Transcription

1 ディプロマプログラム (DP) 数学スタディーズSL グラフ電卓教師用参考資料 2006 年第 1 回試験

2

3 ディプロマプログラム (DP) 数学スタディーズSL グラフ電卓教師用参考資料 2006 年第 1 回試験

4 ディプロマプログラム (DP) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 2005 年 5 月に発行の英文原本 Mathematical studies SL (graphic display calculators) teacher support material の日本語版 2015 年 12 月発行 本資料の翻訳 刊行にあたり 文部科学省より多大なご支援をいただいたことに感謝いたします 注 : 本資料に記載されている内容は 英文原本の発行時の情報に基づいています International Baccalaureate Organization 15 Route des Morillons, 1218 Le Grand-Saconnex, Geneva, Switzerland International Baccalaureate Organization (UK) Ltd Peterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate Cardiff, Wales CF23 8GL, United Kingdom International Baccalaureate Organization sales@ibo.org International Baccalaureate Baccalauréat International Bachillerato Internacional International Baccalaureate Organization

5

6 IB mission statement

7 3

8

9 目次 数学スタディーズ SL( グラフ電卓 ) 教師用参考資料 1 はじめに 1 セクションA: カシオ 9850 GB+ 2 主な機能 2 数学スタディーズSLにおける主な機能の使用例 8 過去に出題された試験問題での使用例 20 セクションB: テキサス インスツルメンツ TI 主な機能 29 数学スタディーズSLにおける主な機能の使用例 35 過去に出題された試験問題での使用例 53 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 ix

10

11 数学スタディーズ SL( グラフ電卓 ) 教師用参考資料 はじめに 本資料は 教師および生徒を対象としたグラフ電卓使用の手引きです 利用可能なグラフ電卓の種類は多岐にわたりますが 本資料で取り上げるのはカシオ 9850 GB+ とテキサス インスツルメンツ TI-83+ の2 機種です 本資料では 各機種の主な機能の説明に重点が置かれています 過去に出題された試験問題や具体的な使用例に触れながら 主な機能にはどのようなものがあるのかを紹介していきます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 1

12 セクション A: カシオ 9850 GB+ 主な機能 実行モード [SET UP] を押します 本機は常に Deg モードに設定されている必要があります 関数式の解析を行う場合は [Derivative] を On にする必要があります [Fix] を使用すると 小数点以下の数字の桁数を設定できます [Sci] は scientific の略で 標準的な記数法を用いる場合に使用します 生徒は この記数法による表記を数学の表記に書き換えることができなければなりません グラフモード / セットアップ [Draw Type] では グラフを連続関数として描画するか 複数の点として描画するかを選択できます グラフは 個別に描くことも 複数を同時に描くこともできます グラフの描画と数表の表示を同時に行うためには [Dual Screen] を On にする必要があります 2 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

13 主な機能 [Dual Screen] が On の場合 [G-T] を選択すると画面が縦に2 分割され 左側にグラフ 右側に数表が表示されます [F6] を押すと [y =] に入力された関数式のグラフが描画されます [View Window] では 必要な定義域および値域 (x の値および y の値 ) をユーザーが入力します 多くの関数に対しては 最初は [STD]( 標準化 ) を使用することが推奨されます 周期関数には [TRIG] を使用します [Zoom] を押します [Trace] を押すと グラフに沿ってポインターを移動することができます [G-SOLV] を押すと 数値を算出することができます [G-SOLV] の使い方 x 切片を求める場合は ポインターを交点の左側に置いて [EXE] を押した後 ポインターを交点の右側に置いて [EXE] を押します 再度 [EXE] を押すと0が表示されます [MAX] は極大点を算出する際に使用し ( 上記の零点と同様に表示されます ) [MIN] は極小点を算出する際に使用します ( 上記の零点と同様に表示されます ) y 切片を求める場合は [ISCT] を使用して2つの曲線が交わる点を算出します [X-CAL] および [Y-CAL] を使用すると 個々の座標値が算出されます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 3

14 主な機能 テーブルモード [F6] を押すと [y =] に入力された関数式の値の数表が表示されます [RANG] を使用すると 必要な定義域 (x の値 ) を入力することができます 画面上に直接 x の値を入力すると 対応する y の値が求められます [Dual Screen] を T+G に変更すると 数表とグラフを同時に表示できます 方程式計算モード 代数方程式には [Solver] を使用します 二次方程式および三次方程式の係数を入力する場合は [Polynomial] を使用します 一次連立方程式の係数を入力する場合は [Simultaneous] を使用します 4 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

15 主な機能 漸化式モード [Recur] では 数列の項や級数の和を求めることができます 行列モード [Matrix] では カイ二乗解析を実行できます カイ二乗計算に用いる分割表の値を入力し [STAT][ TEST] の順に選択します [STAT] モードでカイ二乗検定が実行されると リストの末尾 ([Mat Ans]) に期待度数 が表示されます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 5

16 主な機能 統計モード [GRPH] を選択すると グラフのタイプとデータのソースを設定できます [HiSt] を選択するとヒストグラム [Box] を選択すると箱ひげ図を表示できます 1 変数の代表値 [CALC] を使用すると 1 変数のさまざまな代表値を計算できます 2 変数の統計量 最小二乗回帰 回帰と相関 カイ二乗検定を行う場合は データを行列として入力します 6 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

