan y x. 2.4.2 ˆr ϕ ˆϕ ˆr cos ϕ ˆx + sin ϕ ŷ, 2.4.3 ˆϕ sin ϕ ˆx + cos ϕ ŷ. 2.4.4 ar 6 5 ϕ ϕr 6 ar a r r ˆr + a ϕ r ˆϕ 2.4.5
4.1: ar a x r ˆx + a y r ŷ 2.4.6 a r ˆr a ˆr a x ˆx + a y ŷ a x cos ϕ + a y sin ϕ, 2.4.7 a ϕ ˆϕ a ˆϕ a x ˆx + a y ŷ a x sin ϕ + a y cos ϕ. 2.4.8 2 f r ˆr + 1 r ϕ ˆϕ 2.4.9 ˆr r + ˆϕ 1 f. 2.4.10 r ϕ 2.4.7 2.4.8 f ˆx x + ŷ y ˆr cos ϕ ˆϕ r sin ϕ x r + ϕ x ϕ ˆr cos ϕ ˆϕ x sin ϕ r r sin ϕ r ϕ ˆr x cos ϕ + y sin ϕ r r + ˆϕ sin2 ϕ + cos 2 ϕ r + ˆr sin ϕ + ˆϕ r cos ϕ y + ˆr sin ϕ + ˆϕ cos ϕ ϕ ϕ/x sin ϕ/r ϕ/y cos ϕ/r r + ϕ y ϕ y r r + cos ϕ r ϕ 2.4.11
: ˆr r 0, A ˆr r + ˆϕ 1 r ϕ A r r + A r r + 1 r 1 r ˆϕ r 0, A rˆr + A ϕ ˆϕ A ϕ ϕ [ r ra r + A ϕ ϕ ˆr ϕ ˆϕ, ]. 2.4.12 ˆϕ ϕ 2 f f ˆr r + ˆϕ 1 r ϕ r ˆr + 1 r ϕ ˆϕ 2 f r 2 + 1 r r + 1 2 f r 2 ϕ 2 1 r r r r ˆr. 2.4.13 + 1 r 2 2 f ϕ 2. 2.4.14 3 x ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z. 2.4.15 ˆρ ϕ ˆϕ z ẑ ˆr cos ϕ ˆx + sin ϕ ŷ, 2.4.16 ˆϕ sin ϕ ˆx + cos ϕ ŷ,. 2.4.17 ẑ ẑ 2.4.18 x r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ. 2.4.19 ˆρ ϕ ˆϕ z ẑ ˆr sin θ cos ϕ ˆx + sin θ sin ϕ ŷ + cos θ ẑ, 2.4.20 ˆθ cos θ cos ϕ ˆx + cos θ sin ϕ ŷ sin θ ẑ, 2.4.21 ˆϕ sin ϕ ˆx + cos ϕ ŷ. 2.4.22
[ ] z ω vr ωẑ r v x, v y, v z ωy, ωx, 0 2.4.23 v ρ, v ϕ, v z 0, ωρ, 0 2.4.24 v r, v θ, v ϕ 0, 0, ωr sin θ 2.4.25 ω ω x, ω y, ω z 0, 0, ω 2.4.26 ω ρ, ω ϕ, ω z 0, 0, ω 2.4.27 ω r, ω θ, ω ϕ ω cos θ, ω sin θ, 0 2.4.28 3 f r ˆr + 1 r ˆr r + ˆθ 1 r θ ˆθ + 1 r sin θ ϕ ˆϕ 2.4.29 f. 2.4.30 ϕ θ + ˆϕ 1 r sin θ A ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆϕ 1 r sin θ A r r + A r r + 1 A θ r θ + A θ A r r + 2A r 1 r 2 sin θ : ˆr