第 章 金 属 の 塑 性 力 学. 塑 性 変 形 とひずみ 増 分 弾 性 範 囲 内 では 外 力 に 伴 う 変 形 は 外 力 値 だけに 依 存 し 載 荷 の 履 歴 には 無 関 係 であるが 降 伏 応 力 と 呼 ば れる 応 力 を 越 えて 載 荷 すると 非 可 逆 的 な 永 久 変 形 と して 塑 性 変 形 が 残 る 材 料 の 塑 性 挙 動 を 調 べるに は 引 張 (または 圧 縮 試 験 を 行 って 応 力 ~ひずみ 曲 線 を 求 める( 図 -. 図 で 点 Rは 比 例 限 界 であ り この 間 では 応 力 ~ひずみ 関 係 は 直 線 的 である R を 越 えて 応 力 を 増 すと 直 線 から 離 れるが 点 Aまでは 除 荷 により 永 久 変 形 は 生 じない 点 Aを 降 伏 点 その 時 の 応 力 を 降 伏 応 力 と 呼 ぶ 点 Bで 除 荷 する とやや 上 に 凹 の 曲 線 を 描 いて 点 Cに 至 り 永 久 ( 塑 性 ひずみ が 残 る と 同 時 に の 弾 性 回 復 ひずみ も 生 じる 再 載 荷 を 行 うと やや 上 に 凸 な 曲 線 を 経 て 点 B 付 近 に 戻 り その 後 は 除 荷 前 の 応 力 ~ひずみ 曲 線 を 延 長 した 曲 線 上 をたどる 除 荷 再 載 荷 曲 線 の 平 均 C A R B 図 -. 応 力 ~ひずみ 曲 線 勾 配 はヤング 率 にほぼ 等 しく 図 から 再 載 荷 時 には 点 Bまで 降 伏 点 が 増 大 したことを 意 味 する すなわち 材 料 は 塑 性 ひずみの 進 行 とともに 降 伏 応 力 が 増 し ひずみ 硬 化 を 示 す 図 では 点 Dから 除 荷 更 に 応 力 の 向 きを 逆 転 して 圧 縮 を 行 う 過 程 を 示 している 一 般 に 金 属 が 引 張 られる D A (a 剛 塑 性 B (b 弾 完 全 塑 性 A B スライド f スライド バネ f A (c 硬 化 性 剛 塑 性 H B (d 硬 化 性 弾 塑 性 A H B H スライド バネ f H バネ スライド f バネ 図 -. 単 純 化 された 応 力 ~ひずみ 曲 線 -latic.-
と 結 晶 軸 が 負 荷 方 向 に 回 転 して 選 択 方 位 を 生 じるので 負 荷 前 には 等 方 性 ( 結 晶 方 向 がランダ ムであっても 塑 性 変 形 に 伴 って 異 方 性 を 示 す したがって 塑 性 変 形 が 生 じた 後 に 除 荷 すると 事 前 に 存 在 していた 異 方 性 のために 残 留 応 力 が 生 じ これが 逆 負 荷 の 降 伏 応 力 に 影 響 を 与 え 引 張 降 伏 応 力 D より 低 い 圧 縮 降 伏 応 力 ( < D をもたらす これを バウシンガ- 効 果 と いう 引 張 圧 縮 試 験 のような 一 次 元 応 力 ~ひずみ 関 係 を 一 般 の 三 次 元 応 力 状 態 に 拡 張 するためには 応 力 ~ひずみ 曲 線 の 単 純 化 ( 理 想 化 が 必 要 であり 図 -. に 数 例 示 す (a 剛 塑 性 体 ではヤング 率 を 無 限 大 として 弾 性 ひずみとひずみ 効 果 を 無 視 する これは 土 のように 塑 性 変 形 (すべり 変 形 に 比 べて 弾 性 変 形 が 無 視 し 得 る 材 料 に 有 用 な 近 似 である (b 弾 完 全 塑 性 体 では 弾 性 ひずみの 存 在 は 許 すが 硬 化 性 はないと 考 える (c 硬 化 性 剛 塑 性 体 は 塑 性 変 形 が 大 きく かつ 硬 化 性 が 無 視 できない 場 合 である (d 硬 化 性 弾 塑 性 体 は (cを 更 に 一 般 化 したものである 塑 性 応 力 と 塑 性 状 態 のひずみは 対 の 対 応 が 付 けられ ないことは 図 -.