17 主な機能 [DIST][ NORM] の順に選択すると 正規分布に関する計算を実行できます TVM [F1] を押すと 単利計算を行うことができます [F2] を押すと 複利計算を行うことができます [PV] には負の値を入力します [n]= 全支払い回数 [I%]= 年利 [PV]= 現在の値 資金の支出 ( 投資 ) を表す場合は負の値とする [PMT]= 支払い額 [FV]= 将来の値 [P/Y]= 年間の支払い回数 [C/Y]= 年間の複利回数 複利計算に関する問題 複利計算に関する問題を解く場合は 支払いを考慮する必要がないため [PMT] には 0( ゼロ ) を設定します また [C/Y] には年間の複利回数として正しい値を設定する必要があります (18 ~ 19 ページに記載されている金融数学での使用例を参照 ) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 7

18 セクション A: カシオ 9850 GB+ 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 科学モード 実行モードで選択できます 画面をセットアップしてください 問題 を計算し その答えを a 10 k (1 a < 10, k ) という形で書きなさい 生徒は E+02 が 10 2 を表すということを理解していると同時に 正しい数学的表記を用いて答えを書き記すことが求められます 問題の中で小数第 2 位まで正確な値を求めるよう指定されている場合であれば 答えは以下のようになります ( ) = 等差数列 / 等比数列 問題初項が 8 公差が 7 の等差数列を考えます (a) 第 20 項を求めなさい (b) 第 15 項までの和を求めなさい 漸化式 8 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

19 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 (a) U 20 = 8 + (19 7) = 141 (b) S 15 = 15/2 ( ) = 855 与えられた数字に等しい項を求める問題では [Solver] を使用することができます 例として 初項が 3 公比が 8 の等比数列において 初めて 200 を超える項を求めてみます [Equation] で [Solver] を選択します AR (n-1) = 200 の A および R に対応する値を入力し [EXE] を押します 3 8 (n 1) > 200 n = 4 二次方程式の解 [Equation] で [Polynomial] を選択します [Degree] に 2 と入力します 問題 方程式 2x 2 + 5x 3 = 0 を x について解きなさい [GRAPH] を使用することもできます Y= 2x 2 + 5x 3 と入力します [View Window] を確認します 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 9

20 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 [DRAW] を選択します [G-SOLV] を選択し さらに [ROOT] を選択します [Trace] を使うと もう 1 つの根を求めることができる 生徒は 解を書き出す際 その導出過程を省いても構いません 何らかの過程を示す必 要がある場合は 問題の中で最初に関数式を因数分解するよう求められます 二次関数の頂点 問題 関数 y = x 2 5x 6 の頂点を求めなさい [G-SOLV] を選択し さらに [MIN] を選択します 生徒の解答には 出題の意図に応じて少なくとも2 通りの解法が考えられます 頂点が対称軸上にあることを理解しているかを問う問題であれば x = ( b/2a) = 2.5 (5/2), y = 微分を要求する問題であれば 停留値では dy/dx = 2x 5 = 0 よって x = 5/2, y = 解法の指定がない場合は どちらの解法も認められます 10 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

21 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 2 曲線の交点 曲線のグラフを描き 交点を解にもつ関数を使用します 問題 以下の関数のグラフの交点を求めなさい y = 2/(x 1) y = 2x 1 生徒は 以下のように解答すれば十分です 2/(x 1) = 2x 1 x = および 1.78 指数関数の方程式 [GRAPH] から Y 1 = a^x と入力します [GRAPH] から Y 2 = b と入力します 前述した交点を解にもつ関数を使用するか [Solver] を使用します 問題 上記の式で a = 2 b = 3 とするとき それらを等号で結んだ方程式を満たす x の値を求 めなさい 2 x = 3 x = 1.58( 導出過程を記す必要はない ) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 11

22 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 連立方程式 [Equation] で [Simultaneous] を選択します 問題 連立方程式 2x + 3y = 7 x 4y = 20 を解きなさい 連立方程式を y = (7 2x)/3 y = (20 x)/ 4 と変形し それらのグラフを描いて 交点を求めるという解法を用いることもできます 生徒は2つの方程式をどちらも書き出した上で それらの解 x および y を求める必要があります x = 8, y = 3 真理値表 真 に対応する値 1 と 偽 に対応する値 0 を使って p および q の真理 値表に値を入力します 問題 p q の真理値表を完成させなさい [List] の見出しにポインターを合わせます [OPTN] を選択します [F1]( LIST) [ F6]( LOGIC) の順に押します 12 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

23 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 生徒は グラフ電卓を使って最終的な答えが得られた場合でも その導出過程をすべて 明示する必要があります [Solver] による余弦定理の公式の利用 問題 三角形 XYZ において XZ = 8.7cm YZ = 9.3cm 角 XZY = 33 であるとします 辺 XY の長さを求めなさい X 8.7 Y Z 9.3 [Equation] で [Solver] を選択します [ALPHA] を押すと [A =] が表示されます 代わりに [X =] を使用することもできます 生徒は以下のように 対応する値を余弦定理の公式に代入し それによって得られた答えを書き記す必要があります Z 2 = cos (33 ) Z = 5.14 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 13

24 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 行列 ここで説明する機能が必要となるのは カイ二乗検定で実測データを入力する場合に限ら れます セットアップの手順については 5 ページの 行列モード を参照してください 問題 2 3 の分割表に値を入力し カイ二乗検定を実行しなさい 行列を利用するため [Matrix] から [STAT][ TEST] の順に選択します 期待度数 別種の問題が出題されない限り カイ二乗に関するこの値 自由度 および期待度数は すべてグラフ電卓で算出することが可能です ただし生徒は 公式とその使い方に習熟している必要があります 統計 このオプションを使用すると リストにデータを入力できるほか リストの内容を昇順や降順に並べ替えることができます また 公式を用いて新たなリストを生成することもできます [Option] を選択します [GRPH] を使用すると種類を選択できます [CALC] を使用するとさまざまな統計量を算出できます [TEST] を使用するとカイ二乗検定や t 検定を実行できます 14 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

