機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 1/42 2017 機械力学 II Applied Dynamics II toru@kanagawa-u.ac.jp ===================================================================================!"#$%&'()*+,-./0 31245#6%789:;<=>+?@ABCDE#FG7C!HI: LM=03JKNOPQ@RS:TUNOVWXYZ[&\S]^#_`a`\,-^:bNO ec#&\03^#6%7&d#6f7ghi`jk:+?@#bnol WXY[>mXno>pqr,-?:ste=u,-vwx>-@03ywx#6% 7>z{-x }:KUNO~e>{-x }L: O~e> {-esƒ : LNO~e> ˆ : 7>(a)ŒŠ,- gf ŒŠŽ" : ORS> (b). : = œ:šors>(c)-@03:ywors>:d#6f ŸO~eZ OV žjk ~XYZ[> (C ˆ : %7>\S I^Z ªAB:> pqr?>«qr? a œ+ e ±²³Oec#> µ?c H ¹º¹º» -@¼½:½'#>žSC'(Sˆ Z Z`u~e:%¾#P ¼½# =7%h¾>yw 7%hVÀuÁ XYÂà 5 Æ>Ä Åbe=7>\Ä #Ç: ¾:ÈÉZÀe O~e> qæe=7 ʹ [ÇZ Gu¾^:>Ë':ÌqZ,ÍÎwOV ž3ï Ì XYgF Ðbjk[>È [Ñ :ÒÓ=7%Oo>ÔÕƒ ZÖ ÄØ NOÙÚÛ OV j[øü;ý (Þßà:áNV 9/20 1 ガイダンス / 全体像と準備 ( 第 0 章 )/ 一自由度系の振動の復習 (1)( 第 1 章 ) ~XYZâ~e>>,-gF -S ªãä>#6%7ywOV ÀuS] Z Èqr,-?{-x }KU#6%7>Ðb¼½: =7ÅbNOV 9/27 2 一自由度系の振動の復習演習 (1)( 第 1 章 ) S]Z Èqr,-?{-x }KULE:Ðbe=7&Åb=7Û çlò be=7&s]ih Cåy #: =7gh~eV 10/4 3 一自由度系の振動の復習 (2)( 第 1 章 ) S]Z Èqr,-?{-x }LE>ŒŠ,- >#6%7Ðb¼½: =7 Åbæ NOVÐb¼½[>\Èqr,-?{-x }LE S]jk ^Z OV Òbe=7&S]IH Cåy #: =7gh~eV 10/18 4 多自由度系の振動 (1)( 第 2 章 ) {-x }KU>: >Ðb¼½e=7è½:éçVÒb[&Ä {-x }KU:êÈ,ÍÎG7hO~eV 10/25 5 多自由度系の振動 (2)( 第 2 章 ) qr,-: LNOec#>ŒŠ,- ŒŠŽ" : OxE#6%7âVÐb¼½[\Œ Š,- ŒŠŽ" ëì(1)^z OV Òbe=7[&S]Zb=u qr?œš,- ëìe:,íîg7ho~ev 11/1 6 多自由度系の振動 (3)( 第 2 章 ).,-e ƒ gf -í,î#6%7âvðb¼½[\œš,- ŒŠŽ" ëì(2)^z OV 11/8 7 回転機械の力学 (1)( 第 3 章 ) µ # nno¼½#6%7yw>wþjk#6%7ywov Ðb¼½[WÞ#ïðˆ Åbe=7\ µñ e µ ƒ ^Z OV Òbe=7[&åy òþ:õ ZhO~eV
11/15 8 小テストおよび解説 質疑応答 機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 2/42 öó ÀZjk#6%7ôIH ó Æ :Pø=>ùúØ#IH jk#6%7lû:é çvü³7>ý¼:mfþfov 11/22 9 回転機械の力学 (2)( 第 3 章 ) ÿ Sˆ%ÙÚe OÙÚ ŸÀ Í: Oec#> ŸÀ Íe ñ & µ- @03è½:LhV 11/29 10 往復機械の動力学 (1)( 第 4 章 ) ¹¹# nno¼½#6%7yw>wþjk#6%7ywov Ðb¼½[WÞ#ïðˆ Åbe=7\{-x }e{-^z OV 12/6 11 往復機械の動力学 (2)( 第 4 章 ) H ¹º¹º»{-> nnos>6í %03>#6%7âV Òbe=7[&å y òþ:õ ZhO~eV Ðb¼½[WÞ#ïðˆ Åbe=7\ÚUÆ^Z OV 12/13 12 無限自由度系 ( 連続弾性体 ) の振動 (1)( 第 5 章 ) pqr?e«qr?%>,-,-gf Í,-{-x }KU> #6%7âVÒbe=7[&åy òþ:õ ZhO~eV Ðb¼½[WÞ#ïðˆ Åbe=7\Æ3ë^Z OV 12/20 13 無限自由度系 ( 連続弾性体 ) の振動 (2)( 第 5 章 ),-,-gf Í,-{-x }¾ ŒŠ,- ŒŠŽ" : OxE# 6%7âV Òbe=7[&åy òþ:õ ZhO~eV 1/10 14 無限自由度系 ( 連続弾性体 ) の振動 (3)( 第 5 章 ) [Í,-{-x }KUgF ŒŠ,- ŒŠŽ" : OxE#6%7âV Ò be=7[&åy òþ:õ ZhO~eV 1/17 15 全体のまとめ 質疑応答 WXY+# OÀe gf ý ÔÕ:0fOV ž{ WXYZ[> ` };Ý (eåy : =7XY:éçVãÄ#;Ý (: \dotcampus^¾ Ìq ¹" =>=>à XY# å=7û çv ;Ý (e! Û :Hº"¹#"=>$ :=ˆo XY:& OV XY'(>«ˆì*Í[+VXY'# H-".