第4章　熱力学

千 葉 大 学 工 学 部 機 械 工 学 科 担 当 者 武 居 昌 宏 熱 流 体 工 学 第 4 章 熱 力 学 参 考 図 書 熱 流 体 工 学 の 基 礎 井 口 学, 武 居 昌 宏, 松 井 剛 一 朝 倉 書 店, 8 ISBN 4543

4..7 エンタルピと 熱 力 学 第 一 法 則 のエンタルピ 表 現 エンタルピ H = E U + V [J] (4.7) 内 部 エネルギE U [J] 仕 事 ( 流 動 仕 事 )V [J] V: 体 積 [m 3 ] ( 流 動 仕 事 = 押 し 込 み 仕 事 = 排 除 仕 事 ) 比 エンタルピ 単 位 質 量 あたりのエンタルピ h H m e U [J/kg] (4.8) : 比 体 積 [m 3 /kg], m: 流 体 の 質 量 [kg] 閉 じた 系 の 熱 力 学 第 一 法 則 q = e U + [J/kg] (4.6) q: 単 位 質 量 あたりの 熱 量 [J/kg] (4.8) 式 より e U = h () 熱 力 学 第 一 法 則 のエンタルピ 表 現 q = h [J/kg] (4.)

閉 じた 系 のポリトロープ 変 化 n = 一 定 n:ポリトロープ 指 数 q = e U + [J/kg] (4.6) q = h [J/kg] (4.) = w : 絶 対 仕 事 等 温 変 化 が 一 定 n= = 一 定 すべての 熱 量 が 仕 事 に 変 換 e U = q = w [J/kg] 等 圧 変 化 n= = 一 定 熱 量 は 内 部 エネルギと 仕 事 に 変 換 q e U q 等 容 変 化 n= が 一 定 /が 一 定 熱 量 が 内 部 エネルギに 変 換 = 断 熱 変 化 n = 熱 量 が q = [J/kg] e U = - : 比 熱 比 あとで 説 明 q = e U [J/kg]

4... 一 般 エネルギ 方 程 式 ( 開 いた 系 の 熱 力 学 第 一 法 則 ) h: 比 エンタルピ[J/kg] : 流 速 [m/s] m Q : 質 量 流 量 [kg/s] z: 高 さ [m] Q: 外 部 から 熱 流 束 [J/s]=[W] Q=m Q q q: 単 位 質 量 あたりの 熱 量 [J/kg] 工 業 仕 事 率 W t = [J/s] 断 面 ⅠとⅡでm Q 一 定 = 質 量 保 存 ⅠとⅡでhとは 異 なる 単 位 時 間 あたり のエネルギ 保 存 則 を 考 える 単 位 質 量 あたり のエネルギ 質 量 流 量 [J/kg][kg/s] =[J/s]=[W] 仕 事 率 Ⅰ m Q h z Q 図 4. 定 常 流 動 系 z タービン W t Ⅱ m Q h

エネルギとエネルギ 流 束 (Flx) 流 れ 流 束 [s - ] (Flx) 流 束 密 度 [m - s - ] (Flx ensity) 運 動 量 [kg m s - ] 運 動 量 流 束 [N] 運 動 量 流 束 密 度 [Pa] 質 量 [kg] 質 量 流 量 [kg s - ] 質 量 流 束 密 度 [kg m - s - ] 体 積 [m 3 ] 体 積 流 量 [m 3 s - ] 速 度 分 布 [m s - ] エネルギ[J] エネルギ 流 束 [W] エネルギ 流 束 密 度 [W m - ] 仕 事 [J] 仕 事 率 [W] 面 積 当 た り の 仕 事 率 [W m - ] 熱 [J] 熱 流 束 [W] 熱 流 束 密 度 [W m - ] 電 荷 [C] 電 流 [] 電 流 密 度 [ m - ]

絶 対 仕 事 と 工 業 仕 事 流 動 仕 事 w [J/kg] 流 動 仕 事 w t [J/kg]

流 入 と 流 出 したエネルギ 流 束 Ⅰ 流 入 したエネルギ 流 束 [J/s]=[W] 内 部 エネルギ 流 m Q e U 束 運 動 エネルギ 流 束 位 置 エネルギ 流 m Q 束 流 動 仕 事 率 Ⅱ 流 出 したエネルギ 流 束 [J/s]=[W] 内 部 エネルギ 流 m Q e U 束 運 動 エネルギ 流 m Q 束 位 置 エネルギ 流 束 m Q gz 流 動 仕 事 率 m Q m Q gz m Q 外 部 から 流 入 した 熱 流 束 Q 外 部 になした 工 業 仕 事 率 W t

