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1 これなら 分 りやすいか? 決 定 木 その7 まとめ 慶 應 義 塾 大 学 理 工 学 部 櫻 井 彰 人 決 定 表 決 定 木 と 決 定 表 涙 産 生 率 少 正 常 乱 視 あり ソフト めがね 調 製 近 視 遠 視 ハード 決 定 木 涙 産 生 率 少 どんなものか 木 ソフト 木 の 節 (ノード)に 属 性 近 視 木 の 枝 (エッジ)に 属 性 値 ハード ただし 葉 (これも 節 の 一 つ)には ある 特 別 な 属 性 値 どう 使 うか 属 性 属 性 値 の 組 ( 決 定 表 の 一 行 )に 対 し 根 からスタートして 自 分 の 属 性 値 に 従 って 枝 をたどり 葉 に 至 ると 葉 には 行 うべき 行 動 とか 属 するクラスの 名 称 が 書 かれている 正 常 乱 視 あり めがね 調 製 遠 視 属 性 と 属 性 値 決 定 木 の 使 い 方 属 性 : 表 で 言 えば 縦 の 欄 うるさく 言 えば 確 率 変 数 人 間 でいえば 身 長 体 重 年 齢 生 年 月 日 属 性 の 名 : 表 で 言 えば 縦 の 欄 の 名 称 確 率 変 数 の 名 称 身 長 体 重 属 性 値 : 表 に 入 っている 値 確 率 変 数 がとる 値 身 長 であれば 180cm というような 連 続 数 値 や 高 い 普 通 低 い と 離 散 値 (カテゴリ 値 ) 顧 客 に こういう 時 は これがよい という 商 品 選 択 の 方 法 を 説 明 する 顧 客 でなくてもある 条 件 が 複 雑 なときに 決 定 木 でかかれていると 分 りやすい 危 機 対 応 マニュアル 1

2 決 定 木 の 作 り 方 決 定 木 を 作 ることを 考 えよう 材 料 が 必 要 材 料 を 機 械 学 習 の 分 野 では 訓 練 データ という 訓 練 データと テストデータ 訓 練 データ 学 習 アルゴリズム テストデータ テストデータ 訓 練 データ 涙 産 生 率 正 常 乱 視 無 涙 産 生 率 少 正 常 乱 視 あり ソフト ただし この 場 合 は 決 定 木 そのものなので あまり 訓 練 データらしくない ソフト めがね 調 製 近 視 遠 視 ハード 訓 練 データとテストデータ 訓 練 データとテストデータ 訓 練 データ テストデータ 訓 練 データとテストデータは 原 則 的 には 別 物 丸 暗 記 のテストをするときには 当 然 同 じもの 普 通 は 学 習 結 果 は 訓 練 データを 一 般 化 したも の テストをするときには いろいろなテストデー タを 用 いてテストを 行 う それゆえ 訓 練 データと テストデータは 別 物 人 間 だって 自 動 車 運 転 教 習 所 で 習 った 道 路 ( 訓 練 データ)と 実 際 に 走 る 道 路 (テストデータ)とは 別 物 決 定 木 を 作 る 時 の 課 題 決 定 木 の 学 習 の1ステップ 節 (ノード)に 置 く 属 性 を 決 めれば 自 動 的 にできる ( 節 を 分 割 し 枝 を 伸 ばすことができる) 次 のスライドの Hunt のアルゴリズムを 参 照 節 (ノード)に 置 く 属 性 の 決 め 方 が 課 題 だ どうしよう? 実 は もう2つあります 一 つは いつやめるか? 講 義 は (1) Huntの 方 法 (2) 属 性 の 決 め 方 と 属 性 値 のグループ 化 (3) やめ 方 もう 一 つは 属 性 値 がたくさんあるとき 属 性 値 は 実 はグループ 分 けした 方 がよい それをどうする か? D10 D9 D1 D1 D2 D4 D8 D11 D12 D7 D2 D5 D6 [9+, 5-] Outlook Sunny Overcast Rain [2+, 3-] [4+, 0-] [3+, 2-] D3 D12 D11 D7 D13 D14 D13 D3 D8 D9 D10 D14 D4 D5 D6 2

