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1 70 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ),70~85 (2015) 原著 野球の試合に関する確率の Excel シートを用いた表計算の方法 廣津信義 大澤清 A method for calculating probabilities for a baseball game using a spreadsheet Nobuyoshi HIROTSU and Kiyoshi OSAWA Abstract In this paper, we propose a method for calculating the probability distribution of runs scored, the probability of reaching scores of i j and reaching a situation where the team concerned leads by d points, by representing a mathematical formulation in terms of a baseball game. We demonstrate how to calculate these probabilities using a spreadsheet, which makes it possible to obtain these probabilities without any special knowledge of computer programming. As an extension of this method, we show the method for calculating at any point in the course of the game the probability of the team reaching i runs, and how to include tactical moves by illustrating the case of sacriˆce bunt. Key words: Baseball, Probability calculation, Sacriˆce bunt, Spreadsheet. 緒言 野球は, 打率や長打率の計算を始めとして, 早くからデータの利用が進んでいるスポーツである 近年ではセイバーメトリクスという各種の計算指標が提案されており, 選手のトレードや年棒の査定など選手評価に利用されている 10 11). このように野球の現場ではデータが広く利用されているが, 個々の試合でチームが勝つ確率を計算するためには, 打率やセイバーメトリクスの指標を求める代数的な計算ではなく, 試合を数学モデル化して, コンピュータにより数値計算することが必要となる 野球の試合を数学モデル化するとは, 現実の試合を単純化し数式にて表現することであり, 具体的に 順天堂大学大学院スポーツ健康科学研究科 Graduate School of Health and Sports Science, Juntendo University 日本スポーツ振興センター国立スポーツ科学センター Japan Institute of Sports Sciences, Japan Sport Council はマルコフ連鎖モデル 3) を用いて試合の進行を表現する方法が知られている Bukiet et al. 1) はマルコフ連鎖モデルに基づいて,1 試合での得点分布 ( 得点に関する確率分布 ) を算出することで勝つ確率を求める方法を提案している 廣津 宮地 5) や Hirotsu and Wright 6 8) は, 得点期待値や勝つ確率を連立一次方程式として定式化して解く方法を提案しており, いずれも C 言語によりプログラム開発して数値計算することがなされている しかしながら, このような C 言語による数値計算を行うためには, 計算機プログラミングに関する知見が必要となるため, スポーツの現場で浸透していないというのが実情である この状況を打開するための一つの方策として, 本論文では, 野球の試合に関する確率を Excel シート 1 枚を用いて表計算するという方法を提案する さらに, 計算方法の拡張として, 試合途中からそれ以降の展開や, 戦術がある場合の表計算の方法についても提示している

2 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 71 これにより, プログラミングの未経験者である現場指導者でも汎用の表計算ソフトを用いて, 試合中に確率計算することで, 試合の状況を評価し, 結果を確率として予測することも可能となり, 意思決定のためのガイダンスツールになり得る また試合前後についても指導者や選手自らが表計算方法を工夫することができ, 独自に戦略を練ることが可能となる 今後, 野球の試合に関するデータ分析のツールとして利用されることを期待している 本論文では, 具体的には野球の試合において, ある特定の場面 ( 例えば, 得点 1 対 2, 3 回表 2 アウト走者 1 塁で 3 番打者が打席に立つという場面 ) になる確率や, その場面から勝つ確率などを表計算する方法を示している 各打者の打撃の確率に基づき場面は推移し, 打撃による走者の進塁は簡単な規則に従うとした上で, 最も単純なケースとして同一打者による 1 イニングでの得点分布の計算方法から, 1 試合を通しての得点分布や 得点 i 対 j となる確率, d 点リードとなる確率, d 点リード時での勝つ確率 などの野球の試合に関する確率の表計算方法を示していく なお, 本論文では野球の試合に関する確率の表計算方法を提示しているが, 他の球技としてテニスや卓球のような得点の先取を争う球技については廣津 濱野 4) が, サッカーやハンドボールのような時間内での得点数の多寡を争う球技については廣津ら 9) が示している 本論文では, 第 2 節で今回提案する表計算の方法について説明し, 第 3 節では, 試合途中からそれ以降の展開や戦術がある場合などの計算方法の拡張について述べる 第 4 節で結論を述べ, 計算式や定式化にあたり冗長となるものは付録にまとめて提示している. 方法. 得点 i 対 j になる確率 の算出のための定式化 1 イニング同一打者での得点分布の計算方法野球の試合での得点分布の計算方法を, 最も単純 表 1 D'Esopo and Lefkowitz 走者進塁モデル 2) 打撃の結果進塁の規則 1 塁打 2 塁打 打者は 1 塁へ.1 塁走者は 2 塁へ進塁する. 2 3 塁の走者は得点する. 打者は 2 塁へ.1 塁走者は 3 塁へ進塁する. 2 3 塁の走者は得点する. 3 塁打 打者は 3 塁へ. すべての走者は得点する. 本塁打 打者及びすべての走者が得点する. 四球 打者は 1 塁へ. それに伴い走者は進塁する. アウト どの走者も進塁しない. 表 2 イニング内の状態の定義 走者の位置 アウト 1 カウント 走者 な 1 イニングでの同一打者が打席に立つとしたときの得点分布を計算する方法を示す ( 以下, 野球の イニング を 回 と表記することもある ) すなわち, 全打者の打撃に関する確率が同一であり, 打撃による走者の進塁は表 1 に示しているような簡単な規則 2) に従うとした上で,1 イニングだけでの得点数を計算する方法を示す この場合,1 イニングを表 2 に示すような 3 つのアウトカウントと 8 つの走者位置の24 状態で区別することができる 3 アウトとなりイニング終了した状態を状態 25とすると, イニング内の状態 s はこれら25 状態の中の 1 つの状態として定義できる 得点 i で状態 s となる確率を P(i, s) とすると, 得点 i=0 で状態 s=1( 無死走者なし ) から試合は始まるので,P(0, 1)=1 が初期条件となる p S,p D, p T,p H,p W,p out をそれぞれ打者が 1 塁打,2 塁打,3 塁打, 本塁打, 四球, アウトとなる確率 ( 以下 打撃確率 とし, 図 1 以降に示されている Excel 画面上では認識しやすいように大文字で P S,P D,P T,P H, P W, P out と表示している ) とすると, 例えば, 得点 i で状態 1( 無死走者なし ) となる確率 P(i, 1) は

