領域研究報告会ポスター発表資料(2004/12/07)

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1 : 大 規 模 シミュレーション 向 け 基 盤 ソフトウェアの 開 発 本 研 究 では, 従 来 それぞれの 分 野 において 別 個 に 進 められてきた 数 値 アルゴリズムや 並 列 実 装 手 法 に 関 する 知 見 をもとに, 今 後 の 計 算 環 境 の 高 並 列 化 に 対 応 したスケーラブルなソフ トウェア 基 盤 を 整 備 することを 目 指 している. 基 礎 分 野 に 関 しては 固 有 値 解 法 連 立 一 次 方 程 式 解 法 高 速 関 数 変 換 の 三 分 野 を 設 定 し, 各 分 野 の 研 究 者 の 協 力 のもとに 研 究 を 進 めるとともに, 積 極 的 にベンダ との 共 同 研 究 を 推 進 し, 今 後 普 及 すると 思 われる 計 算 機 環 境 を 想 定 した 開 発 を 行 っている. 計 算 手 法 まず, 固 有 値 解 法, 線 形 解 法 については,スケーラビリティの 観 点 から 共 役 勾 配 法 共 役 残 差 法 系 の 反 復 解 法 を 中 心 に 研 究 を 進 め,これらの 拡 張 について 複 数 の 提 案, 発 表 を 行 った. また, 代 数 的 マルチグリッド 前 処 理 法 に 着 目 するとともにその 並 列 実 装 手 法 に 関 して 研 究 を 進 め, 大 規 模 計 算 機 環 境 上 で 有 効 性 を 実 証 した.また, 高 速 関 数 変 換 については, 高 速 ル ジャンドル 変 換 の 提 案,ライブラリ 化 を 行 うとともに, 高 速 フーリエ 変 換 の 効 率 的 な 実 装 手 法 について 研 究 を 行 い, 複 数 のアーキテクチャ 上 での 効 率 的 な 実 装 方 式 を 提 案 した.これらの 成 果 の 一 部 は 論 文 として 発 表 するとともに,ライブラリの 核 となる 技 術 として 現 在 実 装 を 進 め ている. 実 装 ハードウェア, システム 技 術 に 関 しては, 今 後 普 及 すると 思 われる 利 用 形 態 を 的 確 に 予 測 する とともに,これらの 上 で 高 い 性 能 を 発 揮 することのできるソフトウェアを 設 計, 開 発 していく 必 要 がある. 現 時 点 では 共 有 メモリ 型 並 列 計 算 機 (SGI Altix 3700), ベクトル 計 算 機 (EC SX- 6i), 及 び 中 規 模 PC クラスタ(IA32)を 導 入 し, 最 新 の 計 算 機 環 境 のもとで 可 搬 性 を 備 えたラ イブラリの 開 発 を 行 っている. 今 後 の 傾 向 としては, マイクロプロセッサの 消 費 電 力 上 の 制 約 から,より 高 並 列 な 環 境 が 一 般 的 になってくるものと 予 想 される.このような 背 景 から, 本 グループでは 平 成 16 年 度 より IBM Watson 研 究 所 との 間 で 国 内 初 の Blue Gene/L の 利 用 に 関 する 共 同 研 究 契 約 を 締 結 し, 数 万 プロセッサレベルでの 高 並 列 な 環 境 下 での 数 値 ライブラリの 実 装 技 術 について 研 究 を 開 始 している. 今 後 応 用 分 野 の 研 究 者 との 研 究 協 力, 設 備 の 相 互 利 用 を 拡 大 し,より 大 規 模 な 環 境 を 用 いた 評 価 を 進 めていく 予 定 である. ユーザ 仕 様 設 計 ライブラリの 設 計 においては, 可 搬 性 を 重 視 するとともに, 利 用 者 が 効 率 的 に 処 理 を 記 述 でき る 必 要 がある. 本 研 究 では, 基 礎 的 な 数 値 ライブラリについては 標 準 的 なプログラミング 言 語 (C, Fortran77)を 用 いて 記 述 し,より 高 級 な 言 語 (C++, Fortran95)によりオブジェクト 指 向 に 基 づいたインタフェースを 付 加 する 方 針 で 実 装 を 行 っている. 並 列 処 理 に 関 してはMPI を 標 準 的 なインタフェースとして 採 用 しているが,これと 平 行 して SPMD 型 並 列 言 語 の 利 用 技 術 に 関 して 研 究 を 進 めており,Co-Array Fortran に 関 しては 平 成 17 年 度 よりスカラアーキテクチャを 対 象 としたコンパイラの 移 植 性 向 上 に 関 する 研 究 を Cray 社 と 共 同 で 開 始 する 予 定 である.