3 Hunt のアルゴリズムの 構 造 Hunt のアルゴリズム D t をノード t にたどりついた 訓 練 デー タの 集 合 とする 手 続 きの 概 要 : もし D t に 含 まれるデータがすべて 同 じクラス y t に 属 するなら, t は 葉 ノード であってそのラベルは y t. もし D t が 空 集 合 なら t は 葉 ノードで あって そのラベルは 予 め 決 めておく デフォールトラベル y d となる もし D t に 含 まれるデータは 複 数 個 の クラスに 属 するとき, t には 属 性 値 の チェックを 入 れ, 訓 練 データ D t をより 小 さな 集 合 ( 部 分 集 合 )に 分 割 する. この 手 続 きを 再 帰 的 に 当 該 部 分 集 合 に 適 用 する.? D t 償 還 Yes 独 身, 離 婚 償 還 Yes No する No 家 族 既 婚 は しない 償 還 Yes 独 身, 離 婚 年 収 No 家 族 既 婚 < 8M > 8M 節 に 置 く 属 性 の 決 定 グリーディな 方 略 をとる. いったん 決 めたら 心 変 わりしない 迷 路 を 進 むときに 後 戻 りしない 一 度 掴 んだら 離 さない 最 適 ではないが 後 戻 りしない 分 速 い つまり ある 節 に 置 く 属 性 (と 使 う 属 性 値 グループ 化 )を 決 めたら 撤 回 し ない 一 度 分 割 してある 枝 を 作 ったら それを 取 りやめることはない その 結 果 最 適 な 決 定 木 となることは 保 証 出 来 ない( 一 般 には 最 適 ではな い) 課 題 できるだけよい 属 性 の 選 び 方 は? 属 性 値 のグループ 化 の 仕 方 は? 考 え 方 結 局 訓 練 データの 分 割 方 法 として どれが いいか を 考 えればよいと 気 がつく 訓 練 データ ある 属 性 を 決 めると その 結 果 訓 練 データ の 分 割 が 決 まる やはり 分 割 の 問 題 ( 分 割 の 良 さを 比 較 する 問 題 )だ! 最 良 な 分 割 はどうやって 見 つける? C0: 6 C1: 4 自 家 用 車? C0: 4 C1: 6 分 割 前 : C0 (クラス0)に 10 データ, C1 (クラス1)に 10 データ C0: 1 C1: 3 車 タイプ? Yes No ファミリ ラグジュリ c 1 c スポーティ C0: 8 C1: 0 C0: 1 C1: 7 どの 条 件 が 最 適 か? C0: 1 C1: 0 C0: 1 C1: 0 学 生 ID? c 11 C0: 0 C1: 1 c C0: 0 C1: 1 最 良 の 属 性 の 選 択 最 良 の 分 類 木 とは 何 だろうか? 正 しい 木 である こと それはそうだが 我 々は 出 来 上 がった 木 が 正 しい かどうか 分 らない 正 解 を 知 っている 先 生 がいないのだ そこで こう 考 えた これから 来 るデータを 正 しく 分 類 できる ならどうだろうか? 分 類 木 が 間 違 っていても 答 え( 新 しいデータの 分 類 結 果 )が 正 しければよい しかし これから 来 るデータ は 入 手 できないよね そこで こう 考 えた 与 えられたデータを 訓 練 データとテストデータに 分 けよう 訓 練 データで 分 類 木 を 作 り テストデータでテストすればよい これはすごくいい 考 えだ けれども これでは 訓 練 データを 使 って 一 個 分 類 木 を 作 っ て テストデータで 調 べるだけであって( 点 数 が 分 る 評 価 するという) それがよいも のかどうか 分 らない そこで こう 考 えた 最 もよい 分 類 木 を 作 るためには 色 々な 訓 練 データを 作 ってみれ ばよい ランダムに 訓 練 データを 作 って テストデータでテストし テスト 結 果 が 最 良 の ものを 選 べばよい これはよい 考 えだ! 3

