Microsoft Word - 構造振動特論-08回-2012.doc

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1 最 終 印 刷 日 時 :/6/ 8:6: 8 第 8 回 数 値 積 分 法 8. 数 値 積 分 法 の 概 要 図 8- に 示 す 質 点 自 由 度 系 モデルにおいて, 地 面 から 加 速 度 y&& が 作 用 しているときの 運 動 方 程 式 は 式 (8.)で 表 される. y && + cy& + ky = y && (8.) 以 下 では,この 運 動 方 程 式 を 数 値 積 分 法 により 解 く 事 を 考 える. 数 値 積 分 法 により 解 く という 事 は, 与 えられた 地 動 加 速 度 y&& の 時 刻 歴 に 対 し, 時 刻 における 応 答 を 数 値 的 に 求 める 事 である. 本 章 では, 自 由 度 系 モデルの 相 対 変 位 y()に 対 して, 便 宜 上, 相 対 速 度 を v(), 相 対 加 速 度 を a() で 表 す.また, 地 動 加 速 度 を a g ()で 表 す. 今, 図 8- に 示 すようにΔ の 刻 みで 地 動 加 速 度 a g ()の 値 がわかっているとする.ここで, 番 目 のデータを a g = a g ( ) = a g (Δ)として 表 す 事 とする.この 時, 時 刻 = Δ における 系 の 相 対 変 位 を y, 相 対 速 度 を v, 相 対 加 速 度 を a とすると, 式 (8.)は 次 のような 形 に 書 く 事 ができる. y c, k : 質 量 c : 減 衰 k : 剛 性 慣 性 力 ( && y + && y) 減 衰 力 c y& 復 元 力 k y y (a) 地 震 動 を 受 ける 質 点 自 由 度 系 モデル (b) 慣 性 力 と 減 衰 力 と 復 元 力 の 釣 合 い 図 8- 地 震 動 を 受 ける 質 点 自 由 度 系 モデル a g () 図 8- 与 えられた 地 動 加 速 度 のデータ 8-

2 最 終 印 刷 日 時 :/6/ 8:6: a + cv + ky = ag (8.) 一 方, 時 刻 + = ( + )Δ に 関 しては, 式 (8.)は 式 (8.3)の 形 で 書 く 事 ができる. a + cv + ky = a (8.3) g+ 加 えて, 時 刻 = に 関 しても 同 様 に, 式 (8.)は 式 (8.)の 形 で 書 く 事 ができる. a + cv + ky = a g (8.) ここで,v = v()と y = y()の 値 は 初 期 条 件 として 与 えられる 値 である( 通 常, 地 震 開 始 前 は 静 止 しているので v = y = である).また, 地 震 開 始 前 において, 地 動 加 速 度 は a g = であるから,a の 値 は 式 (8.5)から 定 まる. cv + ky a そうすると, 問 題 としては, 地 動 加 速 度 a g の 時 刻 歴 が 地 震 終 了 時 まで 全 て 既 知 で 初 期 条 件 も 分 か っている 時 に, 相 対 変 位 y, 相 対 速 度 v, 相 対 加 速 度 a を = から 順 々に 求 めていけばよい,と いう 事 となる.このためには,y と v,a を 相 互 に 関 連 づける 必 要 がある.そこで,これまでに 様 々 な 数 値 積 分 法 が 開 発 され, 構 造 物 の 応 答 計 算 に 使 われている. = (8.5) 8. 線 形 加 速 度 法 線 形 加 速 度 法 においては, 図 8-3 に 示 すように 相 対 加 速 度 a()が 時 刻 から + 時 刻 の 間 で 直 線 的 に 変 化 すると 仮 定 して,a と v,y との 関 係 付 けを 行 なう. 図 8-3(a)のように a()を 仮 定 するとき, a()は 時 刻 から + 時 刻 の 間 で 式 (8.6)のように 表 される. a a a a + Δ () = + ( ) このとき 時 刻 から + 時 刻 の 間 での 速 度 v(), 変 位 y()は 式 (8.7),(8.8)のように 表 される. a+ a a+ a v() = v ( ) ( ) ( ) + a + d = v + a + Δ Δ (8.7) a a a a y y v a d y v a Δ 6 Δ + + () = + + ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) 3 (8.6) (8.8) 図 8-3 線 形 加 速 度 法 8-