定 常 流 開 いた 系 の 熱 力 学 第 一 法 則 ( 一 般 エネルギ 方 程 式 ) q h h gz z wt [J/kg] (4.3) 内 部 エネルギと 流 動 仕 事 はエンタルピhでまとめた 質 量 流 量 で 割 って 単 位 質 量 あたりのエネルギ[J/kg] 微 分 公 式 ( /)= より q = h + + g z + w t (4.3) 水 平 管 路 (z = z ) q h h wt (4.3) z = z でかつ = のとき q h h wt (4.33) 流 入 した 熱 量 qは エンタルピと 工 業 仕 事 の 増 加 となる q (4.34) 式 (4.33)は w t h h 工 業 仕 事 w t は 流 入 熱 量 qからエンタルピを 消 費 してなされる

外 部 とエネルギの 出 入 りがない(q = w t = )とき 式 (4.3)は h h [J/kg] (4.34) 比 エンタルピと 運 動 エネルギの 和 が 断 面 ⅠとⅡ 間 で 保 存 Ⅰ m Q h Q タービン W t z z Ⅱ m Q h 図 4. 定 常 流 動 系

4.. 定 積 比 熱 と 定 圧 比 熱 比 熱 単 位 質 量 の 温 度 を[K] 上 げるのに 必 要 な 熱 量 定 積 比 熱 容 積 一 定 (V = )で 加 熱 q (4.36) e U 熱 量 の 変 化 はすべて 気 体 の 内 部 エネルギの 変 化 となる 定 圧 比 熱 圧 力 を 一 定 とし 加 熱 ( = ) q = e U + (4.37) q = h (4.38) 圧 力 一 定 時 の 熱 量 の 変 化 はすべてエンタルピの 変 化 となる 定 積 比 熱 と 定 圧 比 熱 の 定 義 より 式 (4.36)と 式 (4.38)は q eu [J/kg K] (4.39) 単 位 注 意 定 積 モル 比 熱 C q h [J/kg K] (4.4) 定 圧 モル 比 熱 C [J/mol K]

式 (4.4)と 式 (4.39)より h eu (4.4) 理 想 気 体 の 状 態 式 の 微 分 表 現 は () = + =R (4.4) 式 (4.4)を 式 (4.4)に 代 入 すると マイヤーの 法 則 R [J/kg K] (4.43) 定 圧 比 熱 と 定 積 比 熱 の 比 熱 比 : 分 子 数 に 依 存 する 値 式 (4.43)と 式 (4.44)より R R (4.45) (4.44) (4.46)

表 5 における 気 体 の 定 圧 定 積 比 熱 比 熱 比 法 則 性 はある? 原 子 数 気 体 分 子 量 比 熱 容 量 [J/kg K] 定 圧 比 熱 定 積 比 熱 / 比 熱 比 He 4 59 36.66 O 3 9 659.4 3 以 上 CO 44 844 655.9 NH 3 7 5 57.3 CH 4 6 8 7.3 理 想 気 体 の 状 態 式 : [kg]につき =R, [mol]につき V=R 一 般 気 体 定 数 R=8.34 [J/mol K] 気 体 定 数 R=R/ n[mol]= 気 体 質 量 m[kg]/ 分 子 量 分 子 量 の 気 体 [g]=[mol]

比 熱 比 の 法 則 性 エネルギー 等 分 配 の 法 則 分 子 の 自 由 度 に 分 配 されるエネルギ k B / k B :ボルツマン 定 数 k B =R /N (=.38-3 [J/K]) N :アボガドロ 数 (=6.7 3 ) R : 一 般 気 体 定 数 [J/mol K] 自 由 度 fと 比 熱 比 e U = fr/ = f R/ = +R = / = (f+)/f 比 熱 比 の 値 単 原 子 分 子 (He,r) f = 3 =.67 原 子 分 子 (NO,O,N ) f =5 =.4 3 原 子 分 子 (H O,CO ) f = 6 =.33 分 配 されるエネルギE k と 温 度 の 関 係 単 原 子 分 子 f =3 3 Ek kb 原 子 分 子 f =5 5 Ek kb 3 原 子 分 子 f =6 E k 3 k B