4 最 良 の 属 性 の 選 択 最 良 の 属 性 の 選 択 最 良 の 分 類 木 とは 何 だろうか? いや そうでもない それなら 最 初 から 全 データを 正 しく 分 類 する 分 類 木 を 作 れば よいでしょう どんなテストデータに 対 しても 正 しく 分 類 する これは 困 った だめか やっぱり テストデータを 使 って 最 も 良 いものを 選 んではだめな んだ そこで こう 考 えた 最 もよいものを 選 ぶのはやめよう 身 の 回 りで 一 番 よいもので 我 慢 しよう (1) その 方 法 の 一 つとして 訓 練 データは 固 定 して そのもとで いくつか 決 定 木 を 作 り テストデータで 評 価 して 一 番 よいものを 使 おう 例 :pruning 法 (2) もう 一 つは 昔 の 哲 学 者 の 言 葉 に 従 うことだ オッカムが 言 うには データを 説 明 す る 同 じような 仮 説 が 複 数 あるときには 一 番 短 い 仮 説 をとれ 最 良 の 分 類 木 とは 何 だろうか? 間 違 いが 同 じ 程 度 なら 一 番 小 さい 分 類 木 がよいと いえる 間 違 いが 同 程 度 でないときどうするかは 少 々 難 しい 問 題 ゆえ ここでは 省 略 そうであれば 最 良 の 属 性 とは その 属 性 を 選 んだら 分 類 木 が 小 さくなりそうな 属 性 であろう となると 最 良 の 属 性 とは その 属 性 を 選 んだら ( 訓 練 データが 分 割 されるわ けだが) 分 割 後 の 訓 練 データが 各 分 割 内 で そろっているような 属 性 だ こちらが ごちゃごちゃでも 実 は 方 法 (1)の 場 合 も 短 い 決 定 木 が 選 ばれることが 知 られている こちらが すっきりするような 属 性 を 選 ぶべきだ 最 良 な 属 性 最 良 な 分 割 は? 決 定! に 近 くなる 方 がよい すなわち: 新 ノード 内 のクラス 分 布 が 同 質 となる 分 割 がベター どこかのクラスが 圧 倒 的 な 多 数 となる(これが 同 質 )という ことは それだ!といっても 間 違 いが 少 ないから そのためには (ノードの) 同 質 さの 物 差 しが 必 要 : 最 良 な 属 性 最 良 な 分 割 は? 分 割 前 : A? Yes No ノード N1 ノード N2 あると 嬉 しい 物 差 し 不 純 度 M0 B? Yes No ノード N3 ノード N4 M1 M2 M3 M4 + 減 少 量 vs 減 少 量 + 非 - 同 質, 純 度 が 低 い 不 純 度 が 高 い 同 質, 純 度 が 高 い 不 純 度 が 低 い M12 対 決 Gain M0 M12 vs M0 M34 M34 不 純 度 のものさし エントロピー エントロピー 平 均 情 報 量 とも 呼 ばれる 式 で 書 くと ジニ インデックス Gini Index 誤 分 類 率 ( 比 較 のために)サイコロの 出 る 目 の 平 均 つまり 平 均 情 報 量 が 情 報 量 の 平 均 だとすると が 情 報 量 ということになる 負 の 符 号 がついているのは p<1 故 log g <0 となるが 負 の 数 はいろいろと 不 便 なため 符 号 反 転 しているから 4

5 情 報 量 情 報 量 を 表 す 関 数 ある 事 象 の 情 報 量 は その 事 象 が 起 こったということを( 他 の 皆 が 知 らないときに) 知 ることの 価 値 事 象 として コインの 表 が 出 ること ( 確 率 1/2))としよう 表 が 出 たこと を 知 る 価 値 を a としよう コイン1が 表 コイン2が 表 という2つの 情 報 を 知 る 価 値 は a + a 2a だろう( 一 つずつ 聞 く 場 合 を 考 えればよい) コイン1が 表 コイン2が 表 の 二 つの 事 象 が 起 こる 確 率 は ½ * ½ 1/4 事 象 として サイコロの1が 出 ること ( 確 率 1/6))としよう 1が 出 たこと を 知 る 価 値 を b としよう サイコロ1が1 サイコロ2が1 という2つの 情 報 を 知 る 価 値 は b + b 2b だろう( 一 つずつ 聞 く 場 合 を 考 えればよい) コイン1が 表 コイン2が 表 の 二 つの 事 象 が 起 