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1 線積分 線積分 ( n, n, n ) (ξ n, η n, ζ n ) ( n-, n-, n- ) (ξ k, η k, ζ k ) ( k, k, k ) ( k-, k-, k- ) 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W は 次式で計算された A, A, W : d 6 d+ d+ d@,,, d+ d+ d (ξ, η, ζ ) (,, ) A O 右辺の各項の積分は 曲線 に沿って を で積分することを示している この A (,, ) 図 - A 点から 点に至る積分経路 ようにある関数をある曲線に沿って積分することを 線積分という 以下で この線積分について 考えてみる 次元空間内の 点 A 点から 点を結ぶ曲線 がある この曲線状のすべての点で連続な関数を P ],, g Q ],, g R ],, gとする A 点の座標を ],, g 点の座標を ],, gとして 曲線 A を n 分割し A 点と 点の間にある n- 個の分割点の座標を A 点に近い点から ],, g ],, g ] -, -, -gとする また D - - D - - D - - ],,, g, g とする 分割点 ] -, -, -gと ],, gの間の曲線 上の任意の点の座標を ] p, h, g gで表すことにする このとき積和! 6 P] p, h, ggd+ Q] p, h, ggd+ R] p, h, g gd@ () を考え D D D ],,, g, g が限りなく に近づくように " とするとき 式 () がある極限値に近づくとき その極限値を 6 P ],, gd+ Q ],, gd+ R ],, gd@ で書き表す 線積分に関する演算則を以下に示す 演算則 () 6 Pd+ Qd+ Rd@ Pd+ Qd+ Rd () 曲線 が曲線 と の接合したもの + であるとき, 6Pd+ Qd+ Rd@ 6Pd+ Qd+ Rd@ + 6Pd+ Qd+ Rd@ () 曲線 を逆向きにした曲線を とすれば 6Pd+ Qd+ Rd@ - 6Pd+ Qd+ Rd@ A --

2 線積分の計算例 4 (, 4) 問題. 経路 に沿った下記の積分を 図 -に示す A 点から 点に至る積分経路 および に沿っ て求めよ < d+ d A (, ).5.5 図 - 積分経路 解答 () 積分経路 に沿って積分する場合 上に沿って積分するから 常に の関 d 係を満たしている また であるから d d d の関係がある したがって < d+ d < ] g d+ ] gd () 積分経路 に沿って積分する場合 d d 上に沿って積分するから 常に の関係が満たされる したがって であるから d d d の関係がある このことから 8 < d+ d < ] g d+ ] gd d A (, ) 図 - 積分経路 + (, ) - 問題. 経路 に沿った下記の積分を 図 - に 示す A 点から 点に至る積分経路 + および に沿って求めよ 解答 6 ] + gd+ d@ () 積分経路 + に沿った積分は 次式 から つの積分の和で求められるから 上 上でそれぞれ積分を求め それらの和から解を求 めることにする (i) 上の積分 : 上では常に であり は一定値であるから d である したがって 6 ] + gd+ d@ d (ii) 上の積分 : 上では常に であり は一定値であるから d である したがって --

3 6 ] + gd+ d@ ] gd 以上の計算から 6] + gd+ d@ 6] + gd+ d@ + 6] + gd+ d@ + () 積分経路 に沿った積分 + 5 d 上では - が成り立つから したがって d d である d 6] + gd+ d@ 6" + ] - g, d+ ] - gd@ 6 + -@ d < 問題 では A 点から 点に至る経路が異なるにもかかわらず 線積分の結果は同じ値を示した 一方 問題 では積分経路が異なれば 線積分の結果は異なっていた どのような関数なら積分経路に無関係に線積分の結果が同じになるのであろうか? あるいは たまたま偶然に 線積分の結果が同じになったということなのであろうか? ここでは証明を省くが 被積分関数に特別な関係があると どんな積分経路を採って積分しても 必ず同じ値を持つことが分かっている その特別な関係は 次の通りである () 次元空間における線積分 6 P ],, gd+ Q ],, gd+ R ],, gd@ の値が 積分経路に依存しないためには 条件 P ],, g Q ],, g Q ],, g R ],, g R ],, g P ],, g,, () が成り立てば良い () 次元空間における線積分 6 P ], d g + Q], gd@ の値が 積分経路に依存しないためには 条件 P ], g Q ], g () が成り立てば良い 保存力 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W W : d, --

4 が 経路 とは無関係で 始点 A と終点 だけで決まるとき この力 を保存力という また 積分 V]g - : d (4) を点 における力 による位置エネルギー ( 関数値が物体が占める位置 ( 座標点 ) のみで決まるとい う意味からの命名 ) あるいはポテンシャルエネルギーという 点 では V] g であるから (+Δ,+Δ,+Δ) A(,,) Δ は位置エネルギーを測る基準点である 力 が保存力のとき 仕事は積分経路に依存しないから, : d : d : d- : d -6 V] g- V] A g@ (5) 図 -4に示すように 点 を A の近くに取り A 点の座標を ],, g 点の座標を ] + D, + D, + Dgとすれば - D Di+ Dj+ Dk 図 -4 積分経路となる ただし i, j, k は それぞれ 軸 軸 軸の正の向きを向いた単位ベクトルである したがって 積分は : d : D D+ D+ D (6) と書き表すことができる 一方 多変数関数に関する Talo の公式から 次以上の微少量を無視すれば V] g- V] g V ] + D, + D, + Dg-V],, g V V V D + D + D となる したがって この結果を式 (5) に代入すれば (7) V V V : d : d-< D + D + D, 式 (6) と式 (7) の比較から 保存力の 軸方向成分 と位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー )V との関係が 次のようであることがわかる V - V (8) V - これらを次のように表現することもある V V V -i -j - k -d i + j + k n,, V ] g - V (gad は gadient( 意味は勾配 ) の略 ) 一方 物体に作用する力の各座標軸成分が式 (8) で与えられる場合 すなわち 力の各座標軸成分がある関数 V ],, gの各座標変数の偏微分で与えられる場合 A O V V - - V V - - ( 注 ) 例えば V V が成り立つた V V めには およびが連続で -4-

