COMSOL Days 036：最適化(東京会場・2018年7月19日)

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1 2018 年 7 月 19 日 COMSOL を用いた 最適化計算とパラメータ推定 橋口真宜 米大海第 1 技術部計測エンジニアリングシステム株式会社 COMSOL Multiphysics 日本総代理店東京都千代田区内神田 SF 内神田ビル5F M. Hashiguchi and D. Mi

2 最適化とパラメタ推定 モデルの開発 Verification 解析解のある問題で妥当性を確認 Validation 目的とする解析の実行と妥当性の確認 モデル ~ 現象 モデルがパラメタを含む場合 モデル = 現象 ( 挙動が一致するの意味 ) 最適化 パラメタ推定 ( 物性値含む ) 理論を利用実験値を利用など 仮想実験として利用し よりよい性能を出すための工夫を行う アプリの利用 M. Hashiguchi and D. Mi

3 適用分野のイメージ M. Hashiguchi and D. Mi

4 COMSOL Multiphysics M. Hashiguchi and D. Mi

5 COMSOL Multiphysics COMSOL 社 ( スウェーデン ボストン ) の開発製品です 計測エンジニアリングシステム株式会社は日本国内販売総代理店です The company was founded in COMSOL Multiphysics in More than 460 employees in 21 officies worldwide. Germund Dahlquist スウェーデンの数学者 当時 KTH ( スウェーデン王立大学 ) の学生 COMSOL Multiphysics はマルチフィジックス解析環境を提供しています 解析は主として有限要素法に基づいています ( 他に 有限体積法 境界要素法 粒子追跡も利用する場合もある ) M. Hashiguchi and D. Mi

6 複数の連成解析が可能 PDE( 偏微分方程式 ) との組み合わせも可能 フィジックス ( 現在 28 分野 ) 参考資料検索キーワード M. Hashiguchi and D. Mi

7 COMSOL Multiphysics の統合型 GUI はモデルビルダーとアプリケーションビルダーを用意している COMSOL Desktop 統合型 GUI ( プリ 任意のフィジックス メッシュ ソルバ ポスト処理 ) モデルビルダ モデル構築モデル開発 STL データ吐き出しで 3D プリンタへ アプリケーションビルダ 任意の連成が可能 アプリ化 サーバーにアップロードすれば タブレット端末などで利用も可能 教育革新 業務革新へ M. Hashiguchi and D. Mi

8 最適化の理論 参考 : Walter Frei, Optimization, COMSOL Conference 2017 Boston M. Hashiguchi and D. Mi

9 最適化では何を考えるか M. Hashiguchi and D. Mi

10 リハーサルが必要 目的関数の妥当性 目的関数を設定し グラフ表示あるいはパラメトリックスイープを利用して 設計変数を変化させたとき その範囲の中で 目的関数が周囲に比べて小さく ( 大きく ) なる箇所があるかどうかを 確かめておく必要がある M. Hashiguchi and D. Mi

11 設計変数を決める χ=(χ,χ,,χ ) 1) 何を動かせるかをユーザーが決める 2) 動かせる範囲をユーザーが決める M. Hashiguchi and D. Mi

12 目的関数を決める ユーザーが決める ユーザーが決める 計算! 最小化の例最大化であれば 逆数の最小化を考える ここがよさそう! M. Hashiguchi and D. Mi

13 勾配がわかれば探索できる 設計変数の変動 χ に対して 関数の変化率 ( ベクトル ) f χ がわかれば探索できる ( 行列 ) f χ f χ+δχ ~f χ + f χ Δχ M. Hashiguchi and D. Mi

14 最適値があることを前提 最適値 f (u(χ 1, χ 2 )) 関数形がわかる場合関数形がわからない場合 χ 2 χ 1 初期値 ( 初期設計 ) M. Hashiguchi and D. Mi

15 イメージを持てばわかりやすい χ 2 利用できない設計変数の空間 利用できる設計変数の空間 χ 1 制約条件 : p(χ 1, χ 2 ) < 0 M. Hashiguchi and D. Mi