25 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 問題 [CALC] を使用して 以下のデータ群の平均値 中央値 標準偏差などを求めなさい 12, 15, 19, 21, 25, 25, 26, 28, 34, 35 データがグループ化されている場合 各グループの階級値を用いると 平均値や標準偏差はほぼ正しい値が得られますが 四分位数は正確な値が得られません 生徒は グラフ電卓で算出した平均値や標準偏差を書き出す際その導出過程を省いても構いませんが データの入力は正確に行うよう注意する必要があります グラフ電卓で算出した答えが誤っている場合 その導出過程が明示されていないと 得点は与えられません [GRAPH] を選択して データの形状を表示します [Trace] を使用して 5 数要約を表示します [REG] を選択し さらに [2] を選択して 変数の解析を行います [Correlation] を選択し さらに [Regression] を選択します 12, 15, 19, 21, 25, 25, 26, 28, 34, , 210, 176, 162, 145, 190, 230, 197, 285, 246 生徒はデータが得られたら 相関係数 r および回帰直線の方程式をグラフ電卓から直接書き出すことができなければなりません ただし生徒は それらの公式とその使い方に習熟している必要があります 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 15

26 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 [Frequency Table]:[ List 1] には数値 [List 2] には度数が表示されます [Cumulative Frequency]:[ List 3] には累積和が表示されます ([Cuml]) [ List 2] を 選択し さらに [OPTN] を選択します 階級の上限値を使用します 微分 積分 [SET UP] を押します [Derivative] は On にする必要があります 曲線上の任意の点における y および dy/dx の値を算出する 曲線 y = x のグラフを描く場合は グラフモードで [Trace] を使用するか 数表に直接 x の値を入力します dy/dx = 2x x = 2 のとき dy/dx = 4 16 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

27 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 接線の方程式 問題 曲線 y = x の点 (1, 4) における接線の方程式を求めなさい dy/dx = 2x x = 1 のとき dy/dx = 2 (=m) y = 2x + c 4 = c c = 2 方程式は y = 2x + 2 極大点 / 極小点を求める 問題 曲線 y = x 3 5x 2 + 2x + 8 のグラフの極大点および極小点を求めなさい [Y1 =] に式を入力し グラフを描画します [G-SOLV] を選択し さらに [MIN] を選択します 極大点についても同様に操作を行います 停留値では dy/dx = 3x 2 10x + 2 = 0 生徒はこの後 プログラムやソルブ計算機能を使用したり グラフを描いたり 二次方程式の解の公式を用いたりして この二次方程式を解く必要があります 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 17

28 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 x = 3.12 または 導かれた式を [Y2] に入力し [CALC] または [Table] を選択すれば y の値を求めることができます 金融数学 問題ボブは 600 ユーロを年 2.75% の複利で銀行に預金しました (a) ボブの預金額は 4 年後にいくらになっているか計算しなさい (b) 預金額が2 倍になるのは何年後か計算しなさい (a) 600( /100) 4 = (b) 600( /100) n = 1200 n = 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

29 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 問題 アンは 600 ユーロを1 年複利で別の銀行に預金しました アンの預金額が2 倍になるのは 20 年後です アンの預金の利率を求めなさい 600(1 + r/100) 20 = 1200 r = 3.53% 問題年度初めに 1100 ドルを年利 12% の月複利で銀行に預金しました 年度末には預金額はいくらになっているでしょうか 1100(1 + 12/1200) 12 = 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 19

30 セクション A: カシオ 9850 GB+ 過去に出題された試験問題での使用例 試験問題 1 第 4 問 問題ボブは 600 ユーロを年 2.75% の複利で銀行に預金しました (a) ボブの預金額は 4 年後にいくらになっているか計算しなさい (b) 預金額が2 倍になるのは何年後か計算しなさい アンは 600 ユーロを1 年複利で別の銀行に預金しました アンの預金額が2 倍になるのは 20 年後です (c) アンの預金の利率を求めなさい 生徒は CALC モードから [TABLE] または [TVM] を選択する必要があります (a) Y1 = 600( /100) x と入力します 600( /100) 4 = (b) y の値として 1200 が現れるまで数表を下にスクロールします 20 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

31 過去に出題された試験問題での使用例 最初の値が 25.6 であることから 答えは 26 年です 600( /100) n = 1200 n = 26 (c) 数表を使用しても答えを見つけることはできません ここでは [TVM] を使用し ます 600(1 + r/100) 20 = 1200 r = 3.53% 試験問題 1 第 11 問 x (a) y = 2 + x ( 10 x 10) の大まかなグラフを描きなさい (b) 前問の結果を用いて 水平漸近線および垂直漸近線の方程式を書き出しなさい (a) (b) 垂直漸近線を求める方法として 生徒はグラフに対するトレース機能を使用できるほか 数表を使用することもできます (y の値が ERROR となっている場所がある場合 それに対応する x の値が垂直漸近線の位置を表します ) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 21

32 過去に出題された試験問題での使用例 垂直漸近線の方程式は x = 2 水平漸近線を求める場合は 極端に大きな x の値または極端に小さな x の値について曲線をトレースするか 極端に大きな x の値を数表に入力する必要があります 水平漸近線の方程式は y = 1 試験問題 2 第 1 問 (a) 曲線 y = x 2 と y = 3 1 の大まかなグラフを同じ座標系上に描きなさい ただ x し 0 x 4 0 y 4 とし 両軸には目盛りを書き入れなさい (b) この2つの曲線の交点を求めなさい (c) (i) 曲線 y = 3 1 の各点 x における傾きを求めなさい x (ii) 点 (1, 2) におけるこの傾きの値を求めなさい (d) 曲線 y = 3 1 の点 (1, 2) における接線の方程式を求めなさい x 22 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