5 V V - - あれば良い ここではこの条件が成立していることを前提として議論している の関係が成立するから 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W,,,,, W : d 6 d+ d+ d@ d+ d+ d は 積分の経路 に依存せず 始点 A と終点 の位置のみで決まる ( 上の積分と式 () の条件と比較 ) すなわち 保存力を式 (8) の形で定義することもできる 参考 多変数関数に関する Talo の公式 V ] + D, + D, + Dg V],, g+ d D + D + D n,,! V ] g n- + d D + D + D n V ],, g+ g+ d D + D + D n V ],, g! ] n - g! n + d D + D + D n V ] + Di, + Di, + Dig, i n! 保存力は 位置エネルギー V ],, gを座標変数で偏微分したものであった ( あるいはある関数 V ],, gを座標変数で偏微分したもの ) したがって 関数 V は の関数である点に注目すべきである 座標のみの関数を座標で微分しても 座標のみの関数 ( あるいは定数 ) である したがって 力が速度に依存するような場合は この条件を満たさないから保存力ではない 例えば 摩擦力の大きさは 摩擦係数と抗力から求められるが その向きは物体が動こうとする向き あるいは動いている向きによる つまり正負を含めた力の大きさが運動の状況を考慮しなければ決まらないので 保存力ではない また 物体が流体中を運動する場合 速度がそれほど大きくなければ物体が受ける抵抗力は 速度に比例する したがって この場合も保存力ではない では 物体の位置だけで決まる力にはどんなものがあるであろうか 例えば 物体に作用する重力 ばねの力 万有引力などがそうである 質量 m の物体が地表からある高さにあるときに作用する重力は その点に至る経路がどうであれ あるいはどのような速度 加速度でその点に到達しても その大きさは地表からの高さで決まり その向きは鉛直下向きである () 重力 m (,,) o 図 -5 重力 図 5に示すように地表の水平面内に 平面を採り 鉛直上向きに 軸を採った場合の点 ],, gにある物体に作用する力は 軸方向のみであり -mg となる したがって 地表を基準としたこの点の位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー )V は -5-

6 V ],, g - d+ d+ dg で与えられる mgd mg (9) () コイルばねによる力 k o ばね定数 k を持つコイルばねを摩擦のない水平面 m 上に置き 左端を剛性壁に固定し 右端を質量 m の物体に固定する ばねに伸び縮みがない状態を 基準点にとり 水平右方向に 軸の正の方向を採る 図 -6 コイルばねによる力 物体が だけ移動したとき物体に作用する力 は -k したがって この点における位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー )V は 伸び縮みしない位置を 基準点に採れば となる V- d kd k ]g () () 万有引力 m (,,) M O 図 -7 物体間に作用する万有引力 図 7 に示すように質量 M の物体の中心に原点 O を 持つデカルト座標系を採る 質量 m の物体が位置ベク トル ],, gにあるとき 質量 m の物体が質量 M の物体から受ける引力 は 万有引力定数を G で表 すと次式で表される ( 注 ) Mm - G -G Mm - G ] i+ j+ kg Mm は ベクトル をベクトル の大きさ それ故 引力 の各座標軸成分は 次のように書ける Mm Mm Mm - G, - G, - G したがって 位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー )V は ] gで割っているので ベクトル の方向を 向いた単位ベクトルを示す V ],, g - d+ d+ dg- GMm d + d + d G 上式を積分するにあたり + + の関係を代入して積分を行う必要がある 計算は煩雑なので 結果のみ以下に示す -6-

7 Mm V ],, g V ] g -G () 確認のため 逆算をやってみよう V d Mm - GMm d n GMm d n - G ] d + + g Mm G Mm G G Mm - ] + + g - $ - - エネルギー保存則 質量 m が時間的に変動せず 常に一定の場合の運動方程式は d v m 上式の両辺に左側から速度 v を内積すると まず左辺は d v: m md v: n m< ] v: vg d m v となる 一方 右辺は次のように変形される v: : v : d -7- なぜなら したがって 運動方程式の両辺に左側から速度を内積すると次式が得られる m : d 上式の両辺を時間 t で t から t まで積分すると 左辺は t t t t m m d v ] g mvt ] g - mv ] t g d ] v: vg : v+ v: v: となる 一方 右辺は 時刻 t の時の物体の位置ベクトルを 時刻 t の時の物体の位置ベクトルを で表し 物体の移動経路を で表せば t t,, d : : d となる したがって 上の 式の右辺を等号で結ぶと mv] tg - mvt ] g : d (), となる mv を運動エネルギーという したがって 上式は 物体の運動エネルギーの変化は 物 体の作用する力 によってなされた仕事に等しい ことを示している また 物体に作用する力 が 保存力の場合 位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー ) を V() で表せば 式 () の右辺は次の ように表現される : d-6 V] g- V] g@, この関係を利用して 式 () を書き直せば次式が得られる mv] tg + V] g mv] tg + V] g () 時刻 t の時の運動エネルギーと位置エネルギーの和は 時刻 t の時の運動エネルギーと位置エネルギー

8 の和に等しい 言い換えれば mv V onst ( ) 物体の運動エネルギーと位置エネルギーの和は 常に一定 ( 時間的に変化しない ) である これを力学的エネルギー保存則という ( 注 ) この法則は 物体に作用する力が保存力の場合に限り成立する -8-