16 設計変数の範囲を設定 χ 2 χ 1 拘束条件 : p(χ 1, χ 2 ) < 0 M. Hashiguchi and D. Mi

17 どのような方法で探索するか χ 2 χ 1 M. Hashiguchi and D. Mi

18 近似的勾配による方法 M. Hashiguchi and D. Mi

19 最も簡単な方法 : 近似勾配 いくつかの点での関数値を求め それを利用して 近似的な勾配を作成する χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

20 最も簡単な方法 : 近似勾配 この操作を繰り返して 経路を作成していく χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

21 最も簡単な方法 : 近似勾配 繰り返しながら 関数値を改善することを目指す χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

22 最も簡単な方法 : 近似勾配 さらに進む χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

23 どのような場合に使うか 目的関数 拘束条件に微分できないものを含む場合に使う 設計変数が少ない場合に使う 設計変数の数に応じて指数関数的に計算時間が増大する 10 個程度までの設計変数に対して利用する リメッシュを行う場合に使う リメッシュは目的関数の滑らかさを損なう M. Hashiguchi and D. Mi

24 解析的勾配による方法 M. Hashiguchi and D. Mi

25 解析的勾配による方法 χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

26 解析的勾配による方法 この方向に沿って最適点を探す χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

27 解析的勾配による方法 繰り返す χ 2 χ 1 初期設計点 M. Hashiguchi and D. Mi

28 どのような場合に使うか 目的関数 拘束条件が微分できる場合に使う 設計変数が多い場合に使う トポロジー最適化に利用する * * このセミナでは扱わない 興味をもった人は京都大学西脇先生チームの研究を参照のこと M. Hashiguchi and D. Mi

29 利用可能なソルバー 解析的勾配計算なし 解析的勾配計算あり 乱数 座標軸に沿って 近似勾配の利用 随伴勾配 最小二乗問題のみ適用 M. Hashiguchi and D. Mi

30 数値実験 M. Hashiguchi and D. Mi

31 関数を最小化する点の算出 (1) 空間 2D スタディ : 定常 完了 (2) ジオメトリで矩形 ( 幅 6 高さ6) を中心まわりに作成 (3) グローバル定義 : パラメタで a,b を数値で定義 (4) コンポーネント1: 定義 : 変数変数に以下を設定する 後程の制御変数およびパラメタの設定の準備 名前をフルで記述 (5) スタディを右クリックし 最適化を追加 (6) 最適化の設定ウィンドウで 右記を設定 (7) スタディを右クリックし 計算実行 (8)1D プロットグループでテーブルグラフをプロットする M. Hashiguchi and D. Mi

32 関数の分布 (0,0) で関数が最小になることがわかる この問題は検討対象にできる! M. Hashiguchi and D. Mi

33 座標探索 最適化を利用する場合には 設計変数 a,b を利用できるように 変数において f を a,b を使った表現式で記述する f 5*a^2-6*a*b+5*b^2 最終点 開始点 M. Hashiguchi and D. Mi

34 探索軌跡の描画法 ソルバを切りかえて計算後は ここを再度 手動で選択のこと! M. Hashiguchi and D. Mi

35 結果 座標探索 Nelder-Mead 終了 終了 開始 BOBYQA 終了 開始 COBYLA 終了 開始 開始 M. Hashiguchi and D. Mi

36 結果 ( 続き ) モンテカルロ 途中で 停止 M. Hashiguchi and D. Mi

37 別の関数形 (0,0) で関数が最小になることがわかる この問題は検討対象にできる! 一方で 関数形は接線不連続なので どういう結果になるか M. Hashiguchi and D. Mi

38 座標探索 f abs(a+b)+3*abs(b-a) この問題には座標探索が使えないことはよく知られている 開始点 M. Hashiguchi and D. Mi

39 ソルバーを変更してみる COBYLA うまくいかない f abs(a+b)+3*abs(b-a) 開始点 最終点 M. Hashiguchi and D. Mi

40 ソルバーを変更してみる Nelder-Mead 探索できた f abs(a+b)+3*abs(b-a) 最終点 開始点 M. Hashiguchi and D. Mi