¹ˆ Z/"0:16ˆ #2ýˆ# [4%ste=ˆ%V 4%xE ö6 #PøÒÓôIH 30%>7),370%>Z4%NOVì;58[4%st e=ˆ%o>xy:> Ñ?9;=u [4%ste=ˆ%V A:<HD=" W@#FÔ>23 àg 510 HÛ=h[ 502 H#7mfþfOVÀu/"0 toru@kanagawa-u.ac.jp ZÛmfþfOVˆg>XYØ>XYH#7ÛmfþfOV I@BCES*JK[PLM] dotcampus òxyö :N0"# O pdf :OÊ0:Ìq ¹" ==uû: NO dotcampus UQoWŸOÙÚ#[à Æ[;ÝÒÓ VÀu&Ñ ¾ Ûpdf : ¹" Z `Olhttp://www.mech.kanagawa-u.ac.jp/lab/yamazaki_lab/ylab_lecture.html \SX^l
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 3/42 第 0 章ガイダンス / 全体像と準備 1 シラバスの確認 2 改めて考えてみよう Q1: 工学とは? Q2: 力学とは? Q3: 静力学 動力学とは? Q4: 機械力学とは? Q5: 振動とは? 3 確認以下の振動系の運動方程式を立てよ. (1) (2) x 1 m 1 k 1 k m k k k (3) (4) x 2 m 2 x 1 k 2 θ m 1 k 1 答え (1) (3) (2) (4) sin 4 本講義
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 4/42 機械力学 II の POINTS 2. 多自由度系の振動 GOAL: (1) 固有振動数と固有モードを求められる (2) 周波数応答関数を想像できる 3. 回転機械の力学 機械工学実験 回転軸の危険速度 と対応 GOAL: (1) ふれまわり, 危険速度を知る (2) 機械の動的設計を知る ( 機械力学 I の内容をどのように用いるか ) 4. 往復機械の動力学 GOAL: (1) 機械の動的設計を知る ( これまでに学んだ事をどのように設計に用いるか ) 5. 無限自由度系 ( 連続弾性体 ) の振動 GOAL: (1) 連続体の捉え方を知る ( 多自由度系とのアプローチの違い ) (2) 固有振動数と固有モードを求められる. 各章の対象物イメージ 第 2 章第 3 章第 4 章 x 2 y m 2 x 1 m 1 k 2 k 1 R S a TVm G M 0 l e r ω R S z 第 5 章
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 5/42 第 1 章一自由度系の振動 = 機械力学 I の復習 機械実験 一自由度の振動 と対応 (1) 基本事項 運動方程式の作成 (1) 並進運動の場合 (2) 回転運動の場合 k m k k θ k 運動方程式の解法 1)5ɺɺ x+ 6x= 0 の自由振動解 ( 一般解 ) 2)5x+ 6x= 0 0 1 x ɺ 0 = 0の下での自由振動解 ɺɺ, 初期条件 x ( ) =, ( ) 3) ɺɺ x+ 2xɺ + 3x= 0 の自由振動解 ( 一般解 ) 4) x+ 2x+ 3x= 0 0 0m x ɺ 0 = 2m/s の下での自由振動解 ɺɺ ɺ, 初期条件 x ( ) =, ( ) 5) ɺɺ x+ 3xɺ + 12x= 5sin2t の強制振動解 ( 特解 ) (2) 自由振動と固有振動数 (3) 強制振動と周波数応答関数 共振, 減衰比 エンジニアとして hijk lmno pqr ^_m Y 振幅 / 力 }uxw~ \]c Z[k `abcde fg stuvw xwyz{ 振動数 Q: 質量 m の振動を小さくするための方策は?
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 6/42 ƒ ƒ ˆ Š Œ Ž š Œ œ žÿ. 問題 1: 以下の振動系の運動方程式を作成せよ. (1) (2) m k k c c m (3) (4) k 1 m k 2 k m k k k (5) x 2 k m 2 k c k x 1 m 1 Ans. (1)mx ɺɺ= cxɺ kx (2) mx ɺɺ= cxɺ kx (3) mx ɺɺ = kx 1 k2x (4) mx ɺɺ = 5 2x (5) 問題 2: 以下の運動方程式を解け. 1) 5ɺɺ x+ 6x= 0 の自由振動解 ( 一般解 ) 2) 5x+ 6x= 0 0 1 x ɺ 0 = 0の下での自由振動解 ɺɺ, 初期条件 x ( ) =, ( ) 3) ɺɺ x+ 2xɺ + 3x= 0 の自由振動解 ( 一般解 ) 4) x+ 2x+ 3x= 0 0 0m x ɺ 0 = 2m/s の下での自由振動解 ɺɺ ɺ, 初期条件 x ( ) =, ( ) 5) ɺɺ x+ 3xɺ + 12x= 5sin2t の強制振動解 ( 特解 ) Ans. (1)(2) x cos 65t t ( ) ( ) t Ce t = cos 2t+ D orce sin 2t+ D (4) x e sin 2t t = (3) x= e ( B1cos 2t+ B2sin 2t) = (5) x 0.5sin( 2t θ) = +.
