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1 第 3 章 半 経 験 的 な 強 震 動 評 価 における 中 間 周 波 数 帯 域 の 落 ち 込 みの 解 消 方 法 3.1 緒 言 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 を 強 震 動 評 価 に 適 用 する 際 の 問 題 点 の 一 つとして, 合 成 波 の 振 幅 スペクトルの 中 間 周 波 数 帯 域 における 落 ち 込 みが 挙 げられる( 入 倉,1994).この 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みは, 大 地 震 と 小 地 震 のモ-メントの 比 が 大 きいほど 顕 著 であ ることが 知 られている( 入 倉,1994).このことから, 仮 に 小 地 震 の 観 測 記 録 が 低 周 波 成 分 から 高 周 波 成 分 まで 十 分 な 精 度 を 有 していたとしても, 規 模 の 小 さい 地 震 の 観 測 記 録 を 用 いた 大 地 震 の 波 形 合 成 には 注 意 が 必 要 である.しかしながら,その 一 方 で, 合 成 に 用 いようとする 小 地 震 の 規 模 がやや 大 きい 場 合, 合 成 の 対 象 とする 周 波 数 帯 域 におい て, 小 地 震 の 震 源 過 程 の 影 響 が 無 視 できなくなる. 従 って, 観 測 精 度 が 十 分 であるなら ば,できるだけ 小 さい 地 震 の 記 録 を 用 いることが 望 ましいと 云 う 側 面 もある.このよう に, 小 地 震 記 録 の 選 択 に 関 して 二 つの 相 矛 盾 する 制 約 事 項 があると 云 うことは, 小 地 震 記 録 の 選 択 の 幅 を 狭 めることにつながる. 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みについては, 本 質 的 な 解 決 が 求 められていると 言 える. 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 避 ける 目 的 で 入 倉 釜 江 (1993)は 自 己 相 似 な 不 均 質 断 層 モデルを 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 に 導 入 している( 入 倉,1994).この 方 法 は, 大 地 震 の 断 層 面 上 に 異 なるサイズの 小 断 層 の 分 布 を 自 己 相 似 的 に 与 え,それらのサイズに 相 当 する 小 地 震 の 地 震 動 を 重 ね 合 わせて 大 地 震 時 の 強 震 動 をシミュレ-トすると 云 うもの であり, 中 間 的 なサイズに 相 当 する 小 地 震 記 録 が 無 い 場 合 には,より 小 さいサイズの 小 地 震 記 録 を 用 いて 前 もって 合 成 しておく.この 方 法 で,ω -2 モデルに 従 う 小 地 震 記 録 を 用 いて 合 成 を 行 うと, 合 成 波 形 のスペクトル 形 状 はω -2 モデルに 従 い,コ-ナ- 周 波 数 以 外 に 特 定 のサイズを 持 たないことが 示 されている( 入 倉,1994).しかし,この 方 法 による 場 合, 大 地 震 の 断 層 面 上 における 小 断 層 の 分 布 の 与 え 方 や, 中 間 的 なサイズの 小 断 層 に 対 する 波 形 合 成 の 仕 方 によっては, 合 成 結 果 に 任 意 性 が 生 じることも 事 実 である. 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 避 けるための 別 な 試 みとして, 小 島 他 (1997)は 小 断 層 の 破 壊 時 刻 にランダムネスを 導 入 することを 提 案 している.この 方 法 による 場 合, 与 えるランダムネスが 小 さければスペクトルの 落 ち 込 みを 回 避 できず,また, 与 えるラン ダムネスが 大 きければ, 長 周 期 側 での 合 成 波 形 に 任 意 性 が 生 じる. 本 章 では, 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みに 対 する 解 決 策 の 一 つとして,Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルを 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 に 応 用 することを 提 案 する. 以 下 においては,まず, 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みの 本 質 について 考 察 を 行 う. 次 に, 円 形 クラックモデルに 基 づく 波 形 合 成 の 定 式 化 を 行 うとともに, 単 一 の 円 形 クラックに 対 して 波 形 合 成 を 行 い, 提 案 する 手 法 が 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 防 止 する 上 で 有 効 であることを 示 す.さらに, 複 数 のアスペリティからなる 大 地 震 に 対 して は, 個 々のアスペリティを 上 述 の 円 形 クラックモデルで 表 現 することを 提 案 する.この 方 法 を 1993 年 釧 路 沖 地 震 に 適 用 し, 提 案 法 の 有 用 性 を 示 す. 55

2 3.2 中 間 周 波 数 帯 域 の 落 ち 込 みの 本 質 まず, 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 で 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みが 発 生 するような 場 合 を とりあげ, 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みの 本 質 について 考 察 する. 図 -3.1 は,ここで 考 える 震 源 とサイトの 位 置 関 係 を 示 した 図 である( 図 -1.6 の 再 掲 ). いま 密 度 2.7t/m 3,S 波 速 度 3.2km/s の 一 様 な 媒 質 中 に 8km 8km の 矩 形 の 破 壊 領 域 を 考 え, 破 壊 フロントは 中 心 から 同 心 円 状 に 毎 秒 2.8km/s の 速 さで 広 がるものとする. 最 終 滑 り 量 は 破 壊 領 域 内 で 一 様 であるとし,この 矩 形 領 域 を 同 じ 面 積 の 円 で 置 き 換 えたと きに 応 力 降 下 量 がちょうど 10MPa となるように 最 終 滑 り 量 を 設 定 する(すなわち 約 1.2m).この 値 は, 最 終 滑 り 量 と 破 壊 領 域 の 大 きさとの 関 係 が 十 分 に 現 実 的 であるべき ことを 念 頭 において 設 定 したものである.ライズタイムも 破 壊 領 域 内 で 一 様 であるとす る(1.2s).サイトは 図 -3.1 の x-z 平 面 内 に 位 置 するものとし,θ=30 の A 点 とθ =90 の B 点 を 考 える. 図 -3.1 矩 形 断 層 モデルと 観 測 点 A,B 大 地 震 のモ-メント M0 と 小 地 震 のモ-メント m0 の 比 が 5 5 5, およ び の 3 つの 場 合 を 考 える. 大 地 震 と 小 地 震 の 応 力 降 下 量 は 等 しいとする. 小 地 震 による 地 震 動 はω -2 モデルに 従 うものとする. 小 地 震 のコ-ナ- 周 波 数 は 小 地 震 の 応 力 降 下 量 と 地 震 モ-メントから Brune(1970,1971)による 次 式 で 定 める. fc= β(δσ/m0) 1/3 (3.1) ここに S 波 速 度 βの 単 位 は km/s, 応 力 降 下 量 Δσの 単 位 は bar, 地 震 モ-メント m0 の 単 位 は dyne cm である. 小 地 震 の 地 震 動 を Irikura(1986)の 方 法 で 重 ね 合 わせ, 合 成 波 形 のスペクトルをω -2 モデルと 比 較 したものが 図 -3.2 である( 合 成 は A 点 で 行 っ た).ここでは 変 位 のフ-リエスペクトルを 56

