全 文 は 17 年 も 公 開 されず 一 説 には この 墓 は 張 蒼 (?-B.C.152)の 墓 とするものもあ り 混 乱 していた 2) その 全 容 の 公 開 が 待 たれていた 3) が 2000 年 9 月 ようやくその 全 文 が 明 らかになった 4) 荊 州 市 は 湖

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1 * 算 数 書 日 本 語 訳 Abstract 城 地 茂 ** The oldest mathematical book in China whose name is the Suanshushu was unearthed in the Zhangjiashan ruins, Jiangsha City, Hubei province, China from December 1983 to January Some parts of the Suanshushu were opened, but the detail had not been opened yet. The Suanshushu was written about 186 BC at least, and it must be the oldest mathematical art in China. And it was about 200 years before of the Jiu Zhang Suan Shu. In September 2000, we can read whole book because the committee opened full text of it. The author translated the Suanshushu into Japanese, and would like to make it help for researching the paradigm of Chinese mathematics, which was established in the Han dynasty. KEY WORDS: Suanshushu, Zhangjiashan, Chinese mathematics, Japanese, Jiu Zhang Suan Shu 1983 年 12 月 から 翌 年 1 月 にかけて 湖 北 省 荊 沙 市 荊 州 区 で 竹 簡 算 数 書 が 前 漢 時 代 の 墓 より 出 土 し 数 学 史 界 の 注 目 を 集 めた しかし 全 文 は 17 年 も 公 開 されず その 内 容 は 謎 に 包 まれていた 現 存 する 最 古 の 数 学 書 とされる 九 章 算 術 を 遡 ること 200 年 東 洋 数 学 の 起 源 を 書 き 替 えるものとして その 全 容 の 公 開 が 待 たれていたが 2000 年 9 月 ようやくその 全 文 が 明 らかになった そこで まず 算 数 書 を 全 訳 し 漢 代 に 完 成 した 中 国 数 学 のパラダイムの 成 立 過 程 を 探 索 の 一 助 としたい キーワード: 算 数 書 張 家 山 遺 跡 中 国 数 学 日 本 語 九 章 算 術 1. 出 土 場 所 1983 年 12 月 から 翌 年 1 月 にかけて 湖 北 省 荊 沙 市 荊 州 区 ( 発 掘 当 時 は 荊 州 地 区 江 陵 県 1) )で 竹 簡 算 数 書 が 前 漢 時 代 の 墓 より 出 土 し 数 学 史 界 の 注 目 を 集 めた しかし * 2001 年 1 月 29 日 受 理 ** 中 華 民 国 ( 台 湾 ) 国 立 高 雄 第 一 科 技 大 学 応 用 日 語 系 NationalKaohsiungFirstUniversityofScience andtechnology,kaohsiung,taiwan824 jochi@ccms.nkfust.edu.tw 1) 発 掘 当 時 は 湖 北 省 荊 州 地 区 江 陵 県 であった 1979 年 の 統 計 によれば 江 陵 県 の 人 口 は 約 7 万 2900 人 面 積 平 方 kmであった 1994 年 に 元 の 荊 州 地 区 沙 市 市 が 荊 沙 市 ( 地 区 レベル)になった な 19

2 全 文 は 17 年 も 公 開 されず 一 説 には この 墓 は 張 蒼 (?-B.C.152)の 墓 とするものもあ り 混 乱 していた 2) その 全 容 の 公 開 が 待 たれていた 3) が 2000 年 9 月 ようやくその 全 文 が 明 らかになった 4) 荊 州 市 は 湖 北 省 の 省 都 武 漢 市 の 西 方 約 270km 長 江 ( 揚 子 江 ) 北 岸 の 町 である 筆 者 が この 地 を 訪 れたのは 14 年 も 前 の 事 (1987 年 11 月 20 日 )であり 当 時 は 交 通 事 情 も 悪 く 武 漢 から 片 道 4 時 間 近 くもかかってしまった 産 業 道 路 と 生 活 道 路 が 混 在 したような もので 明 確 な 中 央 分 離 線 もなく 道 路 に 穀 物 を 敷 き 通 過 する 車 両 に 脱 穀 をさせていた この 地 は 古 くは 春 秋 戦 国 時 代 の 楚 の 都 紀 南 城 5) として 栄 え 三 国 時 代 ( )に は 三 か 国 の 争 点 として 三 国 志 に 名 を 止 めている 蜀 の 武 将 関 羽 (?-219)の 戦 死 した 場 所 であり 古 代 から 交 通 の 要 衝 である 竹 簡 算 数 書 が 出 土 したのは 張 家 山 M 247 西 漢 ( 前 漢 ) 墓 という 墳 墓 である 張 家 山 遺 跡 は 旧 江 陵 県 城 6) の 西 1.5km 煉 瓦 工 場 の 敷 地 内 にあった 筆 者 が 訪 れたときには 発 掘 は 一 段 落 しており いくつかの 発 掘 現 場 から 出 土 した 土 器 の 破 片 が 無 造 作 に 山 積 みさ れていた このように 古 代 から 土 器 が 豊 富 にあったのは 現 代 でも 煉 瓦 工 場 があるように 材 料 となる 粘 土 が 豊 富 ということだろう 幸 いにも この 粘 土 層 に 棺 があったために 竹 簡 は 2000 年 を 経 ても 腐 敗 することなく 保 存 されていたのである 2. 年 代 同 時 に 出 土 した 文 字 資 料 から 被 埋 葬 者 は 楚 国 人 で 秦 国 統 治 下 の 楚 の 古 都 紀 南 城 付 近 に 生 まれ 前 漢 王 朝 の 下 級 文 官 として9 年 間 勤 務 している そして 亡 くなったのは 呂 后 2 年 (BC186 年 )もしくは そのやや 後 である 7) したがって 算 数 書 の 下 限 は この 年 と 考 えられる お 中 国 の 市 には 国 務 院 直 轄 市 ( 省 レベル) 省 直 轄 市 ( 地 区 レベル) 市 ( 県 レベル)がある 荊 沙 市 は 地 区 レベルの 市 なので 洪 湖 市 石 首 市 鍾 祥 市 松 滋 市 京 山 県 監 利 県 公 安 県 の 県 レベルの 機 構 を 所 轄 している 2) 黄 展 岳 は 1994 年 5 月 1 日 付 けの 新 聞 中 国 文 物 報 で 否 定 した( 黄 展 岳,1999: ) 注 13 参 照 3) 清 水,1986a 清 水,1986b 城 地,1988 杜 石 然,1988 などがあるが 全 文 が 公 開 されていなかったので 紹 介 に 留 まっている 4) 張 家 山 漢 墓 竹 簡 整 理 小 組,2000 彭 浩,2000 年 5) 現 在 の 江 陵 県 城 の 北 5Kmにある 紀 元 前 689 年 楚 文 王 が 郢 都 として 定 め 紀 元 前 278 年 秦 の 武 将 白 起 が 占 領 するまで 都 であった 6) 1646 年 ( 清 順 治 3 年 )に 重 修 した 城 壁 が 現 存 している 7) 陳 耀 均 閻 頻,1985 彭 浩,

3 また 算 数 書 第 52 方 田 8) などでは 1 畝 が 240( 平 方 ) 歩 になっている 周 代 の 1 畝 は 100 歩 であり 1 畝 を 240 歩 に 商 鞅 (~338B.C.)が 改 めた B.C.349 年 9) が 上 限 とい う 言 うことになる しかし 九 章 算 術 との 類 似 性 から 九 章 算 術 の 成 立 とされる 紀 元 後 25 年 10) から さほど 隔 たっていないと 予 想 される 11) これは 九 章 算 術 劉 徽 序 の 往 者 暴 秦 焚 書 経 術 散 壊 自 時 闕 后 漢 北 平 侯 張 蒼 大 司 農 中 丞 耿 寿 昌 皆 以 善 命 世 昔 秦 の 始 皇 帝 の 焚 書 (B.C )によって( 数 学 の) 古 典 が 散 逸 した その 後 漢 北 平 侯 張 蒼 (?-B.C.152) 大 司 農 中 丞 耿 寿 昌 (B.C.1c)は みな 業 績 を 残 した にいう 焚 書 (B.C ) 以 後 に 九 章 算 術 がまとめられたという 記 述 と 一 致 するもので ある また 楚 の 地 で 秦 の 統 一 (B.C.221)した 制 度 が 漢 代 に 行 われているのだから 楚 が 秦 に 滅 ぼされた B.C.223 年 あるいは 紀 南 城 が 落 城 した B.C.278 年 であり これらの 事 を 考 えて 紀 元 前 3 世 紀 を 上 限 とするのが 自 然 だろう いずれにせよ 算 数 書 の 成 立 は 九 章 算 術 が 成 立 より 200 年 以 上 古 いというこ とになる なお M247 墓 を 張 蒼 の 墓 とする 報 道 もあったが 墳 墓 の 規 模 から 考 えて 北 平 侯 と いう 高 官 のものではなく 下 級 官 吏 の 墳 墓 と 考 えられる 12) しかし 算 数 書 そのもの が 張 蒼 の 手 によるものかどうかの 判 断 を 下 すだけの 資 料 が 調 っていない 13) 3. 算 数 書 の 内 容 算 数 書 竹 簡 は 総 数 約 200 支 このうち 180 余 は 完 全 なものであったが 残 る 10 余 は 断 片 であった 竹 簡 には 三 か 所 で 綴 られていた 形 跡 が 残 されている また 背 面 には 算 数 書 という 記 述 があり これが 題 名 と 考 えられている これらの 竹 簡 にある 問 題 数 は 約 68 題 総 字 数 は 約 7000 字 である 問 題 は 大 きく 二 つ に 分 類 できる 一 つは 算 術 部 分 である 具 体 的 な 問 題 ではなく 一 乗 十 十 也 十 乗 万 十 万 也 14) 8) 名 称 は 方 田 であるが 九 章 算 術 巻 1 方 田 章 とは 異 なっている 九 章 算 術 の 分 類 では 盈 不 足 術 になる 9) 呉 承 洛 1937:76 10) 白 尚 恕 ( 他 編 ),1986:16 11) 彭 浩, ) 黄 展 岳,1999: ) 陳 沃 均 陳 燕 平, ) 相 乗 という 題 名 が 付 いている 21