第 2 章多自由度系の振動の全て 機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 7/42 例として, 二自由度系を考える. (1) 自由振動と固有振動数, 固有モード x 2 1 自由体図を書いて, 運動方程式を作成する. m 2 x 1 k 2 2 調和振動を仮定し, 自由振動解 ( 試し解 ) をおく. m 1 3 これらを運動方程式に代入, 整理し, k 1 固有振動数, 固有モードを求める. 到達目標 問題 1:m1= m2= m,k1= k2= k3= k のときの固有振動数と固有モードを求めよ. 問題 2:m1= m2= m3= m,k1= k2= k3= k のときの固有振動数と固有モードを求めよ. x 3 x 2 k 3 m 3 m 2 x 2 k 3 m 2 x 1 k 2 x 1 k 2 m 1 m 1 k 1 k 1
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 8/42 (2) 強制振動と周波数応答関数 周波数応答関数 ( x1/f と x2/f ) x 2 x2/f m 2 x 1 k 2 fsinωt ω m 1 x1/f k 1 ω (3) 動吸振器 x 2 m 2 x 1 k 2 x 1 m 1 m 1 k 1 k 1 一定の周期で励振される機械にのみ有効 少しでも設計がずれる, 状況が変わると, 効果は急減 形状記憶合金などを用いたものなどがある
9/42
10/42
11/42
12/42
13/42
演習 機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 14/42 問題 1: 以下の振動系の運動方程式を作成せよ. (1) (2) x 3 (3) x 2 k 3 m 3 m 2 x 2 k 3 x 1 m 1 k 2 k 1 x 1 m 2 m 1 k 2 k 1 Ans. (1) (3) (2)
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 15/42 問題 2:m1= m2= m3= m,k1= k2= k3= k のときの固有振動数と固有モードを求めよ. (1) (2) x 2 k 3 x 2 m 2 m 2 x 1 k 2 x 1 m 1 k 2 m 1 k 1 k 1 Ans. (1) ω1 = k m, ω2 = 3 k m, A1 B1 = 1, A2 B2 = 1 (2) ω1 = ( ) k m ω2 = ( + ) k m A1 B1 = ( + ) A2 B2 = ( ) 3 5 2, 3 5 2, 1 5 2, 1 5 2
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 16/42 第 3 章回転機械の力学の全て 参考書 : 第 5 章を読むこと
17/42
18/42
19/42
20/42
21/42
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 22/42 動的設計の問題 ª«±²³ µ ¹º»¼½ ¾ ÀÁÂÃijÅÆÇµÈ ÉÇÊË µ È Ì ¾ºÍÁÎϲÐÇÑÒ ÓÔÕ ÑÖ ØÇÊ µèùúì ¾ÎÏÛºÍÜÅݳÞßÁ àáõúâøãúäåæç èéêë¹ìºíîïçðñ òó ôõ²³çêý³þßá ö ²ÙÎÏÛºÍÜÅøðÇÊ ùë Úµúdû0.03mÚµü檫ýþélû0.4mÚµÿ8 E=2.06a10 11 N/mÚ»¼ c mû12kg ÉÇÕÅÚ òæº Øð²ÆÊ ÕÚª«±¹ðñ ÙðÆ ÕÅ ØÅÍÆ ÇÊ (1) µè ôrω n[rad/s]îïûn[rpm] ù³³rsíê (2) tc e ÉÇ Úµ ÎÏÛ N[rpm]ºÍÜŵ ݳÞßÁcæé r ñ ͺðÇ ïú r /e rsçû ð²æêþ Ú Û ÆÅÚµ ÎÏÛNÚµ r /e Õ dû Û ð²æê (3) (2) Æ dû ÛïÄÚÎÏÛ 2500rpmÚtc 1.5a10-5 m ÉÇ ÚÝ³Þ ßÁ ö ² rsð²æê (4) (3) ù³³ ª«º ßÇ! rsð²æê
23/42
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 24/42 第 4 章往復機械の動力学の全て 参考書 : 第 6 章を読むこと
25/42
26/42
27/42
28/42
29/42
30/42
31/42
32/42
33/42
一次慣性力 X A1 を打ち消すことを考える. 機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 34/42
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 35/42 第 5 章無限自由度系 ( 連続弾性体 ) の振動の全て 参考書 : 第 8 章
36/42
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 37/42 + =
38/42
39/42
40/42
41/42
機械力学 Ⅱ( 山崎 ) 42/42 END