3 U 0 = 4 r 1 M F s (3.2) で 除 して 無 次 元 化 している.ここに r0 は 破 壊 開 始 点 からサイトまでの 距 離,μは 媒 質 の せん 断 剛 性,Fs はラディエ-ション 係 数 である. 同 様 の 無 次 元 化 は 本 稿 に 示 すすべての フ-リエスペクトルに 適 用 している.ここで 比 較 の 対 象 としているω -2 モデルのコ-ナ - 周 波 数 は, 大 地 震 の 応 力 降 下 量 と 地 震 モ-メントから 式 (3.1)で 定 めた.モ-メント 比 が 5 3,25 3,80 3 のいずれのケ-スにおいても, 大 地 震 のコ-ナ- 周 波 数 よりも 高 周 波 側 で 合 成 波 形 のスペクトルに 落 ち 込 みが 見 られる.この 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みは, 入 倉 (1994)において 指 摘 されているように, 大 地 震 と 小 地 震 のモ-メントの 比 が 大 き いほど 顕 著 となっている.ところで, 図 -3.2 にはω -3 の 傾 きを 示 す 直 線 をプロットし ている. 中 間 周 波 数 帯 域 でのスペクトルの 落 ち 込 みは, 詳 しく 見 ると,1スペクトルの 包 絡 線 が 中 間 周 波 数 帯 域 においてω -3 の 傾 きを 示 すこと,2 包 絡 線 からさらに 谷 状 の 落 ち 込 みを 示 すこと, 以 上 二 つの 効 果 の 組 み 合 わせであると 見 ることができる. 図 -3.2 矩 形 断 層 モデルによる 観 測 点 A における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペクト ルの 比 較. 合 成 スペクトルは Irikura(1986)により 求 めた. さて, 入 倉 他 (1997)は, 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 に 用 いる 滑 り 速 度 時 間 関 数 の 補 正 関 数 として,デルタ 関 数 δ(t)と 指 数 関 数 exp(-t/t)を 組 み 合 わせた 補 正 関 数 を 提 案 している (T は 大 地 震 のライズタイム).この 補 正 関 数 は, 合 成 波 の 振 幅 スペクトルの 1/T(Hz) の 倍 数 での 落 ち 込 みを 防 止 できる 特 性 を 有 している( 入 倉 他,1997; 三 宅 他,1999). そこで,ここでは, 滑 り 速 度 時 間 関 数 の 補 正 関 数 だけを 入 倉 他 (1997)のものに 変 更 し, それ 以 外 の 点 では 先 の 検 討 と 全 く 同 様 の 手 順 で,A 点 における 合 成 波 形 のスペクトルを 求 めた 結 果 を 図 -3.3 に 示 す.これを 見 ると, 補 正 関 数 を 変 更 したことによって, 合 成 57

4 波 形 のスペクトルの 山 谷 は 多 少 目 立 たなくなるが, 合 成 波 形 のスペクトルの 包 絡 線 が 中 間 周 波 数 帯 域 においてω -3 の 傾 きを 示 す 問 題 は 解 決 されないことがわかる. 図 -3.3 矩 形 断 層 モデルによる 観 測 点 A における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペクト ルの 比 較. 合 成 スペクトルは 入 倉 他 (1997)により 求 めた. 合 成 波 形 のスペクトルの 包 絡 線 が 中 間 周 波 数 帯 域 においてω -3 の 傾 きを 示 す 理 由 につ いて 著 者 の 考 えを 述 べる. 弾 性 波 動 論 によると, 高 周 波 側 でω -3 の 傾 きを 示 す 変 位 のス ペクトルは, 断 層 長 さの 有 限 性, 断 層 幅 の 有 限 性,それにライズタイムの 有 限 性 に 対 応 する 3 つのコ-ナ- 周 波 数 の 存 在 と 関 連 づけられる( 例 えば Geller;1976). 上 記 の 検 討 で 仮 定 している 滑 りの 時 空 間 分 布 は,まさに 3 つのコ-ナ- 周 波 数 が 存 在 し 得 るよう な 条 件 の 時 空 間 分 布 であるから, 中 間 周 波 数 帯 域 でスペクトルの 落 ち 込 みが 生 じるのは, この 帯 域 において 合 成 波 形 のスペクトルが 理 論 地 震 動 のスペクトルを 忠 実 に 再 現 するた めであると 考 えられる. 高 周 波 側 では 合 成 波 形 のスペクトルが 理 論 地 震 動 (ω -3 )から 離 れるが,これは 地 震 波 の 波 長 に 対 して 断 層 面 の 分 割 が 十 分 に 細 かくないためであると 解 釈 できる. 図 -3.3 において 断 層 面 の 分 割 が 細 かくなるほど 合 成 結 果 がより 高 周 波 側 までω -3 の 傾 きを 示 すことはこの 考 えを 裏 付 けている. 以 上 の 考 察 をさらに 検 証 するた め, 上 記 と 同 じ 滑 りの 時 空 間 分 布 を 与 えて,A 点 での 理 論 地 震 動 のフ-リエスペクトル を 計 算 した.これは 解 析 的 には 与 えられていないので, 全 無 限 弾 性 体 の 理 論 的 なグリ- ン 関 数 (ただし far-field S 波 の 項 )を 断 層 面 上 で 面 積 積 分 することにより 計 算 した.こ のとき 計 算 精 度 を 確 保 するため 断 層 面 の 分 割 数 を とした. 図 -3.4 に 計 算 結 果 を 示 すが, 中 間 周 波 数 帯 域 において 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 の 結 果 は 理 論 地 震 動 の スペクトルを 忠 実 に 再 現 していることが 確 認 できる. 58