4 というような 計 算 を 示 したものである 数 量 的 にも 少 なく 10 題 程 である もう 一 つは 九 章 算 術 に 類 似 した 応 用 問 題 の 部 分 である しかし 九 章 算 術 のよ うに 類 似 した 問 題 を 章 立 して 整 理 してはおらず 個 別 に 術 の 名 が 記 されている 算 数 書 と 九 章 算 術 の 問 題 を 比 較 すると 以 下 の 表 のようになる 問 題 算 数 書 の 名 称 九 章 算 術 の 名 称 内 容 1 相 乗 無 整 数 分 数 の 掛 け 算 2 分 乗 ( 分 乗 分 術 ) 乗 分 巻 第 19~21 題 分 数 同 士 の 掛 け 算 3 乗 無 ( 乗 分 ) 分 数 整 数 の 掛 け 算 の 例 4 矰 ( 增 ) 減 分 無 分 数 加 減 法 5 分 当 半 者 無 分 数 除 法 6 分 半 者 無 第 5 題 の 100 以 上 の 処 理 7 約 分 約 分 巻 1 第 5~6 題 ユークリッドの 互 除 法 8 合 分 合 分 巻 1 第 7~9 題 9 径 分 径 分 巻 1 第 17~18 題 分 数 の 除 法 10 出 金 減 分 巻 1 第 12~14 題 分 数 の 減 法 11 共 買 材 衰 分 巻 3 第 1 題 比 例 分 配 12 狐 出 関 巻 3 第 2,3 題 13 狐 皮 巻 3 第 3 題 14 女 織 巻 3 第 4 題 等 比 数 列 15 并 租 無 ( 衰 分 ) 地 租 16 負 米 巻 5 第 21 題 米 の 運 送 17 金 賈 ( 價 ) 粟 米 粟 と 黄 金 の 換 算 18 舂 粟 均 輸 巻 6 第 11 題 19 銅 耗 均 輸 巻 6 第 11 題 20 傳 馬 衰 分 比 例 分 配 21 婦 織 衰 分 比 例 分 配 22 羽 矢 粟 米 比 例 計 算 23 漆 銭 粟 米 比 例 計 算 24 繪 幅 粟 米 比 例 計 算 25 息 錢 衰 分 巻 3 第 20 題 ( 内 容 は 粟 米 ) 比 例 計 算 ( 巻 3 第 題 は 粟 米 の 問 題 ) 26 飲 漆 ( 不 明 ) ( 内 容 不 明 ) 盈 不 足 15? 27 税 田 粟 米 比 例 計 算 28 程 竹 粟 米 比 例 計 算 29 医 ( 不 明 ) 正 負 計 算?( 一 部 欠 ) 30 石 率 粟 米 第 題 經 率 術 比 例 計 算 題 經 術 31 賈 鹽 粟 米 比 例 計 算 32 挐 脂 粟 米 比 例 計 算 22

5 33 取 程 粟 米 比 例 計 算 34 耗 租 粟 米 比 例 計 算 ( 分 数 の 除 法 ) 35 程 禾 粟 米 之 法 巻 2 巻 頭 穀 物 の 比 率 36 取 枲 程 粟 米 円 柱 の 体 積 37 誤 券 粟 米 地 租 の 改 変 38 租 誤 券 粟 米 第 37 題 の 例 39 稗 毀 粟 米 穀 物 の 換 算 ( 分 数 ) 40 耗 粟 米 穀 物 の 損 耗 41 粟 為 米 粟 米 粟 米 之 法 穀 物 の 換 算 公 式 42 粟 求 米 粟 米 粟 から 米 への 換 算 43 米 求 粟 粟 米 米 から 粟 への 換 算 44 米 粟 并 ( 粟 米 ) 米 と 粟 を 合 わせ 再 分 配 45 粟 米 并 ( 粟 米 ) ( 内 容 不 明 ) 46 負 炭 商 功 第 題 均 輸 第 題 徒 歩 と 車 両 による 輸 送 1 日 の 異 なる 仕 事 量 47 盧 唐 均 輸 第 題 1 日 の 異 なる 仕 事 量 ( 計 算 不 詳 ) 48 矢 羽 均 輸 第 題 1 日 の 異 なる 仕 事 量 49 絲 練 ( 粟 米 ) 均 輸 第 10 題 絡 絲 から 練 絲 への 換 算 換 算 比 率 を 記 述 50 行 - 天 干 地 支 の 計 算 51 分 銭 盈 不 足 52 米 出 銭 盈 不 足 第 9-19 題 仮 定 法 による 盈 不 足 術 53 方 田 開 平 方 巻 4 第 12~16 題 盈 不 足 巻 7 第 11 題 九 章 算 術 開 方 術 と 異 なる 計 算 方 法 54 除 商 功 第 17 題 羨 除 (5 面 体 ) 計 算 不 詳 55 鄆 都 商 功 第 18 題 芻 甍 56 芻 商 功 第 18,19,21,22 題 芻 童 57 旋 粟 商 功 第 23,25,13 題 委 粟 ( 円 錐 ) 58 囷 蓋 商 功 第 23,25,13 題 委 粟 ( 円 錐 ) 59 圜 亭 商 功 第 11 題 円 亭 60 井 材 商 功 第 9 題 円 堡 壔 ( 円 柱 ) 6 15) 以 方 材 圜 ( 圓 ) ( 内 容 不 明 ) ( 内 容 不 明 ) 62 以 圓 材 方 ( 内 容 不 明 ) ( 内 容 不 明 ) 63 圓 材 ( 内 容 不 明 ) ( 内 容 不 明 ) 64 啓 廣 方 田 整 数 65 啓 縦 方 田 分 数 66 少 廣 少 廣 第 1-9 題 少 廣 術 Σ1/n( 到 n=10) 67 大 廣 方 田 第 題 大 廣 術 ( 計 算 不 明 ) 68 里 田 方 田 第 3-4 題 里 田 術 15) 蘇 意 雯 他,2000 注 167にしたがい 第 61 題 と 第 62 題 の 順 序 を 入 れ 替 える 23

6 このように 算 数 書 は 九 章 算 術 と 酷 似 しており 少 なくとも 算 数 書 は 九 章 算 術 の 源 流 の 一 つになったことは 間 違 いないだろう 算 數 書 は 九 章 算 術 の 第 1 章 から 第 7 章 に 相 当 する 内 容 であり 第 8 章 方 程 と 第 9 章 句 股 がない 句 股 がないのは 周 礼 ( 礼 記 )の 鄭 玄 の 注 に 鄭 衆 の 説 として 16) 九 数, 方 田, 粟 米, 差 分, 少 広, 商 功, 均 輸, 方 程, 盈 不 足, 旁 要, 今 有 重 差, 夕 桀, 句 股 也 九 数 とは 方 田, 粟 米, 差 分, 少 広, 商 功, 均 輸, 方 程, 盈 不 足, 旁 要 である 今 重 差, 夕 桀, 句 股 がある 17) とあるように 句 股 は 今 すなわち 鄭 玄 (A.D ) 鄭 衆 が 注 をした 後 漢 時 代 にできたものだからである もう 一 つの 方 程 ( 連 立 1 次 方 程 式 )が 算 数 書 に 初 めから 無 かったのか それとも 棺 の 中 で 腐 敗 散 逸 しまったものかは 断 定 できない いずれにせよ 算 数 書 と 九 章 算 術 は 酷 似 しており 紀 元 前 2 世 紀 当 時 の 九 章 算 術 が 算 数 書 であると 言 えるかもしれないほどである 18) 4. 算 数 書 日 本 語 訳 ここでは 張 家 山 漢 墓 竹 簡 整 理 小 組 江 陵 張 家 山 漢 簡 算 數 書 釋 文 文 物 (2000 年 ),78-84 頁 を 全 訳 した 以 下 これを 原 文 と 呼 ぶことにする また 蘇 意 雯 他 算 數 書 校 勘 を 参 考 にした これは いくつか 稿 が 改 まっているが HPM 通 訊 第 3 卷 第 11 期 (11 月 号 )のものを 使 った 1 相 乗 (1) 寸 に(1) 寸 を 掛 ける 19) と (1)( 平 方 20) ) 寸 になる (1 寸 に)(1) 尺 を 掛 け 16) 周 礼 巻 10 地 官 大 司 徒 疏 ( 中 華 書 局 本 十 三 経 注 疏 上 冊 :707) 17) 現 存 する 九 章 算 術 では 第 3 章 差 分 が 衰 分 になり 第 8 章 方 程 と 第 7 章 盈 不 足 が 逆 になり さらに 旁 要 ( 三 角 形 の 問 題 か?)がなく 句 股 が 第 9 章 になっている なお 重 差 は 海 島 算 経 ( 劉 徽 263 年 左 右 )の 測 量 術 であるが 夕 桀 の 内 容 は 不 明 である 18) 上 限 は 秦 代 まで 遡 らず 漢 代 ではないかと 考 えられる( 城 地,2001) 19) 乗 を 用 いている 後 世 では 1 桁 の 掛 け 算 は 因 2 桁 以 上 は 乗 になるが 算 数 書 では 区 別 していない 20) 平 方 立 方 という 文 字 は 使 われていない わかりやすくするため 補 足 した 24

7 ると 1/10 21) ( 平 方 ) 尺 である (1 寸 に)10 尺 を 掛 けると 1( 平 方 ) 尺 である (1 寸 に)100 尺 を 掛 けると 10( 平 方 ) 尺 である (1 寸 に)1000 尺 を 掛 けると 1 00( 平 方 ) 尺 である 半 ( 寸 )に(1) 尺 を 掛 けると 1/20( 平 方 )( 尺 )である 22) 1/3 寸 に(1) 尺 を 掛 けると 1/30( 立 方 ) 尺 である 1/8 寸 に( 一 ) 尺 を 掛 けると 1/80 ( 立 方 ) 尺 である 半 23) に1を 掛 けると 半 である ( 半 に) 半 を 掛 けると 1/4である 1/3に1を 掛 けると 1/3である (1/3に) 半 を 掛 けると 1/6である (1/3に)1/3を 掛 けると 1/9である 1/4に1を 掛 けると 1/4である 24) (1/4に) 半 を 掛 けると 1/8である (1/4に)1/3を 掛 けると 1/12である (1/4に)1/4を 掛 けると 1/16である 1/5に1を 掛 けると 1/5である (1/5に) 半 を 掛 けると 1/10である (1/5に)1/3を 掛 けると 1/15である (1/5に)1/4を 掛 けると 1/20である (1/5に)1/5を 掛 けると 1/25 である 乗 分 之 術 に 言 う 分 母 に 分 母 を 掛 けて 法 ( 除 数 )とし 分 子 を 相 乗 ( 互 に 掛 ける)し て 実 ( 被 除 数 )にする 2 分 乗 分 乗 分 術 では 皆 言 う 分 母 を 相 乗 して 法 とする 分 子 を 相 乗 して 実 とする 25) 3 乗 少 半 (1/3)に 少 半 を 掛 けると 1/9である 半 歩 に 半 歩 を 掛 けると 1/4である 半 歩 に 少 半 歩 を 掛 けると 1/6である 少 半 に 大 半 (2/3)を 掛 けると 2/9である 1/5に 1/5を 掛 けると 1/25である 1/4に 1/4を 掛 けると 1/16である 1/4 26) に 1/5を 掛 けると 1/20である 1/5に 1/6を 掛 けると 1/30である 1/7に 1/7を 掛 けると 1/49である 1/6に 1/6を 掛 けると 1/36である 1/6 に 1/7 27) を 掛 けると 1/42である 1/7に 1/8を 掛 けると 1/56である 1に10を 掛 けると10である 10に 万 を 掛 けると10 万 28) である 1000に 万 を 21) 分 数 に 之 の 文 字 がなく 十 分 一 や 十 分 と 表 記 している しかし 約 分 題 などでは 之 を 入 れている なお 九 章 算 術 以 降 では 必 ず 之 の 文 字 を 使 うようになる 22) 原 文 では 楊 の 文 字 が 入 る 人 名 のようであるが 詳 細 は 不 明 である 23) 原 文 では 一 半 になっている これは 現 代 中 国 語 でも 半 分 という 意 味 である 24) 原 文 には 楊 と 入 る 25) 原 文 では 母 相 乗 為 法 子 相 乗 為 実 で 九 章 算 術 母 相 乗 為 法 子 相 乗 為 実 実 如 法 而 一 と ほとんど 同 文 である 26) 原 文 では 分 が 欠 字 だが 蘇 意 雯 他,2000 注 11では これを 補 っている 27) 原 文 では 分 が 欠 字 だが 蘇 意 雯 他,2000 注 12では これを 補 っている 28) ここでは 下 等 数 (10 倍 ごとに 新 しい 数 詞 になる)ではないことが 分 かる 25