33 過去に出題された試験問題での使用例 (a) 生徒は目盛りを追加する必要があります (b) (c) (i) dy/dx = 1/x 2 (ii) dy/dx = 1/1 = 1 この値はグラフ電卓で求めることもできます (d) y = mx + c y = 1x + c 2 = c c = 1 y = x + 1 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 23

34 過去に出題された試験問題での使用例 試験問題 2 第 3 問 以下の図は 2 x 5 における関数 y = x 2 および y = 2 x のグラフを示したもので す B C および D は 2 つの曲線の交点です y C B D A x (a) 点 Aの座標を書き出しなさい (b) 点 BおよびCの座標を書き出しなさい (c) 点 Dの x 座標を求めなさい (d) 2 x x 2 となる x の値の範囲をすべて書き出しなさい ただし x の値の範囲は区間として表記すること (a) x = 0 のとき y = 1 だから Aの座標は (0, 1) 24 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

35 過去に出題された試験問題での使用例 (b) Bの座標は (2, 4) Cの座標は (4, 16) (c) Dの x 座標は (d) 生徒は グラフと交点から 2 x 4 および x のときに 2 x x 2 が成り立つと判断できなければなりません 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 25

36 過去に出題された試験問題での使用例 試験問題 2 第 4 問 サーカスのピエロが伸縮するロープにぶら下がりながら左右に大きく揺れています その動きを生徒が調べることになりました 生徒が調べた結果 ピエロの動きは関数 f(x) = (0.8 x )(5sin100x) のグラフで表されることがわかりました ただし x は水平方向の移動距離を表します ( 単位はメートル ) (a) 0 x 10 および 3 f(x) 5 の範囲における f(x) の大まかなグラフを描きなさい (b) 最初の極大点の座標を求めなさい (c) この曲線が x 軸を横切る点のうちいずれか1つの座標を求めなさい もう1 人のピエロが大砲から発射され 下の表に示した点を通過しました 水平方向の移動距離 (x) 垂直方向の移動距離 (y) (d) 相関係数 r を求め r の値についてコメントしなさい (e) y の x に対する回帰直線の方程式を書き出しなさい (f) 小問 (a) で描いたf(x) のグラフの上にこの直線の大まかなグラフを重ねて描きなさい (g) この直線が曲線を横切る点のうちいずれか1つの座標を求めなさい (a) 生徒は大まかなグラフに目盛りを追加する必要があります (b) [G-SOLV] を選択し さらに [MAX] を選択します 26 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

37 過去に出題された試験問題での使用例 最初の極大点は (0.827, 4.12) (c) (1.8, 0) (d) r = 1 したがって完全な正の相関 (e) 回帰直線の方程式は y = 3x または y = 3x 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 27

38 過去に出題された試験問題での使用例 (f) 生徒は大まかなグラフに目盛りを追加する必要があります (g) 交点の1つは (1.16, 3.48) 28 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

39 セクション B: テキサス インスツルメンツ TI-83+ 主な機能 実行モード [SET UP] または [MODE] を押します [Sci( 科学 )] は 標準的な記数法を用いる場合に使用します 生徒は この記数法による表記を数学の表記に書き換えることができなければなりません [Float] では 小数点以下の数字の桁数を設定できます 生徒は 本機が [Degree] モードになっていることを確認する必要があります 生徒は 本機が [Func] モードになっていることを確認する必要があります [Connected] を選択すると グラフが連続関数として描画されます グラフが複数の点として描画されるよう選択することも可能です [Sequential] を選択すると グラフが個別に描画されます 複数のグラフが同時に描画されるよう選択することも可能です [Real] は 数学スタディーズを履修する生徒向けのモードです [Full] を選択すると 画面全体を使ってグラフが表示されます [Horiz] を選択すると 画面の上半分を使ってグラフが表示されます 生徒は 画面の下半分で計算を行うことができます [G-T] を選択すると画面が縦に2 分割され 左側にグラフ 右側に数表が表示されます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 29

40 主な機能 [WINDOW]: ユーザーはこの画面から 必要な x の値および y の値を入力するこ とができます [ZOOM] [4: ZDecimal] は グラフから垂直漸近線を削除する場合に使用します [6: ZStandard] を選択すると 10 から 10 までの目盛りを追加できます [7: ZTrig] は 三角関数を扱う場合に使用します [0: ZoomFit] を選択すると グラフが画面に合った大きさで表示されます [FORMAT]([2nd][ZOOM]) この画面には 座標軸がオンになっているかどうかなどが表示されます [TRACE] を押すと グラフに沿ってポインターを移動することができます [CALCULATE]([ 2nd][ TRACE]) を使用すると さまざまな計算を実行できます [1: value] を選択すると 与えられた x の値に対応する y の値を計算できます [2: zero] を選択すると x 軸との交点を算出できます ポインターを交点の左側に置いて [ENTER] を押した後 ポインターを交点の右側に置いて [ENTER] を押します 再度 [ENTER] を押すと0が表示されます [3: minimum] を選択すると 極小点を算出できます ( 上記の零点と同様に表示されます ) 30 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