こる 確 率 は 1/6 * 1/6 1/36 つまり 事 象 が 起 こる 確 率 が2 乗 になると 価 値 は2 倍 になる 事 象 が 起 こる 確 率 が2 乗 になると 価 値 は2 倍 になる 事 象 が 起 こる 確 率 p が p 2 になると 価 値 v は 2v になる 事 象 が 起 こる 確 率 p が p 2 になると 価 値 v(p) は v(p 2 ) 2v(p) になる 上 記 のような 関 数 は log しかないことが 示 せる( 底 は 決 まらない 何 でもよい) そこで 底 を2とし 価 値 が 正 になるように 符 合 反 転 すると( 底 を1/2 にしたのと 同 じ) 生 起 確 率 p の 事 象 が 生 起 したことを 知 るという 情 報 の 価 値 は -log p とす ればよいことが 分 る 不 公 平 かもしれないコイン 表 が 出 る 確 率 p, 裏 が 出 る 確 率 が 1-p であるコイン のコイン 投 げを 考 える このコインを1 回 投 げたときに 出 た 表 裏 を 知 る 情 報 の 価 値 はどのくらいであろうか? 表 が 出 る という 情 報 の 価 値 は -log p, 裏 が 出 る という 情 報 の 価 値 は -log(1-p)である 表 が 出 る 確 率 は p, 裏 が 出 る 確 率 は 1-p であるので この 確 率 に 基 づく( 情 報 価 値 の) 平 均 値 を 考 えよう 不 公 平 かもしれないサイコロ 目 iが 出 る 確 率 p i であるサイコロを 考 える このサイコロを1 回 投 げたときに 出 た 目 を 知 る 情 報 の 価 値 はどのくらいであろうか? 目 iが 出 る という 情 報 の 価 値 は -log p i である この 確 率 に 基 づく( 情 報 価 値 の) 平 均 値 を 考 えよう 不 純 度 を 測 る 物 差 しとしての 情 報 量 情 報 量 増 分 不 純 度 2 種 類 の 個 体 が 混 在 している 場 合 を 考 える 割 合 をpと1-pとする p0またはp1のときは 最 も 純 粋 であるので このとき0 p1/2のとき 最 も 純 度 が 低 いので このとき1になるような 関 数 があるとよい 明 らかにエントロピーがその 性 質 を 満 たす 一 般 にn 種 類 の 個 体 が 混 在 している 場 合 はどうだろうか 割 合 をp 1, p n とする p i のいずれかが1 で 他 が0というときが 最 も 純 度 が 高 い 逆 にp i のすべてが 等 しいとき(1/nの 時 ) 最 も 純 度 が 低 い 明 らかにエントロピーはこの 性 質 をもつ そこで 補 足 : エントロピー 値 は 集 合 の 要 素 一 個 あたり の 情 報 量 となっている 定 義 属 性 A に 関 するD の 情 報 量 増 分 は, A を 用 いた 分 割 によるエントロピー 減 少 分 の 期 待 値 : 但 し D v は {x D x.(a) v }, すなわち, D 中 の 事 例 で 属 性 A の 値 が v であるものの 集 合 補 足 : A による 分 割 によって 生 じる 部 分 集 合 D v の 大 きさに 従 ってエントロピーの 大 きさを 調 整 エントロピー 値 は 集 合 の 要 素 一 個 あたり の 情 報 量 となっているため どちらの 属 性 を 使 うのがいい? [29+, 35-] [29+, 35-] A 1 A 2 True False True False [21+, 5-] [8+, 30-] [18+, 33-] [11+, 2-] 5