等 エントロピ 過 程 ( 等 エントロピ 流 れ)( 可 逆 断 熱 過 程 )# エントロピ: S =Q/ [J/(kgK)] Q = e U +, = ρr (-) S= /+ρr(/ρ)= / R/ρ ρ= / ( )ρ/ρ 積 分 して で 割 る(C は 積 分 定 数 ) S/ = ln ( )lnρ +C/ = ln(/ρ ) + C/ (-) 一 様 流 でも 成 立 するので 一 様 流 での 値 を 代 入 S / = ln( /ρ ) + C (-3) 式 (-) から 式 (-) を 引 くとエントロピ 一 様 流 からの 変 化 は (S S )/ = ln( /ρ ρ / ) (-4) と は 温 度 の 関 数 エントロピは 温 度 エントロピ 線 図 から 求 める Δ = RΔρ + RρΔ (-5) Δ/ = Δρ/ρ+Δ/ (-6) S/ =/ ( )ρ/ρ (-7) 式 (-7)に 式 (-6)を 代 入 S/ = / ρ/ρ (-8) S/ = ln lnρ + C = ln(/ρ ) + C (-9) (-)の 微 小 変 化 式 (-) で 割 った 式 (-)を で 割 った 積 分 すると (-)

等 エントロピ 過 程 ( 等 エントロピ 流 れ)( 可 逆 断 熱 過 程 )# 数 関 数 で 表 すと ex(s/ C) = ex( C) ex(s/ ) = /ρ (-) ex( C)=Cと 置 くと /ρ = C ex(s/ ) (-) ントロピ 一 定 S = onstなので 式 (-)より /ρ = onst (-) 態 式 を 代 入 エントロピ 一 定 の とρ の 関 係 と の 関 係 /ρ = onst, / ( )/ = onst (-3) 等 エントロピ 過 程 ではない 流 れ 流 れ 場 に 摩 擦 や 衝 撃 波 が 存 在 するとエントロピが 変 化 変 化 前 のS, ρ, 変 化 後 のS, ρ, 式 (-)と 式 (-6)から S S = ln / Rln / = ln / Rlnρ /ρ (-4) 等 エントロピ 過 程 式 (-4) において S = S とおけば / = (ρ /ρ ) / = (ρ /ρ ) = ( / ) ( )/ (-5)

4.. 音 速 とマッハ 数 音 速 a : 圧 縮 性 の 気 体 中 を 微 小 な 圧 力 変 動 が 伝 わる 速 度 a s (4.48) sは 偏 微 分 のとき 等 エントロピ 過 程 の 意 味 等 エントロピ 過 程 ( 可 逆 断 熱 過 程 :ポアソンの 法 則 = 一 定 ) 気 体 と 周 囲 との 間 に 熱 交 換 がなく 内 部 熱 発 生 のない 過 程 ポアソンの 法 則 ρ - = C( 一 定 )から を 求 めて 上 式 に 代 入 C C a R [m/s](4.49) = 音 速 は 比 熱 比 圧 力 密 度 ρ 気 体 温 度 の 関 数 q = h - = よりh = および ρ = なので 式 (4.48)は h a (4.47) h: 比 エンタルピ ρ: 気 体 密 度

マッハ 数 : [-] (4.5) R a 亜 音 速 流 れ< 超 音 速 流 れ> 遷 音 速 流 れ 中 間 領 域 なぜヘリウムガスで 声 を 出 すとドナルドダックの 声 になる? 式 (4.49)より 大 きな 比 熱 比 の 気 体 音 速 a が 速 い 周 波 数 fが 高 い 空 気 中 の 音 速 a air = 34m/s ヘリウム 中 の 音 速 a helim = m/s htt://blog.jami-r.om/?ei=8564

音 速 式 の 導 出 圧 縮 波 後 の 速 度 進 行 方 向 と 同 (<) 圧 縮 波 後 では> ρ> > 膨 張 波 の 場 合 すべて 逆 波 面 を 含 む 領 域 で 運 動 量 変 化 = 力 積 (+) = (ρ a )( a +) (ρ a ) a = ρ a 波 面 上 の 質 量 保 存 ρ a = (ρ + ρ)( a + ) 次 微 小 量 を 無 視 = a ρ ρ を 消 去 a = /ρ a s 圧 縮 波 前 圧 力 波 速 度 = 圧 力 密 度 ρ 温 度 圧 力 波 は 静 止 速 度 = a 圧 力 密 度 ρ 温 度 圧 縮 波 後 速 度 圧 力 + 密 度 ρ+ρ 温 度 + 微 小 圧 力 波 の 伝 播 ( 外 の 系 ) 圧 縮 波 を 静 止 させて 考 え る 圧 縮 波 面 前 後 の 流 れ に 音 速 a を 圧 縮 波 進 行 方 向 と 逆 方 向 に 加 える 速 度 = a + 圧 力 + 密 度 ρ+ρ 温 度 + 圧 力 波 の 上 からの 慣 性 系 x