で 同 じ 応 力 に 対 するひずみが 確 定 し du(du,d,dw ないことから 明 かである また 一 般 に 塑 性 ひずみは 大 きいから 現 在 の 変 形 状 態 と 僅 かに 進 んだ 状 態 の 間 の ひ (l,,n ずみ 増 分 を 考 え 最 終 ひずみはこれら 微 小 なひずみ 増 d (,, 分 を 履 歴 にしたがって 集 めた( 積 分 したものと 考 えなけ d ればならない 右 図 において 物 体 要 素 の 変 形 前 の 位 置 を(,, 変 形 途 中 の 位 置 を(,,とし 更 (,, に 微 小 変 形 が 起 こって 要 素 が 微 小 変 位 (du,d,dwを 行 うとする このような 変 位 増 分 によって 生 じるひずみ は 第 章 の 微 小 ひずみ 論 で 定 義 したひずみと 同 様 の 形 図 -. ひずみ 増 分 で 表 示 され 例 えば du dw d d d (. d,d 等 をひずみ 増 分 と 呼 び(テンソル 量 弾 性 ひずみ 増 分 と 塑 性 ひずみ 増 分 の 和 と 考 えら れる 第 章 のひずみ 式 ではdがなく また,,は 変 形 前 に 物 体 要 素 が 有 した 座 標 であるに 反 し 上 式 では,,が 着 目 要 素 の 変 形 中 にとる 座 標 であることに 注 意 する すなわち ひず み 増 分 は 変 形 途 中 の 瞬 間 的 状 態 に 関 して 計 算 される 量 である 長 さ の 棒 の 一 端 を 固 定 して 軸 方 向 に 引 張 る 長 さがになった 状 態 で 始 め にあった 要 素 がにきたとする この 間 の 変 位 はu- で 与 えられ 変 形 は 一 様 であるから d d u (. ここでを 塑 性 変 形 を 表 す 何 らかの 尺 度 と 考 え uu(, ( 場 所 と 変 形 状 態 の 関 数 と みなせば -latic.-
u u du d d d d d d d となって ひずみ 増 分 を 積 分 して d d d du d d d log (. u 一 方 初 期 の 長 さ を 基 準 としてひずみ 増 分 を 考 えると 図 -. 対 数 ひずみ du d d d 上 のは 第 章 で 述 べたひずみであり 工 学 ひずみ または 公 称 ひずみ という これに 対 し 式 (.のひずみ 増 分 に 対 応 するを 対 数 ひずみ と 呼 ぶ 両 者 の 関 係 は log( (. であり <<( 微 小 ひずみなら になる なお 対 数 ひずみと 対 応 して 塑 性 変 形 が 大 きい 場 合 は[ 力 / 変 形 時 の 面 積 ]で 応 力 を 定 義 すべきであり これを 真 応 力 という こ れに 対 し 通 常 の[ 力 / 原 面 積 ]で 定 義 される 応 力 を 公 称 応 力 と 称 する 断 面 補 正 土 の 圧 縮 試 験 では 大 きいひずみ 範 囲 まで 扱 うので データ 整 理 に 際 して 断 面 積 Aを 軸 ひずみに 対 応 して 補 正 する 初 期 断 面 積 をA とすると 軸 荷 重 P 軸 ひずみの 時 の 軸 応 力 は P P A A で 計 算 する 上 式 は 供 試 体 の 体 積 が 試 験 中 一 定 であるという 条 件 から 定 まる すなわち 供 試 体 の 高 さを 初 期 H 軸 ひずみのときH 収 縮 量 ΔHH -Hとすると ΔH/H A H AHA(H -ΔH AA /(-/. 降 伏 条 件 偏 差 応 力 : 次 元 の 応 力 (,,,,, のうち 垂 直 応 力 から 静 水 圧 ( 等 方 応 力 成 分 と 呼 ばれる 平 均 垂 直 応 力 :(/ を 差 し 引 いて 得 られる -, -, -,,, (.5 を 偏 差 応 力 (diator tr という 偏 差 応 力 [ ]も[ ]と 同 じ 対 称 テンソルであり -latic.-
その 不 変 量 は 次 式 で 表 される ( 第 章 式 (.6 I I -( (.6 { ( }/ {( - ( - ( - 6( }/6 {( - ( - ( - }/6 (/ oct I - - - 偏 差 応 力 の 意 味 ( 土 の 三 軸 圧 縮 試 験 側 圧 負 荷 軸 圧 負 荷 d - 三 軸 圧 縮 試 験 主 応 力 差 d (ピストン 圧 - 水 主 応 力 差 偏 差 応 力 d - 土 せん 断 d - 側 圧 排 水 等 方 圧 縮 主 応 力 空 間 表 示 : 要 素 の 応 力 状 態 は 直 交 する 主 応 力,, を 直 交 座 標 にとった 主 応 力 空 間 の 点 で 表 される 図 -.5 で 各 主 応 力 軸 に 等 傾 ( 方 向 余 弦 が 全 て / な 対 角 線 nを 考 え 原 点 を 通 りnに 直 交 する 平 面 をπ 面 と 呼 ぶと π 面 上 では ( である いま この,, 空 間 内 の 応 力 ベクトルS(,, を π 面 に 垂 直 な 成 分 Qと 平 行 な 成 分 Pに 分 解 すると Q ( S coδはベクトルs(,, の n 方 向 成 分 であるから 内 積 より Q (,, ( /, /, / ( / oct (.7 であり Q{,, }は 平 均 垂 直 応 力 を 表 す 応 力 ベクトルになる また ベクトル 和 をとると Q δ P 図 -.5 主 応 力 空 間 n S -latic.-
PS-Q{ -, -, - }{,, } すなわち Pは 偏 差 応 力 の 主 成 分 を 表 し P ( / I oct (.8 π 面 で であることは π 面 の 法 線 ベクトルn ( /, /, / とπ 面 上 の 点 を 表 すベクトル(,, が 直 交 する 条 件 から 内 積 :(n π 面 上 で 軸 のπ 面 への 射 影 をζ 軸 それと 垂 直 にξ 軸 をとると 両 軸 の 方 向 余 弦 は ζ n (/,/,/ ξ / -/ ζ -/ 6 -/ 6 / 6 α θ, となり ξ, ζ の 値 は ξ ζ ( ( (/ / ( / 6 / 6 / 6 で 与 えられる ξ と ζ で 作 る 比 ς tanθ μ (.9 ξ を Lodの 応 力 係 数 といい(- μ 次 元 応 力 状 態 を 表 示 する 第 のパラメ-タとして 用 いら れる 代 表 的 な 応 力 状 態 とμ,θ 値 との 対 応 は 以 下 のようになる( 図 -.6 6 ξ 軸 : 紙 面 垂 直 ξ C P S T θ (ζ I 図 -.6 代 表 的 な 応 力 状 態 点 T: >, 単 軸 引 張 (μ-/θ- μ-: 式 (.9 単 軸 引 張 ( - >,, 等 方 応 力 点 C:, < 単 軸 圧 縮 (μ /θ μ: 式 (.9 単 軸 圧 縮 (, - <, 等 方 応 力 点 S: -, 純 粋 せん 断 (μ /θ μ: 式 (.9 ( / ( / ( /, -( - /, 純 粋 せん 断 等 方 応 力 -latic.5-
等 方 性 材 料 の 降 伏 条 件 : 降 伏 条 件 が 主 応 力 値 のみに 依 存 し 等 方 的 なら 一 般 的 な 表 現 は f(,, (.a であるが 対 称 な 関 数 (,, を 入 れ 換 えても 形 を 変 えないであるためには f(i,i,i (.b でなければならない 更 に 金 属 材 料 では 降 伏 条 件 が 静 水 圧 成 分 の 影 響 を 受 けないので f(i,i (I (.c 偏 差 応 力 はπ 面 内 のベクトルで 表 されるので 上 式 はπ 面 に 垂 直 な 柱 面 を 表 す (Trca 規 準 : 最 大 せん 断 応 力 説 i - j k (. 最 大 せん 断 応 力 a ( i - j / がせん 断 降 伏 応 力 kに 一 致 する 条 件 である 引 張 降 伏 応 力 を - - とすると 単 軸 引 張 では, だから k/ の 関 係 を 得 る * のとき * 降 伏 条 件 は - であるから 図 -.6 のξ 軸 方 向 の 応 力 ξ は 降 伏 時 に ξ ( - / / 一 定 で π 面 上 では ζ 軸 に 平 行 な 線 となる i - j の 他 の 組 み 合 せ からも 同 様 な 線 が 描 かれ 降 伏 曲 面 のπ 面 の 切 口 - は 図 -.7のように 正 六 角 形 になる (on Mi 規 準 :せん 断 ひずみエネルギ- 説 5 I k または ( - ( - ( - 6k (. * これは 単 位 体 積 当 りのせん 断 弾 性 ひずみエネル - 5 ギ-が 定 値 に 達 したとき 降 伏 が 起 こる 条 件 であ る 右 辺 の 定 数 (6k は 例 えば 純 粋 せん 断 条 / 半 径 :/.5 件 : - k, より 定 まる 単 軸 引 張 とすると 左 辺 になるから Mi 規 準 ではkとの 関 係 が k/.577 となり Trca 規 準 の 関 係 と 約 5%の 差 がある 式 (.8と 式 (.より Mi 規 準 のπ 面 面 の 切 口 は 円 であり その 半 径 は - 図 -.7 Trca と Mi 規 準 -latic.6-
