2015－2017年度 ２次数学セレクション（複素数）解答解説

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1 05 次数学セレクション解答解説 [ 筑波大 ] ( + より, 0 となり, + から, ( (,, よって, の描く図形 C は, 点 を中心とし半径が の円である すなわち, 原 点を通る円となる ( は虚数, は正の実数より, である さて, w ( ( とおくと, ( ( ( w ( ( ( ここで, w は純虚数より, は純虚数となる すると, の描く図形 L は, 点 を通り, 点 と点 を結ぶ線分に垂直な直線 ( ¹ であり, C と L は つ の共有点をもつ この 点を P, Q とすると, P, Q は円 C の直径の両端となるので, PQ ( ( としたとき, P Q から, PQ が正三角形になる条件は, PQ より,, ( (, P ( + 0 Q すると, > 0 より, + + ( 現行課程で復活した複素数と図形の問題です 複素数平面上で, 円と直線の表現方法が問われています 電送数学舎 05

2 06 次数学セレクション解答解説 [ 千葉大 ] ( cos isi + に対して, cos + isi となり, ( ( とするとき, 6 ( ( + + ( よって,, は 次方程式 + + 0の解より, i そして, の虚部は の虚部より大きいので, の解は, そして, 5 6,,,,,, より, + i である 5 6 ( ( ( ( ( ( ( 6 5 ( ( より, ( ( ( ( ( ( (* (* に を代入すると, 5 6 (( ( ( ( ( 5 6 の 乗根に関する超有名問題です 解答例に示した図がすべてと言っても構わない内容です 電送数学舎 06

3 06 次数学セレクション解答解説 [ 東北大 ] 6 5 ( + i ( i ( Ci+ Ci + C 5i + i ( P( i i ここで, 6 i 5i + i i i P ( から, 0 6 0,, 5, 5, ( ド モアブルの定理を用いると, P cos ( cos cos {( + i ( i } si i si si { (cos + i si (cos i si } si i { (cos + i si (cos i si } si i si i si (* si i si 6 ( P ( , Q( より, > 0 で, Q( P( さて, のとき cos 0 si >, cos 0 si >, cos 0 si > から, (* を用いて, Q( cos Q( ( cos si P P ( cos si si 0 si si si si cos Q( Q( si P ( cos P ( cos cos Q( Q( si si si P ( cos P ( cos si si si si 0 si si si si 0 si si さらに,,, なので,,, は互いに t t t 異なる よって,,, は 次方程式 Q( 0の異なる つの解となり, 一見, 複素数の難問という構成ですが, 細かな誘導のため, それに従えば最後の結論まで導けるようになっています ただ, いろいろな定理が絡んでいますが 電送数学舎 06

4 06 次数学セレクション解答解説 [ 東京大 ] 点 A (, B(, C( に対し, ABC は鋭角三角形よ り, まず ¹ かつ ¹ かつ ¹ より, ¹ 0, ¹ さて, CAB < から, < g < となり, < g( + <, < g{ ( } < C( すると, は点 を通り実軸に垂直な直線の右側にある 次に, ABC < から, < g < となり, < g( < すると, は虚軸の右側にあるので, は虚軸の左側にある さらに, BCA < から, < g < となり, < g <, < g 0 < + すると, は原点と点 を直径とする円の外部にある 以上より, の存在範囲は右図の網点部となる ただし, 境界線は含まない B( A( 複素数平面についての問題です 鋭角三角形という条件を, 偏角の言葉に翻訳して処理をしました なお, 余弦定理を利用する方法も考えられます 電送数学舎 06

5 06 次数学セレクション解答解説 5 [ 広島大 ] ( + i ( cos + isi なので, 点 は点 を 原点回りに 回転し, 原点との距離 倍した点である すると, 与えられた条件から, + + ( + (* + ( + i + + i + i + i + i + i + ( + i + + i i + i + + i 5+ 5i ( (* より, + ( + i となり, で, k +å k k +å å k k k 0 のときも成立するので, である ( のとき ( 0 より, lim 0 となり, w lim + i i ( ( より, ( i ( ( + i cos + isi + { ( ( } ここで, の実部が w の実部 より大きくなることより, ( cos + ( si >, si cos > 0 すると, si ( > 0となるので, k を 0 以上の整数として, k < ( < (k+, 8k+ < < 8k+ 5 よって, 8k+, 8k +, 8k + である 複素数平面上の点の移動を題材にした頻出問題です 現行課程で復活し, 日も浅いためなのか, 問題文の説明が度を超えた丁寧さです 5 電送数学舎 06