断 熱 変 化 (q = ) 外 部 仕 事 なし(w t = ) 位 置 エネルギ 差 な し(z = z )の 一 般 エネルギ 式 h h h [J/kg] (4.5) h : 全 エンタルピ h h = ( ) (4.5) : 全 温 度 : 静 温 度 : 動 温 度 (4.53) 動 温 度 ををマッハ 数 をとRで 表 すと R R (4.54) (4.54)を 式 (4.53)に 代 入 して 全 温 度 をで 表 すと (4.55) 4... 全 エンタルピ(よどみ 点 エンタルピ) と.3. 全 温 度

4..4. 全 圧 力 等 エントロピ 過 程 = と 状 態 式 より (4.57) 式 (4.57)を 式 (4.55)に 代 入 すると 全 圧 力 は (4.58) を 式 (4.5)で 表 し 状 態 式 を 用 いると 全 圧 力 は (4.59) 全 温 度 の 式 (4.55) R a (4.5)

管 路 内 の 断 熱 流 れの 産 業 的 な 応 用 ロケットの 推 進 力 は? 運 動 量 保 存 則 F m Q ( ) F : 推 進 力 [N] m Q : 質 量 流 量 [kg/s] :ロケットの 速 度 [m/s] : 流 体 の 排 出 速 度 [m/s] を 大 きくするには? F m Q htts://www.takagi.o.j/ htts://ja.wikieia.org/wiki

4..5. 円 管 路 内 の 断 熱 流 れ 等 エントロピ 流 れにおいて 断 面 Ⅱの 温 度 および 断 面 ⅠⅡ 間 の 圧 力 損 失 Δを 求 める 温 度 を 求 める 状 態 式 より h h R に 注 目 して (4.6) h (4.6) R h h R h Δh = Δ I l Δ? (4.5) (4.6) II? h

断 面 ⅠⅡ 間 の 圧 力 損 失 Δを 求 める ⅠⅡ 間 連 続 式 : m Q 状 態 式 : R R 圧 力 降 下 Δは に 注 目 (4.63) (4.64) と 断 面 ⅠとⅡの 温 度 比 と 速 度 比 で 表 すことができる

ρ/ρでくくった 4..6. 管 路 断 面 積 変 化 と 状 態 量 連 続 式 の 微 分 表 現 : (ρ) = ρ + ρ + ρ = (4.66) (4.67) (4.69) ρ q = w t = の 一 般 エネルギ 方 程 式 : h + = q = h = hを 消 却 h = I (4.65) 音 速 の 定 義 a 管 路 断 面 積 変 化 と 密 度 + ρ+ρ + + + II (4.68)

管 路 断 面 積 の 変 化 と 速 度 との 関 係 (4.7) 3 管 路 断 面 積 の 変 化 と 圧 力 との 関 係 (4.7) (4.7) 連 続 式 の 微 分 表 現 : (4.69) (4.66) ユゴニオの 式 : R a R R 音 速 の 式 状 態 式

- ρ=r - (4.73) 4 管 路 断 面 積 の 変 化 と 温 度 との 関 係 状 態 式 の 微 分 表 現 : - - ρ + - ρ + - ρ = ( - ρ) = (4.69) (4.7)

5 管 路 断 面 積 の 変 化 とマッハ 数 との 関 係 R (4.74) (4.75) Rを 定 数 として 微 分 を 計 算 R (4.5) マッハ 数 : / =/ (4.73) (4.7)

4.3 管 路 断 面 積 変 化 率 と 物 理 量 の 変 化 その 流 路 先 細 管 路 末 広 管 路 流 路 形 状 マッハ 数 < > < > 密 度 変 化 流 速 変 化

表 4.3 管 路 断 面 積 変 化 率 と 物 理 量 の 変 化 その 圧 力 変 化 温 度 変 化 ) ( マッハ 数 変 化 流 路 先 細 管 路 末 広 管 路 流 路 形 状 マッハ 数 < > < >

表 4.4 先 細 末 広 管 路 内 の 圧 力 と 流 速 の 関 係 流 路 先 細 管 路 末 広 管 路 流 路 形 状 管 路 内 の 圧 力 流 速 分 布 < > 入 口 出 口 入 口 V 出 口 入 口 出 口 入 口 出 口

