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- かずひろ かみいしづ
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2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fisher's PLSDProtected Least Signi cant Di erence : : : : : : : : : : : : : : : Tukey : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Sche e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dunnett : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Bonferroni : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Newman-Keuls : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Duncan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Waller-Duncan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Games-Howell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dunnett C : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tamhane T2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Steel-Dwass : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Steel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dunn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15
3 1.7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
4 t 3 a multiple comparison [1] t 3 t ABC 3 ¹ A ¹ B ¹ C ¾A 2 ¾2 B ¾2 C A B AB B C BCA C AC AB c BC c AC c ABC t type error 5 P[AB] P[BC] P[AC] 0:95P[AB c ] P[BC c ] P[AC c ] 0:05 (2.1) Er P[Er] P[] P[AB BC AC] 1 0:95 3 0: (2.2) 3 type error 1 1 k k (2.3) 3 t a
5 ABC H 0 ¹ A ¹ B ¹ C (2.4) overall null hypothesis H 0AB ¹ A ¹ B (2.5) H 0AC ¹ A ¹ C (2.6) H 0BC ¹ B ¹ C (2.7) subset null hypothesisfamily of subset null hypothesis F 1 H 0AB H 0AC H 0BC (2.8) A F 2 H 0AB H 0AC (2.9) type familywise error ratetype FWEtype FWE 1 type FWE conservative type FWE type FWE 1. type error 2. type error 3. type error A B C ¹ A ¹ B ¹ C ¹ A 6= ¹ B ¹ B 6= ¹ C ¹ A 6= ¹ B 6= ¹ C ¹ A ¹ B ¹ B ¹ C ¹ A ¹ B ¹ C ¹ A ¹ B ¹ B ¹ C ¹ A ¹ B ¹ B ¹ C ¹ C ¹ A
6 type FWE type error t t Studentized rangeq q x 1 x j j 1px 1 x j n ¹x j n x ij=nj 1p¹x 1 ¹x j ¹x max ¹x min s 2 p j=1 q ¹x max¹x min s= p n n x ij¹x j 2 =pn p (2.10) q q qaá E a Á E Á E N a n n a a Á E Á 1 Á E Á 1 Á 2 Á E Á 2 qaá 1 qaá 2 qaá E 1=Á E 1=Á 2 1=Á 1 1=Á 2 qaá 1 + 1=Á 1 1=Á E 1=Á 1 1=Á 2 qaá 2 (2.11)
7 Fisher's PLSDProtected Least Signi cant Di erence Fisher's PLSD LSD LSD b post-hoc c LSD LSDunprotected LSD Tukey Tukey HSD Tukey's honestly signi cant di erence test WSD Tukey's wholly signi cant di erence testhsd Tukey a Tukey q WSD Tukey b Tukey HSD HSD Tukey Tukey Tukey d 1a n 1 n a i ji =1aj 1ai j H 0ij H 0ij ¹ i ¹ j (3.12) 1. a F H 012 H 013 H 0ij i =1aj 1ai j 2. a ¹x 1 ¹x i s 1 s i i 1a ¹x i n i k=1 n i x ik s i n i k=1 x ik ¹x i 2 n i 1 i 1a (3.13) b F-protected Fisher's Least Signi cant Di erence c post-hoc a posteriori d Tukey Tukey-Kramer
8 Á E S e Á E N a n n a a N S e a n i 1s i a n i (3.14) Á E (3.15) 4. t ij t ij ¹x i ¹x j S e 1 n i + 1 n j i 1aj 1ai j (3.16) 5. jt ij j qaá E = p 2 H 0ij jt ij j qaá E = p 2 H 0ij qaá E = p Sche e Sche e e contrast a a c i ¹ i c i 0 i 1a (3.17) 3.17 c i H 0 a H 0 c i ¹ i 0 (3.18) ¹ i i 1234 ¹ 1 ¹ 2 c 1 1c 2 1c 3 0c 4 0 c 1 0:5c 2 0:5c 3 0:5c 4 0:5 ¹ 1 ¹ 2 ¹ 3 ¹ c 1 c 2 c 3 c 4 F ANOVA Sche e Tukey e