8 掛 けると1000 万 である 1に10 万 を 掛 けると10 万 である 10に10 万 を 掛 ける と100 万 である 半 に1000を 掛 けると500である 1に100 万 を 掛 けると10 0 万 である 10に100 万 を 掛 けると1000 万 である 半 に 万 を 掛 けると5000で ある 10に1000を 掛 けると(1) 万 である 100に 万 を 掛 けると100 万 である 半 に100を 掛 けると50である 4 矰 ( 増 ) 減 分 増 分 ではその 分 子 が 増 え 減 分 29) はその 分 母 が 増 える 30) 5 分 当 半 者 色 々な 分 数 を 半 分 にするときは その 分 母 を 倍 にする 少 半 (1/3)にするときは その 分 母 に3を 掛 ける 1/4にするときは その 分 母 に4を 掛 ける 1/5にするときは その 分 母 に5を 掛 ける 1/10 1/100にするときは すなわち それぞれその 分 母 に を 掛 ける 6 分 半 者 1/100 以 ( 上 )であってもこのように( 計 算 を) 進 める 7 約 分 約 分 術 に 言 う 分 子 で 分 母 を 割 る また 分 母 (の 余 り)で 分 子 を 割 る 分 子 と 分 母 (の 相 互 の 割 り 算 )を 数 回 繰 り 返 して 等 しくなったら それで 約 せばよい 31) また 言 う 約 分 術 に 言 う 半 分 にできるものは 半 分 にする ( 明 確 な 約 数 が) 分 かるもの はそれで 割 る 32) もう 一 つの 術 に 言 う 分 子 で 分 母 を 割 る 少 ない(= 余 りの) 分 母 で 分 子 を 割 る 分 子 と 分 母 が 等 しくなったら それを 法 とし 分 子 分 母 をそれぞれ 法 で 割 る 割 らなくても 半 分 にできるものは 分 母 も 分 子 も 半 分 にする 162/ ) は 約 分 すると 9/112 になる 8 合 分 29) 九 章 算 術 では 巻 1 第 10~11 題 30) 分 数 と 割 り 算 の 関 係 は 容 易 に 結 びつくので 中 国 数 学 では 掛 け 算 と 割 り 算 の 関 係 も 理 解 されていた 孫 子 算 経 (400 年 ごろ)では 和 算 でいう 亀 井 算 が 行 われていた 31) 原 文 は 以 子 除 母 母 亦 除 子 子 母 数 交 等 者 即 約 之 矣 である これは 九 章 算 術 の 約 分 術 曰 : 可 半 者 半 之, 不 可 半 者, 副 置 分 母 子 之 數, 以 少 減 多, 更 相 減 損, 求 其 等 也. 以 等 數 約 之 とほとんど 同 じだが 更 相 減 損 という 術 語 がない 32) 九 章 算 術 では 約 数 が2 以 外 は 直 ちに 更 相 減 損 法 に 入 るが ここでは 約 数 を 見 つけよう としている 33) これ 以 前 の 分 数 には 分 の 文 字 がない 二 千 一 十 六 分 之 百 六 十 二 と ここでは 之 が 入 る 26

9 合 分 術 に 言 う 分 母 を 同 じにして 分 子 をしたがわせる 分 母 が 公 約 数 をもたないもの は (2) 倍 にできるものは(2) 倍 に 3 倍 にできるものは3 倍 に 4 倍 にできるものは 4 倍 に 5 倍 にできるものは5 倍 に 6 倍 にできるものは6 倍 に 7もこのようにする という 分 母 の 場 合 は 分 母 に 公 約 数 があるので 分 子 をそれにしたがわせ る その 公 約 数 をもたないものは 分 母 を 掛 け 合 わせて 法 ( 除 数 )にし 分 子 と 分 母 を かけたものを 足 して 実 ( 被 除 数 )として 割 り 算 をする 今 2/5 3/6 8/11 7/11 2/3 があり ( 足 すと) 幾 らになるか 言 う 2 銭 57/60 34) 其 の 術 は 右 のようになる 5 人 で7 銭 少 半 (1/3) 半 銭 を 分 けると 1 人 1 銭 17/30 になる 術 に 言 う 下 ( 分 母 )3を( 分 子 )1につき 6にする つまり 掛 けて6に する 人 数 を 法 として また 6 銭 を(7に 掛 け 2と3を 足 したものを) 実 とする また 分 母 と 分 母 を 掛 けて 法 とし 分 子 を 互 35)(の 分 母 )に 掛 けたもの を 足 して 割 り 算 をする 其 の 一 に 言 う 10 倍 にできるものは 10 倍 に 9 倍 にできるものは9 倍 に 8 倍 にできるものは8 倍 に 7 倍 にできるものは7 倍 に 6 倍 にできるものは6 倍 に 5 倍 にできるものは5 倍 に 4 倍 にできるものは4 倍 に 3 倍 にできるも のは3 倍 に (2) 倍 にできるものは(2) 倍 に 分 母 がおなじになるまでつづ け 分 子 をそれにしたがわせる 9 径 分 ( 分 数 の 割 り 算 ) 径 分 は 1 人 ぶんの 量 を 表 す ゆえに 言 う 5 人 で3と 半 (3.5) 少 半 (1/3)を 分 けると 23/30 になる 其 術 に 言 う 下 に 1/3 があるので 1を6にするので 半 は3 36) になり 少 半 は2にな る これらをあわせ23になる すなわち 数 値 を 置 いて 掛 けて6にして 分 数 であら わす また 言 う 術 に 言 う 下 ( 分 母 )に 半 があれば これを 倍 にする 下 に 1/3 がれば こ れを3 倍 する 下 に4があれば これを4 倍 する 10 出 金 金 3 朱 5/9 がある これから 6/7 朱 を 出 すと 残 りは 幾 らになるか 言 う 2 朱 44/63 34) 計 算 すると 967/330 になる( 蘇 意 雯 他,2000 注 20) 35) 蘇 意 雯 他,2000 注 22に 従 い 羨 を 互 に 改 める 36) 蘇 意 雯 他,2000 注 25に 従 い 一 を 三 に 改 める 27

10 其 の 術 に 言 う 9 分 に3( 朱 )を 掛 けて5と 加 37)える 分 母 を 掛 け 合 わせて 法 とする 分 子 と 分 母 を 掛 けてそれぞれを 実 とする 出 す( 金 を) 引 いて 余 り が 余 りになる 今 金 3/7 朱 がある 幾 らふやすと 7/9 朱 になるか 言 う 22/63 朱 術 に 言 う 分 母 を 掛 け 合 わせて 法 とする 分 子 と 分 母 を 掛 けてそれぞれを 実 とする 多 いものから 少 ないものを 引 いて 余 りが 増 やす 量 になる 11 共 買 材 3 人 共 同 で 材 料 を 買 う 一 人 は5 銭 を 出 し 1 人 は3 銭 を 出 し 1 人 は2 銭 を 出 す 今 利 益 が4 銭 あった 銭 数 ごとに 分 配 する 5 銭 を 出 した 者 は2 銭 3 銭 を 出 した 者 は1 銭 1/5 2 銭 を 出 した 者 は 4/5 銭 に なる 術 に 言 う 3 人 で 出 した 銭 数 を 法 とする すなわち 4 銭 を 各 出 資 金 に 掛 け 割 り 算 をする 12 狐 出 関 狐 狸 犬 が 関 所 を 出 る 111 銭 の 税 金 がかかる 犬 が 狸 に そして 狸 が 狐 に 言 うに は あなたの 皮 は 私 の 倍 になるので 税 金 も 倍 負 担 すべきだ それぞれ 幾 ら 出 すべきか を 問 う 得 て 言 う 犬 は 15 銭 6/7 狸 は 31 銭 5/7 狐 は63 銭 3/7 術 に 言 う それぞれを 倍 にして(1 2 4)あわせ 7を 法 とする 税 金 を それぞれに 掛 けて 実 として 割 り 算 をする 13 狐 皮 狐 皮 35さばき( 裁 ) 狸 皮 25さばき 犬 皮 12さばきで みな 関 所 を 出 る あわせて 25 銭 の 税 金 がかかる それぞれ 幾 ら 出 すべきかを 問 う 得 て 言 う 狐 は 12 銭 11/72 狸 は 8 銭 49/72 犬 は4 銭 12/72 38) 術 値 段 をあわせて 法 とする 税 金 をそれぞれの 値 に 掛 けて 実 とする 14 女 織 隣 里 に 娘 がいるが 機 織 りが 上 手 ではなかったが 上 手 になった 39) 機 織 り 娘 が 言 うに 37) 蘇 意 雯 他,2000 注 28に 従 い 除 を 従 に 改 める 38) 原 文 では 狸 と 犬 は 分 母 を 表 示 していない そのためか 約 分 がされていない 39) 原 文 では 隣 里 有 女 悪 自 喜 也 とあるが 九 章 算 術 巻 3 衰 分 第 4 題 に 今 有 女 子 善 織, 日 自 倍, 五 日 織 五 尺. 問 日 織 幾 何? とあり 喜 を 善 に 改 める また 九 章 算 術 の 日 本 語 訳 も い まよく 機 織 りをする 婦 人 ( 藪 内,1980:120)も 機 織 りが 上 手 くなった 婦 人 とすべきである 28