41 主な機能 [4: maximum] を選択すると 極大点を算出できます ( 上記の零点と同様に表示されます ) [5: intersect] を選択すると 2つの曲線の交点を算出できます ポインターを交点の付近に置き [ENTER] を3 回押します [6: dy/dx] を選択すると 入力した x の値における傾きの値が算出されます [7: f (x)dx] を選択すると 入力した2つの x の値を両端とする区間における曲線下の面積が算出されます グラフモード [GRAPH] を押すと [y =] に入力された関数式のグラフが描画されます 数表モード このモードでは [y =] に入力された関数式に関する数表が表示されます [MATH] ビュー [1:] を選択すると 結果を分数として算出できます [2:] を選択すると 結果を小数として算出できます [3:] を選択すると 数値の3 乗を算出できます ( 例えば 10 と入力した後 [MATH][ 3:] の順に選択して [ENTER] を押します ) [4:] を選択すると3 乗根を算出できます [5:] を選択すると任意の累乗根を算出できます [6:] を選択すると最小点の x 座標を算出できます [7:] を選択すると最大点の x 座標を算出できます [8:] を選択すると特定の点における導関数の値を算出できます ( 例えば nderiv ( 関数, x, 値 ) と入力し [ENTER] を押します ) [9:] を選択すると 2つの x の値を両端とする区間における曲線下の面積を算出できます ( 例えば fnint( 関数, x, 上端, 下端 ) と入力し [ENTER] を押します ) [10:] を選択すると 未知変数の解を求めることができます ( 後述の例を参照 ) NUM CPX および PRB は 数学を学習する生徒が使用することはほとんどありません 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 31

42 主な機能 [TEST] ビュー ([2nd][MATH]) [TEST] では 等号 等号否定 不等号などの記号を選択できます [LOGIC] では and 関数 or 関数 xor( 排他的 or) 関数 および not 関数を選択できます ( 真理値表を作成する際に使用できます ) 統計モード [EDIT] ビューには 以下の機能が表示されます -[1: - Edit]( リストに値を入力します ) -[2: - SortA]( リストの内容を昇順に並べ替えます ) -[3: - SortD]( リストの内容を降順に並べ替えます ) -[4: - ClrList]( リストの内容を消去します ) -[5: - SetUpEditor] [CALC] ビューには 以下の機能が表示されます -[1: - 1 Var Stats]( 平均値などの算出に使用します ) -[2: - 2 Var Stats]( 散布図における平均の点や回帰直線を求めるにあたって x および y の平均値および標準偏差が必要な場合に使用します ) -[3: - Med med] -[4: - LinReg(ax+b)] -[5: - QuadReg] など ( これらの機能のうち 数学の学習に使用されるものは ごく一部です ) [TESTS] ビューからアクセスできる機能はさまざまです 数学の学習に最もよく 用いられる機能は [C: x 2 -Test] と [E: LinRegTTest] の 2 つです 32 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

43 主な機能 [LIST]([2nd][STAT]) [NAMES] ビューには [1: List1] などが表示されます [OPS]: -[1: - SortA]( 昇順に並べ替えます ) -[2: - SortD]( 降順に並べ替えます ) -[3: - dim]( 次元を指定します ) -[4: - Fill] -[5: - seq]( 数列を扱う場合に使用します ) --その他 [MATH] ビューでは リスト内の数値の最小値 最大値 平均値などを算出する ことができます ただし数値は Mean({2,3,4,5,6}) などのように手動で入力する必 要があります [DISTR]([2nd][VARS]) [1: normalpdf] [2: normalcdf]( 標準正規分布曲線下の面積を求めます ) [3: invnorm]( z スコアまたは x の値を求めます ) その他 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 33

44 主な機能 金融 [APPS] を押し [Finance][ CALC][ TVM Solver] の順に選択すると 以下のような画 面が表示されます [N:] には全支払い回数を設定します [I%:] には年利を設定します [PV:] には現在の値を設定します 資金の支出 ( 投資 ) を表す場合は負の値を入力します [PMT:] には支払い額を設定します [FV:] には将来の値を設定します [P/Y:] には年間の支払い回数を設定します [C/Y:] には年間の複利回数を設定します 複利計算に関する問題を解く場合は 支払いを考慮する必要がないため [PMT:] には 0 [ P/Y:] には 1 を設定する必要があります (51 ~ 52 ページに記載されている金融数学での使用例を参照 ) 34 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

45 セクション B: テキサス インスツルメンツ TI-83+ 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 科学モード 問題 を計算し その答えを a 10 k (1 a < 10, k ) という形で書きなさい 生徒は E2 が 10 2 を表すということを理解していると同時に 正しい数学的表記を用い て答えを書き記すことが求められます 問題の中で小数第 2 位まで正確な値を求めるよう指定されている場合であれば 答えは 以下のようになります ( ) = 等差数列 / 等比数列 問題初項が 8 公差が 7 の等差数列を考えます (a) 第 20 項を求めなさい (b) 第 15 項までの和を求めなさい 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 35

46 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 (a) [LIST][ OPS][ 5] の順に押します 次に 8 + 7x, x, 0, 19 と入力して [ENTER] を押すと 8 から 141 までの項がすべて表示されます 141 が第 20 項です U 20 = 8 + (19 7) = 141 (b) [LIST][ MATH][ 5][ LIST][ OPS][ 5] の順に押します 次に 8 + 7x, x, 0, 14 と入力して [ENTER] を押すと 855 と表示されます S 15 = 15/2 ( ) = 855 与えられた数字に等しい項を求める問題では SOLVER を使用することができます 例として 初項が 3 公比が 8 の等比数列において 初めて 200 を超える項を求めてみます [MATH] を押して SOLVER を呼び出します データを入力するため上矢印を押し AR(x-1) 200 と入力して[ENTER] を押します A = 3 R = 8 と値を入力し ポインターを X の上に合わせ [ALPHA][ ENTER] の順に押すと X = と表示されます したがって 初めて 200 を超えるのは第 4 項です 36 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

