Title 一次遅れ要素をもつLiénard 形非線形システムの一般化リアプノフ関数 Author(s) 宮城, 隼夫 ; 大城, 健 ; 山下, 勝巳 Citation 琉球大学工学部紀要 (36): Issue Date URL

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しじんくだら
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1 Title 一次遅れ要素をもつLiénard 形非線形システムの一般化リアプノフ関数 Author(s) 宮城, 隼夫 ; 大城, 健 ; 山下, 勝巳 Citation 琉球大学工学部紀要 (36): Issue Date URL Rights

2 琉球大学工学部紀要第 36 号,1988 年 81 - 次遅れ要素をもつ Lienard 形非線形システムの一般化リアプノフ関数, 宮城箙夫 * 大城腱 ** 山下勝巳 * AGeneralizedLyapunovFunctionfbrLi6nard-TypeNonlinear SystemwithFirst-orderLagE1ements HayaoMIYAGrI;TakeshiOHSHIRO**andKatsumiYAMASHITA* Abstract lnthispaper,thedirectmethodoflyapunovisusedtostudythestabiuty ofali6nard-typenonlinearsystemwithfirst-orderlagelements ToestablishtheprocedureforconstructingLyapunovfimction,thesystemisrewrittenbyatransformationThen,astabilitycriterionforthesystem,which introducesanewtypelyapunovfunction,ispresentedwhilethepositive matrixpappearedinthelyapunovfunctionisobtainedbysolvingmatrix equations,thepossibilityofexistenceofpisdiscussedfromthepointofview oftheconditionthelur6-typelyapunovfunctionforthewen-lmow nonlmearfeedbackconttolsystemsexists. KeyWords8Li6nard-typenonlinearsystem, StabiUtyanalysis,Lyapunovfunction 1 はじめに Li6nardの方程式はLRC 回路で表現される電気システムをはじめ, 回転機やベネの機械システムなどその適用範囲が広く, 工学上重要な方程式の一つである非線形システムの安定性解析の手段としてはリアプノプ法が一般的であるが,Li6naJdの方程式で記述されるシステムが独特な非線形性を有するため, 効果的なリアプノフ関数構成法がなく, 多くの場合, 個の2 階の徴分方程式から直観的に得られるシステムのエネルギーがリアプノフ関数として採用されている一方, 発電機システムにおけるガパナの効果などに見られるように, システム内に制御系が存在したり, パラメータの変動がある場合, これらの動作は一次遅れ要素で与えられることがある本論文では, 般近筆者らによって開発されたLi6nard 形システムのリアプノプ関数成法 11.2) を基盤として,- 次遅れ要素で与えられるパラメータ変動を零噸したLi6nard 形非線形システムの一般化リアプノプ関数の構成法について論じる 2. 問題の設定本論で対象とするシステムはFig.1に示されるような- 次遅れ要素を持つLi6nard 形非線形システムであり, 次式で示される y+g(y)y+v+f(y)=0 V=αTz (1) i=-,z+r[y,j] 丁 * 琉球大学工学部電子情報工学科 Dept ofe1ectronicsandlnfomlationengineering1fac,ofeng. ** 琉球大学大学院工学研究科電気情報工学専攻 GraduateStudent,ElectIRicalandlnformatio Engineering.

3 82 一次遅れ要素をもつ Lj6nard 形非線形システムの一般化リアプノフ測放 : 廓城人ルヒ IIl 下ここで, X=AX-d (y) 一 bf(17 UT=[α,,α2,,CYR] ZT=[Z1,α21,Zg =clx j(y)=g(y)c1x (3) D=diag(DlIi=1,2. u R:ux2 の定数行列また,g(yLf<y) は連続な関数であり, 次の性質を満足するものとする 31 (i)g(y)>o かつ g(y) 瞼原点近傍で偶関数の性質を有する (ioy キ O に対し yf(y)>o OiOy 牛 O に対し (y)f(y)>o であり, かつ Iyl のとき (y) ただし,#(y)=jⅡ(yjdy Z Li nard-type nonlinearsystem y,y ただし. ト [: 鰯 )` 薑 [jj b 雪 [: ルー [i] 3. システムの安定性 (3) 式は, もし g(y) が定数なら定数行列 A を用いて AX -d (y)=ax と記述されるので, いわゆる非線形フィードバック制御システムの形式となり,Anderson 氏らによって確立された安定定理が適用されるしかしながら, 本論では g は y の関数としており, この定理を適用することはできないそこで g(y) の非線形性をも考噸した次の安定定理を導く [ 定理 ] First-orderlag Elements (3) 式のシステムは,g(yLf(y) が (i),(ii),(iii) の条件を満足し, かつ次式を満たす正定行列 Hと非線形関数を要素とする行列 L(y),W(y) が存在するなら安定である AT(P+crTg(y))+(P+mTg(y))A = 一 L(y)L(y)T (4) Pd-ATr+(r-A 配 k)g(y)=-l(y)w(y)(5) Fig.18Li6nard-typenonlinearsy8temwiLh first-orderlagelements (1) 式において j=20- (y) と変数変換しロ y,(u,z に関する I 階連立敬分方程式に変形する j=ql- (y) (U=_αTz-f(y) (2) z--dz 心 M さらに R=[RLR2],XT=[y,,Zr] とおけば次式が得られる dtr+kg け )= W(y)TW(,)(6) Pb-qATc=mIc (7) btr+q=m2 (8) 正定行列 Hは H=LFlq (9) とばき換えられている ( 証明 ) 上記の定理は次式で与えられる-つのリアプノプ関数の存在によって証明される