41 不連続性をもつ目的関数 + 不連続性 = M. Hashiguchi and D. Mi

42 各ソルバーの比較 座標探索 Nelder-Mead BOBYQA COBYLA SNOPT MMA M. Hashiguchi and D. Mi

43 バネ系 直列結合 並列結合 参考 : 野原勉 エンジニアのための有限要素法入門 培風館 M. Hashiguchi and D. Mi

44 問題設定 k,k を制御して 直列結合での節点の変位 x,x を目標値 x,x に一致させる F は与える M. Hashiguchi and D. Mi

45 COMSOL Desktop モデルビルダーを利用した実験 x = 1.8 x =7.6 最適化ソルバの選択 ( 後程 実演 ) M. Hashiguchi and D. Mi

46 グラフによる概観 x ~2, x ~7 F=2.5 とすると k =F/x ~1.25 x k = 1 x 1 ~0.5 F k x 後程わかるが ほぼ 正解! M. Hashiguchi and D. Mi

47 計算上の注意点 1. 解析的勾配計算なしでは 動かない場合には上限を規定し いくつか試行錯誤のこと 2. 後述の解析的勾配計算の場合には 上限なしでも計算できた 3. 後述の最小二乗法では 設計変数の範囲を規定できないので 問題によっては注意が必要である M. Hashiguchi and D. Mi

48 実演 M. Hashiguchi and D. Mi

49 解析的勾配計算なし M. Hashiguchi and D. Mi

50 座標探索 5 だとエラーになる M. Hashiguchi and D. Mi

51 Nelder-Mead M. Hashiguchi and D. Mi

52 COBYLA M. Hashiguchi and D. Mi

53 BOBYQA M. Hashiguchi and D. Mi

54 モンテカルロ 最大反復回数 1000 まで探す 約 2 分 範囲を狭めてみる M. Hashiguchi and D. Mi

55 モンテカルロ ( 続き ) M. Hashiguchi and D. Mi

56 解析的勾配計算あり M. Hashiguchi and D. Mi

57 SNOPT M. Hashiguchi and D. Mi

58 MMA M. Hashiguchi and D. Mi

59 MMA Method of Moving Asymptotes Krister Svanberg 論文のダウンロード M. Hashiguchi and D. Mi

60 目的関数と設計変数との関係 x u, x u f=f(u,u ;χ) k +k u + k u =0 k u + k u =F K= k +k k k k k k +k u + k u 0 =0 k k u + k u F = u u +K u k u k = 0 0 k k +k u + k u 0 =0 k k u + k u F = u u +K u k u k = 0 0 M. Hashiguchi and D. Mi

61 目的関数と設計変数との関係 K= k +k k k k f = f u + f u k u k u k u k u k =K u u f = f u + f u k u k u k u k u k =K u u M. Hashiguchi and D. Mi

62 感度計算と検証 解析的勾配計算ありでは 感度を表示できる 先に導出した式を変数に定義し COMSOL の数値解と比較し 一致を確認した M. Hashiguchi and D. Mi

63 随伴法による勾配計算の説明 この方法は 目的関数が解 u の連続関数であると仮定して 微分を解析的に計算する 解 u に関する有限要素法による方程式 設計変数 χ に関する微分 展開 解 u の設計変数 χ による微分公式を得る f 目的関数 f(u, χ) の勾配を求める公式を得る χ = u f χ u 注意 : ベクトル = テンソル ベクトル スカラ / ベクトル=ベクトル ベクトル / ベクトル=テンソル M. Hashiguchi and D. Mi

64 寸法最適化 M. Hashiguchi and D. Mi

65 図形の問題 面積が最大となるには 円周上に拘束された点 R x=rcosθ 固定点 A 固定点 B y=rsinθ θ を導入することで問題を簡潔に表現できる S θ = 1 R sin θ AB 2 0<θ<π θ= π 2 M. Hashiguchi and D. Mi

66 最適化による最大化 M. Hashiguchi and D. Mi

67 手法の比較 座標探索 Nelder-Mead BOBYQA COBYLA M. Hashiguchi and D. Mi

68 マイクロ流路への応用 ジオメトリをベジエ曲線で表現ベジェ曲線はパラメタ化されており 寸法最適化に利用される M. Hashiguchi and D. Mi

69 電気浸透流 電流 流体を計算 移動時間を算出 目的関数時間差を最小化 M. Hashiguchi and D. Mi

70 実際に化学種を流してみる 大幅改善! M. Hashiguchi and D. Mi

71 形状最適化 M. Hashiguchi and D. Mi

72 2 次元片持ち梁への応用 上辺に境界荷重を受ける片持ち梁 ( 左端固定 ) において 点 A での変位を目標値より小さくするという拘束条件下で質量 ( 面積 ) を最小にする 変位 :solid.disp < 5 mm A 点 X T 0 L 0 M. Hashiguchi and D. Mi