6 06 次数学セレクション解答解説 6 [ 筑波大 ] ( + に対して, 左辺は点 と点 との距離, 右辺は点 と点 との距離を表す これより, を満たす点 の全体は, 点 と点 を結ぶ線分の垂直二等分線, すなわち虚軸となる ( w + ( ¹ 0 より, w + となり, ( w ここで, w とするとは成立しないので, w ¹ で w をに代入すると, + となり, w w w w w w から, w w w w, w w すると, 点 が原点を除いた虚軸上を動くとき, 点 w は点 と点 0 を結ぶ線分の垂直二等分線, すなわち点 を通り実軸に垂直な直線上を動く ただしw ¹ から点 は除く 図示すると, 右図のようになる ( > 0 でw + より, w( + となり, ( w w+ ここで, w とするとは成立しないので, w ¹ で w + 5 w 5をに代入すると, w + w + + となり, w w ( w+ ( + w, ( w+ ( + w w w 両辺を 乗して, ( w+ ( + w より, {( w+ }{( w+ } ( + ww ww( w( w, ww w w 6 6より, ( ( w ( w + となり, ( + w, w + よって, 点 が虚軸上を動くとき, 点 w は中心 で半径 + の円を描く た だし, w ¹ から点 は除く 複素数平面上の変換を問う問題です ( において, まずを変形して, + 0 という関係を導き, この式をもとに (, ( を解くという方法もあります 6 電送数学舎 06

7 0 次数学セレクション解答解説 [ 熊本大 ] ( i, i, s+ ti ( s> 0, t> 0 に対し, 複素数平面上に A (, B(, C( をとる ここで, ACD が正三角形で, 点 D が直線 AC に関して B と反対側にあることより, D( は C( を A ( のまわ りに だけ回転した点となり, ( cos isi + ( B( i+ ( + i { s+ ( t+ i } i+ { s t + ( s+ t+ i } ( s t + ( s+ t i (* ( 与えられた条件 ( + ( ( ( 0より, ( + 0, i ここで, AC は AB を正の向きに回転したものなので, + i となり, + (+ i ( i+ (+ i( i + + ( + i すると, s +, t + となるので, (* から, ( ( + + i + + i ( まず, 平面を対応させて, A (0,, B(,, C(+, +, D( +, とおくと, AC (+, +, BD ( +, + すると, AC と BD のなす角が となり, AC (+ + ( + 5 BD ( + + ( + 5 AC BD (+ ( + + ( + (+ 5 よって, cos 5 である 5 5 D( A( t s C( 複素数平面に関する標準的な問題です ( は慣れ親しんでいる 平面を対応させ, ベクトルの内積を利用しています

8 0 次数学セレクション解答解説 8 [ 東北大 ] ( (* に対して, 共役複素数をとると, (** (* と (** の両辺の差をとると, ( ( + 0 ( は実数なので となり, より, ( ( 0, ( ( すると, から ( ( となり, ( は実数である そこで, k を実数として, ( k とおく (i 0 のとき (* から, となるので, ( + ( + + 0, + ここで, は負の実数なので > 0 となり, + すると, 複素数平面上で, 点 は点 を中心とする半径 の円周上の点 となり, 無数に存在する これより, がちょうど 個あることに反する (ii ¹ 0 のとき から, k k ( となり, (* に代入すると, k + k ( + k ( + 0 k + k( + k( + 0 ここで, ¹ 0 から なので, > 0 より, k k + 0 となり, > 0, k k そして, この値を k k, k ( k < k とおくと,, となる (i(ii より, がちょうど 個あるための必要十分条件は ¹ 0 である 複素数に関する標準的な問題です ( で導いた式が ( へのスムーズな誘導になっています 8

9 0 次数学セレクション解答解説 9 [ 京都大 ] ( w+ + i に対し, w w ( > のとき, を任意の実数として, w (cos + isi より, + i ( cos + isi + { cos( + isi( } となり, + i ( + cos + i( si cos si ( +, ( より cos, より si + なので, ( + ( 5 + よって, 点 (, の軌跡は, 5で表される楕円である ( 0 ( gw < < のとき, を正の実数として, w (cos + isi 6 ( と同様にすると, 6より, + i ( + cos + i( si となり, ( + cos, ( si 8 より + cos, 8より si となり, cos + si 9, cos si 0 すると, 90 より, +, cos si cos si ( ( cos si ここで, > 0 から, +, また は任意の値をとる すると, cos > 0, si > 0 で, から cos, 8から は任意の値をとる 以上より, 点 (, の軌跡は, で表される双曲線である ただし, cos の部分である 複素数と軌跡に関する標準的な問題です なお, ( では に限界があり, 軌跡は双曲線の右の枝になります 9