4.3. ノズルとディフューザ ノズル:て 圧 力 エネルギを 運 動 エ ルギに 変 換 ディフューザ: 運 動 エネルギを 圧 エネルギに 変 換 ラバルノズル 速 以 上 の 速 度 を 得 るため は()の 亜 音 速 ノズルの 後 に 拡 がり 部 分 をもつ 超 音 速 ズル( 末 広 管 路 )を 設 ける htt://www.sanwaent.o.j/sanwahs/n ozle/nozlejet.htm シェブロンノズル htt://www.geoities.o.j/otorcity- Rally/47/sheb/inex.html () 亜 音 速 ノズル 超 音 速 ディフューザ (B) 亜 音 速 ディフューザ 超 音 速 ノズル 亜 音 速 スロート (のど) 部 超 音 速

4.3. ノズル 噴 出 速 度 一 般 エネルギ 方 程 式 q h h g z q = w t = z = z h h (4.76) z wt (4.3) ρ h ρ I II h ノズル 噴 出 速 度 は h h (4.77) に 比 べて は 十 分 に 小 さい = と 仮 定 すると h h (4.78) 等 エントロピ 変 化 のノズル 噴 出 速 度 は 比 エンタルピの 変 化 の 関 数

h h h R (4.8) ノズル 噴 出 速 度 は で 表 される ポアソンの 法 則 より [m/s] 積 分 領 域 を 逆 に したのでマイナス q = h (4.) h= 等 エントロピ 過 程 h h (4.78) 熱 力 第 法 則 比 エンタルピ 表 現

式 (4.8)に 代 入 すると (4.8) 等 エントロピ 過 程 ポアソンの 法 則 より 式 (4.4)のΔh= Δより h h を 使 って 元 の 式 (4.78)に 戻 った!! 式 (4.8)から 余 談 R さらに 式 (4.46) を 代 入 R R

ノズルの 速 度 係 数 ζと ノズル 効 率 η 実 際 には 摩 擦 作 用 により ノズル 噴 出 速 度 は よりも 小 さ い この 噴 出 速 度 が 小 さくなる 割 合 は ' (4.79) ζ: ノズルの 速 度 係 数.95~.98 程 度 また 摩 擦 作 用 によってエネルギが 小 さくなる 割 合 η(ノズル 効 率 )は 式 (4.78)から h h h h h h h ' ' h (4.8)

余 談 絶 対 仕 事 と 工 業 仕 事 等 エントロピ 過 程 での 絶 対 仕 事 ( 密 閉 系 仕 事 )wと 工 業 仕 事 ( 開 放 系 仕 事 )w*は w = Δe U = w = Δh = [J/kg] 絶 対 仕 事 は で 工 業 仕 事 は で 書 けることを 証 明 する 等 エントロピ 過 程 絶 対 仕 事 w = = C を 消 去 w = C = C = C = C w = = Cを 消 去 w = R = = R, = R

工 業 仕 事 w* w = = C, = C w = = R = 工 業 仕 事 w*と 絶 対 仕 事 wとの 関 係 w = w 熱 力 学 第 法 則 から q = e U +, q = h において 可 逆 断 熱 過 程 の 条 件 q = を 代 入 すると W = = W = ( ) = e U h = = e U e U h h 可 逆 断 熱 過 程 では 気 体 が 絶 対 仕 事 wをすると 相 当 するだ けの 内 部 エネルギが 消 費 され また 工 業 仕 事 w*をすると 相 当 するだけのエンタルピが 消 費 される

4.3.3 ノズル 噴 出 流 量 ポアソンの 法 則 (4.83) ノズル 出 口 の 比 流 量 : 単 位 断 面 積 を 単 位 時 間 に 通 過 する 流 量 m Q (4.84) 質 量 流 量 [kg/s] m Q (4.8) m Q [kg/(sm )] (4.85) 比 流 量 をψで 表 すと m Q (4.86) ψ( 流 量 関 数 プサイ) が 一 定 圧 力 比 のみの 関 数

4.3.4 臨 界 状 態 の 流 れ a. 臨 界 圧 力 臨 界 密 度 臨 界 温 度 (/)=と(/)= のとき 比 流 量 (/) =~に 比 流 量 極 大 の 圧 力 比 が 存 在 この 極 大 条 件 は に 注 目 して (4.87) 式 (4.87)を(/)で 微 分 すると (4.88) m Q (4.84) ここが の 圧 力 を いくらあげて も に 臨 界 値 がある