3 72 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 図 1 野球の 1 イニングでの得点分布の表計算の例 ( 同一打者 ) P(i, 1)=p H P(i-1, 1)+p H P(i-2, 2) +p H P(i-2, 3)+p H P(i-2, 4) +p H P(i-3, 5)+p H P(i-3, 6) +p H P(i-3, 7)+p H P(i-4, 8) (1) となる 右辺第 1 項は, 得点 i-1 で状態 1 のとき本塁打を打つことで 1 点加算され, 得点 i で状態 1 となる確率を示している 右辺第 2 項以降は, それぞれ状態 2~5 のとき本塁打を打つことで得点 i 状態 1 になる確率を示している 同様に考えると, 状態 2~8 になる確率は P(i, 2)=(p S +p W )P(i, 1)+p S P(i-1, 3) +p S P(i-1, 4)+p S P(i-2, 7) (2) P(i, 3)=p D P(i, 1)+p D P(i-1, 3) +p D P(i-1, 4)+p D P(i-2, 7) (3) P(i, 4)=p T P(i, 1)+p T P(i-1, 2) +p T P(i-1, 3)+p T P(i-1, 4) +p T P(i-2, 5)+p T P(i-2, 6) +p T P(i-2, 7)+p T P(i-3, 8) (4) P(i, 5)=(p S +p W )P(i, 2)+p W P(i, 3) +p S P(i-1, 5)+p S P(i-1, 6)+p S P(i-2, 8) (5) P(i, 6)=p W P(i, 4) (6) P(i, 7)=p D P(i, 2)+p D P(i-1, 5) +p D P(i-1, 6)+p D P(i-2, 8) (7) P(i, 8)=p W P(i, 5)+p W P(i, 6)+p W P(i, 7) +p W P(i-1, 8) (8) となる ただし,P(i, s) と表記したときに, 得点 i が負になる場合は起こり得ないので, 計算上は P(i, s)=0 (i<0) としている 状態 9~16は 1 死の時でのそれぞれ 8 つの走者位置に対応している 得点 i で状態 9(1 死走者なし ) となる確率 P(i, 9) は, 状態 1( 無死走者なし ) か

4 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 73 ら打者がアウトとなり状態 9 となる場合も考慮すると, P(i, 9)=p H P(i-1, 9)+p H P(i-2, 10) +p H P(i-2, 11)+p H P(i-2, 12) +p H P(i-3, 13)+p H P(i-3, 14) +p H P(i-3, 15)+p H P(i-4, 16)+p out P(i, 1) (9) となる (9) 式では, 右辺の最終項が状態 1 から状態 9 への推移を表しており, 右辺の他の項は 1 死のままでの状態の推移 ( この場合は本塁打による走者一掃 ) を表している 状態 10~24に関する数式については, 冗長となるため付録 1 にまとめている イニング終了 (3 アウトの状態 ) は,2 死の状態 17~24で打者がアウトとなったとき生起するので, P(i, 25)=p out P(i, 17)+p out P(i, 18) +p out P(i, 19)+p out P(i, 20)+p out P(i, 21) +p out P(i, 22)+p out P(i, 23)+p out P(i, 24) =p out {P(i, 17)+P(i, 18)+P(i, 19) +P(i, 20)+P(i, 21)+P(i, 22)+P(i, 23) +P(i, 24)} (10) となる (10) 式により算出された P(i, 25) が得点 i となる確率, すなわち得点分布を表すこととなる 得点数を20 点以内として, 得点数の分布を表計算した例を図 1 に示す 図 1 では得点 i=0~20を縦に, 状態 s=1~25を横にとったブロックが示されており, 得点 i 状態 s に該当するセルに P(i, s) の計算式が入る ブロックを作成するためには, 初期条件の得点 0 状態 1 に該当するセルに 1 を代入し, その行で状態 2~25に対応するセルに上述した計算式 ( 状態に対応した式, 例えば状態 2 に対応するのは (2) 式 ) を打ち込み, それらのセルを得点 20に該当する位置まで コピー 貼り付け すればよい 状態 1 については, 得点 0 のすぐ下の得点 1 に該当するセルに (1) 式を打ち込み, そのセルをその列の得点 20の位置まで コピー 貼り付け するとよい 図 1 では AA 列の薄塗されたセルに得点分布の計算結果が表示されており, この打撃確率では, 得点 0, 1, 2 となる確率が, それぞれ0.751, 0.126, 0.066と算出されている ちなみに, 図 1 の打撃確率はプロ野球の巨人の 2013 年度のチームとしての年間打撃成績から求めた値であり, 例えば 2 塁打となる確率は,2 塁打数 215を打数 4906と四球数 432を合わせた数 5338で割った値, すなわち p D =0.04(=215/5338) としている ( 打撃確率の算出については廣津 宮地 5) など参照 ) 図 1 の表計算により算出した得点分布から 1 イニングでの得点は平均 0.469(= ) となる 9 イニングでは4.22 (= ), 年間 (144 試合 ) の得点数は608(= ) となり, 年間の実際の得点数が597であることから, このような簡単な数学モデルによる計算でも現実とかなり近いが得られていることがわかる なお, この数学モデルは, 多様な野球のプレーを網羅するのではなく, モデルとしての実用性を考慮して単純化したものであるが,D'Esopo & Lefkowitz の計算では現実との相対誤差が 7 程度であることが知られている 2) 9 イニング同一打者での得点分布の計算方法上述した方法を 9 イニングに拡張する 第 I イニングにおいて得点 i で状態 s となる確率を P(i, s, I) とすると, 状態 1 について, P(i, 1, I)=P(i, 25, I-1)+p H P(i-1, 1, I) +p H P(i-2, 2, I)+p H P(i-2, 3, I) +p H P(i-2, 4, I)+p H P(i-3, 5, I) +p H P(i-3, 6, I)+p H P(i-3, 7, I) +p H P(i-4, 8, I) (11) となる ( イニング I は非負なので計算上は P(i, s, I) =0 (I 0) とする ) ここで, 右辺第 1 項は第 I-1 イニング終了後は, その得点 i のまま第 I イニングが状態 1 から始まることを表している 右辺第 2 項以降は, 第 I イニング開始後の攻撃により, 再度状態 1 となる確率を表している 状態 2~24については前イニングからの推移を考える必要はない すなわち,(11) 式の右辺第 1 項に相当する項はなく, イニング内での推移のみを考えればよい 例えば, 第 I イニングの状態 2 になる確率は, P(i, 2, I)=(p S +p W )P(i, 1, I)+p S P(i-1, 3, I) +p S P(i-1, 4, I)+p S P(i-2, 7, I) (12)