9 a ¹x 1 ¹x i s 1 s i i 1a ¹x i n i x ik k=1 n i s i n i k=1 x ik ¹x i 2 3. Á E S e Á E N a n n a a N 4. t ij S e i 1a (3.19) n i 1 a n i 1s i a n i (3.20) Á E (3.21) a 2 F a S e c i ¹x i =Á A c 2 i =n i Á A a 1 i 1a (3.22) 5. F FÁ A Á E H 0 F FÁ A Á E H Dunnett Dunnett 1 2 f Dunnett i i 23a 1. F H 012 H 013 H 01a f Tukey Sche e
10 F H 112 H 113 H 11a H 11i H 11i ¹ 1 6= ¹ i (3.23) H 11i ¹ 1 ¹ i (3.24) H 11i ¹ 1 ¹ i (3.25) 3. a ¹x 1 ¹x i s 1 s i i 1a ¹x i n i x ik k=1 n i s i n i k=1 x ik ¹x i 2 4. Á E S e Á E N a n n a a N S e i 1a (3.26) n i 1 a n i 1s i a n i (3.27) Á E (3.28) 5. t ij t 1i ¹x 1 ¹x i S e 1 n n i i 1a (3.29) 5.½ n 2 n 2 + n 1 n 2 n 3 n a (3.30) Dunnett d daá E ½ jt 1i j daá E ½ H 01i ¹ 1 ¹ i jt 1i j daá E ½ H 01i 3.24Dunnett d 0 daá 0 E ½ t 1i daá 0 E ½ H 01i ¹ 1 ¹ i t 1i daá 0 E ½ H 01i 3.25Dunnett d 0 daá 0 E ½ t 1i daá 0 E ½ H 01i ¹ 1 ¹ i t 1i daá 0 E ½ H 01i Bonferroni Bonferroni Bonferroni k E i i 12k Pr k E i k Pr(E i ) (3.31)
11 8 1 k =3Pr[E 1 [ E 2 [ E 3 ] Pr[E 1 ]+Pr[E 2 ]+Pr[E 3 ] ¹ 1 ¹ 2 ¹ 3 F H 012 H 013 H H Pr[ 1 [ 2 [ 3 ] Pr[ 1 ]+Pr[ 2 ]+Pr[ 3 ] type FWE Pr 3 i Pr[ i ] =3i 123 =3 Bonferroni  k Bonferroni k Holm [2] Sha er [3] g Simes Hochberg [4]Hommel [5]Rom [6] Newman-Keuls Newman-Keuls Student-Newman-Keuls S-N-K type FWE Duncan Duncan Newman-Keuls [ ] type FWE t [8] Waller-Duncan Duncan [ ] g Sha er Bonferroni Sid ak Bonferroni Tukey Holland-Copenhaver
12 Williams Dunnett Tukey-Welsch [7]Peritz h Hochberg's GT2 Gabriel Ryan-Einot-Gabriel-Welsch R-E-G-W h Newman-Keuls Tukey-Welsch
13 Games-Howell Games-Howell [9] Tukey Welch 3.16a t ij ¹x i¹x j s 2 i n i + s2 j n j i 1aj 1ai j (4.32) n i n j s 2 i x ik ¹x i 2 =º i º i n i 1s 2 j x jk ¹x j 2 =º j º j n j 1 k=1 k=1 qaº ij s 2 i º ij =n i + s 2 j =n j 2 s 4 i =n2 i n i 1+ s 4 j =n2 j n j 1 (4.33) Tukey [ ] Dunnett C Dunnett C Games-Howell 4.33 i Dunnett T Tamhane T2 Welth i Games-Howell Dunnett C 2 Games-Howell-C
14 j 3. n 10 k 4. outlier Steel-Dwass Steel-Dwass Tukey Steel Steel Dunnett Dunn Dunnett 1 2 National Institutes of Health National Toxicology Program Williams [ ] Shirley-Williams Bonferroni j k
15 t t AC AC AB BC AB BC ABACBC ABAC i j H 0{ij} i j 1.1 t t A BA C 1.1 A B C A B C 1.1 A B C A [or]b CB A andc A B A C A A BA C t l 1.1 hierarchial ANOVA[] [10] t LSD m Duncan Newman-Keuls l B C m
16 n LSD LSD 4 post-hoc LSD LSD LSD 2 t o 3 ABC 3 5 H 0 H 1 LSD A BB C A C 3 H 0AB H 0BC H 0AC H 1AB H 1BC H 1AC ¹ A ¹ B ¹ C H 1 type error 5 1. ¹ A ¹ B ¹ C H 0 LSD A BB CA C H 1BC H 1AC type error A B 5 3 LSD 4 ABCD H 0 ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D H 0 5 ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D H 0 LSD LSD A BA CA DB CB DC D 6 A DB DC D 3 3 A BA CB C 5 2 t type error sample size 2 Tukey mn a type FWE mn 12 a 12 mn 13 a 4 [11] t n multiple range test o LSD t