式 (4.88) がより (4.89) に 依 存 する = とおけば 臨 界 圧 力 比 : (4.9) 臨 界 状 態 :ノズル 出 口 の 比 流 量 が 極 大 臨 界 圧 力 :スロート 部 の 圧 力 で ノ ズル 入 口 圧 力 と 気 体 の 比 熱 比 だけ 比 熱 比 が 変 化 してもあまり 変 化 せず.533~.58 閉 塞 (チョーク): 臨 界 状 態 のとき 下 流 の 背 圧 b を 下 げてもノズル 出 口 圧 力 は 一 定 で 流 量 は 変 化 しない

(4.93) さらに 臨 界 温 度 は 式 (4.9)と 式 (4.9)から (4.9) ポアソンの 法 則 より 臨 界 密 度 ( 臨 界 比 体 積 )と 臨 界 温 度 (4.9)

b. 臨 界 速 度 (4.94) 臨 界 速 度 を と で 表 した 式 (4.95) 臨 界 状 態 の 比 容 積 (4.96) (4.97) (4.8) ノズル 噴 出 速 度 式 (4.9) 臨 界 圧 力 式 ) ( (4.98) = =

=R の 状 態 式 より R (4.99) (4.) =のとき 速 度 増 加 率 / は 最 大 値 を 示 す (4.) (4.98) ノズルの 臨 界 速 度 は 音 速 に 等 しい (4.8) (4.94) 速 度 増 加 率 :ノズル 噴 出 速 度 と 臨 界 速 度 との 比

. 臨 界 流 量 臨 界 質 量 流 量 m Q 比 流 量 : Q m (4.) と を と で 表 す m Q (4.3) R 臨 界 比 流 量 m Q / は 比 熱 比 とノズル 入 口 の と のみに より 決 まる また 最 終 項 は =R より m Q を およ び で 表 した = =/ (4.98) (4.9) (4.9)

臨 界 状 態 の 流 量 関 数 は 式 (4.85)に 式 (4.95)を 代 入 して (4.4) 式 (4.3)の 臨 界 質 量 流 量 m Q と 式 (4.84)の 質 量 流 量 m Q を 等 しいとおくと (4.5) 末 広 比 / : 臨 界 流 量 を 示 すときのスロート 部 断 面 積 に 対 する 出 口 断 面 積 の 比 (4.95) 末 広 比 / :

音 響 インピーダンス 平 面 波 の 運 動 方 圧 縮 率 βの 定 義 程 式 は () t x x (B) t x x x ( x, t) sin( t kx) Δ による 体 積 変 化 率 ξ: 流 体 粒 子 の 変 位 [m] Δ: 圧 力 変 化 ( 音 圧 ) β: 気 体 圧 縮 率 [/Pa] : 比 体 積 [m 3 /kg] k ω=πf: 角 振 動 数 f a k k k=π/λ: 波 数 a f : 振 動 数 [Hz] λ: 波 長 [m] a 音 響 インピーダンスZ f : 流 体 粒 子 速 度 [m/s] 音 圧 ( 定 常 圧 力 からの 音 波 による 流 体 圧 力 変 動 )に 対 する 流 体 粒 子 速 度 の 比 (B) 式 より Z k os( t kx) (+Δ) f os( t kx) f a t Z : 音 響 インピーダンス Z S a Z s : 比 音 響 ( 音 響 特 性 )インピーダンス x 振 動 面 媒 質 ρ[kg/m 3 ] a [m/s] Z S [kg/m s] 空 気.9 33 48 水 3 45.5 6 x ξ htt://www.sonenironment.j/ y x+x (+Δ+) ξ+ξ x+ξ x

音 圧 の 波 動 方 程 式 運 動 方 程 式 ()は t f t t f t x x t t x xで 微 分 a x x () Δをとおいて x 圧 縮 率 βの 定 義 から 式 (B) t x tで 微 分 (B) f xt x tで 微 分 左 辺 右 辺 入 れ 替 え f t x t (+Δ) x ξ x+x (+Δ+) ξ+ξ x+ξ ξ: 流 体 粒 子 の 変 位 [m] Δ: 圧 力 変 化 ( 音 圧 ) β: 気 体 圧 縮 率 [/Pa] : 比 体 積 [m 3 /kg] ω=πf: 角 振 動 数 k=π/λ: 波 数 f : 振 動 数 [Hz] λ: 波 長 [m] f : 流 体 粒 子 速 度 [m/s]