5 74 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) となり,(2) 式を拡張した形となっている 他の状態 (3~24) についても同様に表現できる 9 イニング 9 打者での得点分布の計算方法上述した定式化をさらに発展させて,9 イニングでの 9 打者による得点分布を計算するための式について述べる 第 I イニング, 得点 i, 状態 s で n 番打者 (n=1,,9) が次に打席に立つという場面となる確率を P(i, s, I, n) とする p Sn,p Dn,p Tn,p Hn, p Wn, p outn をそれぞれ n 番打者が 1 塁打,2 塁打,3 塁打, 本塁打, 四球, アウトとなる打撃確率とし, 打順を考慮すると (n=9 のときは n+1=1 となる ), 状態 1 では P(i, 1, I, n+1)=p(i, 25, I-1, n+1) +p Hn P(i-1, 1, I, n)+p Hn P(i-2, 2, I, n) +p Hn P(i-2, 3, I, n)+p Hn P(i-2, 4, I, n) +p Hn P(i-3, 5, I, n)+p Hn P(i-3, 6, I, n) +p Hn P(i-3, 7, I, n)+p Hn P(i-4, 8, I, n) (13) となり,(11) 式を拡張した形となる ただし, 右辺第 1 項 P(i, 25, I-1, n+1) は, 第 I-1 イニングで n 番打者が打撃をして 3 アウトになり, その次打者である n+1 番打者が 3 アウトの状態 ( 状態 25) で便宜上打席に立つとした表記となっている ( 実際にはチェンジになるので第 I-1 イニング 3 アウトの状態では打席に立たず, 第 I イニング 0 アウト走者なしで打席に立つ ) 状態 2 では, P(i, 2, I, n+1)=(p Sn +p Wn )P(i, 1, I, n) +p Sn P(i-1, 3, I, n)+p Sn P(i-1, 4, I, n) +p Sn P(i-2, 7, I, n) (14) となる 他の状態 3~24 についても同様に表現できる 9 イニング 9 打者での得点分布を表計算するためには, 例えば図 2 に示したようなレイアウトとすればよい 図 1 に示したような得点 i を縦に, 状態 s を横にとったブロックを, イニングと打者に応じて縦横に並べており, ブロック内の個々のセルに P(i, s, I, n) の式を入れるという形となっている 具体的に説明すると, 図 2 では個々のブロックが一つの横長の長方形で表現されており, ブロックはイニン グに対応して縦方向に 9 つ, 打者に対応して横方向に 9 つ並んでいる ( 図 2 は並びのイメージを表しており, 多くのブロックは省略されている ) 左上隅のブロックが第 1 イニングで 1 番打者がまさに次に打席に入ろうとしている場面 ( 打席に立ってこれから打撃をしようとしている場面 ) に当たり, さらにそのブロック内の左上隅のセルが試合開始時の得点 0 状態 1 の場面に該当する 1 イニング内では, 打者の打順に従い, 図中の矢印で示したようなイメージで状態が推移することとなる 当該打者が打席に立とうというときのその場面に当たるセルで, そのひとつ前の場面に該当するセルならびに前打者の打撃確率を表すセルを参照して (13) 式や (14) 式に示したような計算をすることで, その場面となる確率を算出する 各打者が 3 アウトになった際の得点分布は, 各ブロックの右端の薄塗されている部分 ( 状態 25の列のセルに当たる ) に算出される この部分を次イニングの先頭打者のブロックの左端の薄塗されている部分 ( 状態 1 の列のセルに当たる ) から参照することで, 状態 25から次イニングの状態 1 へ得点分布を移行させている セルの位置と参照の関係を考慮して コピー 貼り付け すれば容易に図 2 に示したようなレイアウトを 1 枚の Excel シートに作成することができる 9 イニング終了した時の得点分布は,9 イニング目の各打者のブロックの右端の部分 ( 状態 25に相当する列のセル ) に算出されている 9 打者の値を得点毎に加算することで, チームとしての得点分布を求めることができる 図 2 では 9 イニング目の 9 番打者のブロックの右横に新たなセルの列をつくって得点分布を表示するというイメージとなっている 図 2 に示したレイアウトの実際の Excel シート上での見え方を図 3 に表示している 図 2 で示されたレイアウト全体は Excel シートとしては極めて大きくなるため, 図 2 で破線で囲まれた A, B, C, D の部分のみについて図 3 で個別に表示している 得点 i 対 j になる確率 の算出のための定式化ここまでは, ひとつのチームに着目して, イニン