4 琉球人,, 捗工 9, 機部紀要第 36 号,1988 年 83 v 令 [x,@m [: ] い )] +ql;'(")d (10 (Ⅱ カバ "1V の時 1111 難関攻を求め.CTb=0,CTd= lihs らに (4)~(8) 大の関係に滴 l して稚 11 十イ ( ぱ V= X[AT(P+crTg(y)+(P+rcTgb))A]X 2 _XT Pd-AFr+(r-ATCk)g(y)] (y) -[dtr+kg(y)] (yy -X1 Pb-qATclf( )-(btr+q)f( ) (y) -i,xl( 汗 W[ 恥,,,ILMrX-wWMl -m1ui( )-m f( ') (y)00 となる,,=y の関係があるので,VIxf(y).F1(y) に関する条件 (ii),(iii) のもとに半負定値となるまた, 条件 (ii) のイとに (ID 式の右辺第 2 項は E 定価となり,H が正定行列なので V は正定値であるこれらの結果より V はリアプノフ関数であり (3) 式のシステムは安定となるロしたがって, もし条件 (i),(ii),(111) が y のすべての領域で成立すれば,V が半負定値にもかかわらただしA=A-godcTであり,A,,b,c は (3) 犬における値と同一の行タ 11もしくはベクトルである (lid 式のシステムの線形部分の伝達関数 w(s) は W(s)=CT(sl-A)-1b(11 で与えられているそこでMooreとAnderson 氏らの結果に従い, もし Z(s)=( +qs)w(s) (10 が11ミ寵となるように, 非負の定数と正の定数 qが存在するなら次式を満足するP1Lが在する ATP+PA=-LL1. 0m Pb=rlc+qATc(IQ Z(s) は次の3つの条件を満足するとき正爽である (1)Z(s) の要素はRe(s)>Oに対し解析的である Ⅱ) かくs)=Z(s*) (Ⅲ)Z(s)+ZT(s*) はRe(3)>0に対し半負定値となるず, 原点以外のシステムの任意の解軌道上で V が恒等的に零でない限り大域的な漸近安定性が得られるしかしながら多くの工学の問題では条件 (i),(Ⅱ), (iii) は必ずしもyの全領域で成立せず, 局所的に原点付近で成立 : するに-すぎないこのとき, リアゾノプ関数はその成立条件からシステムの漸近喪定領域の評価に11] いられることになる 4. 行列方程式の解 (3) 式で与えられる非線形システムのリアプノフ関数を構成するには (4)~(8) 式の行列方程式を解いてP,, k1l(y),w(y) を求める必要があるここでは, これらの解の存在条件を非線形フィードバック制御システムに対するルーリニ形リアプノフ関数の存在条件から導く (1) 式におけるg(y) を原点近傍で近似した値をgoとおくと (3) 式は形式的に非線形フィードバックシステムの形で表わされ, 次式のようになる X=AX-bfM OO u=ctx ここで, 車は共役を表しているしたがって,('' 式を満足する p1l が存在すれば, ルーリニ形アプノフ関数 4)-7 v= 台 XTPx+qj?(.). ( が存在し, その時間導関数は次式で与えられる v=_;xtmtx-mf(.) 個次に,01,('0 式を満たす P,L の存在から,(4)~(8) 式を満たす P,L(yLW(y) の存在条件を潮出するもし,g(y)=gb ならゆ (y)=goy となることに藩目して 10 式の右辺第一項は告 w(,)][ 駐 M] 一合 XT[P c 瀧 +goc +kgo2cct]x と鰯くことができるしたがって,17 式における P が (1$

