A

A04-164 2008 2 13

1 4 1.1.......................................... 4 1.2..................................... 4 1.3..................................... 4 1.4..................................... 5 2 6 2.1.................................... 6 2.2........................... 6 2.3........................... 7 2.4........................................ 8 2.5................................ 8 2.6.................................... 9 3 11 3.1................................. 11 3.2.............................. 13 3.3...................... 13 3.4.................................... 14 4 15 4.1 Newtonian....................................... 15 4.1.1 (Newton )................. 15 4.2 Post-Newtonian.................................... 16 4.2.1 Post-Newton............................... 16 4.2.2.................................. 17 4.2.3....................... 17 4.2.4.................................. 17 4.2.5 ()...................... 18 5 21 5.1......................................... 21 5.2..................... 21 5.3.............................. 21 6 24 6.1 1.................. 24 6.1.1 Newtonian................................... 24 6.1.2 Post-Newtonian................................ 28 6.1.3 NewtonianPost-Newtonian....... 31 6.2 2.............................. 33 2

7 37 3

1 1.1 (cosmic censorship hypothesis) 1.2 2 Post-Newton 1.3 1 0 2 0 4

1: 1 2: 2 1.4 2 3 4 5

2 [1, 2] 2.1 1905 m I d 2 r dt 2 = f (2.1) (2.1) m I (2.1) f = Gm Gm G r 2 r r (2.2) (2.2) m G (2.1) m G m I r g(r) r = r 1 2 g(r)t2 (2.3) m I d 2 r dt 2 = m d 2 r I dt m Ig(r) = (m 2 G m I )g(r) = 0 (2.4) r ( ) 2.2 6

2 x µ x µ + dx µ ds ds 2 = 3 µ=0 ν=0 3 g µν (x)dx µ dx ν (2.5) x i (i = 1, 2, 3) x 0 t x µ (µ = 0, 1, 2, 3) ds 2 4 (2.5) g µν (x) (2.5) ds 2 = g µν (x)dx µ dx ν (2.6) 1 x g µν (2.6) x g µν(x ) ds 2 = g µν(x )dx µ dx ν (2.7) 2 g µν (x)dx µ dx ν = g µν(x )dx µ dx ν (2.8) g αβ(x ) = g µν (x) xµ x α x ν x β (2.9) 2.3 : x S(x) S (x ) S(x) = S (x ) (2.10) : (2.11) A µ (x ) = xµ x α Aα (x) (2.11) 7

: (2.12) B µ (x ) = xα x µ B α (x) (2.12) : n m ( ) ( ) ( T µ 1 µ m x µ 1 x µ m x β 1 ) ( x β n ) ν 1 ν n (x ) = T α 1 α m x α β1 β 1 x αm x ν n (x) (2.13) n x ν 1 2.4 φ(x) φ(x) x µ V µ ν V µ = V µ x ν Γα µνv α (2.14) ν V µ = V µ x ν + Γµ ανv α (2.15) Γ α µν Γ α µν = 1 ( gµβ 2 gαβ x + g νβ ν x g ) µν (2.16) µ x β β T µ ν = T µ ν x β + Γµ αβt α ν Γ α νβt µ α (2.17) 2.5 α β V µ α β V µ = α ( β V µ ) + Γ µ λα( β V λ ) Γ ν βα( ν V µ ) ( α β β α )V µ (2.18) = α β V µ + α Γ µ λβv λ + Γ µ λβ α V λ + Γ µ λα( β V λ ) Γ ν βα( ν V µ ) = α β V µ + ( α Γ µ λβ + Γ µ ραγ ρ λβ)v λ + (Γ µ λβ α V λ + Γ µ λα β V λ ) Γ ν βα( ν V µ ) 8 (2.19)

α β 2 ( α β β α )V µ = ( α Γ µ λβ β Γ µ λα + Γ µ ραγ ρ λβ Γ µ ρβγ ρ λα)v λ (2.20) (2.20) R µ λαβ α Γ µ λβ β Γ µ λα + Γ µ ραγ ρ λβ Γ µ ρβγ ρ λα (2.21) R αβ R µ αµβ (2.22) R R µ µ = g αβ R µ αµβ (2.23) 2.6 g µν G µν (g αβ ) = κt µν (2.24) κ T µν (2.24) ν T µν = 0 ν G µν = 0 G µν γ R µ ναβ + α R µ νβγ + β R µ νγα = 0 (2.25) (2.25) g γν ν γ β µ γ R µγ αµ + α R µγ µγ + µ R µγ γα = 0 (2.26) 2 α R R αβµν = R βαµν (2.27) R αβµν = R αβνµ (2.28) 3 1 β (R αβ 1 ) 2 gαβ R = 0 (2.29) G µν = R µν 1 2 gµν R (2.30) 9

