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1 計量経済学講義 第 4 回回帰モデルの診断と選択 Part 07 年 ( ) 限 担当教員 : 唐渡 広志 研究室 : 経済学研究棟 4 階 43 号室 emal: kkarato@eco.u-toyama.ac.p webste:

2 講義の目的 誤差項の分散が不均 である場合や, 系列相関を持つ場合についての検定 法と修正 法を学びます keywords: プルーシュ = ペイガン検定, ホワイト検定, 分散不均 致標準誤差, 重み付き最 乗法, 階の 回帰モデル, ダービン = ワトソン検定 教科書 : pp ( 第 7 章 )

3 復習 分散不均一性 仮定 ) が満たされず V u E u 仮定 ), ), v) は満たされているものとする E V ˆ w Eu ˆ w Eu w w Eu u w S xx ( 不偏性はある ) 6.46 ( 分散が異なる ) 例. 分散が不均 E E E u u 3 4 u n 仮定 ), ), ), v) が満たされていれば V ˆ S xx 仮説検定ではˆ ( 残差分散 ) をデータから推定するが ˆ は(6.46) 式を正しく計算できていない 正しい標準誤差が計算できないので t 検定ができない 3

4 例. 分散不均一が疑われる散布図 y 説明変数の値が きくなると, 被説明変数のばらつきも きくなる 誤差項の分散の きさが説明変数の きさと関連している可能性

5 分散不均一の検定 () グラフによる確認 分散不均 : 誤差の 乗の期待値 ( 誤差項の分散 ) が観測値ごとに異なっている V u E u 例. 残差の 乗が説明変数 の変動と関係性を持つ û 残差のばらつきが きくなる が きくなると 残差の 乗値も きくなる 仮説の設定 H H 0 : 均一分散である : H 0 でない 5

6 分散不均一の検定 (): ブルーシュ = ペイガン検定 Breusch-Pagan Test ( ブルーシュ = ペイガン検定 ) 残差の 乗値を説明変数に回帰したときの当てはまり具合 ( 決定係数 ) を利 して, 分散不均 の有無を検証する 法 例. 説明変数が, 3 の つ, サンプルサイズが n = 00 のケース 3 3 u を推定 u を計算 ˆ 補助回帰式 帰無仮説を検証する式残差の 乗を定数項と説明変数に回帰 uˆ 33 補助回帰式の決定係数 v R を計算 帰無仮説 : 均一分散である H 0 : 3 ならば ˆ 3 0 u で残差の 乗は一定になる 0 6

7 分散不均一の検定 (3) : ブルーシュ = ペイガン検定 3 Breusch-Pagan 検定統計量 (BP 検定統計量 ) を計算 検定統計量 : nr( サンプルサイズ 決定係数 ) 4 nr は自由度 補助回帰式の説明変数の数 のカイ 乗分布にしたがう 有意 準 5% でのカイ 乗分布の上側臨界値を求める, Excel 関数 = CHIINV(0.05,) 臨界値を求める関数 5 検定の基本 検定統計量が臨界値よりも きい値のとき H 0 を棄却する, 0.05, nr ならば 分散不均一である 5.99 nr ならば 分散均一である H H 0 0 を棄却する を棄却しない 7

8 カイ 乗分布 () カイ 乗分布 (ch-squared dstrbuton) とは : カイ( ch) 標準正規分布にしたがう確率変数の 乗和に関する分布 カイ 乗分布の確率密度関数 f x x m x e m m, x 0 自由度 m によって形が変わる分 布 ガンマ関数 自由度 m = 3 自由度 m = 0 f(x) f(x) x x 8

9 カイ 乗分布 () 例. 由度 のカイ 乗分布 有意 準 0.05 (5%),0.05 = 5.99 棄却域 有意 準 5% 臨界値 9

10 表 7.6 カイ 乗分布 (p.39) 下側確率 例. 由度 のカイ 乗分布 p Pr A m 下側確率 由度 m p =

11 例 7.6( 表 7.7 のデータ ):BP 検定 33 u u を計算 ˆ u 33 v 補助回帰式の決定係数 R H を計算 ˆ 0 : 3 0 均一分散 : エンゲル係数 3 : 世帯年収 : 世帯人員 3 BP統計量 : nr.6957 n 0, R 由度, 有意 準 5% のカイ 乗分布上側臨界値, Excel 関数 = CHIINV(0.05,) 検定統計量 nr.6957は臨界値 5. 99よりも小さいので 帰無仮説を棄却できない 分散不均一であるとは言えない, 0.05