73 境界変形による形状最適化 この範囲の境界形状を変更 M. Hashiguchi and D. Mi

74 関数による形状変更による最適化 バーンスタイン曲線を利用 形状変化を構造解析に反映するために 変形形状を利用する M. Hashiguchi and D. Mi

75 形状変更の際の拘束条件 重量を増やすけれど 強度は増えない形状は避けるようにする M. Hashiguchi and D. Mi

76 バーンスタイン多項式による基底関数の利用 B B B =C 1 x +C (x) B =C 1 x +C x 1 x +C x B =C 1 x +C x 1 x +C x 1 x +C x 1 x +C x ウィキペディア x=0 と x=1 を根にもつ多項式の組み合わせ M. Hashiguchi and D. Mi

77 関数への制限 C =0 B =C 1 x +C x 1 x +C x 1 x +C x 1 x +C x C <C 今回は C =0.9とする グローバルコントロール変数の上限を設定する M. Hashiguchi and D. Mi

78 不等式拘束を追加する 不等式拘束 db (X)/dX > 0 長さ方向のいたるところで微係数を正に拘束する 単調に減少する厚み 左端での拘束 右端で規定した最大値を超えないこと M. Hashiguchi and D. Mi

79 ポイント毎の不等式拘束モデルビルダー ドメインでの積分値が目的関数 ポイント和不等式拘束 C <0.9 M. Hashiguchi and D. Mi

80 計算結果 SNOPT による計算結果 (MMA でも同様な計算結果になった ) M. Hashiguchi and D. Mi

81 異なる方法での結果の比較 寸法最適化 明解 計算時間がかかる 誰でも使える 形状最適化 セットアップが手間 自身での工夫を要する トポロジー最適化 斬新なデザイン 研究を要する 解釈を必要とするデザイン 自身で修練を積む必要あり M. Hashiguchi and D. Mi

82 最適化に関する記述について M. Hashiguchi and D. Mi

83 伝熱問題での説明 目的 : 同一材料を 3 分割した材料の各領域の平均温度を指定値にしたい 設計変数 : 温度 境界熱源 熱伝達係数 最適化ソルバ :SNOPT Q 熱伝達 1 cm 1 cm T 断熱 Tave2 Tave1 Tave3 熱伝達 2 cm Q T 5 cm 5 cm M. Hashiguchi and D. Mi

84 モデルビルダ 平均温度の定義 形状作成 材料 : 銅 伝熱境界条件 目的関数の記述の説明設計変数の設定 最適化ソルバー M. Hashiguchi and D. Mi

85 結果 M. Hashiguchi and D. Mi

86 目的関数の記述について 目的関数を和として評価する場合 複数個所に分けて記述できる 注意 : 変数名はフルで記述すること M. Hashiguchi and D. Mi

87 目的関数の記述 ( 続き ) ジオメトリックエンティティレベル毎に目的関数を記述し それらの和を目的関数として利用できる M. Hashiguchi and D. Mi

88 目的関数の構成 M. Hashiguchi and D. Mi

89 目的関数のスケーリング 目的関数は 1 の大きさになるようにするとよい 積分目的関数の例 ρ M ds = 1 M. Hashiguchi and D. Mi

90 パラメタ推定 M. Hashiguchi and D. Mi

91 最小二乗法によるパラメタ推定 M. Hashiguchi and D. Mi

92 実験式のパラメタ推定 非線形材料の伸び λ と印加圧力 P の関係式が与えられているが 係数 C10 C01 を推定したい M. Hashiguchi and D. Mi