11 は 5 日 間 で5 尺 織 ったという 織 り 始 めた 日 と 次 々に それぞれいくらになるかを 問 う 言 う ( 織 り) 始 めは 1 寸 38/62 40) 次 の 日 は 3 寸 14/62 次 の 日 は 6 寸 28/62 次 の 日 は 1 尺 2 寸 56/62 次 の 日 は 2 41) 尺 5 寸 50/62 術 に 言 う 2と 置 き 4と 置 き 8と 置 き 16 と 置 き 32 と 置 く 42) これらを 足 して 法 ( 除 数 )とする 5 尺 を 遍 く 掛 けて それぞれを 実 ( 被 除 数 )とす る 割 り 算 を 実 施 して 答 えの 単 位 は 尺 になる 尺 に 満 たない( 割 り 切 れない) 端 数 は 10 を 掛 けて 法 で 割 ると 答 えの 単 位 は 寸 になる 寸 に 満 たない 端 数 は 法 (を 分 母 として)で 分 数 として 表 す 43) 44) 15 并 租 稲 田 は3 歩 で1 斗 麦 畑 は4 歩 で1 斗 あずき( 荅 ) 畑 は5 歩 で1 斗 の 小 作 料 である 今 併 せて1 石 になるという いくら 借 りたかを 問 う 得 て 言 う 稲 田 の 小 作 料 4 斗 12/47 麦 畑 の 小 作 料 3 斗 9/47 荅 畑 の 小 作 料 2 斗 26/47 45) 術 に 言 う 稲 田 の3 歩 麦 畑 の4 歩 荅 畑 の5 歩 を 置 く 稲 と 麦 を 掛 けて 荅 の 被 除 数 とする 荅 と 稲 を 掛 けて 麦 の 被 除 数 とする 各 を 置 き 1 石 を 各 を 掛 けて 被 除 数 とする 47を 除 数 として 割 り 1 斗 になる 16 負 米 46) 40) 算 数 書 では 約 分 をしていないが 九 章 算 術 では 約 分 されており 分 母 は 31 になっている 41) 原 文 では 一 となっているが 九 章 算 術 の 記 述 および 計 算 結 果 より 二 に 改 める 42) 九 章 算 術 では としている 43) 原 文 は 不 盈 寸 者 以 法 命 分 とあり 九 章 算 術 巻 1 合 分 術 ( 第 7~9 題 )の 不 満 法 者 以 法 命 分 と 酷 似 した 記 述 がある これは 分 数 の 一 般 則 を 表 したもので 分 数 問 題 で 最 初 に 割 り 切 れない 問 題 を 出 題 したときに 記 述 したものである したがって 九 章 算 術 では 巻 3になっているが 算 数 書 第 14 題 は 原 文 の 整 理 のように 比 較 的 巻 頭 に 近 い 部 分 にあったことが 分 かる これは 白 尚 恕 1983:86 に 指 摘 があるように 他 の 衰 分 術 は 等 差 数 列 にたいし 第 4 題 (と 第 2 題 )は 等 比 数 列 と 異 質 になっ てなっている 事 から 考 え 九 章 算 術 の 編 纂 時 に 第 3 章 に 移 されたものと 考 えられる なお 周 髀 算 経 でも 不 滿 法 者 十 之. 如 法 得 一. 歩 不 滿 法 者. 以 法 命 之. ( 巻 上 之 三 )とある が 九 章 算 術 第 7 章 では 命 分 としている また 九 章 算 術 巻 3 冒 頭 の 衰 分 術 の 一 般 解 では 問 題 の 記 述 の 前 に 衰 分 術 曰 : 各 置 列 衰, 副 并 為 法, 以 所 分 乘 未 并 者 各 自 為 實, 實 如 法 而 一. 不 滿 法 者, 以 法 命 之. と 重 複 して 説 明 がある 衰 分 術 が 最 初 から 第 3 章 (ぐらいの 位 置 前 半 から 1/3 程 度 )にあったのならば この 記 述 は 不 必 要 だろう し たがって 算 数 書 第 14 題 が 発 展 して 第 3 章 衰 分 が 成 立 したと 考 えられる したがって 差 分 から 衰 分 と 名 称 も 変 わったものと 考 えられるのではないだろうか 44) 原 文 では 王 已 讎 とある 王 氏 による 校 正 の 意 か 詳 細 は 不 明 である 45) 原 文 では 吏 となっているが 蘇 意 雯 他,2000 注 49に 従 い 麦 に 改 める 46) 九 章 算 術 巻 6 均 輸 第 題 に 類 似 の 問 題 がある この 第 27 題 では 1/3 1/5 1/7 と 税 率 が 異 なっている 29

12 人 が 米 を 背 負 っているが その 数 は 分 からない 関 所 を 通 るが 関 所 は3つあり 税 金 は( 三 ) 分 の 一 である すでに 支 払 い 残 りは1 斗 である 初 めに 背 負 っていた 米 はいく らかと 問 う 得 て 言 う 背 負 っていた 米 は 3 斗 3 升 3/4 術 に 言 う 関 所 1つの( 非 課 47)) 税 率 (の 分 子 2)を3 回 掛 けて 48) 除 数 (8) とする また 米 1 斗 を 置 き これに3を 掛 ける また3を 掛 けて 関 所 の 数 (3) を 掛 けて 被 除 数 (27)とする 49) 17 金 賈 ( 価 ) 金 の 価 格 は1 両 315 銭 50)である 今 1 朱 あるが いくらになるか 言 う 13 銭 1/8 術 に 言 う 1 両 を 朱 に 換 算 したもの(24)を 除 数 とする 値 段 を 被 除 数 として 割 り 算 を 行 うと 銭 を 単 位 として 答 えが 得 られる 24 朱 が1 両 384 朱 が1 斤 (1 斤 は 16 両 ) 1 万 1520 朱 が1 鈞 (1 鈞 は 30 斤 ) 4 万 680 朱 が1 石 (1 石 は4 鈞 120 斤 )である 18 舂 粟 粟 1 石 をつくと8 斗 8 升 になる 減 った 分 を 当 てるには 粟 がいくら 必 要 か 言 う 1 斗 3 升 7/11 升 51) 術 に 言 う 得 られた 数 (8 斗 8 升 88)を 法 ( 除 数 )とする 1 石 を 升 に 換 算 した(100)ものに 摩 耗 した 数 (1 斗 2 升 )を 掛 けて(1200) 割 り 算 を 行 うと 升 を 単 位 とした 答 えになる 19 銅 耗 銅 1 石 を 鋳 ると 減 って7 斤 8 両 になる 今 銅 1 斤 8 両 8 朱 があり 減 るといくらにな るか 得 て 言 う 1 両 11 朱 91/144 術 に 言 う 1 石 の 朱 に 換 算 した 数 値 を 直 ( 置 )き 法 ( 除 数 )とする また 7 斤 8 両 を 朱 に 換 算 して 置 き 1 斤 8 両 8 朱 を 朱 に 換 算 したものと 掛 けて これを 47) 九 章 算 術 巻 6 第 27 題 には 術 曰 : 置 米 五 斗. 以 所 税 者 三 之, 五 之, 七 之, 為 實. 以 餘 不 税 者 二 四 六 相 乘 為 法. 實 如 法 得 一 斗 とあり 同 様 に 非 課 税 部 分 を 論 じたものだと 考 えられる 原 文 は 置 一 関 而 参 倍 為 法 である 48) 原 文 では 参 倍 為 法 となっている 49) 計 算 は 270( 升 ) 8=33.3/4 となっている 50) 九 章 算 術 では 1 斤 6250 銭 (1 両 390 銭 5/8)( 巻 6 第 15 題 ) 1 斤 9800 銭 (1 両 612 銭 1/2) ( 巻 7 第 5 題 ) 1 両 525 銭 である( 巻 8 第 7 8 題 ) 1 両 741 銭 3/17( 巻 8 第 7 8 題 )であり 九 章 算 術 の 後 3 章 (7-9 章 ) 司 馬 貞 索 隱 按 : 如 淳 云 時 以 錢 為 貨, 黄 金 一 斤 直 萬 錢, 非 也 ( 史 記 卷 三 十 平 準 書 第 八 註 釈 ) 30

13 割 る 20 伝 馬 伝 馬 は1 日 に3 52) 匹 で2 石 の 草 と 藁 を 食 べる 草 3で 藁 2とする 今 馬 一 匹 が 先 に 着 いた 草 と 藁 それぞれ 幾 らいるかを 問 う 言 う 草 4 斗 藁 2 斗 大 半 (2/3) 術 に 言 う 草 3 藁 2を 置 き これをあわせる 3 馬 に 掛 けて 法 とする 2 石 を 置 いたそれぞれに 掛 けて 実 とする 21 婦 織 婦 人 が3 人 いて 上 手 な 者 は1 日 に50 尺 を 織 り 中 程 度 の 者 は2 日 で50 尺 下 手 な 者 は3 日 で50 尺 を 織 る 今 50 尺 を 織 るが それぞれ 何 尺 を 織 るかを 問 う 其 を 得 て 言 う 上 手 な 者 は25 尺 を 受 け 持 ち 中 程 度 の 者 は16 尺 12/18 を 受 け 持 ち 下 手 な 者 は8 尺 6/18 を 受 け 持 つ 53) 其 の 術 に 言 う 1 2 3を 置 き それぞれを( 足 して) 法 とする また 50 54) を 実 として 割 り 算 をする 尺 に 満 たないものは 法 を 分 母 にして 分 数 で 表 す 3は 上 手 な 者 の 実 2は 中 程 度 の 者 1は 下 手 な 者 である 55) 22 羽 矢 羽 が2 本 で5 銭 である 今 37/57 本 あるが 56) 幾 らになるかを 問 う 言 う 1 銭 71/114 術 に 言 う 2に57を 掛 けて 法 とする 5に37を 掛 けて 実 とする 割 り 算 を 行 い 端 数 は 法 を 分 母 にして 分 数 で 表 す 23 漆 銭 漆 は 1 斗 35 銭 である 今 5/40 斗 有 る 何 銭 になるかを 問 う 言 う 4 銭 3/8 が 得 られる 術 に 言 う 40を 法 とする 5に35を 掛 けて 実 とし 割 り 算 を 行 う 24 絵 幅 絹 織 物 の 幅 は 広 さ22 寸 長 さ10 寸 価 格 は23 銭 である 今 広 さ3 寸 長 さ6 51) 原 文 では 2 斗 3 升 8/11 升 となっているが 計 算 により 1 斗 3 升 7/11 升 に 改 める 52) 原 文 は 二 匹 今 計 算 により 三 匹 に 改 める 53) 分 数 は 原 文 のまま 分 母 が18になるのは 計 算 からも 出 ず また 約 分 もされていない 54) 原 文 では 十 而 五 之 3 2 1を10 倍 して さらに5 倍 している 55) 楊 已 讎 とあるが 詳 細 不 明 56) 原 文 47/57 蘇 意 雯 他,2000 注 66に 従 い 37/57 に 改 める 31