6 GINI に 基 づく 分 割 基 準 これまで 説 明 してきた 分 割 基 準 はエントロピーで あった: ( 注 : p( j t) はノード t におけるクラス j データの 相 対 頻 度 ). 別 法 に GINI インデックスを 用 いるものがある: 両 者 とも: 最 大 値 (log n c または 1-1/n c ) が 得 られるのは, 当 該 データがどのクラスにも 等 分 に 分 配 されてい るときである. 等 分 である ということは 何 の 面 白 さもない. しかし この 状 態 で ずっと 実 はこ れ! と 教 わり 続 けることは 結 構 価 値 のあること である 最 小 値 (0.0) に 近 い 値 が 得 られるのは, ほとんど すべてのデータが 同 一 のクラスに 属 するとき. 少 数 派 が 発 生 する 場 合 は 非 常 に 面 白 い けれど も たいていは 多 数 派 が 発 生 するので まったく 面 白 くない 2 個 のクラスに 分 ける 場 合 : あらためて: 決 定 木 の 構 築 通 常 の 手 順 : 上 から 下 に( 根 から 葉 へ) 再 帰 的 かつ 分 割 統 治 (divide-and-conquer) まずは: 一 つの 属 性 を 選 び 根 とする 属 性 値 ごとに 枝 を 作 る 次 は: 訓 練 データを 部 分 集 合 に 分 割 ( 枝 一 本 につき 一 個 ) 最 後 に: 同 じ 手 順 を 個 々の 枝 について 行 う その 場 合 個 々の 枝 に 割 り 当 てられた 訓 練 データのみを 用 いる( 全 体 は 用 いない) ノードに(それへの 枝 に) 割 り 当 てられた 訓 練 データがすべて 同 じクラスになったら 終 了 これは 遅 すぎ 作 りすぎ やりすぎ です どうしてでしょうか? どうしたらよいでしょうか? テニスをするや 否 や どの 属 性 がいいのか? (a) (b) Tom Mitchell Machine Learning の 例 題. よく 使 われる (c) (d) 属 性 選 択 の 基 準 どの 属 性 が 最 適 化? できあがる 決 定 木 が 最 小 のものがよい ヒューリスティック: 純 度 最 高 の 属 性 を 選 ぶ 最 小 のものを 選 ぶことに 関 し 深 遠 な 議 論 がある 良 く 使 われる 不 純 度 の 基 準 : (ノードの)エントロピー エントロピーが 低 いほど ノードの 純 度 は 高 い. 計 算 例 : 属 性 Outlook Outlook Sunny : info([2,3]) entropy(2/5,3/5) (2/5)log(2/5) (3/5)log(3/5) Outlook Overcast : info([4,0]) entropy(1,0) 1 log(1) 0 log(0) 0 Outlook Rainy : info([3,2]) entropy(3/5/,2/5) (3/5)log(3/5) (2/5)log(2/5) この 属 性 を 用 いたときの 情 報 量 は info([3,2],[4,0],[3,2]) (5/14) (4/14) 0 + (5/14) bits 方 略 : 子 供 のノードのエントロピーが 最 小 となる 属 性 を 選 べ. 6

7 情 報 量 増 分 Information gain 分 割 を 続 ける ただし 通 常 は ノードのエントロピーを 直 接 用 いる ことはない 情 報 量 増 分 を 用 いる. 情 報 量 増 分 : 分 割 前 の 情 報 量 分 割 後 の 情 報 量 gain( Outlook ) info([9,5]) info([2,3],[4,0],[3,2]) bits 同 様 に 計 算 すると gain( Outlook ) gain( Temperature ) gain( Humidity ) gain( Windy ) 情 報 量 増 分 が 多 いほど 純 度 が 高 い 従 って Outlook を 選 ぶことにする 最 終 的 に 得 られる 決 定 木 枝 数 が 非 常 に 多 くなる 属 性 があると IDコードをつけてみよう 注 : すべての 葉 が 純 である 必 要 はない; というのも 同 じ データなのにクラスが 違 うことがあるから(ノイズのせい) データをそれ 以 上 分 割 しない 方 がよくなったら やめ IDコードを 根 にもってくると 切 株 増 分 比 この 分 割 のエントロピー info( IDcode ) info([0,1]) + info([0,1]) + + info([0,1]) 0 