5 84 一次遅れ要素をもつ Li6nard 形非線形ンステムの一般化リアプノソ関数 : 鱒城大城.111 下 P=P+gorcT+gocrT+kgicc. と分解できるものと仮定する 10 式とA=A-godcTの関係を用いれば,0,,00 式の関係式はそれぞれ AT(P+cr 殖 0)+(P+rCrgo)A -2[Pd-ATr+rgO-ATckgo]cTgo -2cgo[dTr+kgo]CFI 勘 = 一 mt12i) Pb-qATc+goc(bTr+q)=nc 四となるさらに, い ), 蝿式において AT(P+crTgo)+(P+rcTgo)A=-LoLoT@$ Pd-ATr 十 (r-atck)go=-lowo 鋤四となる一方,g(y) の原点近傍における航をgo( 正の定数 ) と厩 < と次式で表される x 薑 [ ニヨバー [ ルトル U=[100]X ( 上式の線形部分の伝達関数 W(s) 瞼 s 十 D W(s)= l s((s+go)(s+d)+αrzi-`rri となりZ(s) が正襲のための条件は,r+,` 戯,= 合 Wo, qgo-n>0 かつ DR2-R,>0 となるように L=Lo-cWogO と分解でき, かつ Pb-qATc=nlc goc(btr+q)=nzc となるように, が =,+ 2 と分解できるなら,(4) ~(8) 式と 13~ i) 式をそれぞれ対比することにより, (4)~(6) 式を満たす L(y),W(y) は 13~ 飼式を満たす Lo 〆 Wo で単に go=g(y) と極き換えることによって求められるまた,(7),(8) 式と,17 式の対比から,= 1,,2= 2/go であることがわかる 5. 例題システム一例として, 次の簡単な一決遅れ要素を持つ Li6mard 形非線形システムを考える y+g(y)j+((y)+αz=0 z=-,z+rly+r2j 上式を (3) 式の形式に櫓き直せばホー [ 鵬 ] 雛 - ルー [ ルヮー [100]X, (y)=g(y)j=g(y)[100]x 岡,3 となる Z(s) が正実であれば 00,(ICI 式を満足する P, L が存在し, 結果的に ~ 式を満足する P1T,kl LmWo は P-rfW 蝋 iiw' 鰯妻劉 1 F-m 臆 -. し ( 纏肩 ;= 扇, 鋤 m mlii 薊 ] wf[ JTFT] ただし α ワー万 i マアーー TTT で与えられるこの場合には,(l1 式のルーリエ形リアプノフ関数とその時間灘関数は次式となる v-;.[( 蝿 -(1-` リ 9.y 胴 (1- Bi; 鶚 ;y 33

6 琉球大, 辮兀学部紀要第 36 号,1988 年 85 蝋 { 価戸面 z-1 芳等 i:1,}] +qj;f<y)dy v=-q[('-,r)g, ( 卿 -90y), +りり (D- 卜 n.go)z2 +ヮR1 R2ago+R,)y2 十 aghyf(,)] 三壹二 y 5 ただしここで I=αgDqと臆き換えを行っているまた,001 式のV,(11) 式のVは00, 鯛において r,=o とi1tき換えることにより縛られ, 伏式となる v 薑告 qル`('1 号, +,(rがz 一帯,}1+qK ( Mγ v-q[{ (y) 十 + 聯畔ツ ]@m なお,(10 式のZ(s) における極一零点の消去は / q=0あるいは /q=goの場合に生じるので, 理論撒成上はα` 0,α, 1として取り扱われるしかしながら, 式, 燭を参照すればわかるように, これらの値に対しても式はリアプノプ関数となる, 肋式においてば-1,R,=Oに選べば文献 8で構成されたリアプノフ関数に対応する関数が得られるさらに,y=(U-@ であり, リアプノフ関数をこのy を用いて記述することもできるまたⅢGSIのVは半負定値であるが,g(y1f(y) に関する条件が成立する範囲内で原点以外のシステムの任意の解軌道上でVが恒等的に零にならないのでシステムは局所的に漸近安定となる Fig.2~4はg(y)=g`,=0.3,α`=1.0,R,=0.OOOLR2 =0.002,f(y)=sin(y+ 肌 -sin6", `-0.4 2とした場合の具体例について13 式のルーリエ形リアプノプ関数から得られる漸近安定領域を描いたものである α' の値によって保証される安定領域は異太り, 最適なけの値はシステムの解軌道の方向に依存するなお, 安定限界の決定には文献 9の方法を用いたまた,qは単なるスケールファクタとしての作用しかなくqの選定は漸近安定領域の広さに影騨を与えないので, 計算の都合上単にq=1とした Fig.2:Cross-sectionsofstabiljtyboundaries intheplanez=0 一一一一 T Fig.3:Cross-sectionsofstabilityboundaries intheplanej'=0 00l 全二連 ⅣⅣⅣ 巳 00I y T -- 2.,, Fig.4:Cro8s-sectionsofstabilityboundaries intheplaney=0 y 5

7 86 一次遅れ要素をもつ Li6nard 形非線形シメテムの一般化リテプノプ lju 数 : 宮城大城 '11 下 6. おわりに本論文では,Li6nard 形非線形システムにさらに- 次遅れ要素を付加したシステムのリアプノプ関数構成法について鏑じた餓初にシステムの変換を行い, この変換されたシステムに対して安定定理を導くが, 定理を証明するため, 一つのリアプノブ関数を提案したリアプノフ関数に含まれる正定行列 Pは行列方程式を解くことによって得られる行列 Pの存在条件については, システムの- 部の項を原点近街で近似ずれぱいわゆ為非線形フィードバック制御システムの形式になることに瀞目しリルーリニ形リアプノフ関数の存在条件より論じられている

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PowerPoint Presentation 応用数学 Ⅱ (7) 7 連立微分方程式の立て方と解法. 高階微分方程式による解法. ベクトル微分方程式による解法 3. 演算子による解法連立微分方程式未知数が複数個あり, 未知数の数だけ微分方程式が与えられている場合, これらを連立微分方程式という. d d 解法 () 高階微分方程式化による解法つの方程式からつの未知数を消去して, 未知数がつの方程式に変換のみの方程式にするために,