また,より 抽 象 度 の 高 いインタフェースとして,データ の 受 け 渡 しと 演 算 処 理 を 分 離 し, 演 算 処 理 を 文 字 列 で 指 定 することにより 計 算 環 境 への 依 存 を 取 り 除 いたライブラリインタフェースSILC (Simple Interface for Library Collections) に 関 する 研 究 を 進 めている. OO インタフェース (Fortran95,C++,SILC) SPMD 型 並 列 言 語 によるプログラミング 機 能 (Co-Array Fortran,Unified Parallel C) 高 並 列 計 算 環 境 に 適 した 反 復 解 法 高 速 関 数 変 換 ライブラリ (Fortran77,C + MPI, 既 存 ライブラリの 統 合 機 能 ) 担 当 : 西 田 晃 ( 東 京 大 学 JST)

2 SILC: Simple Interface for Library Collections 目 標 数 値 計 算 プログラムを 計 算 機 環 境 に 依 存 しない 形 で 記 述 し 書 き 換 えなしに 利 用 できること 基 本 アイデア データを 預 けて 計 算 してもらう 計 算 リクエストは 文 字 列 ( 数 式 )で 指 示 する 計 算 にはユーザのメモリ 空 間 を 使 用 しない 設 計 と 実 装 設 計 方 針 ユーザプログラムとライブラリプログラムの 分 離 データ 授 受 と 計 算 リクエストの 分 離 実 装 クライアント サーバ 方 式 逐 次 版 と 並 列 版 命 令 記 述 環 境 に 依 存 しない 命 令 記 述 線 形 代 数 を 中 心 とする 演 算 子 関 数 ( 戻 り 値 あり)と 手 続 き( 戻 り 値 なし) エイリアス( 変 数 の 相 互 干 渉 )の 防 止 エイリアスの 例 : f(x) + (X = Y) 代 入 と 手 続 き 呼 出 しは 文 関 数 の 引 数 は 変 更 不 可 従 来 法 解 B 従 来 法 CALL LU (, A, IP, STATUS ) IF ( STATUS.EQ.0 ) THE CALL SOLVE (, A, IP, B ) ED IF LU (, A, IP, STATUS ) SOLVE ( 凡 例 データ データ 解 x は 配 列 B に 格 納 される SILC CALL PUT ( A, A, ) CALL PUT ( b, B, ) CALL SILC ( x = A\b ) CALL GET ( x, X, ) 従 来 法 SILC プログラムとデータのメモリ 空 間 共 通 独 立 データ 授 受 と 演 算 リクエスト 同 時 個 別 計 算 リクエスト 連 立 一 次 方 程 式 Ax = b を 解 くプログラムの 例, A, IP, B ) SILC ユーザプログラム PUT PUT SILC GET 解 A b x = A\b x 預 ける 預 ける もらう 仮 想 的 なメモリ 空 間 PUT GET A x b x = A\b ライブラリプログラム 担 当 : 梶 山 民 人 (JST 東 京 大 学 )

3 特 徴 様 々な 格 納 形 式 の を 受 け 付 ける 様 々な 解 法 と 前 処 理 を 組 み 合 わせて 使 える 反 復 解 法 対 称 非 対 称 前 処 理 Jacobi SSOR Block Jacobi ILU Hybrid CG BiCG CGS BiCGSTAB BiCGSTAB(l) GPBiCG Orthomin(m) GMRES(m) QMR Jacobi Gauss-Seidel SOR 反 復 法 を 使 用 反 復 解 法 ライブラリ I+S type 単 位 行 列 と 係 数 行 列 A=(a ij )のi+1の 部 分 の 符 号 を 逆 にしたもの S 係 数 行 列 A( 自 由 な 格 納 形 式 ) 右 辺 ベクトルb aij j = i + 1 = 0 else 求 解 格 納 形 式 の 変 換 分 散 方 式 の 変 換 反 復 解 法 ライブラリルーチン CG GPBiCG 行 列 ベクトル 積 前 処 理 バリエーション I+S (m) : 対 角 側 より 非 対 角 要 素 をm 個 使 用 I+S max : 各 行 絶 対 値 最 大 の 要 素 