5 図 -3.4 矩 形 断 層 モデルによる 観 測 点 A における 合 成 スペクトル(EGF),ω -2 目 標 ス ペクトルおよび 理 論 地 震 動 のスペクトルの 比 較. 合 成 スペクトルは 入 倉 他 (1997)によ り 求 めた. 理 論 地 震 動 のスペクトルは 全 無 限 弾 性 体 の 理 論 的 なグリ-ン 関 数 を 面 積 積 分 することにより 求 めた. 59

6 3.3 円 形 クラックモデルによる 波 形 合 成 方 法 上 記 の 考 察 が 正 しいとすれば,あらかじめω -2 モデルに 従 う 理 論 地 震 動 を 生 成 するよ うな 震 源 モデルを 選 択 して 用 いることにより, 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 による 合 成 波 形 の スペクトルは 中 間 周 波 数 帯 域 においてもω -2 モデルに 従 うはずである.ω -2 モデルに 従 うような 理 論 地 震 動 を 生 成 する 運 動 学 的 震 源 モデルの 一 つとして,Sato and Hirasawa (1973)の 円 形 クラックモデルがある.ここでは,Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルを 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 に 応 用 することにより, 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みの 問 題 の 解 決 を 試 みる. まず, 円 形 クラックモデルによる 波 形 合 成 の 定 式 化 を 行 う. 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 に おいて 標 準 的 に 用 いられている 矩 形 断 層 モデルでは, 最 終 滑 り 量 は 破 壊 領 域 内 で 一 様 で あるとされる.これに 対 し,Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルでは, ポアソン 比 が 0.25 であるような 無 限 媒 質 中 の 半 径 ρ0 の 円 形 クラックで 一 様 な 応 力 降 下 が 生 じる 場 合 の 最 終 滑 り 量 に 関 する 解 析 解 (Eshelby,1957)を 採 用 している.この 最 終 滑 り 量 は 次 式 に 示 すように 円 の 中 心 からの 距 離 ρの 関 数 となっている. Δu(ρ)=(24/7π)(Δσ/μ)(ρ0 2 -ρ 2 ) 1/2 (3.3) 一 方, 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 において 標 準 的 に 用 いられている 矩 形 断 層 モデルでは,ラ イズタイムも 破 壊 領 域 内 で 一 様 であるとされる( 例 えば Irikura,1986;Dan et al.,1989). これに 対 し,Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルでは, 破 壊 フロントが 円 の 中 心 から 同 心 円 状 に 広 がるものとし,クラック 上 のある 点 を 破 壊 フロントが 通 過 し てから 破 壊 フロントが 破 壊 停 止 端 に 到 達 するまでの 時 間 をその 点 でのライズタイムとし ている. T(ρ)=(ρ0-ρ)/v (3.4) ここに v は 破 壊 伝 播 速 度 である.このようにライズタイムを 与 えるので,クラックの 端 部 ではライズタイムの 短 いインパルス 状 の 滑 り 速 度 時 間 関 数 となる. 以 上 の 円 形 クラックモデルに 従 って 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 による 波 形 合 成 を 行 うため, 円 形 クラック 内 に 同 心 円 状 に 小 断 層 を 分 布 させる. 半 径 方 向 の 分 割 数 を NR とし, 内 側 から 数 えて i 番 目 の 同 心 円 の 半 径 をρi=ρ0 i/nr とする. 小 断 層 の 密 度 をクラック 内 で 一 様 に 保 つため, 小 断 層 が 正 三 角 形 のパタ-ンを 構 成 するように 配 置 する 必 要 があるの で, 内 側 から 数 えて i 番 目 の 同 心 円 上 には NT(i)=6i 個 の 小 断 層 を 等 間 隔 に 配 置 する.i=0 に 対 しては NT(0)=1 と 定 義 する.クラック 上 の 小 断 層 の 数 は 合 計 3(NR-1) NR+1 個 と なる. 図 -3.5 は NR=15 の 場 合 の 小 断 層 の 分 布 状 況 を 示 す. 60

7 図 -3.5 円 形 クラック 内 に 配 置 された 小 断 層 波 形 合 成 は 次 式 に 基 づいて 行 う. NR 1 NT(i) U(t) = w i r / r ij f (t) * Cu(t) i =0 j =1 (3.5) w i =d i / d m (3.6) d i =( 02 i2 ) 1 / 2 / ND(i) (3.7) f (t) = (t t ij )+ 1/n /(1 e 1 ) (ND(i) 1)n k [ e (k 1)/(ND(i) 1)/n (3.8) =1 {t t ij (k 1)T i /(ND(i) 1)/n }] t ij =(r ij r 0 )/ + i / v (3.9) 式 (3.5)において U(t)は 大 地 震 による 地 震 動,u(t)は 小 地 震 による 地 震 動,C は 大 地 震 と 小 地 震 の 応 力 降 下 量 の 比,f(t)は 大 地 震 と 小 地 震 の 滑 り 速 度 時 間 関 数 の 違 いを 表 現 した 補 正 関 数,r は 小 地 震 の 震 源 からサイトまでの 距 離,rij は ij 小 断 層 からサイトまでの 距 離 である. 式 (3.6)に お い て wi は 最 終 滑 り 量 の 分 布 を 正 しく 表 現 するための 重 み 係 数, 61