47 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 3 8 (n 1) > 200 n = 4 二次方程式の解 問題 方程式 2x 2 + 5x 3 = 0 を x について解きなさい グラフを描いて解く方法 Y= Y 1 = 2x 2 + 5x 3 Y 2 = 0 ウィンドウを確認し [GRAPH] を押します [2ND][ TRACE][ 5] の順に押し ポインターを交点の近くに置きます [ENTER] を3 回押すと答えが得られます 2つ目の交点についても同様の操作を行います SOLVER を使って解く方法 [MATH] を押して SOLVER を呼び出します データを入力するため上矢印を押し 方程式を入力して [ENTER] を押します [ALPHA][ ENTER] の順に押すと答えが得られます これで一方の交点が得られました もう一方の交点の x の 推測値 を入力し 再度 [ALPHA][ ENTER] の順に押します 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 37

48 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 生徒は 解を書き出す際 その導出過程を省いても構いません 何らかの過程を示す必 要がある場合は 問題の中で最初に関数式を因数分解するよう求められます 二次関数の頂点 問題 関数 y = x 2 5x 6 の頂点を求めなさい [Y =] に関数式を入力します Y1 = x 2 5x 6 と入力します [GRAPH][ 2ND][ TRACE][ 3] の順に押します ポインターを頂点の左側に置き [ ENTER] を押します ポインターを頂点の右側に置き [ENTER] を押します 再度 [ENTER] を押すと座標が得られます 生徒の解答には 出題の意図に応じて少なくとも2 通りの解法が考えられます 頂点が対称軸上にあることを理解しているかを問う問題であれば x = ( b/2a) = 2.5 (5/2); y = 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

49 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 微分を要求する問題であれば 停留値では dy/dx = 2x 5 = 0 よって x = 5/2, y = 解法の指定がない場合は どちらの解法も認められます 2 曲線の交点 曲線のグラフを描き 前述した交点を解にもつ関数を使用します 問題以下の関数のグラフの交点を求めなさい y = 2/(x 1) y = 2x 1 生徒は 以下のように解答すれば十分です 2/(x 1) = 2x 1 x = および 1.78 指数関数の方程式 [Graph] を使用する方法 [Graph]: Y 1 = a^x [Graph]: Y 2 = b ここで 以前にも使用した交点を解にもつ関数を使用します SOLVER を使用する方法 [MATH] を押して SOLVER を呼び出し [ENTER] を押します 上矢印を押し 関数式 A^x B を入力して[ENTER] を押します A および B の値を入力し ポインターを X の上に合わせ [ALPHA][ ENTER] の順に押すと解が得られます A = 2 かつ B = 3 とした場合の上記の関数式を満たす x の値を求めます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 39

50 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 2 x = 3 x = 1.58( 導出過程を記す必要はない ) 連立方程式 行列を用いる方法 問題 連立方程式 2x + 3y = 7 x 4y = 20 を解きなさい [MATRIX][ EDIT][ ENTER][ 2][ ENTER][ 3][ ENTER][ 2][ ENTER][ 3] [ENTER][ 7][ ENTER][ 1][ ENTER][ -4][ ENTER][ 20][ ENTER][ 2nd] [MODE]( QUIT)[ MATRIX][ MATH][ B: rref][ ENTER][ MATRIX][ ENTER] [ENTER] の順に操作します 答えは x = 8 y = 3 となります 連立方程式を y = (7 2x)/3 y = (20 x)/ 4 と変形し それらのグラフを描いて 交点を求めるという解法を用いることもできます 40 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

51 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 生徒は 2 つの方程式をどちらも書き出した上で それらの解 x および y を求める必要が あります 真理値表 真 に対応する値 1 と 偽 に対応する値 0 を使って p および q の真理値表 に値を入力します 問題 (p q) r の真理値表を完成させなさい [List 1] に [ List 2] に [ List 3] に と入力します [Test Logic][ not L1][ Test Logic][ xor][ ENTER][ L2])[ Test Logic][ or][ L3] [ENTER] の順に操作します 代わりに この式を [List 4] に入力するという方法を用いることもできます p q は p q と同値であることに注意してください 生徒は グラフ電卓を使って最終的な答えが得られた場合でも その導出過程をすべて 明示する必要があります 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 41

52 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 SOLVER による余弦定理の公式の利用 問題 三角形 XYZ において XZ = 8.7cm YZ = 9.3cm 角 XZY = 33 であるとします 辺 XY の長さを求めなさい X 8.7 Y Z 9.3 [MATH] を押して SOLVER を呼び出し [ENTER] を押します 上矢印を押し 式 X 2 + Y 2 Z 2 2XYcosA を入力して [ENTER] を押します X Y および A の値を入力し ポインターを Z に合わせ [ALPHA][ ENTER] の順に押すと辺 XY の長さが得られます 角度を求める必要がある場合も操作の手順は同様です 既知の値を入力した上で 目的の角に対応するアルファベットにポインターを合わせます 生徒は以下のように 対応する値を余弦定理の公式に代入し それによって得られた答えを書き記す必要があります Z 2 = cos (33 ) Z = 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

53 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 行列 ここで説明する機能が必要となるのは カイ二乗検定で実測データを入力する場合に限られます [NAMES] には ユーザーが入力した行列のリストが表示されます [MATH] では 判別式 転置行列 次元などを求めることができます [EDIT] では 保存されている情報を変更できるほか 情報を新たに入力すること もできます 2 3 行列を入力する場合は [MATRIX][ EDIT][ 2][ ENTER][ 3][ ENTER] の順に操作した後 各成分の数値を入力します 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 43

54 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 47 ページのカイ二乗に関するセクションに記載されている例も合わせて参照してくだ さい 統計 [EDIT] では リストにデータを入力したり リストの内容を昇順や降順に並べ替 えたりすることができるほか リストの内容を消去することもできます [CALC] では さまざまな統計量を算出できます [TESTS] では さまざまな検定を実行できます [STAT][ EDIT][ ENTER] の順に操作すると リストに値を入力できます 44 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