93 モデルビルダ λ P(λ) の関係を定義する M. Hashiguchi and D. Mi

94 実験値を用意する 実験値をマニュアルで入力する ( 実験値を外部ファイルから読み込む場合は 後ほど説明する ) 実験値の第 1 列に相当するパラメタが COMSOL 側の変数 lambda に対応すると決める 実験値の第 2 列が COMSOL 側の変数 Pに対応すると決める M. Hashiguchi and D. Mi

95 ソルバー Levenberg-Marquardt 最小二乗法用のソルバー M. Hashiguchi and D. Mi

96 計算結果の検証 実験値を表示する変数を利用できる M. Hashiguchi and D. Mi

97 伝熱モデルで材料を推定してみる T 以外の境界条件を固定し T を変化させたときの温度を算出し それらを実験データとする 次に それらのデータを使って 熱伝導係数を推定してみる M. Hashiguchi and D. Mi

98 数値実験データの作成 (1) データ採取点を下図のように決める ( ジオメトリでポイント作成 ) (2) スタディ1にパラメトリックスイープを追加し 温度 T1を変化させる (3) 結果 : 計算値で上述の3 点を選び ポイント評価をし クリップボードにコピー後 エクセルにペーストする (4) エクセルファイルを保存しておく ここから csv ファイルを作成し それをファイルとして読み込む M. Hashiguchi and D. Mi

99 パラメタ推定 測定点の情報を取り出す あとでプロットするときの名前 ( 任意 ) M. Hashiguchi and D. Mi

100 結果 真値 400 W/(m K) に対して (1.3% の誤差 ) このことを避けるためには次ページのフル精度表示を行った上で 外部ファイルに吐き出せば良い < 面白いこと > 外部ファイルからではなく 結果テーブルを利用すると 400 と正確値が算出される 従って Verification を最も正確に行う場合には 結果テーブルを利用する方が良い テーブルのフル精度表示による出力も可 M. Hashiguchi and D. Mi

101 テーブルのフル精度表示 セミナでの質問に関する回答 (1) 外部ファイル (csv) へのテーブル出力の前に フル精度ボタンをクリックすることで 表示桁をフル精度に変更できる (2) 正確値を推定できる M. Hashiguchi and D. Mi

102 時系列データが与えられた場合 M. Hashiguchi and D. Mi

103 伝熱への応用 温度の時系列データから熱伝導係数を推定する 温度測定データ T(t) Ed Fontes -module-for-parameter-estimation M. Hashiguchi and D. Mi

104 モデルビルダ M. Hashiguchi and D. Mi

105 結果 熱伝導係数 M. Hashiguchi and D. Mi

106 化学工学への応用 温度の異なる 5 種類の時系列データを読み込む M. Hashiguchi and D. Mi

107 結果 計算時間 19 秒 A E M. Hashiguchi and D. Mi

108 アプリ M. Hashiguchi and D. Mi

109 リチウム - イオン電池への応用 M. Hashiguchi and D. Mi

110 モデルビルダ 外部ファイル (.csv) を読み込む M. Hashiguchi and D. Mi

111 アプリ画面 M. Hashiguchi and D. Mi

112 音振動とプログラミング M. Hashiguchi and D. Mi

113 アプリケーションライブラリ ファイル ~ アプリケーションライブラリ M. Hashiguchi and D. Mi

114 アプリによる概要説明 モデルビルダーでアプリケーションビルダーをクリックすればそちらへ移行する アプリの実行のみを行う場合 問題説明 理論 参考文献 操作手順 結果の説明など M. Hashiguchi and D. Mi

115 すぐに計算に取り掛かれる ソフトウェアの使い方を知らなくても良い! 誰もが即戦力になる M. Hashiguchi and D. Mi

116 モデルの内容を見る モデルビルダへ モデルビルダーでアプリケーションビルダーをクリックすればそちらへ移行する アプリの実行のみを行う場合 問題説明 理論 参考文献 操作手順 結果の説明など アプリケーションでない項目の例題は 開く でモデルビルダーを表示する M. Hashiguchi and D. Mi

117 モデルビルダーの内容 最適化がない! 何故? M. Hashiguchi and D. Mi

118 割線法 ( セカント法 ) f x = 0 となる x を求める x =x f(x ) x x f x f(x ) f x =f x + x x ~f x +f (x )(x x ) いま f x =0 となったとすると f x +f x x x =0 x =x f(x ) f (x ) 後退差分で近似 f x = f x f(x ) x x これはニュートン法であり 関数値と関数の微分値の両方の計算が必要である f の計算のみで済む ( 計算速度が速い ) M. Hashiguchi and D. Mi