6 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 75 図 2 9 イニング 9 打者での得点分布の表計算のためのレイアウトの一例 ( 注 ) 図中のひとつひとつの横長の長方形が, 図 1 に示したようなブロックひとつひとつを表している 例えば, 左上隅の長方形が第 1 イニングで 1 番打者が打席に入ろうとしている場面を表すブロックとなっている 図中の矢印は表計算における参照関係を表現している 例えば, 枠 A 内の 1 番打者から 2 番打者のへの矢印は, 2 番打者が打席に立った時の各場面になる確率は, その前の 1 番打者が打席に立ったときの各場面になる確率を参照して計算され, 場面が推移する ことを表す また, 破線で示された矢印は, 各イニングの開始の得点分布を表すセル群から, 前イニングで 3 アウトになった時の得点分布を表すセル群を参照することで, 得点分布が移行することを表現している グ, 打者, 得点, 状態により区別された場面について, その場面となる確率の表計算の方法を示した 対戦相手の打者の違いにも着目すると, 相手チームの得点分布についても同様に計算できる q Sm,q Dm, q Tm,q Hm,q Wm,q outm をそれぞれ相手チームの m 番打者が 1 塁打,2 塁打,3 塁打, 本塁打, 四球, アウトとなる打撃確率とし, 第 I イニング, 得点 j, 状態 s で m 番打者 (m=1,,9) が次に打席に立つという場面となる確率を Q(j, s, I, m) と表すこととする 以下 P(i, s, I, n) を先攻チーム,Q(j, s, I, m) を後攻チームに関する確率として定式化していくと, 例えば (13) 式は先攻チームに関する計算式となり,(13) 式に対応する後攻チームの式は Q(j, 1, I, m+1)=q(j, 25, I-1, m+1) +q Hm Q(j-1, 1, I, m)+q Hm Q(j-2, 2, I, m) +q Hm Q(j-2, 3, I, m)+q Hm Q(j-2, 4, I, m) +q Hm Q(j-3, 5, I, m)+q Hm Q(j-3, 6, I, m) +q Hm Q(j-3, 7, I, m)+q Hm Q(j-4, 8, I, m) (15) となる ここで, 両チームが独立して試合を進めていると仮定すると, 得点 i 対 j になる確率 は, 先攻チームが得点 i となる確率と後攻チームが得点 j となる確率の積で表すことができる 例えば, 先攻が得点 i となる確率は, 第 9 イニング終了時での状態 25で得点 i となる確率の 9 打者分の和 9 n=1 P(i, 25, 9, n) となり, 後攻についても同様に考えると, 試合終了時 (9 イニング終了時 ) に 得点 i 対 j になる確率 は 9 n=1 P(i, 25, 9, n) 9 m=1 Q(j, 25, 9, m) となる さらに, 試合終了時に i>j のとき先攻が勝ちとな

7 76 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 図 3 図 2 の破線で囲まれた部分の Excel シート上での見え方 るので, 先攻が勝つ確率は i j=1{ 9 n=1 P(i, 25, 9, n) 9 m=1 Q(j, 25, 9, m)} となる 9 イニング終了に同点の時は, 引き分けとする場合と延長戦となる場合がある 引き分けとする場合は 20 i=1 { 9 n=1 P(i, 25, 9, n) 9 m=1 Q(i, 25, 9, m)} の計算値が引き分ける確率となる 延長戦を考慮すると必要以上に煩雑になるので本稿では特に例示はしないが, 第 10イニング以降についても 1 イニングごとに得点分布を算出することで同様に確率計算できる 図 4 に勝つ確率や引き分ける確率を Excel 上で表計算した一例を示している 図 4 では, 試合終了時 (9 イニング終了時 ) の先攻の得点分布を縦に, 後攻は横に並べており, それぞれの得点で交差した位置にあるセルにその得点となる確率が表示されている 例えば, 試合終了時に先攻が得点 3 となる確率は0.14, 後攻が得点 2 となる確率は0.13と表示されており, それらの積が先攻が得点 3 対 2 で勝つ確率となり, 該当するセルに0.02と表示されている 薄塗されたセルの値の和をとることで引き分けとなる確率を, 薄塗されたセルより左下に位置するセルの値の和をとることで, 先攻が勝つ確率を求めることができる

8 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 77 図 4 勝つ確率の算出に関する Excel の計算表. 得点 i 対 j から勝つ確率 の算出のための定式化前節では 得点 i 対 j になる確率 ならびにそれを基にチームが勝つ確率を表計算する方法について述べた 勝つ確率については 得点 i 対 j になる確率 を求めることなく, 直接計算することも可能である イニングの表裏を T, B で表すこととし, 得点 i 対 j( 先攻が得点 i, 後攻が得点 j), 第 I イニング表の状態 s で先攻の n 番打者が次の打席に立ち, その裏の後攻の攻撃は m 番打者から始まるという場面を考える この場面から先攻が勝つ確率を P win (i, j, I, T, s, n, m) と表すと, 例えば, 試合開始時の 1 回表無死走者なし (I=1, T, s=1, n=m=1) の場面では, P win (0, 0, 1, T, 1, 1, 1) =p H1 P win (1, 0, 1, T, 1, 2, 1) +(p s1 +p w1 )P win (0, 0, 1, T, 2, 2, 1) +p D1 P win (0, 0, 1, T, 3, 2, 1) +p T1 P win (0, 0, 1, T, 4, 2, 1) +p out 1P win (0, 0, 1, T, 9, 2, 1) (15) が成り立つ 他の状態の式を前節同様に書き下すこともできる しかしながら,Excel シートで表計算しようとすると極めて煩雑となり簡易的とは言い難いため, 本稿ではこれ以上立ち入らないこととする. d 点リードとなる確率 の算出のための定式化本節と次節では, 得点 i 対 j という視点ではなく, 得点差を利用した定式化について述べる すなわち,2.1 節では得点分布を基に, 得点 i 対 j になる確率 を表計算する方法について述べたが, 同様な考え方で d 点リードとなる確率 を計算することができる 得点 i 対 j では i, j を独立したパラメータとしているが, その差 d=i-j をパラメータとすると表計算ためのレイアウトがより簡潔になり, 計算量も減らせるという利点がある d 点リードとなる確率 については, イニングの表裏をT, B で表すこととし, 先攻がd 点リード, 第 I イニング表の状態 s で先攻の n 番打者が次の打席に立ち, その裏の後攻の攻撃は m 番打者から始まるという場面を考え, この場面になる確率を改めて P(d, s, I, T, n, m) と表記する 第 I イニング表の開始の場面である状態 1 に着目すると, 先攻が d 点リードで n+1 番打者が次の打席に立ち, 後攻はその裏に m+1 番打者から始まるという場面になる確率 P(d, 1, I, T, n+1, m+1) は, P(d, 1, I, T, n+1, m+1) =P(d, 25, I-1, B, n+1, m+1) +p Hn P(d-1, 1, I, T, n, m+1) +p Hn P(d-2, 2, I, T, n, m+1) +p Hn P(d-2, 3, I, T, n, m+1)