を1 個 使 用 必 要 に 応 じて 変 換 _MATRIX *A,A2; _SCALAR *x, *b; _SCALAR params[_params_le]; int options[_optios_le]; ssi_matrix_inout_init(&minout); ssi_matrix_input(&a,&b,&x,minout,_matrix_type_crs,path); ssi_matrix_convert(a,&a2,_matrix_type_jds); params[_params_resid] = 1.0e-8; options[_optios_maxiter] = 500; options[_optios_solver] = _SOLVER_CG; options[_optios_preco] = _PRECO_TYPE_OE; ssi_solver(a2,b,x,params,options); CRS 形 式 をJDS 形 式 に 変 換 後 CG 法 で 解 くスケルトンプログラム 格 納 形 式 各 解 法 前 処 理 に 適 した 格 納 方 式 に 自 動 変 換 並 列 化 各 解 法 前 処 理 に 適 したデータ 分 散 方 式 に 自 動 変 換 共 有 メモリ 型 OpenMP 分 散 メモリ 型 MPI 数 値 例 ポアソン 方 程 式 境 界 条 件 φ = X=Y=Z=100 格 納 形 式 CRS z Point Z y Dense (DS) Coordinate (COO) Compressed Row Storage (CRS) Compressed Column Storage (CSS) Modified Compressed Sparse Row (MSR) Diagonal (DIA) Ellpack-Itpack generalized diagonal (ELL) Jagged Diagonal Block Sparse Row Block Block Sparse Column Variable Block Row x Y X φ = 1 0, Z = Z min 残 差 ノルム 残 差 ノルム 1.00E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-10 (JDS) (BSR) (SBC) (VBR) 様 々な 解 法 を 同 時 に 比 較 できる 前 処 理 なし 反 復 回 数 前 処 理 Jacobi 反 復 回 数 CG BiCG CGS BiCGSTAB BiCGSTAB(2) GPBiCG Orthomin(20) GMRES(20) QMR CG BiCG CGS BiCGSTAB BiCGSTAB(2) GPBiCG Orthomin(20) GMRES(20) QMR 担 当 : 小 武 守 恒 (JST 東 京 大 学 )

4 AMG (Algebraic Multi-Grid solver) 目 的 Smoothed Aggregation Algebraic Multi-Grid 法 (SA-AMG 法 )を 様 々な 高 性 能 計 算 環 境 に 実 装 する SA-AMG 法 の 概 略 問 題 行 列 AからAと 似 た 性 質 を 持 つサイズの 小 さい 行 列 A を 生 成 する( 構 築 部 ) その 後 サイズの 小 さい 問 題 A x =b とAx=bを 交 互 に 緩 和 法 を 適 用 しながら 効 率 よく 解 く( 解 法 部 ) 特 徴 高 速 解 法 : ベクトル 環 境 計 算 時 間 が 問 題 サイズ によらない 領 域 並 列 性 : 領 域 分 割 により 大 規 模 並 列 性 を 実 現 できる 問 題 領 域 の 分 割 や 再 分 散 に ParMETISライブラリを 使 用 問 題 名 DOF 反 復 回 数 Pulled Cube Hard Sphere in Cube X Pulled Cube: Z Uniform distributed force on Z=ZMAX Ux=0 on X=XMI Y Uz=0 on Z=ZMI Total (MFLOPS) 解 法 部 (MFLOPS) 375k k Hard Sphere in Cube: EC SX-6i ( 最 大 ベクトル 性 能 8GFLOPS ) 上 で 以 下 の 問 題 について 実 験 を 行 った Pulled Cube: 立 方 体 の 弾 性 体 の 上 面 を 上 方 向 に 引 っ 張 る 問 題 (GeoFEMのテスト 問 題 ) Hard