債券価格と金利 将来のキャッシュフローが確実 確定利付き証券 (fxed ncome ecurte の分析 将来のキャッシュフローが不確実 リスクとリターン 株式 (equte の分析 資本資産評価モデル (AM 講義の内容 (c.f. Lenberger, chap3-4 永久債 年金型商品 割賦償還 単利運用と複利運用 利回りの定義 概念満期保有利回り ( 単利 複利 スポットレートト直利 実質金利 スポットレートに基づく現在価値計算
金利の期間構造 : 満期の長さとスポットレートトの関係 ( 長短金利の関係 予想 政策反映 純粋期待理論仮説 流動性選好仮説 金利リスク ( 金利上昇と債券価格下落 デュレーション コンベキシティ 3 銀行経営と金利リスク 銀行の国債保有過去最高 潜在的な金利上昇リスク 財政赤字増大 経常収支の悪化 少子高齢化による貯蓄低下 調達 運用のミスマッチ ( 貸出先不足 4
金融システムリポート (0. 金利リスク量 有価証券保有残高 金利更改期間と期間ミスマッチ 有価証券利鞘 5 6 3
7 債券の評価 5 年後に満期を迎える額面 00 万円の利付債 ( クーポン率 5% の現在価値は, 金利が 3% のとき, いくらになるか 8 4
債券の評価 05 5 5 5 5 現在価値 0 3 4 5 year 5/(.03 = 4.854 5/(.03 = 4.73 5/(.03 3 = 4.576 5/(.03 4 = 4.44 05/(.03 5 = 90.574 09.59 9 債券の評価 長期債はクーポンと元本支払の現在価値の合計として評価することが可能 V r ( r 5 5.03 (.03 3 ( r 5 (.03 3 4 ( r 5 (.03 4 5 ( r 05 (.03 3 4 5 5 09.59 0 5
永久債 永久債 (perpeturty: 毎年一定額の利子を永久に払い続ける債券 金利を 0% とすると, 年後から毎年 0 万円を永久に支払う債券の価格はいくらか? 永久債の現在価値 無限等比級数の和初項 /(- 公比 0 V 3 r ( r ( r r 0. 00 6
成長型永久債のケース 年後に 0 万円の利子を支払い, その後毎年 4% の割合で利子が増えていくタイプの永久債がある 金利を0% とすると, この成長型永久債の価格はいくらか? 3 成長型永久債の現在価値 V r ( r 3 3 ( r ( g ( g 3 r ( r ( r 0 66.666 r g 0. 0.04 4 7
年金型投資商品の価値 年金型投資商品 (annuty: 特定の期間, 毎年一定額の支払が行われる資産 キャッシュフロー 永久債 ( 年目に支払開始 永久債 (t+ 年目に支払開始 年目から t 年目まで支払う年金投資商品 期間 t t + 現在価値 r t r ( r t r r ( r 5 成長型年金型投資商品のケース 毎年一定割合 (g で利子が増えるタイプの年金型投資商品の現在価値はいくらか? 宿題 6 8
成長型年金型投資商品の現在価値 ( g ( g V 3 r ( r ( r t ( g t (r g (r g ( r ( g t ( r t 7 問題 : 割賦償還融資のケース あなたは 00 万円の融資を銀行から受けました 銀行は0% の金利で毎年返済を行うように要求しています 5 年間で返済完了するためには, あなたは毎年いくら返済すればよいでしょうか 8 9
解答 : 割賦償還融資のケース 年目から 5 年目まで支払う年金の現在価値が00 万円になるように, 支払額を計算すればよい 0. 0. ( 0. 5 00 万円 00万円 00万円 / 3.79 6. 38万円 5 0. 0. ( 0. 9 割賦償還融資の償還例 ( 金利部分は 0% 払う例 年 年初の残高 年末の利払額 年末の返済額 融資の償還額 年末残高,000,000 00,000 63,797 63,797 836,03 836,03 83,60 63,797 80,77 656,05 3 656,05 65,603 63,797 98,95 457,830 4 457830 457,830 45783 45,783 63797 63,797 804 8,04 3986 39,86 5 39,86 3,98 63,797 39,86 0 0 0
単利と複利 ( 運用 単利 : 元本のみに利子 ( 再投資しない 複利 : 元本と受け取った利子も再投資する 450 00 円を年 0% で運用したときの将来価値 400 350 300 単利 複利 50 円 00 50 00 50 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 年 単利と複利 v v 期間 期間金利 年率 年後の価値 複利 6% 6%.06 6.000% 3 6.03 =.0609 6.090 4.5 6.05 4 =.0636 6.36.5 6.005 =.0668 6.68 5.54 6.0054 5 =.0680 6.80 365.064 6.00064 365 =.0683 6.83