9 78 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) +p Hn P(d-2, 4, I, T, n, m+1) +p Hn P(d-3, 5, I, T, n, m+1) +p Hn P(d-3, 6, I, T, n, m+1) +p Hn P(d-3, 7, I, T, n, m+1) +p Hn P(d-4, 8, I, T, n, m+1) (16) となる 右辺第 1 項は先攻の d 点リードで第 I-1 イニング裏が後攻の第 m 打者で終了する確率であり, その得点のまま第 I イニングが状態 1 から始まることを表している 右辺第 2 項以降は, その後の第 I イニング表内での先攻の攻撃で,d 点リードで状態 1 で n+1 番打者が打席に立つ場面が起こる確率を表している これは前節の (13) 式に対応する式といえる 他の状態についても同様に表すことができる 後攻についても同様に, 第 I イニング裏の開始の場面である状態 1 に着目すると, 先攻が d 点リードで表の攻撃を n 番打者で終了し次イニング表は n +1 番打者から始まるという状況で, その裏は後攻の m+1 番打者が打席に立つ場面になる確率 P(d, 1, I, B, n+1, m+1) を考えると, P(d, 1, I, B, n+1, m+1) =P(d, 25, I, T, n+1, m+1) +q Hm P(d+1, 1, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+2, 2, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+2, 3, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+2, 4, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+3, 5, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+3, 6, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+3, 7, I, B, n+1, m) +q Hm P(d+4, 8, I, B, n+1, m) (17) となる 他の状態についても同様に表すことができる 得点差を ±10 点以内として, 得点差の分布 ( d 点リードとなる確率 の分布 ) を表計算した例を図 5 に示す 基本的には, 初期条件の得点差 0 状態 1 に該当するセルに 1 を代入し, その行のセルに上述したような計算式 ( 状態に対応した式, 例えばイニング表での状態 1 は (16) 式に対応している ) を打ち 図 5 d 点リードとなる確率 の算出のための表計算の例

10 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 79 込み, その行を ±10 点に相当する範囲で コピー 貼り付け するとよい 該当する打者の打撃確率に基づき計算された結果が, 各得点差 (d 点リード ) での状態 1~24の該当するセルに算出される 図 5 では BB 列の薄塗されたセルに,2 番打者が次打者でそのイニングが終了する確率が計算され, 各イニングの最終打者ごとでの得点差の分布を求めることができる ( 図 5 では, 表示の桁数の関係のため多くのセルでは 0 と表示されているが, 実際には確率としての数値が入っているセルもある ) 図 5 では 1 イニングで 1,2 番打者に関する打撃の場面に関する d 点リードとなる確率 の Excel 上で表計算している箇所のみを表示しているが,1 試合を通しての各場面での d 点リードとなる確率 を表計算するためには, 例えば図 6 に示すようなレイアウトで表計算すればよい 縦に得点リード, 横に状態をとったブロックが図 6 では一つの横長の長方形で表現されており, 左上の破線で囲まれた部分が図 5 に示されている部分に相当する 左上隅のブロックが 1 回表で先攻の 1 番打者が打席に立とうとしている場面を表しており,1 回表の攻撃では, 先攻の打者の打順に従い状態が推移し, 当該打者が打席に立つときの場面は, 前打者における状態と前打者の打撃確率を参照しつつ計算している 先攻の各打者が 3 アウトになった際の得点分布が, 各ブロックの右端の薄塗されている部分 ( 状態 25の列のセルの値 ) に示されている 1 回表の先攻の攻撃が終了すると,1 回裏の後攻の攻撃のブロックに推移する 1 回裏の後攻の攻撃は 1 番打者から始まるが,1 回表の攻撃で先攻のどの打者で 3 アウトとなったか ( 次にどの打者が打席に立つか ) により 9 つのパターンに分けて計算する必要がある 攻撃は 1 番打者から始まり, 打順に従い状態が推移し, 当該打者が打席に立つときの場面は, 前打者における状態と前打者の打撃確率を参照して計算する 後攻の各打者が 3 アウトになった際の得点分布は, 各ブロックの右端の薄塗されている状態 25の列のセルの値に示される 1 回裏の後攻の攻撃が終了すると,2 回表の先攻 の攻撃のブロックに推移する このとき先攻の攻撃は 1 回表で 3 アウトとなった打者の次の打者から始まるので,2 回表の攻撃で先攻の 1~9 番のどの打者から始まるかにより分ける必要がある さらに 2 回裏の後攻の攻撃が 1~9 番のどの打者から始まるかにより場面を区別する必要があるため,9 9=81 の異なるパターンに分けて計算する必要がある ( ただし, 図 6 の第 2 イニングの部分では紙幅の関係により,81パターンの中のごく一部しか表記していない )2 回表開始時 ( 状態 1) は, 先攻と後攻それぞれ次にどの打者から始まるかにより決まる81のパターンがあり, それぞれの該当するブロック (2 回表のどの打者から始まるか当たるブロック ) の状態 1 のセルから,1 回裏終了時 ( 状態 25) のセルを参照することで, 得点分布を移行している 例えば, 図 6 では 1 回裏の後攻の攻撃が 1 番打者で 3 アウトとなり, 次打者が 2 番打者であり,2 回表の先攻の攻撃が 9 番から始まるというパターンの時の得点分布の移行が破線の矢印で示されている 同様にして,2 回表以降の表計算が行われることになるが, 各イニング81のパターンがあるため, 表計算自体は大きなものとなる ただし,2~9 イニングについては基本的な参照関係のパターンは同じなので, セルの位置と参照関係を考えてうまく コピー 貼り付け すれば, 図 6 に示されたようなレイアウトを 1 枚のシートに作成することができる ( 絶対参照 マークをどこにつけて コピー 貼り付け するか工夫しながら行うことで効率的に作成できる ) イニング終了した時の得点差 (d 点リード ) の分布が,9 イニング目の各打者の状態 25に相当する列のセルに算出されるので,9 打者の値を得点毎に加算することで, チームとしての得点差の分布を求めることができる ( 図 6 では 3 イニング目以降は省略しているが, 図 2 の 9 イニング目と同じように, 新たなセルの列を右端につくって得点差の分布を表示するとよい ). d 点リード時での勝つ確率 の算出のための定式化前節と同様に, 先攻が d 点リードしている状態