10 0 次数学セレクション解答解説 0 [ 東京大 ] ( 条件より, ¹ 0 のときw から, ( w ¹ 0 w さて, 点 が点 ( ¹ 0 と原点 を結ぶ線分の垂直二等分線 L 上を動くとき, をに代入すると, w w, w となり, w w w, w, w よって, 点 w の軌跡は, 中心 で半径 の円である ただし, w ¹ 0 より, 原 ( 点は除く の解は, ( ( + + 0より, すると, 条件より, + i,, i である i となる ここで, 点 と点 を結ぶ直線は, ( で として表 すことができるので, 点 が点 と点 を結ぶ線分上を動く とき, +, より, w + ( w ¹ 0 5 より, w となり, w から, w 6 56より, 点 w の軌跡は, 点 を中心とする半径 の円周上で, 原点を中心とする半径 の円の外部または周上の部分となる 図示すると, 右図の太線の弧である ただし, 両端点, は含む w 複素数平面上の変換を題材とした基本的な問題です 直線や円の絶対値による表現方法が問われています 0

11 0 次数学セレクション解答解説 [ 北海道大 ] ( 原点, 点 A (, 点 B( を頂点とする AB について, ¹ 0, ¹ 0, ¹ このとき, 点 P( は AB の外心なので, 辺 A および辺 B の垂直二等分線の交点となり,, ここで, 同様に, をに代入すると, となり, から ¹ 0 より,, をに代入すると, となり, から ¹ 0 より,, 5 5より, 点 A (, 点 B( は, ともに原点と点 を結ぶ線分の垂直二等分線上にある ただし, から ¹ である 以上より, の満たすべき条件は であり, 点 A ( の描く図形は右図の直線である ( ( より, + i, + bi ( ¹ b とおくことができ, ( + i ( + bi ( b + ( + b i ここで, + i とおくと, b, ( + b となり, + b 6, b 6より,, b ( ¹ b は, t についての 次方程式 ( t t+ 0の異なる実数解となり, その条件は, ( >, > ( D 0 よって, 点 P( の存在範囲を図示すると, 右図の網点部 となる ただし, 境界は領域に含まない P( B( A( 複素数と図形に領域が絡んだ問題です ( は共役複素数を用いた形で, + を結論としてもよいでしょう なお,, A, B が一直線上にないということについては, ( の結果から満たしていることがわかります

12 0 次数学セレクション解答解説 [ 東京工大 ] ( f ( + c+ (c は実数 に対して, f ( 0 の解がす べて T 上にある条件は, つの解がともに虚数で, しかも絶対値が ということである そこで, 解を, とおくと, 解と係数の関係から ( となり, は満たされている よって, 求める条件は, 解が虚数すなわち D c < 0から < c < である ( F( + + b + + (, b は実数 に対して, F( 0 の解がすべて T 上にあるとき, つの解はすべて虚数で, しかも絶対値が である これより, 解を,,, とおき, F( の の係数が であることに注意すると, ここで, F( ( ( ( ( { ( + + }{ ( + + }, で, また +, + はともに実数なの で, それぞれ c, c とおくと, F( ( + c+ ( + c+ と表せる ( F( 0 の解がすべて T 上にあるための必要十分条件は, (( から, すると, F( ( + c + ( + c + ( < c <, < c < F( + ( c + c + ( c c + + ( c + c + となり, c + c, cc + b より, c, cは 次方程式 t t+ ( b 0 の つの解となる ここで, の左辺を ( t g とおき変形すると, ( g( t 0の解がともに < t < から, 求める条件は, g( t + bとなり, + b 0, < < 5, g ( + + b> 0 6 g ( + b> 0 b 6 ~をまとめると, b +, < < b>, b> 点 (, b の範囲を図示すると, 右図の網点部となる ただし, 実線の境界線のみ領域に含む 複素数と方程式の標準的な問題です 丁寧な誘導のため, 結論に至る流れはスムーズです T