8 dm は 重 ね 合 わされるすべての 小 地 震 に 対 する di の 平 均 値 である. 式 (3.7)において ND(i) は 時 間 軸 方 向 の 分 割 数 である. 式 (3.8)において Ti は i 番 目 の 同 心 円 におけるライズ タイム, n'は 波 形 の 重 ね 合 わせの 際 に 現 れる 見 かけの 周 期 性 を 除 去 するための 任 意 の 整 数 である. 式 (3.9)において r0 は 破 壊 開 始 点 からサイトまでの 距 離 である.ライズタ イム Ti が 小 断 層 により 異 なるところは, 通 常 の 矩 形 断 層 による 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 と 異 なっており, 本 手 法 の 一 つの 特 徴 となっている. 時 間 軸 方 向 の 分 割 数 ND(i)は,ライ ズタイム Ti に 比 例 するように 次 式 で 与 える. ND(i) = a(nr i) (3.10) 以 上 の 方 法 で 重 ね 合 わせると, 重 ね 合 わせ 総 数 はちょうどaNR 3 となる. 一 方,クラッ ク 上 の 小 断 層 の 総 数 は 約 3NR 2 である. 小 断 層 の 総 数 は 重 ね 合 わせ 総 数 の 2/3 乗 に 近 いこ とが 望 ましいのでa とするのが 良 い. 以 上 の 波 形 合 成 法 により Sato and Hirasawa(1973)の 最 終 滑 り 量 分 布 が 再 現 される ことは, 小 断 層 毎 に 滑 り 量 を 加 算 していけば 確 認 できるが, 応 力 降 下 量 については,あ る 小 断 層 での 応 力 降 下 が 周 囲 の 小 断 層 の 応 力 状 態 を 変 化 させると 云 う 事 情 があるので, 小 断 層 毎 に 応 力 降 下 量 を 加 算 する 方 法 では 確 認 ができない.しかし, 一 般 に 弾 性 体 の 内 部 に 生 じるクラックでは 応 力 降 下 量 の 分 布 と 最 終 滑 り 量 の 分 布 は 一 対 一 の 関 係 にあるの で(ディリクレ 境 界 条 件 とノイマン 境 界 条 件 を 同 時 に 課 すことはできない),Sato and Hirasawa(1973)の 最 終 滑 り 量 分 布 が 再 現 されている 限 り, 応 力 降 下 量 分 布 も 同 時 に 再 現 されているものと 考 えることができる. 式 (3.5)~(3.9)に 示 す 円 形 クラックモデルに 基 づく 波 形 合 成 法 は, 最 終 滑 り 量 や ライズタイムがクラック 内 で 一 様 でないとしているので, 矩 形 の 破 壊 領 域 を 用 いる 既 往 の 波 形 合 成 法 (Irikura,1986; 入 倉 他,1997)と 比 較 して 一 見 複 雑 化 しているように 見 える.しかし,クラック 上 の 任 意 の 点 におけるライズタイムが 幾 何 学 的 な 関 係 から 定 まるようになっているので,モデルパラメタの 数 はむしろ 減 っている. 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 防 止 できる 方 法 としてすでに 提 案 されている 自 己 相 似 な 不 均 質 断 層 モデ ルを 用 いる 方 法 ( 入 倉 釜 江,1993; 入 倉,1994)と 比 較 すると, 本 合 成 法 はより 簡 便 であり,また 合 成 結 果 には 任 意 性 がない. 62

9 3.4 円 形 クラックモデルによる 波 形 合 成 結 果 上 述 の 円 形 クラックモデルにより 実 際 に 波 形 合 成 を 行 う. 図 -3.6 はここで 考 える 震 源 とサイトの 位 置 関 係 を 示 した 図 である. 矩 形 断 層 に 対 する 計 算 例 ( 図 -3.1)と 同 じよ うに 密 度 2.7t/m 3,S 波 速 度 3.2km/s の 一 様 な 媒 質 を 仮 定 し,その 中 に 円 形 の 破 壊 領 域 を 考 える. 破 壊 領 域 の 面 積 が 図 -3.1 の 矩 形 断 層 と 等 しくなるように 円 の 半 径 を 設 定 し た( 約 4.5km). 破 壊 フロントは 円 の 中 心 から 同 心 円 状 に 毎 秒 2.8km/s の 速 さで 広 がる ものとした. 大 地 震 のモ-メントは 図 -3.1 の 例 と 同 様 とした. 応 力 降 下 量 は 10MPa である.サイトは x-z 平 面 内 に 位 置 するものとし,θ=30 の A 点 とθ=90 の B 点 を 考 える. 大 地 震 のモ-メント M0 と 小 地 震 のモ-メント m0 の 比 が 53,253 および 803 の 3 通 りの 場 合 を 考 えた. 大 地 震 と 小 地 震 の 応 力 降 下 量 は 等 しいとした(すなわち C=1). (M0/m0)=5 3,25 3,80 3 のとき,それぞれ NR=3,15,48 とした. 図 -3.6 円 形 クラックモデルと 観 測 点 A,B 図 -3.7 に A 点 (θ=30 )での 合 成 結 果 をω -2 モデルと 比 較 して 示 す.ここで 言 うと ころのω -2 モデルはコ-ナ- 周 波 数 を Brune(1970,1971)の 式 で 定 めたものである. これを 見 ると, 合 成 波 形 のスペクトル 形 状 は 中 間 的 な 周 波 数 帯 域 も 含 めω -2 モデルに 従 っており, 当 初 意 図 したとおり, 円 形 クラックモデルの 導 入 により, 中 間 周 波 数 帯 域 で の 落 ち 込 みの 問 題 を 解 決 できることがわかる.なお, 図 -3.7 の 合 成 結 果 で 10Hz 以 上 に 存 在 するピ-クは 既 存 の 波 形 合 成 法 では 表 れないピ-クであるが,このピ-クは 小 断 層 の 配 置 が 規 則 的 でありすぎるために 生 じるものであると 考 えられる.この 考 えが 正 し いなら, 小 断 層 の 破 壊 時 刻 にランダムネスを 与 えることにより 解 消 することができるは ずである.そこで, 実 際 に 小 断 層 の 破 壊 時 刻 に 0~ρ0/ v /NR の 一 様 分 布 に 従 う 遅 れを 与 えて 再 度 計 算 を 行 ったところ, 図 -3.8 に 示 すように 人 工 的 なピ-クをほぼ 解 消 する ことができた. 以 下 において 円 形 クラックモデルを 用 いる 場 合 には, 上 記 と 同 様 のラン ダムネスを 破 壊 時 刻 に 与 えることとする. 63