55 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 [L1] には という数値が表示されています [L2] には という数値が表示されています [L1] が数量 [L2] が度数を表しているとき リスト内の数値の平均値 中央値 標準偏差などを求める場合は [STAT][ CALC][ 1: 1-Var Stats][ ENTER][ 2nd] [1]( L1)[,]( カンマ )[2nd][ 2]( L2)[ ENTER] の順に押します このビューでは下にスクロールすると さらに他の値も表示されます データがグループ化されている場合 各グループの階級値を用いると 平均値や標準偏差はほぼ正しい値が得られますが 四分位数は正確な値が得られません 生徒は グラフ電卓で算出した平均値や標準偏差を書き出す際その導出過程を省いても構いませんが データの入力は正確に行うよう注意する必要があります グラフ電卓で算出した答えが誤っている場合 その導出過程が明示されていないと 得点は与えられません 散布図 ヒストグラム 箱ひげ図 累積度数 [STAT PLOT][ ENTER][ plot1 on][ ENTER] の順に操作した後 表示したいグラフのタイプまで画面を下へスクロールします データが表示されているリストに値を入力し ウィンドウビューの設定を行ったら [GRAPH] を押します 上記のリスト1およびリスト2のデータに関して 次のような散布図が得られます ( 生徒は各自のグラフに目盛りを記入することも必要です ) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 45

56 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 次のような棒グラフが得られます ( 両軸に目盛りが記入されている必要があります ) 次のような箱ひげ図が得られます ( 両軸に目盛りが記入されている必要があります ) [TRACE] キーを押すと 箱ひげ図から主な特性を読みとることができます ( 両軸 に目盛りが記入されている必要があります ) 累積度数表では ポインターを移動して [L3] を反転表示させた後 [LIST][ OPS] [CumSum][ ENTER][ L2][ ENTER] の順に操作すると 累積度数がリスト3に表示されます [StatPlot] を選択し [Type 2 graph] を反転表示させます [xlist] が L1 [ ylist] が L3 となります ウィンドウが適切であることを確認したら [GRAPH] を押します 46 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

57 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 カイ二乗検定 実測データは行列として入力します 例として 実測データを行列 B として入力した場合を考えます [STAT][ TESTS][ C: Χ2 Test][ ENTER] の順に操作します [Observed] に [ B] [Expected] に [C] と入力します( これらの文字は [MATRIX] に移動して入力 します ) ポインターを[Calculate] に合わせ [ENTER] を押すと カイ二乗値お よび自由度が算出されます 期待度数はグラフ電卓により自動的に算出されます 別種の問題が出題されない限り カイ二乗に関するこの値 自由度 および期待度数はすべてグラフ電卓で算出することが可能です ただし生徒は 公式とその使い方に習熟している必要があります 回帰直線 [L1] および [L2]( または他のいずれかのリスト ) にデータを入力します [STAT][ TESTS][ E: LinRegTTest][ ENTER] の順に操作した後 データを入力したリストの名前を入力します ポインターを下に移動して [Calculate] に合わせ [ENTER] を押します 回帰直線と相関係数 r が得られます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 47

58 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 代わりに [STAT][ CALC][ LinReg(ax + b)] の順に操作という方法もあります ただ し この計算を実行する場合は あらかじめ ([CATALOG] から )[DiagnosticOn] を設定 しておく必要があります 生徒はデータが得られたら 相関係数 r および回帰直線の方程式をグラフ電卓から直 接書き出すことができなければなりません ただし生徒は それらの公式とその使い方に習熟している必要があります 微分 積分曲線上の任意の点における y の値を算出する 曲線 y = x を描画して [CALC] の [value] に移動し x の値 x = 2 を入力して [ENTER] を押します この値は [Table] を使用して求めることもできます 48 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

59 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 曲線上の任意の点 X における導関数の値を算出する 曲線 y = x を描画して [CALC] の [dy/dx] に移動し x の値 x = 2 を入力して [ENTER] を押します dy/dx = 2x x = 2 のとき dy/dx = 4 接線の方程式 [Y1 =] に式を入力します [Graph][ ENTER][ DRAW][ 5: Tangent][ ENTER] の順に操作します 接線の方程式を求めたい点の x の値を入力し [ENTER] を押します 接線が描画され その方程式が表示されます 曲線 y = x の点 (1, 4) における接線の方程式を求めます 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 49

60 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 dy/dx = 2x x = 1 のとき dy/dx = 2 (=m) y = 2x + c 4 = c c = 2 方程式は y = 2x + 2 極大点 / 極小点を求める 問題 曲線 y = x 3 5x 2 + 2x + 8 のグラフの極大点および極小点を求めなさい [Y1 =] に式を入力します [Graph][ CALC][ minimum][ ENTER] の順に操作します ポインターを極小点の左側に置き [ENTER] を押します ポインターを極小点の右側に置き再度 [ENTER] を押します 極大点についても同様の操作を行います 停留値では dy/dx = 3x 2 10x + 2 = 0 ( 生徒はこの後 プログラムや SOLVER 機能を使用したり グラフを描いたり 二二次方程式の解の公式を用いたりして この二次方程式を解く必要があります ) x = 3.12 または ( 導かれた式を [Y2] に入力し [CALC] または [Table] を選択すれば y の値を求めることができます ) 50 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

61 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 金融数学 問題ボブは 600 ユーロを年 2.75% の複利で銀行に預金しました (a) ボブの預金額は 4 年後にいくらになっているか計算しなさい (b) 預金額が2 倍になるのは何年後か計算しなさい (a) 600( /100) 4 = (b) 600( /100) n = 1200 n = 26 問題アンは 600 ユーロを1 年複利で別の銀行に預金しました アンの預金額が2 倍になるのは 20 年後です アンの預金の利率を求めなさい 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 51