G µν (2.24) κ (2.24) (2.31) R µν 1 2 g µνr = 8πT µν (2.31) 10

3 [1, 2, 3] 3.1 x 0 = t, x 1 = r, x 2 = θ, x 3 = φ (3.1) ds 2 = f 1 (r)dt 2 + f 2 (r)dr 2 + f 3 (r)(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (3.2) dtdθdtdφdrdθdrdφ dtdrdtdθdtdφ r 2 = f 3 (r) r ds 2 = h 1 (r )dt 2 + h 2 (r )dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (3.3) h 1 (r )h 2 (r ) r 2 = f 3 (r) r r = g(r ) f 1 (r)f 2 (r) f 1 (g(r ))f 2 (g(r )) h 1 (r ) e ν(r ) h 2 (r ) e λ(r ) ν(r )λ(r ) ds 2 = e ν(r) dt 2 + e λ(r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (3.4) r r (3.4) 0 Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1 2 ν, Γ 1 00 = 1 2 eν λ ν Γ 1 11 = 1 2 λ, Γ 1 22 = re λ, Γ 1 33 = e λ r sin 2 θ Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r, Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, Γ2 33 = sin θ cos θ Γ3 23 = Γ 3 32 = cot θ r ( ) ν R 00 = e ν λ 2 + (ν ) 2 ν λ 4 4 + ν (3.6) r R 11 = ν 2 (ν ) 2 + ν λ 4 4 + λ (3.7) ( r ) λ R 22 = 1 e λ + re λ 2 ν (3.8) 2 R 33 = R 22 sin 2 θ (3.9) (3.5) 11

(2.31) g µν R νµ 1 2 gµν g νµ R = 8πg µν T νµ (3.10) R = 8πT (3.11) (3.11) (2.31) R µν = 8π ( T µν 1 ) 2 T g µν (3.12) R µν = 0 (3.6)(3.7) ν + λ = 0 ν + λ = 0 (3.13) (3.4) r 0 (3.13) (3.8) ν 1 + d dr (re λ ) = 0 e λ = 1 C r (3.14) ds 2 = ( 1 C ) ( dt 2 + 1 C ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (3.15) r r (3.15) C m M g 00 (3.17) (3.16) φ(r) = M r (3.16) g 00 = 1 2φ (3.17) g 00 = 1 + 2M r (3.18) (3.15) g 00 = (1 C/r) r (3.18) C = 2M ( ds 2 = 1 2M ) ( dt 2 + 1 2M ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (3.19) r r (3.19) r 2M r = 0 r r = 2M r r < 2M g tt > 0g rr < 0 r = 2M ( r s ) 12

3.2 r s λ dθ dλ = dφ dλ = 0 (3.20) (3.19) (6) dt ( dr = ± 1 r ) 1 s (r > r s ) (3.21) r t = r + r s ln r r s + constant (3.22) t = (r + r s ln r r s + constant) (3.23) (6) r = r 2 (> r s ) r = r 1 (< r 2 ) r1 ( t = 1 r ) 1 r2 ( s dr = 1 + r ) s/r dr r 2 r r 1 1 r s /r = r 2 r 1 + r s ln r 2 r s r 1 r s (3.24) (3.24) r 2 r s r s r 2 r = r s 3.3 (event horizon) 3.3 (3.19) r = r s (trθφ) t t t = t + r s ln(r r s ) (3.25) ( trθφ) (3.25) (3.23) d t dr t = r + constant (3.26) = 1 (3.27) 45 (3.25) d t = dt + 13 r s r r s dr (3.28)

(3.19) ( ds 2 = 1 2M ) d t 2 + 4M ( r r d tdr + 1 + 2M ) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (3.29) r (3.29) r = r s 3.4 r = r s r = 0 R µνλσ R µνλσ = 48M 2 r 6 (3.30) r = 0 1969 1992 ( [4]) 14

4 ( c G 1 ) Einstein Newton Newtonian Newton ( NewtonianPost-Newtonian ) 4.1 Newtonian 4.1.1 (Newton ) F Mm r F = G Mm r 2 r r (4.1) r d 2 x i dt 2 = N j i,1 j N m j (x j x i ) (x j x i ) 3 (4.2) N x j m j (4.2) (4.2) dx i dt dv i dt = v i (4.3) = N j i,1 j N m j (x j x i ) (x j x i ) 3 (4.4) G = c = 1L = 1.5 10 11 [m] = 1AU M = L c2 G 2.0 1038 [kg] (4.5) T = L c 0.5 103 [s] (4.6) 15