10 図 -3.7 円 形 クラックモデルによる 観 測 点 A における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペ クトルの 比 較. 合 成 スペクトルは 式 (3.5)-(3.9)に 基 づいて 求 めた. 図 -3.8 円 形 クラックモデルによる 観 測 点 A における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペ クトルの 比 較. 合 成 スペクトルは 式 (3.5)-(3.9)に 基 づいて 求 めた. 図 -3.7 との 相 違 は 小 断 層 の 破 壊 時 刻 にランダムネスを 導 入 している 点 である. 次 に B 点 (θ=90 )での 波 形 合 成 を 行 う.B 点 は forward directivity の 影 響 を 強 く 64

11 受 けるサイトである.ここで, 合 成 結 果 の 比 較 対 象 であるω -2 モデルについて 補 足 する. ω -2 モデルは 地 震 モ-メント M0 とコ-ナ- 周 波 数 fc の 二 つのパラメタからなるモデル であるが,このうち fc は 方 位 に 依 存 する 性 質 がある.B 点 のように forward directivity の 影 響 を 受 けるサイトでは,fc は 比 較 的 大 きな 値 をとる.そこで, 比 較 の 対 象 としての ω -2 モデルを 設 定 する 際 には,Brune(1970,1971)の 式 によるのではなく,fc の 方 位 依 存 性 を 考 慮 する 必 要 がある.Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルから 生 成 される S 波 の 加 速 度 スペクトルの 短 周 期 側 でのフラットレベル A0 は,θ=0 の 方 位 を 除 いては,Papageorgiou and Aki(1983)の 式 (32)(33)(40)から 次 式 で 与 え られる. A 0 = 1 4 r 0 M 0 1 F s 3 2 v 2 1+k 2 0 k(1 + k)(1 k) (3.11) ここに 無 次 元 量 k は 次 式 で 与 えられる. k =(v / ) sin (3.12) 従 って, 加 速 度 スペクトルの 短 周 期 側 でのフラットレベル A0 と 変 位 スペクトルの 長 周 期 側 でのフラットレベル U0( 式 3.2)との 比 は 次 式 で 与 えられる. A 0 U 0 = 3 2 v 2 1+k 2 0 k(1 + k)(1 k) (3.13) 一 方,ω -2 モデルではコ-ナ- 周 波 数 fc と A0/U0 は 次 式 により 関 連 づけられる. f c = 1 2 A 0 U 0 (3.14) そこで 式 (3.13)により A0/U0 を 求 め, 式 (3.14)により fc を 求 めればよい.ρ0=4.5km, v=2.8km/s,β=3.2km/s の 条 件 の 下 で fc をθの 関 数 として 求 め 図 -3.9 に 示 す. 同 図 に よれば,θ=90 のとき,forward directivity の 影 響 で fc はθ=30 のときよりも 大 きい ことがわかる. 図 -3.9 には 同 時 に Brune(1970,1971)の 方 法 で 求 めた fc( 方 位 に 依 存 しない)を 示 しているが,θ=30 のときには,どちらの 方 法 で fc を 求 めてもその 値 にはあまり 差 がない. 65

12 図 -3.9 コ-ナ- 周 波 数 の 方 位 依 存 性 さて,B 点 (θ=90 )での 波 形 合 成 結 果 を, 方 位 に 依 存 するコ-ナ- 周 波 数 を 有 す るω -2 モデルと 比 較 して 図 に 示 す. 同 図 に 示 すように 合 成 結 果 には 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みは 見 られず,ω -2 モデルと 良 く 一 致 している. 図 円 形 クラックモデルによる 観 測 点 B における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペ クトルの 比 較. 合 成 スペクトルは 式 (3.5)-(3.9)に 基 づいて 求 めた. 小 断 層 の 破 壊 時 刻 にはランダムネスを 導 入 している. 66

13 同 じ B 点 について, 矩 形 の 破 壊 領 域 による 合 成 結 果 をω -2 モデルと 比 較 して 図 に 示 す. 同 図 に 示 すように B 点 についても 矩 形 の 破 壊 領 域 による 合 成 結 果 には 中 間 周 波 数 帯 域 における 落 ち 込 みが 見 られ, 円 形 クラックモデルの 有 効 性 は 明 らかである. 図 矩 形 断 層 モデルによる 観 測 点 B における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペクト ルの 比 較. 合 成 スペクトルは 入 倉 他 (1997)により 求 めた. 67