12 分散不均一の検定 (4) : ホワイト検定 回帰モデル 33 u ホワイト検定 3 3 uˆ と説明変数の関係を検証するために 乗項や交差項も含めて考える ( 全部で5つの説明変数を利用する ) 3 検定の基本的な流れは BP 検定と同じ H 0 モデル uˆ H : 均一分散 v 補助回帰式の決定係数 R を計算 検定 nr ~ 自由度 5 のカイ 乗分布にしたがう 由度は補助回帰式で利 した変数の数

13 例 7.6( 表 7.7 のデータ ): ホワイト検定 33 u u を計算 ˆ uˆ 補助回帰式の決定係数 R を計算 H v 0 : 均一分散 3 ホワイト統計量 : nr n 0, R 由度 5, 有意 準 5% のカイ 乗分布上側臨界値 5, Excel 関数 = CHIINV(0.05,5) 検定統計量 nr は臨界値. よりも小さいので 帰無仮説を棄却できない 分散不均一であるとは言えない 5,

14 練習問題 () 表 7.6 ( 例題 4,pp ) 表 7.6のデータを利用して を最小 乗推定し, 残差を利用してBP およびWhte 検定を実行し分散不均一について検証しなさい さらに, 左辺 ln のみを対数変換した u を最小 乗推定し, BP およびWhte 検定を行いなさい u 3 4

15 重み付き最小 乗法 () (pp ) 表 7.8 階級ごとに集計されたデータの平均値を いるとき, 平均をとるときの集計数によって分散が不均 になることがある 階級に属する世帯 の総支出を, 食費を N N N N 階級 階級番号 総 出 費集計世帯数 00 万円 N 5

16 重み付き最小 乗法 () (pp ) 世帯レベル ( 集計前 ) の回帰式 u 年収階級別 ( 集計後 ) の回帰式 u 7.30 集計後の回帰式の誤差項 u N N u u 0, V u, Eu u ば 標準的仮定 : E 0 が満たされているなら lm E 0 u, V u N 集計後の回帰式の誤差項は集計数 N () によって分散が異なる [ 明確な分散不均 ] 6

17 重み付き最小 乗法 (3) (pp ) 分散均 化の作業 集計された誤差項 u V N u に N を乗じた N u の分散は u 30 N 7. の両辺に N を乗じると N N N u この推定モデルの誤差項は均 分散になるので, 以下のように新しい変数を定義して N N N u N u u を推定する を と に回帰する 定数項はなし 7

18 重み付き最小 乗法 (4) (pp ) 表 7.8 のデータの重み付き最 乗法による推定結果 定数項なし N N N ˆ ˆ 元の集計モデル (7.30) に戻す 8

19 復習 系列相関 系列 (seral): 定の順序にしたがって並べられた状態のこと 時系列データ (tme seres data): 時間の順序にしたがって並べられたデータ 系列相関 (seral correlaton) : 主に時系列データにおいて誤差項が互いに相関している状態のこと 仮定 v) が満たされず Covu, u Eu u 0 仮定 ), ), ) は満たされているものとする ( 不偏性はある ) V ˆ w Eu w w Eu u S xx w w 6.48 分散が異なる 仮定 v) が満たされて いれば V ˆ S xx 仮説検定ではˆ ( 残差分散 ) をデータから推定するが ˆ は(6.48) 式を正しく計算できていない 正しい t 検定ができない 9

20 系列相関が生じる理由 時系列データ : 過去からの持続的 傾向的な動き ( トレンド ) や循環的 ( サイクル ) な動きがデータに含まれてしまう 過去に じた誤差が将来の誤差にも影響してしまう 0

21 階の自己回帰モデル AR() Model 系列相関が明 的な誤差項 u u,,, n, ( ロー ): 自己回帰係数 ( イプシロン ): 確率誤差項 E 0の場合 : 0の場合 : 0, E, E 0 負 の値になる可能性 誤差が増幅 前期が正負の値のとき, 今期も正 前期が正 負 の値のとき, 今期は負 正 の値になる可能性 誤差が反転 自己回帰係数 はu とu の相関係数を示している