Sphere in Cube: やわらかい 弾 性 体 の 中 に 硬 い 球 面 上 の 弾 性 体 がはいって いる 上 面 から 圧 力 (Adams Mark s Finite element market) 構 築 部 (MFLOPS) 問 題 行 列 Aとベクトルの 積 はどちらの 問 題 でも2.8~3GFLOPSで 計 算 できる この 計 算 性 能 がAMG 法 の 上 限 として 考 えられる 解 法 部 は 良 好 な 性 能 ベクトル 化 不 可 能 な 部 分 のあ る 構 築 部 の 性 能 向 上 が 課 題 である 並 列 環 境 実 験 環 境 : Sun Blade1000(UltraSPARC III 750MHz 2, メモリ1GB) 128, Myrinet2000により 接 続 問 題 は 立 方 体 のポアソン 方 程 式 ( 異 方 性 があるものとないもの)と 立 方 体 の 弾 性 問 題 (Pulled Cube)を 扱 った Time[sec] Pulled Cube AMG CG ICCG # of PEs Pulled Cube: 2PE:25 万 DOF~125PE:1607 万 DOF Time[sec] 立 方 体 のポアソン 方 程 式 解 法 部 と 構 築 部 の 時 間 の 割 合 : 2PE:25 万 DOF~125PE:1562 万 DOF Time[sec] ポアソン 問 題 ( 立 方 体, 異 方 性 なし) # of PEs 右 上 図 : 簡 単 なポアソン 問 題 ( 立 方 体 異 方 性 なし)を 解 いたときの 解 法 部 と 構 築 部 の 時 間 の 割 合 である サイズが 大 きくなっても 構 築 部 はほとんど 時 間 が 増 えていない この 場 合 構 築 部 はだいたい5 回 から6 回 分 の 反 復 時 間 (V-cycle)で 終 わる 構 築 部 の 割 合 は 全 体 の2 割 程 度 で 領 域 並 列 性 がある 左 下 図 : PE 数 に 比 例 させてサイズを 大 きくした Pulled Cube 問 題 では SA-AMG CG 法 の 実 行 時 間 は ICCG 法 の 実 行 時 間 の 1/5 になる( 問 題 サイズ 1607 万 DOF) SA-AMG 法 は 高 速 解 法 でかつ 並 列 化 性 能 が 良 い 右 下 図 : 異 方 性 問 題 を 取 り 扱 った 例 である 異 方 性 問 題 では 条 件 数 は 大 きくなり 異 方 性 の 方 向 を 意 識 した 反 復 解 法 でないとなかなか 収 束 しない SA-AMG 法 は 異 方 性 問 題 に 対 しても 有 効 今 後 の 研 究 異 方 性 問 題 AMG CG ICCG # of PEs 異 方 性 問 題 : 立 方 体 のポアソン 方 程 式 倍 の 異 方 性 : 2PE:12 万 DOF~128PE:819 万 DOF 計 算 性 能 の 向 上 : ベクトル 性 能 や 並 列 アグリゲート 生 成 戦 略 の 改 善 負 荷 分 散 : 状 況 に 応 じた 負 荷 分 散 の 実 現 実 用 化 : 様 々な 問 題 に 適 用 し 評 価 改 善 解 法 部 構 築 部 担 当 : 藤 井 昭 宏 ( 工 学 院 大 学 JST)

5 Jacobi-Davidson 法 大 規 模 疎 行 列 向 きの 固 有 値 解 法 必 要 な 固 有 値 は 数 個 大 規 模 な 問 題 では 全 固 有 値 を 計 算 する QR 法 等 は 使 用 できない Lanczos / Arnoldi 法 射 影 部 分 空 間 上 での 小 規 模 な 固 有 値 問 題 に 帰 着 固 有 値 が 近 接 している 場 合 に 計 算 が 難 しい Davidson 法 量 子 化 学 で 対 角 化 の 計 算 に 利 用 残 差 について 修 正 方 程 式 を 解 く 精 度 に 問 題 Jacobi-Davidson 法 Davidson 法 を 修 正 修 正 ベクトル 成 分 を 近 似 固 有 ベクトルの 直 交 補 空 間 から 選 ぶ Jacobi-Davidson 法 の 特 性 アルゴリズム 反 復 解 法 第 k ステップにおいて, 固 有 値 問 題 Ax = λx に 関 する 次 元 k の 部 分 空 間 K= (v_1,, v_k) 上 で 固 有 対 (θ_k, u_k) を 計 算 残 差 r = A u_k θ_k u_k に 関 する 修 正 方 程 式 M_k t = r を 計 算, t を K と 直 交 化 して v_{k+1} を 得 る V_{k+1} = [v_1,,v_{k+1}] から H_{k+1} = V*_{k+1} A V_{k+1} を 計 算, H_{k+1} から 新 しい Ritz 対 (θ_{k+1}, u_k) をQR 法 で 求 める 修 正 方 程 式 固 有 値 計 算 部 の 残 差 r = A u_k θ_k u_k に 関 して 修 正 方 程 式 M_k t = r を 解 き, 解 t により 固 有 ベクトルを 修 正 Lanczos / Arnoldi 法 M_k = I ( 修 正 を 行 なわない) Davidson 法 M_k = diag(a) θ_k I ( 適 用 が 容 易 ) Jacobi-Davidson 法 A(u_k + t) = λ(u_k + t) から M_k = - (A_P θ_k I), A_P = (I u_k u*_k) A (I u_k u*_k) (Ax = λx を u_k の 直 交 補 空 間 に 射 影 ) を 導 出. residual 前 処 理 修 正 方 程 式 M_k t = r は JD 法 の 計 算 量 の 大 部 分 を 占 めるため, 効 率 的 に 解 く 必 要. M_k は 大 規 模 疎 行 列 であることから, 前 処 理 付 反 復 解 法 が 適 当 Jacobi-Davidson 法 の 前 処 理 としては, 1. 問 題 の 物 理 的 性 質 を 仮 定 しないこと 2. 並 列 性 の 高 い 解 法 であること を 満 たす 必 要 性 能 評 価 2 次 元 Poisson 差 分 方 程 式, 問 題 サイズ256 2, 最 大 固 有 値 1 個 を 計 算 Jacobi 前 処 理 を 使 用 並 列 化 zgemv, zdotc, zaxpy, (zxpay) の4 関 数 を 並 列 化 最 外 ループを static に 各 スレッドに 分 割 使 用 環 境 Sun Enterprise 10000, 64-way UltraSPARC II SMP 250MHz, 1MB cache Solaris 7 on Sun Ultra Enterprise コンパイラには Sun WorkShop f90, 及 び Omni OpenMP compiler を 使 用 32スレッドまで 評 価 original preconditioned number of corrections speedup preconditioned Jacobi-Davidson ideal number of threads 担 当 : 西 田 晃 ( 東 京 大 学 JST)

6 非 線 形 最 適 化 問 題 としての 固 有 値 解 法 非 線 形 最 適 化 問 題 非 線 形 関 数 F(x) の 局 所 的 な 最 小 点 を 求 める. 各 段 階 の 試 行 点 x からF の 値 が 減 少 する 方 向 v へ 探 索 を 進 めると, 各 段 の 方 向 がすべ て 共 役 ならば, 2 次 形 式 F = a + b T x +1/2x T Ax の 最 小 点 は, 任 意 の 出 発 点 x (1) から 有 限 回 の 降 下 ステップの 計 算 によって 求 められる 最 適 化 手 法 を 適 用 する 関 数 が 最 小 点 の 近 傍 では2 次 形 式 で 十 分 に 近 似 できると 仮 定 共 役 方 向 を 用 いる 傾 斜 法 を 一 般 の 関 数 の 最 小 化 に 使 うためには, 関 数 を2 次 形 式 で 表 したときに 共 役 方 向 になるような 探 索 の 方 向 を 作 ればよい. 共 役 勾 配 法 の 導 入 以 上 の 手 法 を 用 いて, 実 対 称 行 列 A, B に 関 する 一 般 化 固 有 値 問 題 Ax = λbx の 最 小 固 有 値 を 共 役 勾 配 法 により 求 めることを 考 える これは Rayleigh 商 μ(x) =x T Bx / x T Ax の 極 値 問 題 に 帰 着 することができ, 最 急 勾 配 方 向 が μ(x) g(x) =2(Bx μax)/x T Ax であることから, Rayleigh 商 を 局 所 的 に 最 適 化 する 係 数 α i を 用 いて, 共 役 勾 配 法 x i+1 = x i + α i p i, p i = g i +β i 1 p i 1, β i 1 = (g T i g i ) / (g T i 1g i 1 ) により 固 有 値 を 計 算 する. 