bits 情 報 量 増 分 は 最 大 となる(すなわち bits ) 増 分 比 Gain ratio: 情 報 量 増 分 のもつバイアスを 減 少 させる 増 分 比 は 枝 の 本 数 とそれに 割 り 当 てられる 訓 練 データの 大 きさの 両 方 を 勘 定 に 入 れる 情 報 量 増 分 の 修 正 は 訓 練 データの 集 合 をどのような ( 大 きさと 要 素 数 の) 部 分 集 合 に 分 割 するかという 分 割 の 情 報 量 を 用 いて 行 われる 従 って, 属 性 値 が 多 いと 訓 練 データの 部 分 集 合 は 純 になりやすい 7

8 増 分 比 の 計 算 例 計 算 例 : IDコードの 分 割 情 報 量 (split information) info([1,1,,1]) 14 ( - (1/14) log(1/14) ) bits 数 値 属 性 勿 論 これでもいい x j > ある 定 数 短 冊 への 分 割 は 同 じ 増 分 比 の 定 義 gain_ratio( Attribute ) gain( Attribute ) / split_info( Attribute ) 計 算 例 : gain_ratio( IDcode ) bits / bits 分 割 によるエントロピーを 計 算 承 前 今 度 の 最 適 な 分 割 は R > 0.9 である. しかも すべて Yes で あるので 葉 を 作 ることができる. 承 前 これを 続 ければ 次 のものが 得 られる: 回 帰 木 Regression Trees 決 定 木 と 同 じ, 但 し 葉 において 実 数 値 定 数 を 出 力 する. 8

9 葉 における 値 今 いる 葉 ノードには 複 数 個 のデータがあると 仮 定 しよう なおかつ 何 らか の 理 由 により このノードはこれ 以 上 分 割 しないものとする. 離 散 値 の 場 合 (これまでの 場 合 ), 葉 における 値 ( 出 力 値 )は その 葉 におけ る 多 数 派 の 値 としていた. 数 値 属 性 の 場 合, 妥 当 な 値 は 平 均 値 であろう. ノード 分 割 離 散 値 の 場 合 と 同 様 に 分 散 の 平 均 値 を 計 算 するとき 各 新 ノードに 渡 されるデータ 数 で 重 み 付 けた 重 み 付 き 平 均 値 を 用 いることにする(そう でなければならない). 従 って, もし 葉 ノードにおける 出 力 値 として 平 均 値 を 用 いるならば, (これから ノードを 分 割 して 子 供 が 葉 ノードになろうというときには) 枝 分 かれして 作 ら れる 新 たな 葉 ノードにおいて データのもつ 値 が 当 該 葉 ノード 内 の 値 の 平 均 値 よりあんまり 離 れていない 方 がよかろう. 統 計 学 には 数 値 の 集 合 がどのくらい 分 散 しているかを 表 す 尺 度 がある ( 言 い 換 えれば, 個 々の 数 値 が 平 均 値 からどれだけ 離 れているか); ご 存 じの 分 散 である. D 0 j の 要 素 数 / D j の 要 素 数 f j 0 となる, D の 部 分 集 合 ノード 分 割 まとめ 簡 単 に 計 算 できることだが 属 性 3を 用 いた 分 割 の 場 合 の 分 散 平 均 値 は 属 性 7を 用 いた 場 合 のそれより 非 常 に 小 さい 従 って 属 性 3を 選 ぶこ とになる. 決 定 木 は 木 ノードに 属 性 葉 に 決 定 機 械 学 習 データマイニングで データの 規 則 性 を 説 明 す る 一 つの 道 具 属 性 は 離 散 属 性 が 主 数 値 属 性 も 扱 える 決 定 木 は 説 明 するのに 便 利 精 度 はいまいち 作 るときは グリーディに 属 性 選 択 と 枝 分 かれ 属 性 選 択 は 結 果 ができるだけ 純 ( 決 定 が 同 じ)になるように 連 続 値 属 性 も 似 た 考 えで 9

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