14 3.5 なぜ 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みが 回 避 できるか ここで,なぜ 円 形 クラックモデルを 用 いると 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みが 回 避 でき るのか 考 察 する.3.2 で 述 べたように, 高 周 波 側 でω -3 の 傾 きを 示 す 変 位 のスペクトルは, 断 層 長 さの 有 限 性, 断 層 幅 の 有 限 性,それにライズタイムの 有 限 性 に 対 応 する 3 つのコ -ナ- 周 波 数 の 存 在 と 関 連 づけられる( 例 えば Geller,1976).ところが, 矩 形 断 層 の 場 合 (Geller,1976)のみならず, 円 形 クラックの 場 合 も, 空 間 に 関 する 2 つのコ-ナ - 周 波 数 と 時 間 に 関 する 1 つのコ-ナ- 周 波 数 が 存 在 することには 変 わりない( 付 録 B 参 照 ). 従 って, 破 壊 領 域 の 形 状 を 矩 形 から 円 形 に 変 更 したことが 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みの 回 避 に 結 びついたとは 考 えにくい. Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルでは,ライズタイムをクラック 内 で 非 一 様 であるとしている. 具 体 的 にはクラック 上 のある 点 を 破 壊 フロントが 通 過 して から 破 壊 フロントが 破 壊 停 止 端 に 到 達 するまでの 時 間 をその 点 でのライズタイムとして いる.この 結 果, 破 壊 停 止 端 付 近 ではライズタイムは 著 しく 小 さな 値 を 示 し, 滑 り 速 度 時 間 関 数 はインパルス 状 となる.このように,クラック 内 のある 部 分 において 著 しく 小 さなライズタイムが 設 定 されていれば,クラック 内 の 当 該 部 分 については 時 間 に 関 する コ-ナ- 周 波 数 が 高 周 波 側 に 移 動 するので, 第 三 のコ-ナ- 周 波 数 は 事 実 上 存 在 しない と 考 えることができる 状 況 になり,S 波 のスペクトルがω -2 モデルに 従 うものと 考 えら れる. 従 って,ライズタイムを 破 壊 領 域 内 で 非 一 様 としたことが 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 回 避 するうえで 本 質 的 な 役 割 を 果 たしていると 考 えられる. このことを 検 証 するため, 円 形 クラックモデルにおいて,ライズタイムだけをクラッ ク 内 で 一 様 (1.2s)とし,それ 以 外 は 前 記 と 同 じ 条 件 で A 点 における 合 成 波 形 を 計 算 し, 図 に 示 した.この 場 合,ライズタイムが 一 様 なので, 時 間 軸 方 向 の 分 割 数 ND は 円 の 中 心 からの 距 離 に 関 係 なく 一 つの 値 を 用 いる. 総 重 ね 合 わせ 数 を 大 地 震 と 小 地 震 の モ-メント 比 に 近 づけることと, 小 断 層 の 数 をモ-メント 比 の 2/3 乗 に 近 づけることを 念 頭 におき,(M0/m0)=5 3,25 3,80 3 のとき,それぞれ NR=3,15,47,ND=7,25, 79 とした. 同 図 に 示 すように,クラック 内 で 一 様 なライズタイムを 用 いた 場 合 には 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みが 再 びあらわることから,ライズタイムの 非 一 様 性 が 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 回 避 する 上 で 本 質 的 な 役 割 を 果 たしていることがわかる. なお,ω -2 モデルに 従 う 地 震 動 を 生 成 できる 他 の 震 源 モデルとして Herrero and Bernard(1994)の k -2 モデルがあるが,そこでも"scale dependent"なライズタイムを 与 えること,すなわち, 一 部 の 小 断 層 について 小 さなライズタイムを 与 えることが,ω -2 モデルに 従 う 地 震 動 を 生 成 する 上 で 重 要 な 要 因 となっているようである. 68

15 図 円 形 クラックモデルによる 観 測 点 A における 合 成 スペクトルとω -2 目 標 スペ クトルの 比 較.ライズタイムを 一 様 (1.2s)とした 点 以 外 は 図 -3.8 と 同 じ. 69