適 切 な 前 処 理 と 組 み 合 わせることによって 高 速 に 固 有 値 を 計 算 可 能! 前 処 理 付 固 有 値 解 法 のアルゴリズムは, 前 処 理 行 列 T A 1, TA, TB に 関 するmk 次 多 項 式 Pmk (TA,TB) を 用 いて 以 下 のように 行 う ( 1 ) 初 期 ベクトルx (0) を 選 択 する ( 2 ) mk 回 の 反 復 によりx (k) = Pmk (TA,TB)x (0) を 計 算 する ( 3 ) μ (k) = (x (k),bx (k) ) / (x (k),ax (k) ) を 計 算 する 前 処 理 付 共 役 勾 配 法 の 反 復 は, 適 当 な 初 期 ベクトルx (0) と 対 応 する 修 正 ベクトルp (0) = 0 を 用 いて, μ (i) = (x (i),bx (i) ) / (x (i),ax (i) ) r = Bx (i) μ (i) Ax (i) w (i) = Tr x (i+1) = w (i) + τ (i) x (i) + γ (i) p (i) p (i+1) = w (i) + γ (i) p (i) と 書 ける 行 列 束 Bx (i) μ (i) Ax (i) に 関 する span{w, x (i), p (i)) } 上 のRitz 値, Ritz ベクトルはRayleigh- Ritz 法 により 計 算 可 能 (3x3の 固 有 値 問 題 ) 最 大 Ritz 値 に 対 応 するRitz ベクトルをx (i+1) とする 係 数 τ (i), γ (i) の 値 は, span{w, x (i), p (i) } 上 での 局 所 的 な 最 適 解 をもとに 計 算 性 能 評 価 代 数 的 マルチグリッド 前 処 理 (BoomerAMG, 縮 約 は Cleary-Luby-Jones-Plassman) 7 点 3 次 元 Laplace 問 題 の 係 数 行 列 (1003 元, 非 零 要 素 数 6,940,000)について, 共 役 勾 配 法 を 用 いて10 個 の 固 有 値 を 計 算 した 場 合 の 各 前 処 理 手 法 の 収 束 特 性 を 反 復 回 数 により 評 価 相 対 残 差 ノルムの 閾 値 は10 6. 最 も 収 束 の 遅 い 固 有 対 が 求 まるまで 反 復 利 点 ブロック 化 が 容 易 Jacobi-Davidson 等 ( 減 次 を 使 用 ) と 比 較 して 有 利 必 要 な 記 憶 容 量 が 少 ない Lanczos 法 等 ( 反 復 ベクトル) と 比 較 して 有 利 従 来 のKrylov 部 分 空 間 法 と 比 較 して 効 率 的 な 計 算 が 可 能 適 切 な 前 処 理 により 収 束 特 性 の 改 善 が 可 能 AMG 前 処 理 等 との 組 み 合 わせ 有 効 スケーラビリティ 良 好 (CG+ 並 列 前 処 理 ) 課 題 非 対 称 問 題 への 拡 張 残 差 r = λbx-ax, λ = (Ax,Bx)/(Bx,Bx) を 用 いて 汎 関 数 F(r) = (r, r) の 極 値 問 題 に 帰 着 可 能 Smoothed Aggregation MG 前 処 理 との 組 み 合 わせ さまざまな 非 対 称 問 題 を 用 いた 評 価 大 規 模 アプリケーションへの 適 用 担 当 : 西 田 晃 ( 東 京 大 学 JST)

7 高 速 フーリエ 変 換 高 速 フーリエ 変 換 ()とは は 離 散 フーリエ 変 換 を 高 速 に 計 算 するアルゴリズムであり 現 在 科 学 技 術 計 算 大 規 模 シミュレーション マルチメディア 等 非 常 に 幅 広 い 分 野 で 用 いられている 代 表 的 なライブラリソフトウェア 最 適 化 されたベンダー 提 供 のライブラリ Intel MKL(Math Kernel Library) IA-32,IA-32e,IA-64 向 けに 高 度 にチューニング 逐 次 SMP 並 列 をサポート Ver.8でMPI 対 応 予 定 IBM ESSL/PESSL Library IBMのPowerシリーズアーキテクチャにチューニング 逐 次,SMP 並 列,MPI 並 列 をサポート サブルーチンに 与 えるパラメータが 豊 富 インタフェース ユーザがあるのライブラリ 関 数 を 使 う 場 合 従 来 のライブラリ 1ライブラリのマニュアルを 