11 80 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 図 6 d 点リードとなる確率 の算出のための表計算のレイアウトの一例 ( 破線で囲まれた箇所が図 5 に相当する ) ( 注 ) 図 2 の注と同様に, 図中のひとつひとつの横長の長方形が, 図 1 に示したようなブロックひとつひとつを表しており, 矢印は表計算における参照関係の一例を示している 例えば, 左上隅の枠内の 1 番打者から 2 番打者のへの矢印は, 2 番打者が打席に立った時の各場面になる確率は, その前の 1 番打者が打席に立ったときの各場面になる確率を参照して計算され, 場面が推移する ことを表す また, 破線で示された矢印は, 先攻がイニングの表で攻撃開始する時の得点分布は前イニングの裏で後攻の攻撃が 3 アウトになった時の得点分布を参照することで, 得点分布が移行することを示している 後攻のイニングの裏の攻撃開始時の得点分布はそのイニングの表の先攻の攻撃が 3 アウトになったときの得点分布を参照している ただし, 図が煩雑になるので, 大部分の矢印は省略している

12 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 81 から先攻ないしは後攻が勝つ確率を直接表計算することもできる 計算式自体は異なるものの, 図 6 と似たようなレイアウトで 1 枚の Excel シートで表計算できる 紙幅の関係から, 本稿では付録 2 に計算式を示す程度に留めることとする. 計算方法の拡張野球の試合では状態が常に推移しており, リアルタイムで随時確率計算をしながら戦略を策定する必要がある また監督は戦術を導入することで積極的に打撃の確率を変えることができる 本節では, ここまでに述べた表計算による確率計算の手法を, 試合途中での以降の展開についての確率計算の方法や, 打撃の確率を積極的に変える戦術として送りバントが選択できる場合の計算方法の拡張について述べる. 試合途中から以降の展開の計算図 1 や図 2 に示した 得点 i 対 j になる確率 や d 点リードとなる確率 では, 試合開始時を初期条件として, 該当するセルに 1 を代入しており, そ れ以降の展開について確率計算をしている ここで, 例えば 1 回表に, 先攻は得点 2 で状態 2(2 死 1 塁 ) となったとする この状態以降の展開は,1 回表に, 先攻は得点 2 で状態 2 の状況が確率 1 で起こったと考えると, 図 7 に示すように, 既に図 1 に示した表計算のブロックの 1 回表で初期条件である状態 1( 無死走者なし ) のセルに代入されている数値 1 を 0 に置き換え, 得点 2 で状態 2( 無死 1 塁 ) のセルに数値 1 を打ち込むだけで, それ以降の展開について自動的に Excel 上で計算がなされ, そこからの先攻の得点分布が算出できる 後攻の得点分布も同様に算出できるので,2.1 節で示した方法により, その時の勝つ確率も併せて求めることができる このように, 表計算を利用すると, 実際の試合の経過に即した形で, 途中からそれ以降の展開を極めて容易に確率計算できる これをプログラミングで実現しようとすると煩雑となるが, 表計算であれば容易に計算できるという利点がある 図 7 試合途中から以降の展開の計算の例 (1 回表に, 先攻は得点 2 で状態 2(2 死 1 塁 ) となったという場面を初期条件に変更した例 )

13 82 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015). 戦術の導入本節では, 監督が戦術行使することで積極的に打撃の確率を変えることができる場合を扱うための表計算方法の拡張について述べる ここではバントにより選手の打撃確率を変更することで, バントをすべきか否か, またバントにより得点をとる確率がどのように変わるかについて例示する まず, 得点 i 状態 s からそのイニングで k 点とる確率を改めて P(i, s, k) と表すこととする 得点 i =0, 状態 s=1 のとき, P(0, 1, k)=p S P(0, 2, k)+p D P(0, 3, k) +p T P(0, 4, k)+p H P(1, 1, k-1) +p W (0, 3, k)+p out P(0, 9, k) (18) となり, 一般に得点 i で状態 1 のときは, P(i, 1, k)=p S P(i, 2, k)+p D P(i, 3, k) +p T P(i, 4, k)+p H P(i+1, 1, k-1) +p W (i, 3, k)+p out P(i, 9, k) (19) となる 状態 2~24については, P(i, 2, k)=p S P(i, 5, k)+p D P(i, 7, k) +p T P(i, 4, k-1)+p H P(i+1, 1, k-2) +p W P(i, 5, k)+p out P(i, 10, k) (20) P(i, 17, k)=p S P(i, 18, k)+p D P(i, 19, k) +p T P(i, 20, k)+p H P(i+1, 17, k-1) +p W P(i, 18, k)+p out P(i, 25) (21) P(i, 18, k)=p S P(i, 21, k)+p D P(i, 23, k) +p T P(i+1, 20, k-1)+p H P(i+2, 17, k-2) +p W P(i, 21, k)+p out P(i, 25) (22) P(i, 24, k)=p S P(i+2, 21, k-2) +p D P(i+2, 23, k-2)+p T P(i+3, 20, k-3) +p H P(i+4, 17, k-4)+p W P(i+1, 24, k-1) +p out P(i, 25) (23) となる ここで, 得点 i で状態 25( イニング終了 ) になる確率を改めて P(i, 25) とおき, そのイニングで 1 点取る確率として, P(0, 25)=0, P(1, 25)=1, P(2, 25)=0, P(3, 25)=0, P(4, 25)=0, というような境界条件 (1 点取って終了する確率を 1, 他の得点で終了する確率を 0 としている ) を設定すると P(i, s, k) を求めることができる これを表計算で表すと図 8(a) のようになり, そのイニングで 1 点取る確率は0.126と計算できている さて, ここで, 攻撃としてバントを選択できるとする バントについては, 状態 2( 無死 1 塁 ) ないしは状態 10(1 死 1 塁 ) のときのみ行使できるとする また, バント成功すると, 状態 2 から状態 11 (1 死 2 塁 ) ないしは状態 10から状態 19(2 死 2 塁 ) となり, 失敗すると状態 2 から状態 10ないしは状態 10から状態 17(2 死 1 塁 ) となるとする バントが成功する確率をp b, 失敗する確率をp bout とすると, 状態 2 でバントする場合は, P(i, 2, 1)=p b P(i, 11, 1)+p bout P(i, 10, 1) (24) となる 通常の打撃とバントを比較して 1 点取る確率が高い方を選ぶこととすると P(i, 2, 1) p S P(i, 5, 1)+p D P(i, 7, 1) +p T P(i, 4, 0)+p W P(i, 5, 1) +p out P(i, 10, 1) =max (25) 通常の打撃の場合 p b P(i, 11, 1)+p bout P(i, 10, 1) バントを選択できる場合となる なお,(25) 式の通常の打撃の場合については, 本塁打を打ったら 2 点取ってしまい 1 点でイニング終了することはないため (20) 式の右辺第 4 項に相当する項はここでは省略している 図 8(b) はバントが選択できる場合を表しており, 状態 2 と状態 10の列のセルに,MAX 関数を利用して上式に相当する式を表計算している この例では, バントの成功率は0.5に設定しており 1 点取るためにはバント戦術を行使すべきであり, バント戦術を行うという選択肢があることにより, イニングで 1 点取る確率が0.157に増加することがわかる なお, 戦術行使するか否かの表示については, 例えば, セルの 条件付き書式 機能を利用して, バント戦術を選択できるときと通常の打撃のみの時でセルの値を比較し, バント戦術が選択できる場合の方が確率が高い