17 Bartlett Levene type error t F 4 [12] 0:2 [13] 0:5 Welch [ 1.4 ] p Tukey Sche e Sche e 3 LSD p
18 No No Yes Scheffé Scheffé 1 1 Tukey Bonferroni Šidák Games-Howell Tukey Bonferroni Šidák Games-Howell Steel-Dwass Steel-Dwass Scheffé Bonferroni Scheffé Bonferroni No Yes Williams Williams Shirley-Williams Shirley-Williams No Yes Dunnett Dunnett Steel Dunn Steel Dunn No Yes No Yes Bonferroni Šidák Bonferroni Šidák Yes
19 [ ] 1 A B C B C A B t A C t 2 t A B C Dunnett ABC [ ] n 2 n
20 A B A C B C A B C D A 0.2 B 0.8 C 0.6 D 0.4 [ ] 2.1 A B AB A B Williams Dunnett A 10mg A 20mg 40mg A Dunnett A 20mg 10mg 40mg Williams Shirley-Williams 3. A B C D ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D ¹ A ¹ B ¹ C ¹ D 4. 2 A B C D A C Bonferroni q 1.2 q Tukey Tukey
21 ABCD 4 8 A B C D 1 51:8 41:4 28:1 38:1 2 60:7 31:5 25:6 19:5 3 43:9 35:8 24:3 51:5 4 58:3 45:8 36:7 42:6 5 47:4 40:1 49:0 39:0 6 38:9 42:1 36:2 37:8 7 47:8 34:9 54:0 51:5 8 49:8 45:2 46:7 50:8 49:8 39:6 37:6 41:4 7:2 5:1 11:3 10: Tukey Games-Howell Steel-Dwass df 695: :9 2: : : :5 23 F (3280:05) 2:95
22 A B A B C D C D A B A B C D Min st Qu Median Mean rd Qu Max S.D C D AD 1.3 a. D c. Q-Q D AD ¹ 42:09 S.D S.D D 3S.D D d. C S.D. B 2 CD Levene p 0:195 0:05 Tukey Levene p 0:195 Games-Howell Tukey
23 CI 95 CI Games Howell Avs:B 10:23 0:027 1:08 19:38 C 12:25 0:096 1:83 26:33 D 8:48 0:293 5:01 21:96 Bvs:C 2:03 0:966 11:46 15:51 D 1:75 0:974 14:58 11:08 Cvs:D 3:78 0:901 19:79 12:24 Tukey Avs:B 10:23 0:125 1:98 22:43 C 12:25 0:049 0:04 24:46 D 8:48 0:253 3:73 20:68 Bvs:C 2:03 0:969 10:18 14:23 D 1:75 0:979 13:96 10:46 Cvs:D 3:78 0:833 15:98 8:43 p 0:05 Games-Howell A BTukey A C 1.3-d.A C Tukey Tukey A C S.D Games-Howell A B C D Tukey 1.8.4
24 FAX e mailpteiki@cc.hirosaki-u.ac.jp URLhttp://itan.cc.hirosaki-u.ac.jp/ptstu /pteiki/eiki.html
25
26 23 [1] [2] Holm SA simple sequentially rejective multiple test procedurescandinavian.jornal of Statistics [3] Sha er JPModi ed sequentally rejective multiple test procedurejornal of the American Statistical Association [4] Hochberg YA sharper Bonferroni procedure for multiple tests of signi cancebiometrika [5] Hommel GA stagewise rejective multiple test procedure based on a modi ed Bonferroni test Biometrika [6] Rom DMA sequentially rejective test procedure based on a modi ed Bonferroni inequality Biometrika [7] Welsch REA modi cation of the Newman-Keuls procedure for multiple comparisonsworking Paper ,Sloan School of Management,M.I.T.,Boston,MA,1972. [8] [1] [9] Games PA,Howell JFPairwise multiple comparisons procedures with unequal N's and/or variances A Monte Carlo studyj.educ.statist [10] [11] Tukey Tukey-Kramer [12] Gans DJUse of a preliminary test in comparing two sample meanscommun. Statist. B [13]
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2006,, 1 2 3 4 199087 20 3,, 3 A vs B, B vs C, C vs A 0.05 0.01 t[] t[] 2 5 6 0.050.01 3 3 LSD 7 8 1 2 9 3 A vs B, B vs C, C vs A 1 1 10.05 = 0.95 3 0.950.950.95 = 0.857375 31 10.857375 = 0.142625 (14.3)
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