14 0 寸 を 買 いたい ( 広 さ22 寸 幅 の 絹 の) 長 さと 価 格 はそれぞれ 幾 らになるかを 問 う 言 う 8 寸 2/11 寸 価 格 は18 銭 9/11 術 に 言 う 22 寸 を 法 とする 広 さと 長 さを 掛 けて 実 とする 割 り 算 を 行 う また 1 尺 の 寸 数 を 法 とする 得 られた 寸 数 に1 尺 の 値 段 の 銭 数 を 掛 け て 実 とし 割 り 算 を 行 う 57) 25 息 銭 銭 100を 貸 し 利 息 は 月 3 銭 である 58) 今 60 銭 を 貸 し 1 月 に 足 らず16 日 でか えした 59) 利 息 はいくらになるか 得 て 言 う 24/25 銭 術 に 言 う 100 銭 と1 月 (30 日 )を 掛 けて 法 とする 貸 した 銭 数 を 置 き 1 月 100 銭 の 利 息 (=3 銭 )を 掛 けて また 日 数 を 掛 けて 実 として 割 り 算 を 行 う 60) 26 飲 漆 (この 問 題 は 題 意 不 明 である 61) ) 漆 1 斗 と 水 3 斗 をまぜる 盤 には 水 2 斗 7 升 がある 余 った 漆 水 はそれぞれ 幾 らに なるかを 問 う 言 う 余 った 漆 30/37 升 余 った 水 7/37 升 術 に 言 う 2 斗 7 升 と1 斗 を 足 して37となり 法 とする また 升 を 置 き それぞれ3を 掛 けて 実 とし 割 り 算 を 行 う 62) 27 税 田 課 税 される 田 が24 歩 ( 平 方 歩 = 坪 )あり 8 歩 で1 斗 なので 税 金 は3 斗 である 63) 今 あらためて3 斗 1 升 としたいが 何 歩 で1 斗 とするかを 問 う 得 て 言 う 7 歩 23/31 64) で1 斗 57) 計 算 は 以 下 のようになる 3 60/22=8.2/ /11=18.9/11 58) 九 章 算 術 巻 3 第 20 題 と 同 じ 利 率 である 59) 原 文 は 末 蘇 意 雯 他,2000 注 73 に 従 い 未 に 改 める 60) 計 算 は /3000=24/25 になる 61) 蘇 意 雯 他,2000 注 74 また 九 章 算 術 巻 7 盈 不 足 第 15 題 には 漆 と 油 をまぜる 問 題 があるが これとの 関 係 は 不 明 62) 意 味 不 明 だが 計 算 は 以 下 のようになっている 27 3/(27+10) 10 3/(27+10) 63) 秦 漢 時 代 の1 畝 あたりの 収 量 は3 石 程 度 で したがって 税 率 は 1/10 になる これは 漢 高 祖 劉 邦 (B.C.246?/7?-195, 在 位 B.C )が 変 更 する 以 前 の 伝 統 的 税 率 である( 好 並 隆 司,1978:276 参 照 ) 64) 原 文 は 23/37 蘇 意 雯 他,2000 注 78 に 従 い 23/31 に 改 める 24 10/31=7.23/31 32

15 術 に 言 う 3 斗 1 升 を 法 とする 田 の 数 (24 歩 )を10 倍 して 割 り 算 を 行 う 28 程 竹 程 して 言 う 大 きな 竹 8 寸 で 3 尺 の 簡 が183 枚 取 れる 今 9 寸 で 簡 は 幾 らになる か 言 う 205 枚 7/8 65) 術 に 言 う 8 寸 を 法 とする 程 して 言 う 8 寸 の 竹 1 個 で1 尺 5 寸 の 簡 366 枚 である 今 この 竹 で1 尺 6 寸 の 簡 を 取 りたいが 幾 ら 取 れるか 言 う 343 枚 1/8 66) 術 に 言 う 16 寸 を 法 とする 29 医 ( 脱 字 が 多 く 意 味 不 明 ) 程 して 言 う 治 療 した 医 者 は60 算 を 得 る 20 算 程 弗 60 算 得 る 幾 ら 足 りないか 言 う 負 17 算 11/269 其 の 術 に 言 う 今 得 た 算 を 法 として 60を 負 算 に 掛 けて 実 とする 30 石 率 石 率 の 術 に 言 う 売 買 ( 支 出 や 収 入 )を 法 とし 得 た 銭 数 を 石 数 に 掛 けて 実 と する その 端 数 ( 下 )に 半 があるものは これを 倍 にする 少 半 (1/3) があるもの は3 倍 にする 斗 升 斤 両 朱 は また 皆 上 の 方 法 による 端 数 はしたがって 法 として 銭 数 に( 単 位 数 を) 掛 けるのもそのようにする 31 賈 ( 価 ) 塩 今 塩 が1 石 4 斗 5 升 少 半 (1/3)がある 価 格 は150 銭 である 1 石 に 率 したいが 銭 幾 らになるか 言 う 103 銭 92/436 67) 術 に 言 う 塩 の 数 を3 倍 し 法 とする また 1 石 の 升 数 を3 倍 し 銭 数 を 掛 けて 実 とする 65) 183 9/8=205.7/8 66) 原 文 は 323.1/8 蘇 意 雯 他,2000 注 81 に 従 い 343.1/8 に 改 める /16=343.1/8 67) /(145.1/3) 3=103.92/436 33

16 32 挐 脂 米 3 斗 がある 脂 水 68) を 用 いるとそれぞれ 幾 らになるか 挐 幾 らになるかを 問 う 言 う 脂 6 斤 水 4 69) 升 半 斗 で 挐 脂 10 斤 12 両 19 朱 1/5 挐 とするには 米 1 斗 水 1 升 半 升 脂 2 斤 で 挐 脂 3 斤 3/5になる 70) 今 脂 5 斤 がある 米 水 幾 らを 用 いて 挐 それぞれ 幾 らになるかを 問 う 得 て 言 う 米 2 斗 半 升 水 3 斗 3/4 升 を 用 い 挐 9 斤 になる 術 に 言 う 20を 法 として 水 15 米 10 挐 71) 36( 米 1 斗 水 1 升 半 升 挐 脂 3 斤 (3/5の 20 倍 )と 置 き 5を 掛 けて 実 とする 実 を 法 で 割 って 水 米 の 単 位 は 升 挐 の 単 位 は 斤 になる 端 数 は 分 数 で 表 す 挐 米 が1 両 あり 5/9が 得 られる 33 取 程 田 10 歩 から1 斗 (の 賃 貸 料 )を 取 り 今 これを 乾 かすと8 升 になる 何 歩 から1 斗 になるかを 問 う 得 て 言 う 72) 12 歩 半 で1 斗 になる 術 に 言 う 8 升 を 法 にして 1 升 の 歩 数 を10 倍 して 法 で 割 る ( 以 下 読 解 不 能 ) かどの 田 37 歩 から 稲 19 斗 7 升 が 得 られる 何 歩 で1 斗 になるかを 問 う 得 て 言 う 減 田 11.79/97 歩 で1 斗 1.173/197 選 ばれた 田 5 歩 で1 斗 今 これを 乾 かすと1 斗 1 升 になる 減 田 で1 斗 にせよ 得 て 言 う 減 田 5/11 歩 術 に 言 う 1 斗 1 升 に5 歩 を 掛 けて 11で 割 る 34 耗 租 稲 の 賃 貸 料 を 乾 燥 した 場 合 いくらになるかに 言 う 7.1/4 歩 ( 坪 )で1 斗 である 今 これを 乾 かすと7 升 少 半 (1/3)になる 1 斗 になる 歩 数 を 求 めたい 術 に 言 う 10 升 を 置 き 7 歩 73)1/4 を 掛 ける これを 乾 燥 させた 数 で 割 ると 68) 原 文 は 米 今 水 に 改 める 69) 原 文 2 蘇 意 雯 他,2000 注 87 に 従 い 4 に 改 める 70) 原 文 脂 20 斤 36 斤 蘇 意 雯 他,2000 注 88 に 従 い 2 斤 3 斤 3/5 に 改 める 71) 蘇 意 雯 他,2000 では 如 になっている ( 原 文 は 挐 ) 72) 原 文 は 田 原 文 中 の 他 の 部 分 より 今 曰 に 改 める 73) 原 文 は 斗 今 題 意 により 歩 に 改 める 34

17 9 歩 39/44 で 1 斗 になる 35 程 禾 程 して 言 う 禾 黍 1 石 は 粟 16 斗 大 半 (2/3)になる 糲 米 (8 分 搗 き)1 石 を 搗 いて 9 分 半 搗 きにすると 9 斗 になる これを 毀 米 にすると8 斗 になる 74) 程 して 言 う 稲 禾 1 石 は 粟 20 斗 これを 搗 いて 米 10 斗 毀 粲 米 にすると6 斗 大 半 (2/3) 麦 10 斗 は 麦 啇 3 斗 になる 75) 程 して 言 う 麦 菽 (まめ) 荅 麻 15 斗 で1 石 毀 米 9 分 搗 きの 米 は10 斗 で1 石 とする 36 取 枲 程 枲 (からむし 粗 麻 )を 取 る 程 度 は 10 歩 で3 囲 (= 円 周 3 尺 )の 束 1つで 今 こ れを 乾 かすと28 寸 になる 何 歩 で1 束 になるかを 問 う 乾 燥 した 数 値 を 自 乗 して 法 とする 生 の 数 値 を 自 乗 して 76) また1 束 の 歩 数 を 掛 けて 実 とする 割 り 算 をして 11 歩 47/98 で1 束 になる 37 誤 券 租 税 の 率 が 変 わった 術 に 言 う 増 えた 場 合 は 課 税 される 田 の 数 を 置 いて 実 とし て 租 税 の 率 ( 券 = 規 則 )を 斗 なら1 倍 石 なら10 倍 にして 割 り 算 をする 其 の 率 は ( 不 明 )と 置 く 田 の 歩 数 を 実 とする 率 の 斗 を1 石 を10として 割 り 算 をする その 率 が 増 えた 場 合 田 の 歩 数 を 置 き 実 とする 率 の 増 えた 升 数 を1 倍 斗 を10 倍 して ( 従 来 の 率 と)あわせ(= 新 しい 率 )て 法 として 割 り 算 をする 77) 38 租 誤 券 田 10 78) 畝 の 租 税 は (1 畝 につき)10 歩 で1 斗 なので 全 部 で 租 税 は2 石 4 斗 であっ た 今 2 石 5 斗 に 変 更 すると (1 斗 あたりの) 歩 数 をいくらにかえたらいいかを 問 う 言 う 9 歩 3/5 で1 斗 術 に 言 う 変 更 した 数 値 を 法 とし ( 従 来 の 租 税 と) 田 と( 掛 けたもの)を 実 とする 74) 王 があるが 今 これを 削 除 する 75) 蘇 意 雯 他,2000 注 101 にしたがい 為 を 補 う 76) 長 さが 同 じなので 体 積 比 は 面 積 比 になる (30 2 /28 2 ) 10=11.47/98 また 円 の 面 積 は 円 周 の 自 乗 に 比 例 することを 踏 まえた 計 算 である 九 章 算 術 第 32 題 には 周 自 相 乗 三 之 四 而 一 とある 77) 蘇 意 雯 他,2000 注 107 にしたがい 法 の 字 を 補 う 78) 原 文 は 一 しかし 第 27 題 税 田 の 税 率 が 1/10 で 3 斗 であり 差 が 著 しい したがって 今 35

