Microsoft PowerPoint - JAIMAセミナー(MCM） ppt [互換モード]

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ためひといんそん
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1 モンテカルロ法を用いた不確かさ評価公益社団法人日本分析化学会標準物質技能試験委員会事務局小島勇夫主催 :( 一社 ) 日本分析機器工業会国際会議場コンベンションホール B 1

2 参考文書 : (1) GUM 補足文書 ISO 98-3/Supplement 1 ( JCGM101:2008) モンテカルロ法による分布の伝播 (2) EURACHEM/CITAC による不確かさガイド : (Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement: EURACHEM CITAC Guide CG4,Third Edition,2012 年 ) WEB サイトからダウンロード日本語訳 : 分析値の不確かさ - 求め方と評価日本分析化学会監訳米沢仲四郎訳丸善出版 (3) 計測標準と計量管理小島勇夫 Vol.66, No.4, 24 頁, 2017 EXCEL を用いたモンテカルロ法による不確かさ計算 2

3 モンテカルロ法 (Monte Carlo method) モンテカルロ法 : シミュレーションや数値計算を乱数を用いて行う手法の総称元々は中性子が物質中を動き回る様子を探るためにジョンフォンノイマンにより考案された手法カジノで有名な国家モナコ公国の 4 つの地区 ( カルティ ) の 1 つであるモンテカルロから名付けられた ( ウィキペディア ) 難解な物理現象の解析にも適用できるが不確かさ計算や技能試験のシミュレーションなどの比較的簡単な対象についてはパソコンがあれば誰でも利用可能な手法である!! 計算機実験ともいう

4 QUAM2012 附属書 E.3.2 原理 GUM 法 (A) 不確かさの伝播則モンテカルロ法 (B) 分布の伝播 x x x, u( 1) 1 x, u( 2) 2 x, u( 3) 3 x A Y f (X ) y, u( y) g x1 ( 1 ) g x2 ( 2 ) g x3 ( 3 ) Y f (X ) g Y B ( ) 要因ごとの標準不確かさから伝播則により合成する要因ごとの確率分布からサンプリングして多数回の測定のシミュレーションから出力量の分布を求める 4

5 GUM と MCM: 矩形分布 GUM による信頼の水準 95% の範囲 a y s a MCMによる95% 包含区間標準偏差 ;s = a/sqrt(3) GUM 拡張不確かさ ;U GUM =2 a/sqrt(3) =1.15 a 95% 包含区間 ;U MCM =1.65 a/sqrt(3) =0.95 a 5

6 EXCEL における確率密度分布に対応した乱数発生確率分布 ( 正規分布を例にしている ) =NORMDIST(x, 100, 3, FALSE) 累積分布関数 =NORMDIST(x, 100, 3, TRUE) 平均値 =100 標準偏差 = 確率 0.1 累積値観測値観測値累積分布関数の逆関数 =NORMINV(RAND(),100, 3) 縦軸の累積値の値を RAND() 関数で発生して対応する横軸の数値を求めると目的の分布に対する乱数となる 6

7 EXCEL における基準矩形分布乱数の生成 (0,1) 区間の矩形分布乱数は EXCEL では次の 2 つの関数が用意されている 1.EXCELシート RAND() シート内のセルに =RAND() と記述する別のセルに追記すると新たな乱数が作成される 2.EXCEL VBA Rnd() マクロプログラムで Call Randmize に続いて r=rnd() のように使う rは0<r<1の矩形分布乱数を保存する (0,1) 矩形分布乱数 ( 基本矩形乱数 ) は他の異なる確率分布からのサンプリングに用いられる 7