22 AR () の乱数誤差の動き u (=0.9) 標準偏差.643 u (= 0.9) 標準偏差 u (=0.05) 標準偏差.05 n 00, ~ N 0,

23 階の自己回帰モデルの期待値, 分散, 共分散 E N u E 0 0 期待値はゼロ V u Eu 分散均 Cov u, u 系列相関がある 仮定 v) は崩れる 相関係数 u, u u V u Cov V 3

24 ダービン = ワトソン統計量 () 系列相関の仮説検定 H H 0 0 : 0 系列相関がない : 0 系列相関がないとは言えない 検定統計量 ( ダービン = ワトソン統計量 ; DW) DW 表 7.9 n uˆ n uˆ uˆ ~ サンプルサイズ n, 説明変数の数 mのdw 統計量分布 系列相関とDW 統計量 (p.337) DWとの関係 :DW ˆ 負の系列相関系列相関なし正の系列相関 ˆ DW ˆ 0 DW 4 ˆ 0 DW 0 ˆ 0 DW DW = のとき, 系列相関なし < DW < 4 のとき負の系列相関の疑い 0 < DW < のとき正の系列相関の疑い DW が に近いかどうかが重要 4

25 ダービン = ワトソン統計量 () 臨界値 有意 準 5 % の下限 D L と上限 D U ( 表 7.0, p.338) n m = m = m = 3 D L D U D L D U D L D U N. E. Savn and Kenneth J. Whte (977) The Durbn-Watson Test for Seral Correlaton wth Extreme Sample Szes or Many Regressors DW 統計量の分布は説明変数の数 m だけでなく, その内容にも依存している そのためはっきりとした形はわからないが, 分布の下限 (D L ) と上限 (D U ) はわかっている DW 統計量の分布は を中 とする分布で, 0 から 4 までの値をとる m =, n = 5 DW 統計量の分布 0 < DW < のとき正の系列相関の疑い D L D U < DW < 4 のとき負の系列相関の疑い 4 D U.64 4 D.9 L 真の臨界値? 真の臨界値? 5

26 ダービン = ワトソン統計量 (3) 棄却域と判定 正の系列相関 H0 : 0を棄却 H0 : 系列相関なし 0を棄却しない 負の系列相関 H : 0を棄却 0 0 D L.08 D U.36 4 D U.64 4 D 4 L.9 DW 統計量 判定不能 判定不能 6

27 表 7. 消費と所得 (n=39, m=) u を最小 乗推定 回帰分析 で 残差 にチェックを入れて残差を出力 推定結果 ˆ û uˆ uˆ ˆ u DW n uˆ n uˆ uˆ を計算 期ずらす DW 乗和を求めるには sumsq 関数を利 する 7

28 例 7.8 表 7. 消費と所得 ( 続き ) H 0 : 0を検定, 表 7.0よりDW分布の下限と上限は D L.43, D U.54 n 39, m m = n D L D U D L.43 D U D 4 U.46 D L 正の系列相関 負の系列相関 DW.38 DW DW 統計量 DW.38は0 DW DL の領域に入るので H0 有意水準 5% で正の系列相関があるといえる : 0 を棄却する 8

29 コクラン = オーカット法 AR() モデルの推定 期の回帰式 : u 両辺にを乗じると u AR モデルに代入すると u u 推定モデルは u u u u (7.37) (7.38) の推定 順 [ ]: u 残差 uˆ を推定 : を求める []: uˆ を利用してAR uˆ uˆ を推定して の推定値 ˆ を得る [3]: ˆ ˆ として7. 38を推定 モデル

30 表 7. 消費と所得 (n=39, m=) []:,,39 を利用する u û uˆ の推定結果を利用 ˆ 係数 標準誤差 t P- 値 切 0 #N/A #N/A #N/A 値 ˆ 96~998年 ˆ 960~997年 配列コピーを利 して計算 []: uˆ ˆ u を推定 ラベル のチェックをはずす 定数に 0 を使 にチェック ˆ

31 コクラン = オーカット法適用後の DW ˆ DW n uˆ n uˆ uˆ DW.74は DU DW 4 DU の領域に入るのでH0 有意水準 5% で系列相関があるとはいえない コクラン = オーカット法によって系列相関は消滅 : 0を棄却しない 3