4.3.5 背 圧 変 化 による 先 細 ノズルの 流 速 流 量 変 化 その ()ノズル 背 圧 が 臨 界 圧 力 より 高 い( b > の 場 合 : ) ノズル 背 圧 b を 入 口 圧 力 ( 状 態 )から 減 少 させていくと ノズル 出 口 圧 力 は = b の 関 係 を 保 ちながら 減 少 し ノズ ル 出 口 の 流 出 速 度 ノズル 出 口 の 質 量 流 量 m Q は 増 加 b / / x x b 3 / b / (a)ノズル 内 圧 力 変 化 (b) 流 速 と 流 量 変 化 図 4.5 先 細 ノズル 内 の 圧 力 流 速 流 量 は 超 えない 3

/ b / / x x b 3 / 3 5 b / / (a)ノズル 内 圧 力 変 化 ()ノズル 出 口 圧 力 図 4.5 先 細 ノズル 内 の 圧 力 流 速 流 量

4.3.5 背 圧 変 化 による 先 細 ノズルの 流 速 流 量 変 化 その ()ノズル 背 圧 が 臨 界 圧 力 と 等 しい 場 合 ( b = の 場 合 :) 背 圧 b がノズルの 臨 界 圧 力 と 等 しくなると = の 臨 界 速 度 になり ノズルの 質 量 流 量 m Q は 最 大 となる b / / x x b 3 / b / (a)ノズル 内 圧 力 変 化 (b) 流 速 と 流 量 変 化 図 4.5 先 細 ノズル 内 の 圧 力 流 速 流 量 m Q 3

4.3.5 背 圧 変 化 による 先 細 ノズルの 流 速 流 量 変 化 その3 (3)ノズル 背 圧 が 臨 界 圧 力 より 低 い( b < の 場 合 : 3) b を より 低 くしても 音 速 以 上 にはならず ノズル 出 口 圧 力 流 速 および 流 量 は 一 定 ノズル 内 で 臨 界 圧 力 になった 流 れは 噴 出 後 圧 力 変 動 を 繰 り 返 して 膨 張 し 噴 出 後 の 流 れは 安 定 しない b / / x x b 3 / b / (a)ノズル 内 圧 力 変 化 (b) 流 速 と 流 量 変 化 図 4.5 先 細 ノズル 内 の 圧 力 流 速 流 量 m Q 3

4.3.6 背 圧 変 化 による 末 広 ノズルの 圧 力 変 化 その () ノズル 背 圧 が 臨 界 圧 力 より 高 い ( b > 曲 線 ) 亜 音 速 流 れ :スロート 部 まで 減 少 : 末 広 部 では 上 昇 :スロート 部 まで 上 昇 : 末 広 部 では 減 少 スロート 部 図 4.6 末 広 ノズル 内 の 流 れと 背 圧 の 関 係 x b > 3 4 6 5 4,5, 6 3 x

4.3.6 背 圧 変 化 による 末 広 ノズルの 圧 力 変 化 その ()ノズル 背 圧 が 臨 界 圧 力 と 等 しい 場 合 ( b = 曲 線 ) スロート 部 で 臨 界 状 態 スロート 部 は 音 速 末 広 部 では 亜 音 速 圧 力 は 上 昇 :スロート 部 で : 末 広 部 で 減 少 スロート 部 図 4.6 末 広 ノズル 内 の 流 れと 背 圧 の 関 係 x b = 3 4 6 5 4,5, 6 3 x

4.3.6 背 圧 変 化 による 末 広 ノズルの 圧 力 変 化 その3 (3) ノズル 背 圧 が 臨 界 圧 力 よりも 多 少 低 い 場 合 ( > b > f 曲 線 3と スロート 部 4) f : 超 音 速 等 エントロ ピ 流 れの 背 圧 過 膨 張 :ノズル 内 や 出 口 の 衝 3 撃 波 により 圧 力 上 昇 : 末 広 部 で 上 昇 x :ノズル 内 で 衝 撃 波 が 生 じたところで 急 激 減 少 > b > f 図 4.6 末 広 ノズル 内 の 流 れと 背 圧 の 関 係 3 4 6 5 5,6 4 3 x

4.3.6 背 圧 変 化 による 末 広 ノズルの 圧 力 変 化 その4 (4) ノズル 背 圧 が 十 分 低 い 場 合 ( b = f 曲 線 スロート 部 5) 背 圧 b が 十 分 低 く b = f のとき 衝 撃 波 はノズル 内 外 で 生 じることはなく 末 広 3 部 で 適 正 に 膨 張 し 圧 力 は 減 少 する x マッハ 数 は 上 昇 し 理 想 的 な 超 音 速 流 れ b = f 3 x 図 4.6 末 広 ノズル 内 の 流 れと 背 圧 の 関 係 4 6 5 5, 6