P I / である 幾 何 学 的 な 関 係 により Trca 規 準 の 正 六 角 形 は Mi 規 準 の 円 に 内 接 する 両 者 は 単 軸 引 張 圧 縮 ( 図 -.6 の 点 C,Tで 一 致 し 純 粋 せん 断 ( 点 Sで 差 が 最 大 になり その 比 は (/.5/(/ /.55 である なお ひずみ 硬 化 材 料 の 場 合 は kやがひずみとと もに 増 加 すると 考 える * 単 軸 引 張 : 降 伏 条 件 とモール 円 表 示 降 伏 条 件 : f k * 三 次 元 の 応 力 状 態 の 領 域 k k/ * 種 々の 応 力 状 態 におけるMi 規 準 : 式 (.の 表 現 純 粋 せん 断 では - k, で 左 辺 k k (k 6k 単 軸 引 張 では, で 左 辺 6k k 式 (.より ( - ( - ( - 9 oct 6k P(I.5 k(/.5 一 定 切 り 口 は 円 土 の 破 壊 ( 降 伏 条 件 :モール クーロンの 破 壊 規 準 式 三 軸 圧 縮 試 験 一 軸 圧 縮 試 験 ( 飽 和 粘 土 c 破 壊 規 準 式 f ctanφ φ 非 排 水 強 度 ( 粘 着 力 c u f c u (φ u c u q u / 主 応 力 差 : - 一 軸 圧 縮 強 度 :q u 降 伏 曲 面 土 質 材 料 は 降 伏 条 件 が 拘 束 圧 に 依 存 する( f ctanφ 金 属 材 料 土 質 材 料 ( 拘 束 圧 依 存 -latic.7-
-latic.8-. 塑 性 状 態 における 応 力 ~ひずみ 関 係 弾 性 状 態 の 応 力 ~ひずみ 関 係 : 全 ひずみ は 弾 性 ひずみ と 塑 性 ひずみ の 和 で 与 えられる 偏 差 応 力 [ ]と 対 応 して 平 均 垂 直 ひずみ ( / を 垂 直 ひずみから 差 し 引 いて 偏 差 ひずみ[ ]を -, -, -,,, のように 定 義 すると 弾 性 の 応 力 ~ひずみ 関 係 (フック 則 は または (. で 表 される ただし 上 式 のせん 断 ひずみ はテンソルひずみである 弾 性 ひずみエネルギ-(ポテンシャル: 単 位 体 積 当 りの 弾 性 ひずみエネルギ- は ( / で 与 えられるが これは 次 のようにつの 部 分 に 分 解 することができる /( / (. ( 体 積 弾 性 ひずみエネルギ- (せん 断 弾 性 ひずみエネルギ- 式 (.の 応 力 ~ひずみ 関 係 を 使 って,, を 応 力 成 分 で 表 すと ( ( K: 体 積 弾 性 率 K ( 6 ν ν I oct ( ( ν 上 式 を 応 力 成 分 で 微 分 すると 次 の 関 係 が 成 立 する など など など など ただし せん 断 応 力 に 関 する 微 分 では と を 区 別 し とみなして 計 算 する このようにすると 上 の 関 係 は (.5
-latic.9- と 書 ける 上 式 は 弾 性 ひずみテンソルが 弾 性 ひずみエネルギ-の 勾 配 で 導 かれることを 意 味 し (, などを 弾 性 ポテンシャル と 呼 ぶ ひずみエネルギー 補 足 : ひずみエネルギー 仕 事 微 小 仕 事 :δ d d を 積 分 して 仕 事 : d d 体 積 ひずみエネルギー( V 体 積 ひずみ: 式 (. K K 応 力 成 分 表 示 弾 性 ポテンシャル { } ( ( ν ν ν ( 同 様 に ( と は 区 別 して 別 個 に 扱 う せん 断 ひずみエネルギーの 微 分 ( ( { } ( 6 ( 6 ( 6 塑 性 ひずみ 増 分 : 完 全 塑 性 体 では 塑 性 変 形 を ひずみ でなく ひずみ 速 度 あるいは ひずみ 増 分 で 定 義 する 必 要 がある 全 ひずみ 増 分 を d 弾 性 ひずみ 増 分 を d とすると 塑 性 ひずみ 増 分 は d d -d で 与 えられる 金 属 材 料 では 塑 性 ひずみは 非 圧 縮 性 (d,d d である( 実 験 事 実 から 偏 差 ひずみを 用 いて d d -d d -d / (.6 と 表 される 対 応 して 塑 性 仕 事 増 分 d は 全 仕 事 増 分 d から 回 復 可 能 な 弾 性 ひずみエ ネルギ- 増 分 d を 差 し 引 いて d d