2.0 10 30 [kg] 1 31536000[s] 1 (4.5)(4.6) (2.0 10 30 [kg])/(2.0 10 38 [kg]) = 1.0 10 8 (4.7) (31536000[s])/(0.5 10 3 [s]) = 63072 (4.8) x = 1.0y = 0z = 0 t = 63072 3 ( 1) 3: (Newtonian) 1 1 p = N m i v i (4.9) i=1 N i=1 (%) = m iv i N i=1 m 100 (4.10) i v i 4.2 Post-Newtonian 4.2.1 Post-Newton Post-Newton v c ε (v/c) 2 1 1 g 00 = 1 + 2U (4.11) g ij = δ ij (i, j = 1, 2, 3) (4.12) 16

2 g 00 = 1 + 2U 2U 2 (4.13) g ij = (1 + 2U)δ ij (4.14) U = φ φ (3.16) 4.2.2 (t, x, y, z) 3 50 3 x y z x min x max 4.2.3 φ(x, y, z) = N i=1 M i (x xi ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2 (4.15) x i y i z i M i N (4.13)(4.14) g µν 4.2.4 txyz xyz x f(x, y, z) = f(x + x, y, z) f(x x, y, z) 2 x (4.16) x f(x min, y, z) = 2 x f(x min + x, y, z) x f(x min + 2 x, y, z) (4.17) x f(x max, y, z) = 2 x f(x max x, y, z) x f(x max 2 x, y, z) (4.18) 17

t = 0 0 t = t f(t) f(t t) t f(t) = (4.19) t t = 2 t 2 t f(t) = 3f(t) 4f(t t) + f(t 2 t) 2 t (4.20) 4.2.5 () d 2 x α dτ + dx µ dx ν 2 Γα µν dτ dτ = 0 (4.21) 8 (x p, y p, z p ) (x p, y p, z p ) 8 8 (x n, y n, z n )(x n + x, y n + y, z n + z) z 4 4 abcd a = x p x n (4.22) b = x a (4.23) c = y p y n (4.24) d = y c (4.25) Γ(x p, y p, z n ) ( Γ(x p, y p, z n ) = Γ(x, y, z n ) b x + Γ(x n + x, y n, z n ) a x + ) d y ( Γ(x n, y n + y, z n ) b x + Γ(x n + x, y n + y, z n ) a x ) c y (4.26) Γ(x p, y p, z n + z) ( Γ(x p, y p, z n + z) = Γ(x n, y n, z n + z) b x + Γ(x n + x, y n, z n + z) a ) d x y ( + Γ(x n, y n + y, z n + z) b x + Γ(x n + x, y n + y, z n + z) a ) c x y (4.27) 18

(4.26) (4.27) Γ(x p, y p, z p ) Γ(x p, y p, z p ) = Γ(x p, y p, z n ) z n + z z p z + Γ(x p, y p, z n + z) z p z n z (4.28) Γ(xn, y n+ y, zn) Γ(xn+ a, y n+ y, zn) Γ(xn+ x, y n+ y, zn) d (xp, y p, zn) c a b Γ(xn, y n, zn) Γ(xn+ a, y n, zn) Γ(xn+ x, y n, zn) 4: (z ) (4.21) 4 (4.21) dx α dt du α dt = u α (4.29) = Γ α µνu µ u ν (4.30) xyz u 1 u 2 u 3 xyz u 0 (4.31) u µ u µ = 1 (4.31) g 00 u 0 u 0 + g 11 u 1 u 1 + g 22 u 2 u 2 + g 33 u 3 u 3 = 1 (4.32) u 0 u 0 = 1 g 11 u 1 u 1 g 22 u 2 u 2 g 33 u 3 u 3 g 00 (4.33) Newtonian 5 ( 1) 19

5: (Post-Newtonian) 1 1 20

5 5.1 (event horizon) 3 (apparent horizon) 2 2 5.2 2 M v = 2M r (5.1) r (5.1) v v c 5.3 ds 2 = 0 τ λ d 2 x α dλ + dx µ dx ν 2 Γα µν dλ dλ = 0 (5.2) 21

(3.29) dθ = dφ = 0 (3.29) ( 1 2m r ) d t 2 + 4m ( r d tdr + 1 + 2m r ) dr 2 = 0 (5.3) (5.3) dλ 2 ( 1 2m r ) d t 2 dλ 2 + 4m r d t dr dλ dλ + ( 1 + 2m r ) dr 2 dλ 2 = 0 (5.4) d t dλ = u0 = 1 (5.4) dr dλ = u1 2 u 1 m = 1 6 6: 6 r = 2 r = 2 backward photon method( [5]) backward photon method backward photon method d t dλ = u0 = 1 7 22