4.3.6 背 圧 変 化 による 末 広 ノズルの 圧 力 変 化 その5 (5) ノズル 背 圧 が 極 端 に 低 い 場 合 ( f > b 曲 線 6) ノズル 出 口 圧 力 より 背 圧 b が 低 いのでノズル 内 の 流 れは 不 足 膨 張 ノズル 出 口 下 流 で 膨 張 波 が 発 生 圧 力 は 背 圧 b まで 低 下 スロート 部 f > b 4 5 6 x 4,5 6 3 x 図 4.6 末 広 ノズル 内 の 流 れと 背 圧 の 関 係 3

衝 撃 波 超 音 速 流 中 圧 力 伝 搬 速 度 よりも 気 流 速 度 の 方 が 速 い 状 態 変 化 が 不 連 続 に 生 じる 波 航 走 波 衝 撃 波 上 流 側 下 流 側 速 度 衝 撃 波 速 度 マッハ 数 マッハ 数 圧 力 圧 力 密 度 ρ 密 度 ρ htt://yyama55.ex htts://ja.wikieia.org/ blog.j/i/etail/ine wiki/%e8%%9d%e6% 温 度 温 度 x.as?s=38596&i 9%83%E6%B3% =/9/54/ 3554_673.gif エンタルピーh エンタルピーh 衝 撃 波 の 上 流 と 下 流 との 間 の 保 存 則 量 保 存 : 運 動 量 保 存 : エネルギー 保 存 : h h h 比 エンタルピー 衝 撃 波 前 後 の 全 温 度 は 一 定 (4.5)

運 動 量 の 保 存 流 束 (Flx)の 例 流 れ 流 束 [s - ] 流 束 密 度 [m - s - ] (Flx) (Flx ensity) 運 動 量 [kg m s - ] 運 動 量 流 束 [N] 運 動 量 流 束 密 度 [Pa] 質 量 [kg] 質 量 流 量 [kg s - ] 質 量 流 束 密 度 [kg m - s - ] 体 積 [m3] 体 積 流 量 [m 3 s - ] 速 度 分 布 [m s - ] エネルギー[J] エネルギー 流 束 [W] エネルギー 流 束 密 度 [W m - ] 熱 [J] 熱 流 束 [W] 熱 流 束 密 度 [W m - ] 電 荷 [C] 電 流 [] 電 流 密 度 [ m - ] 流 体 の 運 動 量 流 束 om D 3 D 4 D 4 単 位 体 積 あたりの 運 動 量 [kg/m 3 ][m/s] [N] 3 D D 検 査 領 域 体 積 4 流 体 の 検 査 領 域 通 過 時 間 で 割 る[/s] D

一 方 質 量 保 存 (B.) 式 から 速 度 をマッハ 数 を 用 いて 表 すと R R R R (B.4) 衝 撃 波 前 後 の 密 度 比 は (B.5)と(B.6)より (B.7) R R (B.8) (B.5) (B.6) 温 度 比 密 度 比 ( 質 量 保 存 式 バージョン) 圧 力 比 をで 表 す 式 (4.5) 全 温 度 に 式 (4.54) 動 温 度 を 代 入 衝 撃 波 前 後 の 静 温 度 比 は 衝 撃 波 前 後 の 圧 力 比 は 静 温 度 比 密 度 比 を 用 いて

圧 力 比 を と で 表 す( 運 動 量 保 存 式 バージョン) また 式 (B.6)より R 式 (B.9)を 式 (B.)の 運 動 量 保 存 式 に 代 入 すると 圧 力 比 は を で 表 す 二 つの 圧 力 比 式 (B.)と 式 (B.8)とを 等 値 (B.) 下 流 のマッハ 数 を 上 流 のマッハ 数 で 表 せる (B.9) (B.) このマッハ 数 を 温 度 比 (B.4) 式 密 度 比 (B.7) 式 圧 力 比 (B.8) 式 に 代 入 すれば 衝 撃 波 をよぎる 気 体 の 状 態 変 化 は 上 流 のマッハ 数 で 表 すことができる

(B.) 衝 撃 波 による 気 体 の 比 容 積 ( 密 度 )の 変 化 は 衝 撃 波 前 後 の 圧 力 比 によって 決 まるので 圧 力 比 が 衝 撃 波 の 強 さ を 表 す (B.3) 圧 力 比 を 上 流 のマッハ 数 で 表 す 密 度 比 を 上 流 のマッハ 数 で 表 す ランキン ユゴニオ(Rankine-Hgoniot)の 式 (B.7) (B.) (B.8) (B.)