16 3.6 モデルの 妥 当 性 に 関 する 考 察 円 形 クラックモデルを 用 いる 提 案 手 法 を, 矩 形 の 破 壊 領 域 を 用 いる 従 来 の 方 法 と 比 較 しながら,その 物 理 的 妥 当 性 について 以 下 に 整 理 する. まず, 破 壊 領 域 内 での 最 終 滑 り 量 の 分 布 については, 破 壊 領 域 端 部 での 連 続 条 件 を 考 えると, 最 終 滑 り 量 が 非 一 様 であるとする 円 形 クラックモデルの 方 がより 現 実 的 である と 考 えられる. 単 一 クラックを 考 える 場 合 のみならず, 大 地 震 の 震 源 を 複 数 のアスペリ ティでモデル 化 する 場 合 も,アスペリティ 内 外 の 最 終 滑 り 量 がアスペリティ 端 部 で 連 続 であると 考 える 方 がより 現 実 的 である. 次 にライズタイムの 非 一 様 性 について 考 察 する.Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルは 運 動 学 的 なモデルであるので 動 力 学 モデルとの 比 較 を 行 うことは 重 要 であると 考 えられる.Madariaga(1976)は 摩 擦 構 成 則 を 考 慮 しない 場 合 の 応 力 降 下 量 が 一 様 な 円 形 クラックについて 滑 り 速 度 時 間 関 数 の 数 値 解 を 差 分 法 で 求 めており,ライ ズタイムは 一 様 でなく, 破 壊 停 止 端 付 近 ではライズタイムが 短 いとの 結 果 を 得 ている. Day(1982)は 摩 擦 構 成 則 を 考 慮 しない 場 合 の 応 力 降 下 量 が 一 様 な 矩 形 断 層 について 滑 り 速 度 時 間 関 数 の 数 値 解 を 差 分 法 で 求 めており,ライズタイムは 一 様 でなく, 破 壊 停 止 端 付 近 はライズタイムが 短 いとの 結 果 を 得 ている. 中 村 宮 武 (2000)は,slip-weakening 摩 擦 則 の 作 用 する 場 合 について, 正 方 形 のアスペリティが 次 々に 破 壊 する 場 合 の 滑 り 速 度 時 間 関 数 の 数 値 解 を 差 分 法 で 計 算 しているが,アスペリティ 内 で 滑 りが 停 止 する 時 刻 は 破 壊 フロントがアスペリティを 通 過 し 終 える 時 刻 に 支 配 されており,アスペリティの 破 壊 停 止 端 付 近 ではライズタイムが 短 いとの 結 果 を 得 ている( 中 村 宮 武,2000 の Fig.4(2)). 以 上 のように, 破 壊 停 止 端 付 近 でライズタイムが 短 い 傾 向 は 動 力 学 モデルに 共 通 して 見 ることができる.Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルを 適 用 すれば, 以 上 のような 動 力 学 モデルの 傾 向 と 調 和 的 な 波 形 合 成 が 可 能 であると 言 える. 最 後 に, 高 周 波 生 成 域 について 考 察 する. 円 形 クラックモデルによる 波 形 合 成 では, 高 周 波 成 分 は 主 に 破 壊 停 止 端 付 近 で 発 生 することになる.Kakehi and Irikura(1994)は 1993 年 釧 路 沖 地 震 について 経 験 的 グリ-ン 関 数 を 用 いて 加 速 度 波 形 の 包 絡 線 に 関 する インバ-ジョンを 行 い, 震 源 域 内 の 高 周 波 生 成 域 を 求 め, 破 壊 中 央 部 の 滑 り 量 の 大 きい ところ(Takeo et al.,1993)では 高 周 波 生 成 は 小 さく, 破 壊 停 止 端 付 近 の 滑 り 量 の 小 さいところで 高 周 波 の 生 成 が 大 きいとしている.Kakehi et al.(1996)は 1995 年 兵 庫 県 南 部 地 震 について 同 様 の 解 析 を 実 施 し, 神 戸 側 では 高 周 波 の 生 成 域 が 波 形 インバ-ジ ョン(Sekiguchi et al.,1996)で 得 られた 滑 り 量 の 大 きい 部 分 を 取 り 囲 むように 存 在 し ていると 報 告 している.このような 報 告 は, 破 壊 停 止 端 付 近 で 高 周 波 の 生 成 される 円 形 クラックモデルの 採 用 を 支 持 するものである.ただし, 高 周 波 の 生 成 域 については 依 然 として 議 論 の 残 るところである. 例 えば,Kakehi et al.(1996)による 1995 年 兵 庫 県 南 部 地 震 の 解 析 結 果 によると, 淡 路 島 側 および 破 壊 開 始 点 付 近 では 滑 り 量 の 大 きい 部 分 と 高 周 波 生 成 域 はほぼ 一 致 していると 報 告 されている.このような 現 象 の 多 様 性 を 理 解 するためには, 破 壊 停 止 端 付 近 でなくても 破 壊 伝 播 速 度 の 急 激 な 変 化 によって 高 周 波 成 分 が 生 成 される(Sato,1994)と 云 う 点 を 考 慮 に 入 れる 必 要 があるかも 知 れない.いず 70

17 れにしても, 高 周 波 生 成 域 の 分 布 に 注 目 した 場 合,Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルに 基 づいて 波 形 合 成 を 行 うことがより 震 源 の 物 理 に 則 しているかどうか と 云 う 点 については, 議 論 の 残 るところである. ところで,Sato and Hirasawa(1973)の 円 形 クラックモデルはθ=0 の 方 位 に 特 異 性 を 有 しており,この 方 位 に 放 射 される S 波 のスペクトルはω -1 モデルに 従 う(Sato and Hirasawa,1973).θ=0 の 方 位 で S 波 のスペクトルがω -1 モデルに 従 うのは 円 周 上 で の 破 壊 停 止 の 情 報 が 同 時 に 到 達 するためであるが, 現 実 にありうる 現 象 とは 考 えにくい. θ=0 でなくても,θが 0 に 近 い 方 位 (±5 の 範 囲 )では 図 -3.9 に 示 すように 方 位 依 存 型 のコ-ナ- 周 波 数 は 著 しく 大 きな 値 を 示 す.このように 特 異 な 方 位 が 存 在 すると 云 うことは,このモデルを 適 用 する 上 で 注 意 を 要 する 点 である.ただし, θ 5 とな る 方 位 が 全 方 位 に 占 める 割 合 は 0.4%に 過 ぎないので, 十 分 な 注 意 を 払 えば, 致 命 的 な 問 題 にはならないと 考 えている. 71