連続複利 年 6% で半年ごとに利払いを行う債券に 00 円投資した場合, 半年後に03 円, 年後には00 (.03 = 06.09 円の価値となる 年 r% のm 回複利への投資は,[+(r/m] m -の年複利の投資と等しい 連続複利 : 利払いが連続的に行われると考えたときの複利 mを無限大にまで増加させると, [+(r/m] m は,e r に近づく lm m r m m r e e: 自然対数の底 3 利回りの定義 ( 金利の種類 利付債 ( 国債想定 額面 (B クーポン ( (/B: クーポンレート 満期までの期間 ( 債券価格 ( 4
満期保有利回り ( 利付債 複利 r t, ( 年一回 支払 t r ( t, ( t, r t 単利 ( 年一回 支払 B r t B ( r t 5 利付債の利回り計算例 =3 年 クーポンレート6%( 年一回払い B=00 =90.05 円 複利 =0% 単利 =0.3% =0.7 円 複利 =5% 単利 =4.9% 6 3
4 単利と複利の関係単利 複利単利利回り /B 7 債券価格複利利回り額面年に m 回利払いあるケースの複利 t m t mt t t m r B m r m 0,, / ( ( / ( ( / exerce 8
スポットレート 割引債 ( ゼロクーポン債 の満期保有利回り ( 複利 t, 例 (B=00 t B ( t,, =,=90.09 t =0% =,=85.73 =8% =3,=77. =9% 9 債券の現在価値 利付債現在価値 ( 利払い年 回 V t ( t, ( t, 例 先のスポットレート値使うと=3,=6の利付債の現在価値は 6 6 V t ( 0. ( 0.08 B 06 ( 0.09 3 9.44 30 5
実質金利 + 実質金利 =(+ 名目金利 /(+ 期待インフレ率 実質金利 ~= 名目金利 - 期待インフレ率 00 万円を年 5% の金利で運用すると, 年後には05 万円を受け取る インフレにより財の価格が年 % 上昇すると, 年後には現在購入可能な財より% 少ない財しか購入できない すなわち, 実質は05/.0=0.94 万円分しか購入できない 3 その他の利回り概念ほか 直利 : クーポン / 債券価格 =/ 実効利回り実際の再投資の利回りは最終利回りとは一致しないかもしれないとして計算得られた利回り 一般には 連続複利 < 複利の関係 3 6
スポットレートの推計 種類の割引債価格より推計 種類の利付債価格より推計 I< 種類の利付債価格より推計 33 種類の利付債より推計 B (...... t, ( t, B ( ( t, 未知数 n 個 方程式 n 本 B... ( ( t, t, t, 34 7
8 行列式を使った表現 0 0 d B D : 0 0 0 3 3 3 3 3 D D d d d B B B 割引関数ベクトル とおくと ( 35 /, t d D excerce 利付債の種類が より少ない場合割引関数に既知の関数を当てはめて推計 割引関数に既知の関数を当てはめて推計とすると j j J j j j t f ex f a d (. ( ( (, I 本 (>I>J あれば 未知数 a,,,aj 推計可能 種類のスポットレート計算可能 36 ( 多項式 J a J a a a... 3 3
金利の期間構造 期間構造 : 金利の水準と満期の長さの関係 利回り曲線 : 横軸に満期までの長さ 縦軸にスポットレートの水準をグラフ化したもの f. 利付債の満期利回りではクーポンの影響うけてしまう 投資家の将来金利の予想 期間選好を反映市場の予想をみる上で有益な情報 37 38 9
利回り曲線のパターン スポットレート nverted hump flat normal 満期までの長さ 39 利回り曲線の決定理論 金利裁定 純粋期待理論仮説 流動性選好仮説 市場分断仮説 40 0
金利裁定 ( 先物カバー付き 円を K 期間運用すると想定 運用方法 : 残存期間 K の割引債に投資 ( t, k 運用方法 : 期物割引債 + 先物 ( t, ( f t, t,( f t, t,...( f t, t k, ft, t j, : t jから始まる 期間の先物レート ( t時点 k 4 両者は均衡では一致するはず ( t, k t, k ( 対数をとると k ( / k t, ( f k t, f t, t, t, t, ( f t, t,...( f t, t k, t 時点におけるSt,kとSt,の関係 ( 期間構造 St,kとft,t+,は平均と限界の関係 4
純粋期待理論仮説 先物レートは当該期間のスポットレートの現時トの現時点での予想値に等しいとの見方 f E( : 期待値示す記号 t, t, t, E 将来スポットレート上昇予想 曲線右上がり 将来スポットレート不変予想 曲線水平 将来スポットレート下落予想 曲線右下がり 将来 上昇して下落と予想 ハンプ型 43 流動性選好仮説 先物レートはスポットレートの予想値トの予想値 ( 現時点 よりも高いとの見方 f E( t, t, t, k (/ k t, t, E( t, ( : term premum o 利回り曲線は右上がり傾向 ( 将来スポットレート不変と予想していても右上がり 投資家の短期運用志向を反映 ( 流動性選好 44