d d-d d d ( 塑 性 ひずみの 非 圧 縮 性 内 積 {}{d } d coθ d coθ (.7 ただし 下 行 目 の{},{d }は 偏 差 応 力 と 塑 性 ひずみ 増 分 のベクトルで θはそれらの 交 角 である また 下 行 目 の,d は 相 当 応 力 および 相 当 塑 性 ひずみ 増 分 と 呼 ばれ 以 下 のように 定 義 される {( ( ( }/ I / / d / d / d d d (.8 単 軸 引 張 時 の 引 張 応 力 を 引 張 塑 性 ひずみ 増 分 をd とすると,,d d,d d -.5d であるから *,d d に 一 致 する このように,d は 種 々の 組 合 せ 載 荷 において 応 力 ~ひずみ 関 係 を 相 互 に 比 較 する 場 合 に 用 いられる Mi 規 準 は 相 当 応 力 を 用 いて と 表 される * 式 (.8の 下 で 単 軸 引 張 の 場 合 は d d,d d であるから 非 圧 縮 性 の 性 質 : d d d d を 使 うと d d -.5d Prandtl-Ruの 式 : 塑 性 状 態 では 偏 差 応 力 と 塑 性 ひずみ 増 分 の 間 に 次 の 比 例 関 係 d d d d d または d dλ λ> d dλ ( d (.9 を 考 える 上 式 は 式 (.の 弾 性 応 力 ~ひずみ 関 係 で d,/ dλ に 置 き 換 えたも のに 対 応 する 上 で d d d ( dλ( 塑 性 体 積 ひずみ 増 分 であるから 塑 性 変 形 の 非 圧 縮 性 条 件 が 自 動 的 に 満 たされる また 応 力 の 主 軸 と 塑 性 ひずみ 増 分 の 主 軸 が 一 致 し 等 方 体 の 関 係 であることが 分 かる 弾 性 と 塑 性 のつの 応 力 ~ひずみ 関 係 : 式 (.と 式 (.9をまとめ 式 (.6の 形 で 整 理 すると 次 のように 表 される d d d d / dλ (. さて dλの 値 は 式 (.9に 加 比 の 定 理 を 用 い * 式 (.8の,d より dλ d / d / (. * 加 比 の 定 理 : 式 (.9で,, として d d d dλ d d d dλ / d / d -latic.-
で 表 される 最 後 の 関 係 はRu 式 のように 偏 差 応 力 と 塑 性 ひずみ 増 分 の 成 分 が 比 例 関 係 にある とき 両 ベクトル{},{d }が 平 行 すなわち 式 (.7で 交 角 θ で d d d (. なる 性 質 を 用 いている ひずみ 硬 化 材 の 降 伏 条 件 :Trca,Mi 規 準 の 降 伏 応 力 (k,は ひずみ 硬 化 材 では 塑 性 変 形 の 増 加 とともに 増 大 する 一 般 に 硬 化 特 性 はkまたはが 要 素 に 関 する 全 塑 性 仕 事 ( d だけの 関 数 であると 考 える 全 塑 性 仕 事 を とせず d と 書 くのは 仕 事 が 最 終 状 態 だ けでは 決 まらず ひずみ 径 路 により 変 わることを 明 示 するためである この 表 現 によれば 式 (.を 用 いて Mi 規 準 は 次 のように 表 せる f( d f( d (. これを について 解 けば ひずみ 硬 化 塑 性 体 に 対 し H( d (. の 形 の 降 伏 条 件 式 が 得 られる 以 上 の 諸 式 を 用 いると 式 (.の 全 偏 差 ひずみ 増 分 d は( 式 (.を 使 う d d / d / d / d / (.5 となる これが 一 般 の 硬 化 性 材 料 のひずみ 増 分 と 応 力 の 関 係 を 規 定 する 式 (.のMi 規 準 を 用 い 引 張 試 験 における 応 力 (~ 塑 性 ひずみ( d 図 の 傾 斜 をHと 表 すと d d/hd / (Hd/ d (.6 非 硬 化 材 料 では 一 定 であるから 式 (.5は d dλd / d /d / (.7 ひずみ 硬 化 H -latic.-