8 QUAM2012 附属書 E.3.4 分布表 1 モンテカルロシミュレーションに用いる計算式 PDF 計算式正規分布 NORMINV(RAND(), x, u) 矩形分布半幅, h x + 2*h*(RAND() - 0.5) 標準不確かさ, u x + 2*u*SQRT(3) *(RAND() - 0.5) 三角分布半幅, h 標準不確かさ, u x + h*(rand() - RAND()) x + u*sqrt(6) * (RAND() - RAND()) t 分布 x + u*tinv(rand(), ν eff ) *SIGN(RAND()-0.5) 8

9 QUAM2012 附属書 E.3.4 事例 : 測定された分析種の質量 a 風袋共の質量 b 容器の質量 c とするときの質量比 y b a c a b c の数値標準不確かさ及び指定された分布を表 E3.2 の行 3 から 5 に与える 9

10 表 E3.2: モンテカルロシミュレーションのスプレッドシート上での実行 1 個の観測値 1 組の観測による計算 ( 測定 ) 値 10

11 図 3.1 シミュレーション結果のヒストグラム EXCEL シートで実行 : サンプリング数を 500 回としたときの変化を確認 11

12 EXCEL マクロプログラムで計算 MCM と GUM の比較 MCM PDF GUM PDF MCS 繰返し回数回 1.5 確率観測値 Average(x) u(x) y(low)95% y(high)95% MCM GUF

13 マクロプログラムの入力法要因数? 3 MCM 数? 包含確率? 0.95 要因番号 U/R? 分布? 最良推定値標準不確か /a? さ /b? 自由度 /d? 1 U NORM U NORM U NORM 説明単位 GUM 計算? Yes 合成 uc 包含係数? 2 Graph 範囲? 自動的に計算される 13

14 モデル関数の入力マクロプログラム中にタイプする Function Model_Equation(N As Long, x() As Double) ' モデル式を記述する x(i) は種々の入力値を表すので注意する ' 特別なチェックはされていないので要注意 ' N : Number of Inputs ' y = 0: For j = 1 To N: y = y + x(j): Next j y = x(1) / (x(2) - x(3)) Model_Equation = y End Function y b a c 14

15 選択できる確率密度関数入力規則 U R NORM x0, ux - tdist1 x0, ux, Df - tdist2 x0, ux, Df - RECT x0, ux a, b TriA x0, ux a, b Utype - a, b CTRAP - a, b, d 正規分布 t 分布 ( 校正証明書等による ) t 分布 ( 複数の観測値による ) 矩形分布三角分布 U 字分布曲線を持つ台形分布詳細はスライド 2 の参考文書 (1) 6 章を参照のこと 15

16 矩形分布の加算 1 個矩形分布 2 個加算三角分布 10 個加算ほぼ正規分布 16

17 ISO Guide 98-3/S.1 (JCGM 101) 5.10 Conditions for the valid application of the described Monte Carlo method MCM を適用するための前提条件 a) 関数 f は入力量 Xi の最良推定値 xi の近傍で Xi について連続であること b) 出力量 Y の分布関数は連続であり, 厳密に増加関数であること c) y の PDF は, 最小の包含区間を一意に決定できることその必要条件を次にあげる 1) PDF が厳密に正である区間で連続 2) 単峰形 3) 峰の左側では厳密に増加関数で, 右側では厳密に減尐関数であること d) Y の期待値 E(Y) とその分散 V(Y) が存在すること e) 十分に大きな数の MCM の繰返しが行えること 17

18 参考情報 : NIST ホームページ計算プログラム説明書 NISTUncertaintyMachine-UserManual.pdf 18

19 ご清聴ありがとうございます質問などは下記へ! 19

2014 JAIMA セミナー ( 不確かさ編 ) 国際会議場 3 階 303 会議室

2014 JAIMA セミナー ( 不確かさ編 ) 国際会議場 3 階 303 会議室国際会議場 3 階 303 会議室 EURACHEM/CITAC による不確かさガイド : (Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement: EURACHEM CITAC Guide CG4,Third Edition,2012 年 ) 興味のある方は WEB サイトからダウンロードできる http://www.eurachem.org/index.php/publications/guides/