3 最 終 印 刷 日 時 :/6/ 8:6: 式 (8.7),(8.8)に = + = + Δ を 代 入 し, 式 (8.9),(8.)が 得 られる. a+ a v+ = v + aδ + ( Δ ) = v + ( a+ + a) Δ Δ (8.9) y+ = y + vδ + aδ + ( a+ a) Δ = y + vδ + aδ + a+ Δ (8.) 一 方, + 時 刻 においても 運 動 方 程 式 が 成 立 しなければならないから, 式 (8.)が 得 られる. a + cv + ky = a (8.) g+ 式 (8.9)~(8.)は,y +,v +,a + に 関 する 連 立 方 程 式 である. 少 しわかりやすく 整 理 すると, 式 (8.) のように 表 すことができる. a+ + cv+ + ky+ = ag+ ( Δ ) a+ + v+ = v + ( a Δ ) Δ + = + Δ + Δ ( 6) a+ y+ y v ( a 3) (8.) これより y +,v +,a + を 求 める 事 ができれば, 今 度 は + 時 刻 の 応 答 を + 時 刻 の 応 答 から 求 め る 事 ができる.これを 繰 り 返 す 事 により, 応 答 計 算 を 行 なう 事 ができる. 式 (8.)を 加 速 度 a + について 解 く 事 とする. 式 (8.9)と 式 (8.)を 代 入 して 式 (8.)から y +,v + を 消 去 する. a + c v + ( ) Δ + k y + v Δ + a Δ + a Δ = a 3 6 c k a + Δ + Δ a+ = ag+ c v + Δ k y + vδ + aδ g+ 従 って,a + を 式 (8.3)から 求 める 事 ができる. a + c a k ag+ + v y v a + Δ + + Δ + Δ 3 = c k + Δ + Δ 6 (8.3) 式 (8.3)から a + を 求 めた 後 は, 式 (8.9),(8.)に a + を 代 入 する 事 によりそれぞれ v +,y + を 求 める 事 ができる. 8.3 平 均 加 速 度 法 一 方,よく 用 いられる 解 法 として, 平 均 加 速 度 法 がある. 今 度 は, 相 対 加 速 度 a()が 時 刻 から + 時 刻 の 間 では 図 8- に 示 すように 一 定 値 ( 平 均 値 )であると 仮 定 して,a と v,y との 関 係 付 け を 行 なう. 図 8-3(a)のように a()を 仮 定 するとき,a()は 時 刻 から + 時 刻 の 間 で 式 (8.)のように 表 される. = (8.) + () a このとき 時 刻 から + 時 刻 の 間 での 速 度 v(), 変 位 y()は 式 (8.5),(8.6)のように 表 される. v () = v + + d= v + + ( ) (8.5) 8-3

4 最 終 印 刷 日 時 :/6/ 8:6: 次 曲 線 ( 直 線 ) a() 時 刻 と + 時 刻 での v() 平 均 値 と 仮 定 a + a + a + v + y + 次 曲 線 a v y (a) 加 速 度 (b) 速 度 (c) 変 位 図 8- 平 均 加 速 度 法 + + y() = y ( ) ( ) ( ) + v + d = y + v + (8.6) 式 (8.5),(8.6)に = + = + Δ を 代 入 し, 式 (8.7),(8.8)が 得 られる. 式 (8.7),(8.8)を 式 (8.)に 代 入 する. = + Δ (8.7) + v+ v y y v + + = + Δ + Δ (8.8) a a a a a c v + k y v Δ + + Δ + Δ y = a g+ 式 (8.9)を a + について 解 くと 式 (8.)が 得 られる. c k a a + Δ + Δ a = a c v + Δ k y + v Δ + Δ y + g+ + c a k a ag+ + v y v + Δ + + Δ + Δ a+ = c k + Δ + Δ (8.9) (8.) 式 (8.)から a + を 求 めた 後 は, 式 (8.7),(8.8)に a + を 代 入 する 事 によりそれぞれ v +,y + を 求 める 事 ができる. 8. Newark のβ 法 以 上 に 述 べた 数 値 積 分 法 は, 次 に 述 べる Newarkのβ 法 としてまとめる 事 ができる.なお,Newark というのはこの 公 式 を 開 発 した 人 物 の 名 前 である. Newark のβ 法 では, + 時 刻 の 間 での 速 度 v +, 変 位 y + を 式 (8.),(8.)の 形 で 仮 定 する. = + Δ (8.) + v+ v y = y + v Δ + βa Δ + βa Δ + + (8.) 8-