18 3.7 複 数 円 形 アスペリティモデル 実 際 の 大 地 震 を 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 でモデル 化 する 際 には 複 数 アスペリティモデル で 表 現 することが 多 い( 例 えば 釜 江 入 倉,1997; 三 宅 他,1999; 池 田 他,2002).そ の 際, 個 々のアスペリティを 表 現 するのに 円 形 クラックモデルを 用 いることが 考 えられ る.ここでは 1993 年 釧 路 沖 地 震 について 円 形 アスペリティモデルによるモデル 化 を 行 いその 適 用 性 を 調 べた 年 釧 路 沖 地 震 については, 既 存 の 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 を 用 いた 複 数 アスペリテ ィモデルが 提 案 されている( 森 川 笹 谷,2002).ここではその 結 果 や 波 形 インバ-ジ ョンの 結 果 (Ide and Takeo,1996)を 参 照 しながら,フォワ-ドモデリングを 行 った. モデル 化 には 釧 路 沖 地 震 の 最 大 余 震 (1993/2/4 23:43 MJMA=4.9 深 さ 94.7km)を 用 い た. 森 川 笹 谷 (2002)と 同 様, Hz の 帯 域 での 加 速 度 速 度 変 位 の 各 波 形 を モデル 化 の 対 象 とした. 図 に,フォワ-ドモデリングで 得 られた 複 数 円 形 アスペリティモデルを 示 す. 表 に 複 数 円 形 アスペリティモデルのパラメタ 一 覧 を 示 す. 図 に MYR,AKS,URA の 3 地 点 ( 図 -3.13)での 観 測 波 と 合 成 波 の 比 較 を 示 す. 同 図 に 示 す ように, Hz の 帯 域 での 加 速 度 速 度 変 位 の 各 波 形 を 一 定 の 精 度 で 再 現 する 複 数 円 形 アスペリティモデルを 構 築 することができた. 特 に,AKS の 加 速 度 波 形 の 包 絡 線 は 既 存 のモデルでは 十 分 に 再 現 されなかったが( 森 川 笹 谷,2002), 提 案 モデルで は 良 好 に 再 現 されている.これは, 提 案 手 法 による 場 合, 破 壊 停 止 端 から 発 生 するスト ッピングフェ-ズを 評 価 できるためであると 考 えられる.それ 以 外 の 点 については, 波 形 の 再 現 性 は 森 川 笹 谷 (2002)と 同 程 度 である.この 解 析 事 例 では, 本 震 と 余 震 の 規 模 の 違 いは 大 きいものの, 応 力 降 下 量 の 比 C も 大 きいので, 重 ね 合 わせ 数 はあまり 大 き な 値 とはなっていない. 従 って 中 間 周 波 数 帯 域 での 落 ち 込 みを 回 避 できる 提 案 手 法 のメ リットは,この 解 析 事 例 では 十 分 に 生 かされているとは 言 えない. 本 震 と 余 震 の 規 模 の 違 いが 大 きく,しかも 応 力 降 下 量 の 比 C が 小 さい 場 合 に, 提 案 手 法 のメリットがより 生 かされるものと 考 えられる. 72

19 図 年 釧 路 沖 地 震 の 複 数 円 形 アスペリティモデル 図 年 釧 路 沖 地 震 の 3 地 点 における 観 測 波 ( 上 段 )と 複 数 円 形 アスペリテ ィモデル( 図 -3.13)による 波 形 合 成 結 果 ( 下 段 ). 73

20 表 年 釧 路 沖 地 震 の 複 数 円 形 アスペリティモデルのパラメタ Asperity-1 Asperity-2 Asperity-3 Longitude of center (degree) Latitude of center (degree) Depth of center (km) Strike (degree) N159E N159E N159E Dip (degree) Radius(km) Rupture starting time (s)* Rupture velocity (km/s) C NR *relative to the rupture starting time of asperity-1 表 -3.1 に 示 したアスペリティの 中 でアスペリティ 3 は MYR および URA の 波 形 に 対 しては 最 も 支 配 的 な 影 響 を 及 ぼしており, 森 川 笹 谷 (2002)のモデルではアスペリテ ィ 2 に 対 応 すると 考 えられる. 森 川 笹 谷 (2002)のアスペリティ 2 を 面 積 の 等 しい 円 で 置 き 換 えたときの 半 径 は 4.8km 程 度 であり, 提 案 モデルのアスペリティ 3 の 方 が 1.6 倍 程 度 大 きい.その 理 由 の 一 つは, 円 形 アスペリティでは 最 終 滑 り 量 がアスペリティ 内 で 一 様 でないためである 可 能 性 がある.ライズタイムについては,アスペリティ 内 の 最 も 端 部 に 近 い 小 断 層 で 約 0.7s となっており,この 値 は 森 川 笹 谷 (2002)の 採 用 した 0.6s に 近 い 数 字 である. 74

21 3.8 本 章 のまとめ 本 稿 では, 経 験 的 グリ-ン 関 数 法 で 合 成 波 形 の 中 間 周 波 数 帯 域 に 落 ち 込 みの 生 じる 原 因 について 先 ず 考 察 し,その 結 果 を 踏 まえて, 円 形 クラックモデルに 基 づく 波 形 合 成 法 を 提 案 した. 提 案 法 は, 方 位 に 依 存 するコ-ナ- 周 波 数 を 有 するようなω -2 モデルと 整 合 する 合 成 結 果 を 与 えることが 確 認 された. 提 案 法 は, 破 壊 停 止 端 付 近 からのストッピ ングフェ-ズを 表 現 できる 点 など, 矩 形 の 破 壊 領 域 を 用 いる 従 来 の 方 法 と 比 べ, 震 源 の 物 理 に 対 してより 忠 実 である 可 能 性 もあると 考 えている.1993 年 釧 路 沖 地 震 について, 個 々のアスペリティを 円 形 クラックで 表 現 する 複 数 円 形 アスペリティモデルの 構 築 を 試 みたところ, 加 速 度 波 形 の 包 絡 線 については, 既 存 のモデルよりもより 再 現 性 の 良 い 結 果 を 得 た. ただし, 個 々のアスペリティを 表 現 するのに 用 いた 円 形 クラックは 縦 横 比 や 破 壊 開 始 点 などの 点 で 自 由 度 が 小 さい. 今 後,より 多 くの 地 震 について 複 数 アスペリティモデル を 構 築 しようとすれば, 縦 横 比 や 破 壊 開 始 点 についてより 自 由 度 を 持 たせることも 必 要 であると 考 えられる.その 際, 円 形 アスペリティの 利 点 を 失 わないよう 配 慮 することが 重 要 であると 考 えられるが,この 点 は 今 後 の 課 題 である. 75

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