市場分断仮説 長期債の市場と短期債の市場は分断 それぞれの需給で利回り決まるとの考え 利回り曲線の形状と将来の予想とは無関係 45 純粋期待理論について 利回り曲線の形状から市場の予想 ( 金融政策への見通し含む を読み取ること多い スポットレートの予想を利回り曲線から逆算した先物レート (mpled forward rate から計算する 46 3
Impled forward rate 47 計算例 48 4
Forward rate, 短期金利予想 Forward rateの一番上の行がスポットレート 行目 (3 行目 が来期 ( 来々期 のforward rate 短期金利のところは逆算された予想値 exerce 49 金融政策と利回り曲線 - 経済財政白書 (H. より抜粋 - 50 5
5 5 6
金利リスク 金利リスク : 予期せざる金利 ( スポットレート の上昇に伴う債券価格の下落 ( 損失 債券価格と金利の関係 金利リスクの指標 デュレーション コンベキシティ 金利リスクの回避 (mmunzaton 53 金利と債券価格の関係 当面利回り曲線はフラットと考える (St,=S 5 年後に満期を迎える額面 00 万円の利付債 ( クーポン率 5% の価格は, スポットレート% のときいくらになるか 3 4 5 V 3 4 5 r ( r ( r ( r ( r 5.0 5 (.0 5 (.0 3 5 (.0 4 05 (.0 5 09.38 金利が上がる ( 下がる と債券価格は下がる ( 上がる 54 7
8 債券価格満期の長期化クポ上昇クーポン上昇最終利回り 55 金利リスクの指標 ( 修正 d aton =(- 修正 duraton +(/(convexty : 利回り曲線の平行シフトと想定してもよい ( ( ( ( d d 56 0 0 0 0 0 0 0... ( ( ( ( d d d d d d d d
9 修正 d aton 修正 duraton t D /(+ =(-d/d/ B D ( ( 0 convexty 57 B d d ( ( ( ( 58
Duraton(Macaulay D ( 0 B ( 平均回収期間 ( クーポン価値で加重平均 割引債では D =( 利付債では D < クーポンレートの減少関数 に関して単調増加とは限らない 修正 duraton= D /(+ =(-d/d/ 59 計算例 (=3,/B=7% 60 30
(/B, と D の関係 6 convexty d d ( ( B ( ( (+ の加重平均 債券価格と金利の曲線の傾きの変化 exerce 6 3
63 Immunzaton( 免疫化 資産と負債のデュレーションを一致させることで純資産の変化 ( 金利リスク を回避例 金融機関など ( 短期調達長期運用 ポートフォリオのデュレーション D A ( D A L A DA( 資産全体のデュレーション A A, : 資産 の価額 D : 資産 のD L D L L A 負債についても同様に A 64 3
問題 ( デュレーションと免疫化 額面が 000 万円である 4 種類の債券 (A,B,,D BD のキャッシュフローが辞表で与えられているとする スポットレートが一律 5% であるとき 各債券のデュレーション (D を求めなさい 年後 F 年後 F 3 年後 F A 00 00 00 B 50 50 050 0 0 000 D 000 0 0 65 年後 F 現在価値 年後 F 現在価値 3 年後 F 現在価値現在価値 ( 合計 A 86.9 75.6 73. 885.7 B 43.4 37.8 690.7 77.9 0 0 657.9 657.9 D 869.5 0 0 865.9 DA.7 DB.83 D 3 DD 66 33
年後に償還を迎える割引債 (000 万円 で資金調達し 同時に金利リスクがゼロになるような資産運用を考える 先の問題の債券 と債券 Dの 種類で金利リスクがゼロになるようにするためにはそれぞれいくら投資すればよいか (convexty の部分は無視する 67 債券 と債券 D の購入価額をそれぞれ x y とおくと 調達額 =x+y 資産と負債のデュレーションを一致させればよい x y 000 /(.5 55 xd yd D 3 x y x y 55 x 757.5 y 757.5 債券 を757.5 / 657.9.5単位 債券 Dを757.5/869.5 0.87単位 購入すればよい 68 34
その他 注意点 デュレーションは時間の関数 ( 毎期調整しなければならない 変動利付債 ( クーポンが短期スポットレートに依存して変動 では金利改定時における債券価格は額面価格に等しい (D=0 厳密には次回利払い日までの期間 利回り曲線の平行シフト以外の金利リスクへの対応 右上がりからフラット化 D D 長期化 フラット化から右上がり化 D 短期化 金利の上下変動化 同じDでconvextyの大きい債券投資 ( 短期と長期 ( 中期のぞく に投資 69 35