18 39 粺 (ひえ) 毀 (こわ) 米 少 半 (1/3) 升 が 稗 (ひえ)3/10 升 になる つまり 9を 掛 けて10で 割 る 米 少 半 (1/3) 升 が 毀 (こわ)4/15 升 になる つまり 8を 掛 けて10で 割 る 米 少 半 (1/3) 升 が 麦 半 升 になる つまり 3を 掛 けて2で 割 る 麦 79) 少 半 (1/3) 升 が 粟 10/27 升 になる 分 母 に9を 掛 けて 分 子 に10を 掛 ける つ まり 10を 掛 けて9で 割 る 80) 麦 少 半 (1/3) 升 が 米 2/9 升 になる 分 母 に3を 掛 けて また 分 子 に2を 掛 ける つまり 2を 掛 けて3で 割 る 麦 少 半 (1/3) 升 が 稗 1/5 升 になる 分 母 に15を 掛 けて また 分 子 に9を 掛 ける つま り 9を 掛 けて15で 割 る 81) 麦 少 半 (1/3) 升 が 毀 米 8/45 升 になる 分 母 に15を 掛 けて また 分 子 に8を 掛 ける 稗 1/4 升 が 粟 25/54 升 になる 分 母 に27を 掛 けて 分 子 に50を 掛 ける 稗 82)1/4 升 が 米 5/18 升 になる 分 母 に9を 掛 けて 分 子 に10を 掛 ける 稗 1/4 升 が 毀 米 2/9 升 になる 分 母 に9を 掛 けて 分 子 に8を 掛 ける 稗 1/4 升 が 麦 5/12 升 になる 分 母 に9を 掛 けて 分 子 に15を 掛 ける 毀 米 1/4 升 が 米 5/16 升 になる 分 母 に8を 掛 けて 分 子 に10を 掛 ける 毀 米 1/4 升 が 稗 9/32 升 になる 分 母 に8を 掛 けて 分 子 に9を 掛 ける 毀 米 1/4 升 が 麦 15/32 升 になる 分 母 に8を 掛 けて 分 子 に15を 掛 ける 毀 米 1/4 升 が 粟 25/48 升 になる 分 母 に24 83) を 掛 けて 分 子 に50を 掛 ける 40 耗 粟 1 石 が1 斗 2 升 少 半 (1/3) 減 る 稟 米 少 半 (1/3) 升 は 粟 500/789 になり 稟 米 1 升 は 粟 1 升 237/263 になる 84) 稟 1 斗 は 粟 1 斗 9 升 3/263 に 稟 1 石 は 粟 19 斗 30/263 升 になる 粟 (1) 石 の 減 少 は5 升 である 稟 米 少 半 (1/3) 升 は 粟 100/171 升 に 稟 1 升 は 粟 1 升 215/263 85) 稟 1 斗 は 86) 粟 17 升 155/285 87) 稟 1 石 は 粟 17 斗 5 升 125/285 になる 十 と 改 める そうすると 税 率 は 1/12.5(8%)から 1/12(8.33%)へ 変 化 したことになる 79) 原 文 には 楊 とあるが 今 これを 削 除 する 80) 蘇 意 雯 他,2000 注 111 では 十 子 九 之 十 而 一 と 補 う しかし 計 算 によって 十 子 十 之 九 而 一 と 改 める 81) ここでは 約 分 されていないが 稗 粟 では 約 分 されている 82) 原 文 には 楊 とあるが 今 これを 削 除 する 83) 原 文 二 十 五 蘇 意 雯 他,2000 注 113 にしたがい 二 十 四 に 改 める 84) 原 文 には 楊 とあるが 今 これを 削 除 する 85) 原 文 は 275 蘇 意 雯 他,2000 注 116 にしたがい 215 に 改 める 36

19 41 粟 為 米 麻 麦 菽 ( 大 豆 ) 荅 ( 小 豆 )3は 米 2に 相 当 する 9は 粟 10に 相 当 する 粟 5は 米 3になり 米 10は 粺 9 毀 8に 相 当 する 麦 3は 稲 粟 4 禾 粟 88)5は 稲 粟 4に 相 当 する 粟 より 米 を 求 めるには3を 掛 けて5で 割 る 粟 より 麦 を 求 めるには9を 掛 けて10で 割 る 粟 より 稗 を 求 めるには27を 掛 けて50で 割 る 粟 より 毀 を 求 めるには24を 掛 けて50で 割 る 米 より 粟 を 求 めるには5を 掛 けて3で 割 る 42 粟 求 米 粟 より 米 を 求 めるには3を 掛 けて5で 割 る 今 粟 1 升 3/7 がある 米 いくらに 相 当 するか 言 う 米 6/7 升 89) 術 に 言 う 分 母 をたがいに 掛 けて 法 とする 3に10( 粟 の 仮 分 数 の 分 子 ) を 掛 けて 実 とする 43 米 求 粟 米 より 粟 を 求 めるには5を 掛 けて3で 割 る 今 米 6/7 升 がある 粟 いくらに 相 当 するか 言 う 米 1 升 3/7 升 術 に 言 う 分 母 をたがいに 掛 けて 法 とする 5に6を 掛 けて 実 とする 90) 44 米 粟 并 米 1 石 粟 1 石 がありこれらをあわせると 米 の 持 ち 主 と 粟 の 持 ち 主 はそれぞれ 幾 らを 取 るかを 問 う 言 う 米 の 持 ち 主 1 石 2 斗 8/16 升 粟 の 持 ち 主 7 斗 8/16 升 91) 術 に 言 う 米 10 斗 6 斗 と 置 きあわせて 法 とする 2 石 を 遍 く 置 いた 数 に 掛 けて 実 とする 6 斗 は 粟 の 米 に 換 算 した 数 である 45 粟 米 并 86) 原 文 には 楊 とあるが 今 これを 削 除 する 87) 原 文 は 150 蘇 意 雯 他,2000 注 117 にしたがい 五 を 補 い 155 に 改 める 88) 原 文 には 楊 とあるが 今 これを 削 除 する 89) 3/5 10/7=6/7 90) 原 文 は 以 五 乗 蘇 意 雯 他,2000 注 124 にしたがい 以 五 乗 六 為 実 とする 91) 約 分 されていない 20 10/16=12.8/16, 20 6/16=7.8/16 37

20 ( 意 味 不 明 ) 米 1 粟 2で 全 部 で10 斗 があり これらを 精 製 すると7 斗 1/3 になる 術 に 言 う 全 部 で5である 米 と 粟 をあわせて 法 とする 米 5 粟 3で 10 斗 を 掛 けて 実 とする 92) (4 字 欠 ) 合 粟 米 (3 字 欠 ) (3 字 欠 ) 米 (3 字 欠 )いくら 得 て 言 う 米 6 升 1/4 93) 術 に 言 う 米 5 升 94) 粟 5 升 を 置 く 粟 5 升 は 米 3 升 になるので 米 5 升 とあわ せて8 升 になり 法 とする すなわち 5 升 と 置 いて10を 掛 けて 割 り 算 をす る (2 字 欠 )2 斗 5 升 其 の 術 に 言 う 米 粟 を 置 き 米 5 粟 3を 95) あわせて 法 とする 米 粟 をあわせ てそれぞれに 掛 けて 実 とし 割 り 算 をする ( 数 字 欠 ) 石 50と( 不 明 ) 46 負 炭 炭 を 山 中 で 背 負 うと 1 日 で 炭 7 斗 が 車 までくる 次 の 日 は 炭 を 背 負 った( 者 が) 車 で 役 所 まで1 石 を 運 ぶ 今 役 所 まで( 車 で) 運 び 炭 を 背 負 い 役 所 までくるとすると 1 日 につく 炭 はいくらになるかを 問 う 言 う 1 日 に 炭 4 斗 2/17 術 に 言 う 7 斗 に10を 掛 けて7 石 になる 7 日 でまた 役 所 までくるので 10 日 と7 日 を 足 して 法 として 割 り 算 をする 96) 47 盧 唐 ( 竹 籠 ) 程 して 言 う 1 日 に 竹 60 本 を 伐 採 し 1 日 に 竹 籠 15 個 を 編 む 竹 一 本 で 竹 籠 3 個 に なる 1 人 で 竹 を 伐 採 し 籠 を 編 むと 1 日 に 何 個 出 来 るか 言 う 13 個 3/4 97) 術 に 言 う 36を 法 とする 55に15を 掛 けて 実 とする 48 羽 矢 程 :1 人 で1 日 矢 30 矢 羽 根 20を 作 る 今 1 人 で 矢 と 羽 を 作 ると1 日 でいくらに なるか 92) 原 文 には 王 とあるが 今 これを 削 除 する 93) 蘇 意 雯 他,2000では 六 分 四 分 生 之 一 とあるが 原 文 六 升 四 分 升 之 一 にしたがう 94) 原 文 には 楊 とあるが 今 これを 削 除 する 95) 原 文 には 楊 とがあるが 今 これを 削 除 する 96) 17 日 で7 石 の 炭 を 役 所 まで 運 べるので 7 10/(7+10)=4.2/17 97) 術 文 通 り 計 算 して 55 15/60=13.3/4 しかし 15 12/13=13.11/13 38

21 言 う 12 術 に 言 う 矢 と 羽 をあわせて 法 とし 矢 と 羽 を 掛 けて 実 とする 49 絲 練 絡 98) 絲 ( 生 糸 )から 練 絲 (ねりぎぬ)を 求 めるには 12を 掛 けて16で 割 る 50 行 甲 が 出 発 して50 日 になった 今 今 日 が 壬 申 とすると 出 発 したのは 何 の 日 かを 問 う 術 に 言 う 壬 申 が 何 の 旬 であるかを 問 う 甲 子 の 旬 であるから 甲 から 壬 まで9 日 である 9を 置 いて 増 やす( 以 下 欠 99))( 答 えは 壬 戌 ) 51 分 銭 銭 を 分 けるが 1 人 2 銭 だと3 銭 盈 (あま)り 1 人 3 銭 だと2 銭 不 足 である いくら で 何 人 かを 問 う 得 て 言 う 5 人 で13 銭 盈 数 と 不 足 数 に 分 母 (1 人 の 銭 数 )を 互 に 掛 けて 実 とし 分 子 ( 盈 数 不 足 数 )を 足 して 法 とする みな 盈 いか 不 足 のときは 分 子 を 分 母 に 互 に 掛 け 合 わ せて それぞれ 異 なった 数 を 置 く( 引 く) 分 子 の 多 い 数 から 少 ない 数 を 引 いて 余 りを 法 とする 不 足 数 (= 引 いたもの)を 実 とする 100) 52 米 出 銭 稗 2 斗 で3 銭 玄 米 3 斗 で2 銭 である 今 玄 米 稗 10 斗 を13 銭 で 買 う 玄 米 稗 はそれぞれいくらになるかを 問 う 言 う 稗 7 斗 3/5 玄 米 2 斗 2/5 術 に 言 う みな 稗 と 仮 定 する 銭 は2 銭 盈 (あま)る みな 玄 米 と 仮 定 すると 銭 は6 少 半 (1/3) 不 足 する 問 題 より 盈 数 不 足 数 を 足 して 法 とする 盈 数 に10 斗 を 掛 けて 稗 (の 実 )とする 不 足 数 に10 斗 を 掛 けて 玄 米 (の 実 ) とする みな 法 で 割 る 101) 米 1 斗 で1 銭 2/3 黍 1 斗 で1 銭 半 である 今 16 銭 米 と 黍 を10 斗 買 う それぞれ 98) 蘇 意 雯 他,2000 注 139 に 九 章 算 術 均 輸 第 10 題 より 級 を 絡 に 改 めるとある これにした がう 99) 旬 (10 日 )ごとの 表 のようなもので 計 算 していたようである 100) 分 配 する 銭 を a1,a2 盈 数 を b1, 不 足 数 を b2 とすると 総 数 / 人 数 =(a1 b2+a2 b1) /( b1+b2) 13/5 = / ) 稗 =10 斗 6.1/3 銭 / 6.1/3 銭 +2 銭 =7.3/5 斗 玄 米 =10 斗 2 銭 /6.1/3 銭 +2 銭 =2.2/5 斗 / 39