7: backward photon method 7 forward time 6 backward photon method 23

6 6.1 1 t = 0 1 r = 1 2500 0 1 M = 0.00006 r = 2M r = 0.3 1 free-fall time free-fall time 0 t ff t ff = 3π 32Gρ (6.1) t ff 6.1.1 Newtonian 9 8 9 8 ( ρ 0 t = 0 ) 8: ( r = 0.06) 24

図 9: ニュートンの運動方程式を用いて時間発展したときの粒子のスナップショット (粒子分布を xy 座標に射影したもの) 25

10 t = 1.05t ff r = 0.2 r = 0.2 t ff 10: t = 1.05t ff 11 11: Newtonian 26

12 t = 1.05t ff r > 0.3 12: t = 1.05t ff ( r = 0.06) 27

6.1.2 Post-Newtonian 15 13 (x n, 0, 0) g xx 13 t = 1.05t ff t = 1.29t ff t = 1.29t ff 13: g xx t = 1.29t ff r = 0.3 ( 14) 14: t = 1.29t ff 28

図 15: 測地線方程式を用いて時間発展したときの粒子のスナップショット (粒子分布を xy 座標に射影したもの) 29

r = 0.3 t = 1.29t ff 16 backward photon method x = 0 backward photon method x = 1 x 16: 16 r = 0.3 backward photon method Post-Newton 17 t = 1.29t ff r > 0.3 18 t ff 30% Post-Newton Post-Newton 17: t = 1.29t ff ( r = 0.06) 18: 1 30

6.1.3 NewtonianPost-Newtonian 19 20 NewtonianPost-Newtonian 20 r = 0.3 Newtonian Post-Newtonian Post-Newtonian r = 0.1 20 Newtonian r = 0.3 Post-Newtonian r = 0.1 Newtonian 14 Post-Newtonian u 0 u 0 u 0 dt dτ dt u0 dτ 19: r 0.3 20: r 0.1 31

Post-Newtonian Post-Newton 21 21 x = 0.06 x = 0.125 v x v y v z ( (4.10)) 21: 21 free-fall time free-fall time Post-Newton Post-Newton 32

6.2 モデル 2 ドーナツ型分布 モデル 2 では図 2 のように粒子 2500 個をドーナツ型に分布させたものを時間発展させた 現 在 5 次元時空でのブラックリング解の存在が知られており 将来的にこのブラックリングの 性質を研究するために モデル 2 ではドーナツ型に分布した粒子を考えた このシミュレーションは 測地線方程式を用いたプログラムで時間発展を行い モデル 1 と 同様にブラックホール形成の判定を行う 粒子の質量はモデル 1 と同じ M = 0.00006 とし 粒 子の初速度は 0 とした まず始めに 総質量をドーナツ型の体積で割った密度を式 (6.1) に代入 し その free-fall time を tf f 0 とする 結果として 図 22 の粒子のスナップショットと 図 23 の座標 (xn, 0, 0) での計量 gxx を示す 図 22: ドーナツ型分布を時間発展したときの粒子のスナップショット (線状に崩壊するまで) 33

23: g xx () 22 t ff0 23 g xx 1 free-fall time t ff1 2 free-fall time t ff = t ff0 + t ff1 25 24 (x n, 0, 0) g xx 24: g xx () 34

図 25: ドーナツ型分布を時間発展したときの粒子のスナップショット (一点に崩壊するまで) 図 25 のスナップショットと 図 24 の計量 gxx のグラフからもわかるように 時刻 tf f 付近で原 点に粒子が集中していることがわかる また 図 26 は時刻 t = 1.06tf f での脱出速度を示して いるが r = 0.3 付近で脱出速度の値が大きくなっている 尚 モデル 2 の時間発展で 脱出速 度によるブラックホール形成の判定を行ったが 脱出速度が光速を超えることはなかった 図 26: t = 1.06tf f での脱出速度 35

27: 28: 27 2 t ff 30% 1 28 t ff t ff 0 t ff Post-Newton 36

7 2 Post-Newton 1 Post-Newton Post-Newton Post-Newton Post-Newton Post-Newton [1] (1996) [2] (2005) [3] Ray d InvernoIntroducing Einstein s RelativityClarendon Press(1992) [4] S. L. Shapiro and S. A. Teukolsky, Phys. Rev. Lett. 66, 994(1991) [5] Peter Anninos et al, Phys. Rev. Lett. 74, 630(1995) 37