14 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 83 図 8 イニング内で 1 点取る確率の表計算の例 時にセルを色つけし, そうでない時は色付けしないなどとすることでわかりやすく表示することもできる ちなみに, 図 8 では 1 点取る確率で比較しているが,1 点だけでなく 2 点以上得点する確率を求めることも容易にできる ( 図 8 でセル AA11~AA20 および AA38~AA47に 1 を代入することで,1 点以上得点する確率を 1 に設定できる このときはそのイニングで得点する確率が0.249となり, 成功率 0.5 ではバント戦術を行使しない方がよいという結果が算出される ). 結言本稿では, 野球の試合において,1 試合での得点分布や 得点 i 対 j となる確率, さらには d 点リードとなる確率, d 点リード時での勝つ確率 などを 1 枚の Excel シートにて表計算する方法を提示し た さらに表計算方法の拡張として, 試合途中からそれ以降の展開を計算する方法や, 戦術により打撃の確率を変えることができる場合としてバントを例に, 確率の増加の計算やバントの有無の判定についても示した 本稿では簡易的な計算方法ということで 1 枚の Excel シートを利用したが, 複数シートを使った表計算へ本手法は容易に展開することができる また, 打撃確率については, 試合中一定であるという前提で定式化を行っているが, 例えば積極的に得点圏打率などを設定して表計算に組み入ることなどもできる このような, 本稿で示した方法のさらなる発展については, 他の機会があれば, 提示していきたいと考えている

15 84 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 謝 辞 てる野球の統計学. 東京, 岩波書店. 貴重な助言を下さった 2 名の査読者に感謝いたします 本研究は, 文科省科学研究費補助金基盤研究 (C) 課題番号 の助成を受け実施した 文献 1) Bukiet,B.,Harold,E.R.&Palacios,J.L.(1997) A Markov Chain Approach to Baseball. Operations Research, 45, ) D'Esopo, D. A. & Lefkowitz, B. (1977) The Distribution of Runs in the Game of Baseball. In S. P. Ladany & R. E. Machol (Eds.) Optimal Strategies in Sports, 55 62, Amsterdam: North-Holland Publishing Co.. 3) 伏見正則 (1987) 確率と確率過程, 東京, 講談社. 4) 廣津信義, 濱野光之 (2009) 得点先取方式の球技の試合における確率計算の方法 定式化とバレーボールの試合への応用. 順天堂スポーツ健康科学研究,1, ) 廣津信義, 宮地力 (2004) 野球チームのラインナップ選定のための数理的一手法 日本代表チームの選定を例として. オペレーションズ リサーチ,49, ) Hirotsu, N. & Wright, M. (2003) A Markov chain approach to optimal pinch hitting strategies in a designated hitter rule baseball game. Journal of Operations Research Society of Japan, 46, ) Hirotsu, N. & Wright, M. (2004) Modeling a baseball game to optimize pitcher substitution strategies using dynamic programming. In S. Butenko, J. Gil-Lafuente & P. M. Pardalos (Eds.).Economics,Management,andOptimization in Sports. Berlin, , Berlin: Springer- Verlag. 8) Hirotsu, N. & Wright, M. (2005) Modelling a baseball game to optimise pitcher substitution strategies incorporating handedness of players. IMA Journal of Management Mathematics, 16, ) 廣津信義, 吉井秀邦, 青葉幸洋, 吉村雅文 (2010) 時間内で得点を競う球技の試合における確率計算の方法. 順天堂スポーツ健康科学研究,1, ) Lewis, M. (2003) Moneyball: The Art of Winning an UnfairGame.NewYork:W.W.Norton. 11) 鳥越規央, データスタジアム野球事業部 (2014) 勝 付録 付録 1 1 イニング同一打者での得点分布の計算方法 1 イニングでの同一打者が打席に立つとしたときの得点分布を計算する方法で, 状態 10~24に関する計算式は以下のように表すことができる P(i, 10)=(p S +p W )P(i, 9)+p S P(i-1, 11) +p S P(i-1, 12)+p S P(i-2, 15)+p out P(i, 2) P(i, 11)=p D P(i, 9)+p D P(i-1, 11)+p D P(i-1, 12) +p D P(i-2, 15)+p out P(i, 3) P(i, 12)=p T P(i, 9)+p T P(i-1, 10)+p T P(i-1, 11) +p T P(i-1, 12)+p T P(i-2, 13)+p T P(i-2, 14) +p T P(i-2, 15)+p T P(i-3, 16)+p out P(i, 4) P(i, 13)=(p S +p W )P(i, 10)+p W P(i, 11) +p S P(i-1, 13)+p S P(i-1, 14)+p S P(i-2, 16) +p out P(i, 5) P(i, 14)=p W P(i, 12)+p out P(i, 6) P(i, 15)=p D P(i, 10)+p D P(i-1, 13)+p D P(i-1, 14) +p D P(i-2, 16)+p out P(i, 7) P(i, 16)=p W P(i, 13)+p W P(i, 14)+p W P(i, 15) +p W P(i-1, 16)+p out P(i, 8) P(i, 17)=p H P(i-1, 17)+p H P(i-2, 18) +p H P(i-2, 19)+p H P(i-2, 20)+p H P(i-3, 21) +p H P(i-3, 22)+p H P(i-3, 23)+p H P(i-4, 24) +p out P(i, 9) P(i, 24)=p W P(i, 21)+p W P(i, 22)+p W P(i, 23) +p W P(i-1, 24)+p out P(i, 16) 付録 2 d 点リード時での勝つ確率 の算出のための定式化先攻が d 点リードしている場面から先攻の勝つ確率を計算するための式を示す d 点リードとなる確率 については, イニングの表裏を T, B で表すこととし, 先攻が d 点リード, 第 I イニング表の状態 s で先攻の n 番打者が次の打席に立ち, その裏の後攻の攻撃は m 番打者から始まるという場面を考え, この場面から先攻が勝つ確率を改めて P win (d, s, I, T, n, m) と表記する このとき, 例えば状態 1 については P win (d, 1, I, T, n, m) =p Sn P win (d, 2, I, T, n+1, m) +p Dn P win (d, 3, I, T, n+1, m) +p Tn P win (d, 4, I, T, n+1, m) +p Hn P win (d+1, 1, I, T, n+1, m) +p Wn P win (d, 2, I, T, n+1, m)