r 0 ˆθ r 0 ˆr θ ˆθ ˆθ θ ˆr ˆr ϕ ˆϕ sin θ A rˆr + A θˆθ + Aϕ ˆϕ ϕ A r r sin θ sin θ + A θ r sin θ cos θ + 1 A ϕ ϕ r sin θ r + 1 r θ + cot θ r A θ + 1 A ϕ r sin θ ϕ [ r 2 sin θa r + r θ r sin θa θ + ] ϕ ra ϕ. 2.4.31 ˆθ ϕ ˆϕ cos θ ˆϕ r 0 2.4.32 ˆϕ θ 0 2.4.33 ˆϕ ϕ ˆr sin θ ˆθ cos θ 2.4.34 A ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆϕ 1 r sin θ A rˆr + A θˆθ + Aϕ ˆϕ ϕ
A θ r ˆϕ A ϕ r ˆθ 1 A r r θ ˆϕ + 1 A ϕ r θ ˆr + A θ r ˆϕ + 1 A r r sin θ ϕ ˆθ 1 A θ r sin θ ϕ ˆr A ϕ ˆθ sin θ + ˆr cos θ r sin θ 1 A ϕ r θ + cos θa ϕ r sin θ 1 A θ 1 A r ˆr + r sin θ ϕ r sin θ ϕ A ϕ r A ϕ ˆθ r Aθ + r 1 A r r θ + A θ ˆϕ r [ 1 r sin θ θ sin θa ϕ 1 ] [ A θ 1 A r ˆr + r sin θ ϕ r sin θ ϕ 1 ] r r ra ϕ ˆθ [ 1 + r r ra θ 1 ] A r ˆϕ. 2.4.35 r θ 2 f f ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆϕ 1 r sin θ 2 f r 2 + 1 r r + 1 2 f r 2 θ 2 + 1 ϕ θ ˆθ + 1 r ˆr + 1 r r sin θ + 1 r 2 sin 2 θ r sin θ 1 2 f + r 2 sin 2 θ ϕ 2 2 f r 2 + 2 r r + 1 2 f r 2 θ 2 + cos θ r 2 sin 2 θ θ + 1 2 f r 2 sin 2 θ ϕ [ 2 1 r 2 r 2 sin θ + sin θ + sin θ r r θ θ ϕ ϕ ˆϕ r sin θ θ cos θ 1 sin θ ]. ϕ 2.4.36 f ρ ˆρ + 1 ρ ϕ ˆϕ + z ẑ 2.4.37 ˆρ ρ + ˆϕ 1 ρ ϕ + ẑ f. 2.4.38 z A ˆρ ρ + ˆϕ 1 ρ ϕ + ẑ z 1 ρ ρ ρa ρ + 1 ρ 1 ρ : A ϕ ϕ + A z z [ ρ ρa ρ + A ϕ ϕ + z ρa z A ρˆρ + A ϕ ˆϕ + Az ẑ ]. 2.4.39 ˆρ ρ 0 ˆϕ ρ 0 ẑ ρ 0 2.4.40
ˆρ ϕ ˆϕ ˆϕ ϕ ˆρ ˆρ z 0 ˆϕ z 0 ẑ ϕ 0 2.4.41 ẑ z 0 2.4.42 A ˆρ ρ + ˆϕ 1 ρ ϕ + ẑ A ρˆρ + A ϕ ˆϕ + Az ẑ z 1 A z ρ ϕ A ϕ Aρ ˆρ + z z A z ˆϕ ρ 1 + ρ ρ ρa ϕ 1 A ρ ẑ 2.4.43 ρ ϕ 2 f f ˆρ ρ + ˆϕ 1 ρ ϕ + ẑ z ρ ˆρ + 1 ρ ϕ ˆϕ + 2 f ρ 2 + 1 ρ ρ + 1 2 f ρ 2 ϕ 2 + 2 f z 2 1 ρ ρ ρ ρ z ẑ + 1 ρ 2 2 f ϕ 2 + 2 f z 2 2.4.44 [ ]