読 む 2 必 要 な 作 業 領 域 を 確 保 3 要 求 される 格 納 方 式 に 変 換 / 再 配 置 4 必 要 な 引 数 を 渡 す という 一 連 の 作 業 が 必 要 PESSLの3 次 元 オープンソースライブラリ Wライブラリ MITで 開 発 本 ライブラリ 1どのプラットホームでも 関 数 のインタフェースは 共 通 2 作 業 領 域 は 自 動 的 に 確 保 3 多 数 の 格 納 方 式 を 利 用 可 能 4 引 数 の 数 も 少 ない SILCの 場 合 多 数 のプラットフォームをサポート 自 動 チューニング 機 能 を 搭 載 各 プロセッサの 拡 張 命 令 に 対 応 逐 次 SMP 並 列 MPI 並 列 をサポート PDCFT3(X,Y,1,2,3,ISIG,SCALE,ICOTXT,IP) SILC( Y=(X) ) 変 数 Xが3 次 元 配 列 であれば3 次 元 と 解 釈 される また 各 アーキテクチャに 最 適 化 されたライブラリも 同 じ 形 式 で 呼 び 出 す ことができる データの 分 散 方 式 従 来 のライブラリでは データの 分 散 方 式 は 決 められており また 通 常 同 じ 分 散 方 式 で データを 返 す 3 次 元 データをZ 軸 方 向 に1 次 元 分 割 した 場 合 3 次 元 の 計 算 は 図 1のような 通 信 パターンになる X 軸 方 向 の 変 換 X 軸 方 向 の 変 換 X 軸 方 向 の 変 換 X 軸 方 向 の 変 換 Y 軸 方 向 の 変 換 Y 軸 方 向 の 変 換 Y 軸 方 向 の 変 換 Y 軸 方 向 の 変 換 Z 軸 方 向 の 変 換 Z 軸 方 向 の 変 換 Z 軸 方 向 の 変 換 Z 軸 方 向 の 変 換 図 1 並 列 3 次 元 計 算 の 通 信 パターン 全 対 全 通 信 は1Z 軸 方 向 のデータ 交 換 2 データの 再 分 散 の 二 つが 必 要 となる データと データの 分 散 方 式 を 異 なるものにすることで2 デー タの 再 分 散 が 不 要 になり 実 行 時 間 を 大 幅 に 短 縮 できる カーネルの 開 発 in(0) 4 j in(4) ω 2 j in(2) ω 6 j in(6) ω 1 j in(1) ω 5 j in(5) ω 3 j in(3) ω 7 j in(7) ω 全 対 全 通 信 1 既 存 のライブラリ 関 数 の 置 き 換 えが 容 易 再 分 散 の 回 数 を 減 らして 実 行 時 間 を 短 縮 の 並 列 計 算 においてノード 間 の 通 信 時 間 が 占 める 割 合 が 大 きいものの ノード 内 の 計 算 の 中 心 部 分 であるカーネルの 高 速 化 も 重 要 である 我 々は 既 存 のライブラリが 採 用 する ものより 高 速 なカーネルの 研 究 を 進 めている 一 例 として 積 和 演 算 命 令 に 適 した8 基 底 カーネルを 提 案 した これはLinzerらの 積 和 演 算 化 手 法 を 図 3のカーネルに 適 用 することで 得 ら れる Linzerの8 基 底 カーネルと 比 べてメモリアクセス 命 令 数 が 少 ないという 利 点 がある wr * x ± wi * y wr * (x ± (wi/wr) * y) 積 和 演 算 1 ω 8 3 ω 8 図 2 従 来 の8 基 底 カーネル out(0) out(1) out(2) out(3) out(4) out(5) out(6) out(7) in(0) 4 j in(4) ω 2 j in(2) ω 6 j in(6) ω in(1) 4 j in(5) ω in(3) 4 j in(7) ω ω ω ω 1 j 1 ω 8 ω 1 j 3 j 3 j 3 ω 8 図 3 提 案 する8 基 底 カーネル out(0) out(1) out(2) out(3) out(4) out(5) out(6) out(7) 全 対 全 通 信 2 表 1 カーネルの 命 令 数 の 比 較 Linzer proposed Load データ Load ひねり 係 数 Store 積 和 演 算 担 当 : 額 田 彰 (JST 東 京 大 学 )