16 順天堂スポーツ健康科学研究第 6 巻第 2 号 ( 通巻 67 号 ) (2015) 85 +p outn P win (d, 9, I, T, n+1, m) が成り立つ 2 アウト時 ( 状態 17~24) に n 番打者がアウトになった場合, 第 I イニング裏の状態 1 からの後攻の攻撃に代わる 例えば, 状態 18(2 死 1 塁 ) については P win (d,18,i,t,n,m) =p Sn P win (d, 21, I, T, n+1, m) +p Dn P win (d+1, 23, I, T, n+1, m) +p Tn P win (d+1, 20, I, T, n+1, m) +p Hn P win (d+2,17,i,t,n+1, m) +p Wn P win (d, 21, I, T, n+1, m) +p out np win (d,25,i,t,n+1, m) となり, 右辺の最終項で 3 アウトの状態になった場合での, 勝つ確率とつながり, さらに P win (d, 1, I, B, n+1, m)=p win (d, 25, I, T, n+1, m) とすることで, イニング表の先攻の攻撃の 3 アウトの状態とそのイニング裏の開始の状態 1 で勝つ確率の値を結びつけることができる それ以降の後攻の攻撃は, 先攻 d 点リードのまま第 I イニング裏の状態 1 で m 番打者が打席に立つ場面となり, P win (d, 1, I, B, n+1, m) =q Sm P win (d, 2, I, B, n+1, m+1) +q Dm P win (d, 3, I, B, n+1, m+1) +q Tm P win (d, 4, I, B, n+1, m+1) +q Hm P win (d-1, 1, I, B, n+1, m+1) +q Wm P win (d, 2, I, B, n+1, m+1) +P outm P win (d, 9, I, B, n+1, m+1) となる 他の状態についても同様に計算できる 後攻の攻撃でも,2 アウト時 ( 状態 17~24) に m 番打者がアウトになった場合, 第 I+1 イニング表の状態 1 からの先攻 の攻撃に代わるので, 例えば, 状態 18については P win (d,18,i,b,n+1, m) =q Sm P win (d,21,i,b,n+1, m+1) +q Dm P win (d,23,i,b,n+1, m+1) +q Tm P win (d-1, 20, I, B, n+1, m+1) +q Hm P win (d-2,17,i,b,n+1, m+1) +q Wm P win (d, 21, I, B, n+1, m+1) +q outm P win (d, 25, I+1, B, n+1, m+1) となり, 右辺の最終項について P win (d, 1, I+1, T, n+1, m+1) =P win (d,25,i,b,n+1, m+1) とすることで, 第 I+1 イニング表につながる 試合終了時 (9 イニング裏で 3 アウトの状態 ) で d>0 ならば先攻の勝つ確率は 1 となり,d<0 ならば先攻の勝つ確率は 0 となると考えると,n, m=1,,9について境界条件を,d>0 ならば P win (d, 25, 9, B, n, m)=1, d<0ならば P win (d,25,9,b,n,m)=0 と設定して P win (d, s, I, T, n, m) や P win (d, s, I, B, n, m) を求めていけばよい ここで, 試合終了時同点の場合は引き分けとし勝つ確率を 0.5と考えるならば,d=0 で P win (d,25,9,b,n,m)=0.5 と設定すればよい なお, 実際の試合では, 後攻が得点リードして 9 回表を終了したら, 試合終了となるので, 境界条件は d<0 ならば P win (d, 25, 9, T, n, m)=0 とするべきかもしれないが, その際も 9 回裏に後攻が攻撃することとして計算する方が, 勝つ確率の結果を変えることなく, 簡潔に計算できる 平成 26 年 10 月 3 日受付 平成 26 年 12 月 24 日受理