62 数学スタディーズ SL における主な機能の使用例 600(1 + r/100) 20 = 1200 r = 3.53% 問題 年度初めに 1100 ドルを年利 12% の月複利で銀行に預金しました 年度末には預金額はいくらになっているでしょうか 1100(1 + 12/1200) 12 = 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

63 セクション B: テキサス インスツルメンツ TI-83+ 過去に出題された試験問題での使用例 試験問題 1 第 4 問 問題ボブは 600 ユーロを年 2.75% の複利で銀行に預金しました (a) ボブの預金額は 4 年後にいくらになっているか計算しなさい (b) 預金額が2 倍になるのは何年後か計算しなさい アンは 600 ユーロを1 年複利で別の銀行に預金しました アンの預金額が2 倍になるのは 20 年後です (c) アンの預金の利率を求めなさい 生徒は 電卓モードで数表または [Finance] を使用する必要があります (a) Y1 = 600( /100) x と入力します 600( /100) 4 = (b) y の値として 1200 が現れるまで数表を下にスクロールします 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 53

64 過去に出題された試験問題での使用例 最初の値が 25.6 であることから 答えは 26 年です 600( /100) n = 1200 n = 26 (c) 数表を使用しても答えを見つけることはできません ここでは [Finance] を使用します 600(1 + r/100) 20 = 1200 r = 3.53% 試験問題 1 第 11 問 x (a) y = 2 + x ( 10 x 10) の大まかなグラフを描きなさい (b) 前問の結果を用いて 水平漸近線および垂直漸近線の方程式を書き出しなさい (a) 生徒は 垂直線が描画されてはならないことを認識している必要があり また [Zdecimal] を使用して垂直線を消去する必要があります (b) 垂直漸近線を求める方法として 生徒はグラフに対するトレース機能を使用できるほか 数表を使用することもできます (y の値が ERROR となっている場所がある場合 それに対応する x の値が垂直漸近線の位置を表します ) 54 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

65 過去に出題された試験問題での使用例 垂直漸近線の方程式は x = 2 水平漸近線を求める場合は 極端に大きな x の値または極端に小さな x の値について曲線をトレースする必要があります 水平漸近線の方程式は y = 1 もちろん 教師が生徒に漸近線の計算方法を指導しても構いません 試験問題 2 第 1 問 (a) 曲線 y = x 2 と y = 3 1 の大まかなグラフを同じ座標系上に描きなさい ただ x し 0 x 4 0 y 4 とし 両軸には目盛りを書き入れなさい (b) この2つの曲線の交点を求めなさい (c) (i) 曲線 y = 3 1 の各点 x における傾きを求めなさい x (ii) 点 (1, 2) におけるこの傾きの値を求めなさい (d) 曲線 y = 3 1 の点 (1, 2) における接線の方程式を求めなさい x (a) 生徒は目盛りを追加する必要があります 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 55

66 過去に出題された試験問題での使用例 (b) (c) (i) dy/dx = 1/x 2 (ii) dy/dx = 1/1 = 1 この値はグラフ電卓で求めることもできます (d) y = mx + c y = 1x + c 2 = c c = 1 y = x + 1 生徒はグラフ電卓で確認する必要があります 56 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

67 過去に出題された試験問題での使用例 試験問題 2 第 3 問 以下の図は 2 x 5 における関数 y = x 2 および y = 2 x のグラフを示したもので す B C および D は 2 つの曲線の交点です y C B D A x (a) 点 Aの座標を書き出しなさい (b) 点 BおよびCの座標を書き出しなさい (c) 点 Dの x 座標を求めなさい (d) 2x x 2 となる x の値の範囲をすべて書き出しなさい ただし x の値の範囲は区間として表記すること (a) x = 0 のとき y = 1 だから Aの座標は (0, 1) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 57

68 過去に出題された試験問題での使用例 (b) Bの座標は (2, 4) Cの座標は (4, 16) (c) Dの x 座標は (d) 生徒は グラフと交点から 2 x 4 および x のときに 2 x x 2 が成り立つと判断できなければなりません 58 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

69 過去に出題された試験問題での使用例 試験問題 2 第 4 問 サーカスのピエロが伸縮するロープにぶら下がりながら左右に大きく揺れています その動きを生徒が調べることになりました 生徒が調べた結果 ピエロの動きは関数 f(x) = (0.8 x )(5sin100x) のグラフで表されることがわかりました ただし x は水平方向の移動距離を表します ( 単位はメートル ) (a) 0 x 10 および 3 f(x) 5 の範囲における f(x) の大まかなグラフを描きなさい (b) 最初の極大点の座標を求めなさい (c) この曲線が x 軸を横切る点のうちいずれか1つの座標を求めなさい もう1 人のピエロが大砲から発射され 下の表に示した点を通過しました 水平方向の移動距離 (x) 垂直方向の移動距離 (y) (d) 相関係数 r を求め r の値についてコメントしなさい (e) y の x に対する回帰直線の方程式を書き出しなさい (f) 小問 (a) で描いたf(x) のグラフの上にこの直線の大まかなグラフを重ねて描きなさい (g) この直線が曲線を横切る点のうちいずれか1つの座標を求めなさい (a) 生徒は大まかなグラフに目盛りを追加する必要があります 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 59

70 過去に出題された試験問題での使用例 (b) 最初の極大点は (0.827, 4.12) (c) (1.8, 0) (d) r = 1 したがって完全な正の相関 (e) 回帰直線の方程式は y = 3x または y = 3x 60 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料

71 過去に出題された試験問題での使用例 (f) 生徒は大まかなグラフに目盛りを追加する必要があります (g) 交点の1つは (1.16, 3.48) 数学スタディーズ SL グラフ電卓 教師用参考資料 61