22 いくらで それぞれ 何 銭 になるかを 問 う 得 て 言 う 米 6 斗 黍 4 斗 米 10 銭 黍 6 銭 術 に 言 う 盈 不 足 をつかう みな 米 と 仮 定 すると 銭 は 2/3 銭 盈 (あま)る み な 黍 と 仮 定 すると 銭 は1 銭 不 足 する 下 に( 分 子 が)3あるので 3 倍 する 盈 数 不 足 数 を 足 して 法 とする 更 に( 盈 数 )2 ( 不 足 数 )3を 置 き それぞ れ10 斗 を 掛 けて 割 り 算 をする 53 方 田 102) 田 が1 畝 103)の 一 辺 は 何 歩 になるか 言 う 一 辺 は 15 歩 15/31 104) 術 に 言 う 一 辺 を 15 歩 とすると 15( 平 方 ) 歩 不 足 し 105) 16 歩 とすると 16( 平 方 ) 歩 余 る 106) 盈 数 不 足 数 をあわせて 法 とする 不 足 の 分 子 に 盈 数 の 分 母 盈 数 の 分 子 に 不 足 数 の 分 母 を 掛 けて あわせて 実 とする これを 復 して 啓 広 之 術 のようにする 54 除 羨 除 107)の 規 格 は1 丈 四 方 で 高 さ1 丈 2 尺 その 除 の 広 さ1 丈 長 さ3 丈 9 尺 もう 一 方 の 高 さは0 体 積 は3360 尺 ( 立 方 尺 )である 術 に 言 う 広 さの 合 計 30 尺 から 高 さを 引 いて 広 さ 長 さを 掛 ける 108) 55 鄆 都 109) 鄆 都 の 下 の 厚 さが4 尺 上 の 厚 さが2 尺 高 さ5 尺 長 さ2 丈 で 体 積 133 尺 少 半 (1/3) 術 に 言 う 上 の 厚 さを2 倍 して 下 の 厚 さを 足 し 高 さと 長 さを 掛 け 6で 割 る 56 芻 芻 童 110)の 下 の 広 さが1 丈 5 尺 長 さ3 丈 上 の 広 さが2 丈 長 さ4 丈 高 さ5 尺 長 102) 名 称 は 方 田 であるが 九 章 算 術 の 分 類 では 盈 不 足 術 になる 103) 1 畝 が 240( 平 方 ) 歩 になっており 商 鞅 (~338B.C.)が1 畝 を 100 歩 よりこの 制 度 に 改 めた B.C.349 ( 呉 承 洛 1937:76) 以 降 と 考 えられる 104) / = 15.15/31 105) =15 106) =16 107) 原 文 は 美 除 今 九 章 算 術 巻 5 第 17 題 により 羨 除 (せんじょ)に 改 める 古 墳 の 入 口 か ら 玄 室 までの 道 ( 羨 道 )の 形 である 底 面 が 台 形 で 3 側 面 も 台 形 残 る 一 面 は 長 方 形 になる5 面 体 であ る 108) 九 章 算 術 商 功 第 17 題 の 術 文 は 3つの 広 さをあわせて 深 さを 掛 けて また 長 さを 掛 けて6 で 割 る である 形 状 計 算 不 詳 109) 底 面 が 長 方 形 で 2 面 が 台 形 2 面 が 三 角 形 の5 面 体 九 章 算 術 では 芻 甍 という 名 称 で 公 式 も 同 じ なお 鄆 は 春 秋 時 代 の 魯 の 地 名 東 鄆 は 山 東 省 沂 水 県 西 鄆 は 山 東 省 鄆 城 県 110) 九 章 算 術 では 盤 池 冥 谷 という 名 称 も 使 っている 公 式 も 実 質 同 じ 40

23 さ2 丈 で 体 積 9250 尺 術 に 言 う 上 の 広 さ 長 さ 下 の 広 さ 長 さをそれぞれ 掛 ける 111) 上 の 長 さと 下 の 長 さを 足 して 上 の 広 さを 掛 ける 下 の 長 さと 上 の 長 さを 足 して 下 の 広 さを 掛 ける みなあわせて 高 さ 112) を 掛 けて 6で 割 る 57 旋 粟 113) 旋 粟 の 高 さ5 尺 下 の 円 周 3 丈 で 体 積 は125 尺 である 2 尺 7 寸 114)で1 石 であるので 粟 46 石 8/27 になる 其 の 術 に 言 う 下 の 円 周 を 自 乗 し 高 さを 掛 けて 36で 割 る 115) 116) 58 囷 蓋 117) 囷 蓋 の 下 の 円 周 6 丈 高 さ2 丈 で 体 積 は2000 尺 である 乗 之 の 術 に 言 う 其 の 円 周 を 置 き 自 乗 する また 高 さを 掛 けて 36で 割 る 59 圜 亭 118) 圜 亭 の 上 の 円 周 が3 丈 大 きな( 下 の) 円 周 が4 丈 高 さが2 丈 で 体 積 は2055 尺 20/36 である 術 に 言 う 下 の 円 周 に 上 の 円 周 を 掛 けて 円 周 を 自 乗 したものを みなあわせて 高 さを 掛 けて 36で 割 る 119) 120) 60 井 材 円 形 の 穴 蔵 をほる 円 周 が2 丈 四 尺 深 さが1 丈 5 尺 で 体 積 が720 尺 である 術 に 言 う 円 周 を 自 乗 して 深 さを 掛 け 12で 割 る もう 一 つに 言 う 円 周 に 直 径 を 掛 け 深 さを 掛 けて 4で 割 る 121) 122) V=1/6 h[a1b1+a2b2+(b1+b2)a1+(b2+b1)+(b2+b1)a2] 算 数 書 =1/6 h[2b1+b2]a1+(2b2+b1)a2] 九 章 算 術 111) 原 文 は 自 乗 であるが 相 乗 か? 112) 原 文 は 乗 之 蘇 意 雯 他,2000 注 157 にしたがい 以 高 乗 之 に 改 める 113) 円 錐 のこと 九 章 算 術 商 功 第 23 題 では 委 粟 ( 平 地 ) である 公 式 も 同 じ なお 商 功 第 13 題 には 円 錐 という 術 語 がある 114) この7 寸 は 底 面 積 1 尺 四 方 で 高 さ7 寸 つまり 700 立 方 寸 に 相 当 する なお 2 尺 7 寸 で1 石 の 比 率 は 九 章 算 術 商 功 第 25 題 と 同 じである 115) 以 下 円 周 率 はすべて3で 計 算 されており 九 章 算 術 の 本 文 と 同 じ 数 値 である 116) 原 文 では ここに 大 積 四 千 五 百 尺 とあるが 蘇 意 雯 他,2000 注 159 にしたがい これを 削 除 する 117) 円 錐 のことで 104 に 同 じ 囷 とは 円 筒 状 の 倉 庫 の 意 味 である 118) 円 錐 台 のこと 九 章 算 術 商 功 第 11 題 も 同 じ 名 称 である( 円 亭 ) 公 式 も 同 じである 119) 原 文 では 三 十 六 成 とあるが 蘇 意 雯 他,2000 注 162 にしたがい 三 十 六 成 一 に 改 める 120) 原 文 では 今 二 千 五 十 五 分 二 十 とあるが 蘇 意 雯 他,2000 注 162 にしたがい これを 削 除 する 121) 原 文 では 以 乗 径 四 成 一 蘇 意 雯 他,2000 注 165 にしたがい 改 める 41

24 61 以 方 材 圜 ( 円 )( 原 文 では 第 62 題 ) ( 意 味 不 明 ) 正 方 形 ( 直 方 体 )を 円 形 ( 円 柱 )にする 7 寸 3/5 四 方 を 円 材 にするといくらになるか 言 う 4 囲 2 寸 14/25 術 に 言 う 方 材 の1 辺 は 円 材 の 直 径 になる したがって4を 掛 けて 実 とし て 5で 割 る 62 以 円 材 方 ( 原 文 では 第 61 題 ) ( 意 味 不 明 ) 円 材 を 方 材 にする 言 う 4 囲 は 2 寸 14/15 である 方 材 はいくらになるか 言 う 7 寸 3/5 四 方 術 に 言 う したがって5を 掛 けて 実 として 7で 割 り 123) 4で 割 る 124) 63 円 材 ( 意 味 不 明 ) 円 材 木 があり( 欠 字 )いくらになるか 言 う 76?( 欠 字 )4 寸 半 術 に 言 う ( 欠 字 ) 自 乗 ( 欠 字 ) 64 啓 広 田 の 縦 が30 歩 である 広 さがいくらだと1 畝 になるか 言 う 広 さ8 歩 術 に 言 う 30 歩 を 法 として 240 歩 を 実 とする 縦 をもとめるとき もこのようにする 65 啓 縦 広 さが23 歩 である 縦 がいくらだと4 畝 になるか 術 に 言 う 4 畝 の 歩 数 を 置 いて 広 さ( 第 64 題 )を 求 めたときと 同 じようにす る 端 数 は 広 さを( 分 母 として) 分 数 で 表 す 復 すには 互 に 掛 ける 分 数 があ るものは 広 さを 分 子 に 掛 け 広 さの 歩 数 になる 広 さ 6/8 歩 田 4/7 歩 125)を 求 めると 縦 16/21 126) 歩 になる 122) 原 文 では 一 百 半 問 径 蘇 意 雯 他,2000 注 166 にしたがい 削 除 する 123) 7:5は 2の 近 似 値 である 孫 子 算 経 ( 紀 元 後 400 年 ごろ) 巻 上 序 文 にも 方 五 邪 七 とある また 巻 中 第 14 題 の 問 題 でもこの 比 率 を 使 っている 124) 原 文 では 令 七 而 一 四 蘇 意 雯 他,2000 注 170 にしたがい 令 七 而 一 四 而 一 に 改 める 125) 原 文 は 一 分 之 四 今 計 算 により 七 分 之 四 に 改 める 42