5 最 終 印 刷 日 時 :/6/ 8:6: このとき, 加 速 度 a + は 式 (8.3)から 得 る 事 ができる. a + c a k ag+ + v y v a + Δ + + Δ + β Δ = c k + Δ + β Δ (8.3) 式 (8.3)と 式 (8.3)の 比 較 より, 式 (8.3)においてβ = /6 とおくと 式 (8.3)と 一 致 する 事 が 確 認 でき る. 同 様 に, 式 (8.3)においてβ = / とおくと 今 度 は 式 (8.)と 一 致 する 事 が 確 認 できる.なお, 学 術 論 文 ないし 様 々な 文 献 で, 数 値 積 分 法 は Newark のβ 法 (β = /)を 用 いたとの 記 載 が 見 られる が,これは 平 均 加 速 度 法 で 数 値 積 分 を 行 なったと 読 み 替 えて 問 題 はない. 実 際 には, 線 形 加 速 度 法 の 場 合 には 数 値 積 分 の 安 定 性 の 問 題 がある( 積 分 刻 みΔ を 細 かく 取 らないと, 繰 り 返 して 解 析 を 行 ううちに 答 えが 発 散 してしまう)ため, 無 条 件 に 安 定 である 平 均 加 速 度 法 を 用 いる 事 が 多 い. なお, 非 線 形 領 域 での 応 答 計 算 の 場 合, 本 章 で 述 べた 解 法 よりも 増 分 形 式 による 解 法 を 用 いる 事 が 一 般 的 である.これについては 次 章 にて 改 めて 述 べる. 8.5 数 値 積 分 によるエネルギーの 算 定 法 ここで, 話 を 変 えて 数 値 積 分 について 述 べる. 始 めに, 図 8-5 に 示 すように 関 数 f(x)の x による 定 積 分 を 数 値 的 に 求 めたいとする.ここでは, 一 般 的 によく 使 う 方 法 の 一 つとして 台 形 積 分 を 紹 介 す る. 台 形 積 分 とは, 文 字 通 り 定 積 分 を 台 形 の 面 積 の 総 和 として 求 める 方 法 である(これが, 積 分 は 掛 け 算 と 足 し 算 の 組 み 合 わせと 呼 ばれるが 所 以 である). 図 8-5 において, ステップでの 横 軸 の 値 を x,そのときの 被 積 分 関 数 f(x)の 値 を f とする. 次 ステップ(+ ステップ)での 値 をそれぞれ x +,f + とし, 図 8-5 中 の x から x + の 区 間 での f(x)の 定 積 分 の 値 を 図 中 の 台 形 部 分 の 面 積 で 近 似 する 事 を 考 える( 式 (8.)). x+ f ( x) dx ( f + f+ )( x+ x) (8.) x 同 様 に,その 次 ステップ(+ ステップ)での 値 をそれぞれ x +,f + とすると,x から x + の 区 間 での f(x)の 定 積 分 の 値 は 式 (8.5)で 近 似 できる. f(x) f + f + 台 形 部 分 の 面 積 に 着 目 する f x x + x + x 図 8-5 台 形 積 分 の 考 え 方 8-5

6 最 終 印 刷 日 時 :/6/ 8:6: x+ x f x dx f f x x f f x x ( ) ( + )( ) + ( + )( ) = + i= ( f f )( x x ) i i+ i+ i (8.5) 同 様 にして, 最 初 のステップ( ステップ)から 最 終 ステップ(N ステップ)までの f(x)の 定 積 分 の 値 は 式 (8.6)で 近 似 する. xn N f ( x) dx ( fi + fi+ )( xi+ xi) (8.6) x i= 図 8-5 からも 明 らかなように, 式 (8.6)の 精 度 は,ステップを 細 かく 刻 めば 刻 むほど 高 くなる. 一 方, 第 7 週 に 説 明 したように, 地 震 開 始 時 ( = )から 時 刻 d までの 運 動 エネルギーW K, 減 衰 力 によるエネルギーW D,ひずみエネルギーW S, 入 力 エネルギーE I はそれぞれ 式 (8.7)~(8.3)で 定 義 される. K d d ( d) = = () () W yyd &&& a v d (8.7) D d d ( ) { ( )} d = = W cy& d c v d (8.8) S d d ( d) = = ( ) ( ) W kyyd & ky v d (8.9) d d ( ) = = () () E y && yd & a v d (8.3) I d g これらを 台 形 積 分 により 算 定 する 場 合, 算 定 式 は 以 下 の 通 りである. W ( ) ( a v + a v ) Δ (8.3) N K d + + = N W ( ) c( v + v + ) Δ (8.3) D d = W ( ) k( y v + y v ) Δ (8.33) N S d + + = N E ( ) ( a v + a + v + ) Δ (8.3) I d g g = なお, 数 値 積 分 により 運 動 方 程 式 が 精 度 よく 解 けているかどうかの つの 目 安 として,エネルギ ーバランスのチェックを 行 う 事 が 望 ましい.ここで,エネルギーバランスによる 誤 差 を e r とおき, 式 (8.35)で 定 義 する. ( ) + ( ) + ( ) ( ) E ( ) W W W E K d D d S d I d r = (8.35) I d e 誤 差 e r の 許 容 値 としてどの 程 度 とするかは, 個 々の 解 析 ケースにより 異 なると 思 われるが, 筆 者 としては, 特 に 強 い 根 拠 があるわけではないが,e r <. 程 度 を 一 つの 目 安 としている. 誤 差 が 大 きすぎる 場 合 には, 基 本 的 には 積 分 時 間 刻 みを 小 さくする 事 で 対 応 する 事 ができる. 8-6