8 高 速 球 面 調 和 関 数 変 換 ライブラリの 構 築 球 面 調 和 関 数 変 換 とは 球 面 調 和 関 数 は2 次 元 球 面 上 の 直 交 関 数 系 で 1 次 元 円 周 上 の 三 角 関 数 に 相 当 緯 度 経 度 格 子 上 の 関 数 値 と 球 面 調 和 関 数 展 開 の 係 数 との 間 の 変 換 が 球 面 調 和 関 数 変 換 球 面 上 の( 球 座 標 による) 偏 微 分 方 程 式 の 標 準 的 な 解 法 を 与 える 気 象 予 報 気 候 予 測 地 磁 気 分 析 などに 日 常 的 に 用 いられるほか 画 像 処 理 などにも 応 用 高 速 球 面 調 和 関 数 変 換 アルゴリズム 球 面 調 和 関 数 は 東 西 方 向 の 三 角 関 数 と 南 北 方 向 のルジャンドル 陪 関 数 との 積 に 分 解 できる 南 北 点 東 西 2 点 の 緯 度 経 度 格 子 では 計 算 量 が 以 下 のようになる 2 3 O ( log ) + O( ) = O( で 高 速 計 算 3 ) ルジャンドル 陪 関 数 変 換 を 直 接 計 算 : 律 速 になる 東 西 方 向 : 三 角 関 数 南 北 方 向 : ルジャンド ル 陪 関 数 ルジャンドル 陪 関 数 変 換 の 高 速 アルゴリズムが 必 要! 球 面 調 和 関 数 /ルジャンドル 多 項 式 の 高 速 変 換 アルゴリズムの 比 較 手 法 計 算 量 アイディア 安 定 性 我 々 2 log FMM 安 定 Mohlenkamp 2 log 2 FWT 安 定 Driscoll-Healy 2 log 2 /FCT 不 安 定 Orszag-Mori log m = 0 のみ Alpert-Rokhlin log /FMM m = 0 のみ ライブラリへの 進 展 1: 非 分 離 内 挿 アルゴリズム 従 来 我 々のアルゴリズムでは 分 離 ルジャ ンドル 関 数 を 用 いていた 今 回 我 々が 開 発 した 一 般 化 高 速 多 重 極 子 展 開 法 により 分 離 ルジャンドル 関 数 を 用 いないアルゴリズムを 構 築 した 利 点 1:コード 量 が 激 減 利 点 2: 計 算 量 も 若 干 減 少 課 題 : 前 処 理 時 間 が 増 加 した ライブラリへの 進 展 2: 応 用 問 題 での 評 価 STSWM のルジャンドル 陪 関 数 変 換 のみを 我 々のプログラムに 入 れ 替 え Williamson の 7 つのテストケースすべてを 評 価 Williamson の 7 つのテストケース: 移 流 のみ 定 常 非 定 常 実 データを 含 む 球 面 上 の 偏 微 分 方 程 式 のベンチマーク 問 題 STSWM (CAR Spectral Transform Shallow Water Model) Williamson の 7 つのテストケースを 球 面 調 和 関 数 変 換 法 で 解 く fortran77 プログラム すべての 問 題 が 安 定 に 解 けた(1 年 までの 長 期 シミュレーションも 実 証 ) 設 定 精 度 と 計 算 誤 差 は 十 分 に 一 致 今 後 の 研 究 さらなる 高 性 能 化 計 算 量 の 削 減 (チューニング) キャッシュ/ベクトル 向 けチューニング 他 の 計 算 への 展 開 他 の 重 要 な 直 交 関 数 展 開 への 適 用 一 般 化 FMM のさらなる 応 用 直 接 計 算 との 計 算 量 比 精 度 10 6 精 度 分 離 非 分 離 分 離 非 分 離 Williamson のテストケース 7 の 結 果 1978 年 12 月 21 日 ( 北 極 付 近 に 大 きな 低 気 圧 ) 深 さ( 気 圧 ) 渦 度 ( 風 ) 5 日 後 のシミュレーション 結 果 その 他 : 設 定 精 度 と 計 算 誤 差 精 度 L1 L2 Linf 1e-6 1.3e-5 1.5e-5 2.1e-5 1e-9 2.8e-9 3.0e-9 4.3e-9 1e e e e-12 直 接 計 算 1.1e e e-14 Case 2, Height error, α = 0, = 127, dt = 900s SILC による 性 能 利 便 性 の 向 上 スペクトル 空 間 での 演 算 を SILC 上 で 特 殊 な 配 列 形 式 (i.e. 三 角 切 断 ) 並 列 時 のデータ 分 散 の 自 動 的 最 適 化 三 角 切 断 のため 特 殊 な 分 散 が 必 要 高 性 能 との 連 結 担 当 : 須 田 礼 仁 ( 東 京 大 学 JST)

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