25 広 さ 3/7 歩 田 2/4 歩 を 求 めると 縦 1 歩 1/6 になる 縦 を 求 める 術 広 さの 分 子 に 面 積 の 分 母 を 掛 けて 法 とする 面 積 の 分 子 に 広 さの 分 母 を 掛 けて 実 として 割 り 算 をする すなわち 広 さと 縦 を 掛 けて す べて 分 母 を 掛 けて 法 すべての 分 子 を 掛 けて 実 として 割 り 算 をする 66 少 広 求 少 広 之 術 127)に 言 う 先 ず 広 さを 置 く すなわち 言 う ( 最 も) 下 の 何 ( 分 の 一 ) 歩 の 比 率 1( 歩 )の 比 率 半 歩 の 比 率 1/3 の 比 率 をいくつかとする これらを 求 める 分 数 まで 同 じにして(= 足 して) 法 とする すなわち 田 240 歩 を 置 いて また1の 比 率 と( 掛 けて) 積 歩 ( 面 積 の 歩 数 )とする 積 歩 を 法 で 割 る 端 数 は 分 数 で 表 す また 言 う これを 復 するには 広 さと 縦 を 掛 けて240 歩 1 畝 になる 縦 に 分 けられない 分 数 があるものは 法 を 置 いて 分 数 を 増 やし これを 掛 けて 以 為 小 十 分 数 があるものは 広 さに 分 子 を 掛 けて 広 さの 歩 数 で 割 る 少 広 広 さ1 歩 半 歩 である 1を2 半 を1として これを 足 して3にして 法 とす る すなわち 240 歩 を 置 いて また1を2とするので(480になり) 割 り 算 をする ので 縦 160 歩 になる 1 歩 半 歩 を 掛 ける 下 (= 最 も 小 さい 分 数 )は 1/3 である 1を6 半 を3 1/3 を2にする これらを 足 して11になり 縦 130 歩 10/11 が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 になる 下 は 1/4 である 1を12 半 を6 1/3 を4 1/4 を3にする これらを 足 して25に なり 縦 115 歩 5/25 が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 になる 下 は 1/5 である 1を60 半 を30 1/3 を20 1/4 を15 1/5 を12にする こ れらを 足 して137になり 縦 105 歩 15/137 が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 になる 下 は 1/6 である 1を60 半 を30 1/3 を20 1/4 を15 1/5 を12 1/6 を10 にする これらを 足 して147になり 縦 97 歩 1/147 が 得 られる 下 は 1/7 である 1を420 半 を210 1/3 を140 1/4 を105 1/5 を84 1/6 を70 1/7 を60にする これらを 足 して1089になり 縦 92 歩 612/ ) が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 になる 下 は 1/8 である 1を840 半 を420 1/3 を280 1/4 を210 1/5 を168 1/6 を140 1/7 を120 1/8 を105にする これらを 足 して2283になり 法 とすると 縦 88 歩 696/2283 が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 になる 下 は 1/9 である 1を2520 半 を1260 1/3 を840 1/4 を630 1/5 を5 126) 蘇 意 雯 他,2000は 二 十 となっているが 原 文 は 二 十 一 である 127) 九 章 算 術 では 少 広 術 である 比 率 を 計 算 する 方 法 も 述 べられている 128) 原 文 は 九 十 二 歩 五 百 四 十 一 乗 之 田 一 畝 九 章 算 術 広 少 第 6 題 および 蘇 意 雯 他,2000 注 179 は 68/121 になっているが 注 126 の 断 簡 より 612/1089 に 改 める 43

26 04 1/6 を420 1/7 を360 1/8 を315 1/9 を280にする これらを 足 して 7129になり 法 とすると 縦 84 歩 5964/7129 が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 に なる 下 は 1/10 である 1を2520 半 を1260 1/3 を840 1/4 を630 1/5 を5 04 1/6 を420 1/7 を360 1/8 を315 1/9 を280 1/10 を252にする これらを 足 して7381になり 法 とすると 縦 81 歩 6939/7381 が 得 られる これを 掛 けて 田 1 畝 になる 129) ( 欠 字?)612/1089 が 得 られる 130) これを 掛 けて 田 1 畝 になる 67 大 広 広 さ7 歩?/49(17 字 欠 )(1 字 欠 )64 歩 273/343 大 広 術 に 言 う 広 さ 縦 を 置 き その 分 母 を 整 数 に 掛 けて 分 子 を 足 す これらを 互 に 掛 けて 実 とする また 分 母 を 互 に 掛 けて 法 として 割 り 算 をする 端 数 は 分 数 で 表 す 131) 68 里 田 里 田 術 に 言 う 里 に 里 を 掛 けると( 平 方 ) 里 132)である 広 さ 縦 が 各 1 里 である すな わち1を 置 いて3を 掛 けて 5の3 乗 133)を 掛 けると すなわち3 頃 75 畝 (375 畝 )に なる 134) その 広 さと 縦 が 等 しくない 場 合 は 先 ず 里 を 互 に 掛 けて 3を 掛 けて5の3 乗 を 掛 けれ ばよい 今 広 さ220 里 縦 350 里 で 28 万 8750 頃 領 地 はこのように 計 算 する 一 に 言 う 里 に 里 を 掛 けて 里 になる 3の1 乗 5の3 乗 を 掛 けると 頃 畝 数 になる また 言 う 里 に 里 を 掛 けて 里 になる 里 には3を 掛 けて 里 の 下 (= 端 数 )には25を 掛 けて3を 掛 けると それぞれ 頃 畝 数 になる 言 う 広 さ1 里 縦 1 里 は3 頃 75 畝 である 5. 謝 辞 台 湾 師 範 大 学 洪 万 生 教 授 清 華 大 学 ( 台 湾 ) 傅 大 為 教 授 中 国 科 学 院 自 然 科 学 史 研 究 129) 九 章 算 術 では 1/12 まで 計 算 している 130) 612/1089=68/121 であり これは 1/7 まで 計 算 したときの 端 数 である 131) 九 章 算 術 方 田 章 第 題 大 広 田 術 には 分 母 各 乗 其 全 分 子 従 之 相 乗 為 実 分 母 相 乗 為 法 実 如 法 而 一 とあり ほとんど 同 じ 意 味 である 132) 九 章 算 術 方 田 第 3-4 題 里 田 術 には 積 里 とある 133) 原 文 は 三 五 之 3 回 5 を 掛 ける 意 味 である 134) 1 里 =300 歩 1 平 方 里 =90000 平 方 歩 /240 畝 =375 畝 =3 頃 75 畝 44

27 所 郭 書 春 教 授 には 資 料 提 供 や 助 言 を 頂 きました 末 筆 ながら ここにお 礼 申 し 上 げま す 参 考 文 献 呉 承 洛, 中 國 度 量 衡 史, 上 海 : 上 海 書 店 (1937 年 ) 好 並 隆 司, 秦 漢 帝 国 史 研 究, 東 京 : 未 来 社 (1978 年 ) 藪 内 清, 中 国 の 数 学, 東 京 : 岩 波 書 店 (1974 年 ) 藪 内 清 ( 編 ), 中 国 天 文 学 数 学 集, 朝 日 出 版 社 (1980 年 ) 呉 文 俊 ( 編 ), 九 章 算 術 與 劉 徽, 北 京 : 北 京 師 範 大 學 出 版 社 (1982 年 ) 呉 文 俊 他 ( 編 ), 劉 徽 研 究, 西 安 : 陝 西 人 民 教 育 出 版 社 台 北 : 九 章 出 版 社 (1993 年 ) 白 尚 恕, 九 章 算 術 注 釋, 北 京 : 科 學 出 版 社 (1983 年 ) 荊 州 地 區 博 物 館, 江 陵 張 家 山 三 座 漢 墓 出 土 大 批 竹 簡, 文 物 1985 年 第 1 期 (1985 年 ),1-8 頁 張 家 山 漢 墓 竹 簡 整 理 小 組, 江 陵 張 家 山 漢 簡 概 述, 文 物 1985 年 第 1 期 (1985 年 ),9-15 頁 李 學 勤, 中 國 數 學 史 上 的 重 大 發 現, 文 物 天 地 1985 年 第 1 期 (1985 年 ),46-47 頁 陳 耀 均 閻 頻, 江 陵 張 家 山 漢 墓 年 代 及 相 關 問 題, 考 古 1985 年 第 12 期 (1985 年 ), 頁 清 水 達 雄, 竹 簡 算 数 書 の 出 現, 数 学 セミナー 1986 年 第 3 期 (1986 年 ),49 頁 清 水 達 雄, 竹 簡 算 数 書 第 2 報, 数 学 セミナー 1986 年 第 5 期 (1986 年 ),41 頁 中 外 數 學 簡 史 編 寫 組 ( 編 ) 中 國 數 學 簡 史 濟 南 : 山 東 教 育 出 版 社 (1986 年 ). 陳 沃 均 陳 燕 平, 算 數 書 與 九 章 算 術, 湖 北 省 考 古 學 會 論 文 選 集 1 (1987 年 ), 頁 城 地 茂, 中 国 湖 北 省 江 陵 県 張 家 山 遺 跡 出 土 算 数 書 について, 数 学 史 研 究 117 号 (1988 年 ),21-25 頁 城 地 茂, 算 数 書 成 書 年 代 初 探, 世 界 華 人 科 技 史 研 討 会 論 文 集 ( 呉 嘉 麗 周 湘 華 ( 編 )), 台 北 : 淡 江 大 学 歴 史 系 化 学 系 (2001 年 ), 頁 杜 石 然, 江 陵 張 家 山 竹 簡 算 數 書 初 探, 自 然 科 學 史 研 究 第 7 卷 第 3 期 (1988 年 ), 頁 李 繼 閔, 東 方 數 學 典 籍 九 章 算 術 及 其 劉 徽 注 研 究, 西 安 : 陝 西 人 民 教 育 出 版 社 (1990 年 ) 郭 書 春, 九 章 算 術 匯 校 本, 瀋 陽 : 遼 寧 人 民 出 版 社 (1990 年 ) 郭 書 春, 古 代 世 界 數 學 泰 斗 劉 徽, 濟 南 : 山 東 科 學 技 術 出 版 社 台 北 : 明 文 書 局 (1992;1995 年 ) 任 繼 愈 他 ( 編 ), 中 國 科 學 技 術 典 籍 通 彙 數 學 卷 5 冊, 鄭 州 : 河 南 教 育 出 版 社 (1993 年 ) 黄 展 岳, 先 秦 両 漢 考 古 與 文 化 台 北 : 允 晨 文 化 (1999 年 ) 張 家 山 漢 墓 竹 簡 整 理 小 組, 江 陵 張 家 山 漢 簡 算 數 書 釋 文, 文 物 (2000 年 ),

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