119 アプリケーションビルダへ クリック ここを分析してみる M. Hashiguchi and D. Mi

120 FEM を介した代数方程式 FEM の役目 構造物の腕の長さ L を決めて その固有振動数 f を計算する 関数化 frequency( 引数 L ) こうすれば 長さ L の構造物の固有振動数 frequency(l) を目標値 targetfq に一致させたいという要求は 見かけ上 次の代数方程式で表現できる f(l) = 0 ただし f(l) = frequency L targetfq 数値解法として セカント法を利用すれば L を求めることができる COMSOL ではアプリケーションビルダのメソッドエディタでプログラムを実装できる M. Hashiguchi and D. Mi

121 FEM の関数化 メソッド frequency // Function used in compute_and_play method // Syntax: double f = frequency(double L) model.param().set("lp", pronglength); Lpにpronglengthの数値をセットする model.study("std1").run(); FEMの実行 set_results(); // in case there was no solution included in the application file double[][] d = model.result().numerical("gev1").getreal(); f = d[0][0]; 計算された固有周波数をfとする M. Hashiguchi and D. Mi

122 セカント法 メソッド b_solved_and_update_results long t0 = timestamp(); // 計算時間の記録の初期化 solution_state = "nosolution"; // showprogress(); if (findlength) { // findlength declared variable linked to check box in main form setprogress(0, "Computing prong length."); // セカント法の開始 : int MAXITERATIONS = 20; // 最大反復回数 double L1 = 85; // 長さの初期値 20 Hz<fq<10,000 Hz. double L2 = 60; // 長さの初期値 20 Hz<fq<10,000 Hz. double carry = L1; carry に L1 をコピーしておく double f2 = frequency(l2)-targetfq; // L2 に対する FEM 計算結果で f(l2) を計算 setprogress(100/maxiterations); // プログレスバーの設定 fq = frequency(l1); // 画面表示用の変数 L1 に対する FEM 計算結果を fq とする setprogress(20); M. Hashiguchi and D. Mi

123 セカント法 ( 続き ) double f1 = fq-targetfq; //f(l1) を計算 x L1 = L1-f1*((L1-L2)/(f1-f2)); // セカント法 x x =x f(x ) f x f(x ) L2 = carry; //caryyの内容をl2にコピー L1 = Math.max(L1, 1e-3); //Javaの数学ライブラリの最大値計算関数 int k = 2; // 整数 kを2とする while (k < MAXITERATIONS && Math.abs(f1) > fqtol) { f2 = f1; //f1の内容をf2に置き換える fq = frequency(l1); //fqをl1でのfem 計算結果とする f1 = fq-targetfq; //f1を更新する carry = L1; // carryにl1をコピーする L1 = L1-f1*((L1-L2)/(f1-f2)); // 新しいL1を算出する L2 = carry; //carryをl2にコピーする L1 = Math.max(L1, 1e-3); // k = k+1; setprogress(k*100/maxiterations); } f L FEM f L FEM carry secant L L f f 反復計算 FEM M. Hashiguchi and D. Mi

124 セカント法 ( 続き ) L1 = Math.round(L1*100)/100.00; // we won't get more than 2 decimal accuracy (mesh limits the accuracy rather than the secant method) model.param().set( Lp, L1); グローバル定義 : パラメタLpへの収束値 L1のセット fq = fq; 収束値 L1に対応する固有周波数のセット if (Math.abs(f1) > fqtol) { error("computation terminated after "+tostring(maxiterations)+" iterations. Frequency diff: "+tostring(math.abs(f1))); } } else { // "Find prong length" check box is cleared in main form setprogress(0, "Computing frequency."); setprogress(25); fq = frequency(model.param().evaluate("lp")); setprogress(75); } M. Hashiguchi and D. Mi

125 セカント法 ( 続き ) with(model.result("pg1")); プロットグループ1への反映 set("looplevel", new String[]{"7"}); // The first real eigenfrequency always the 7th computed eigenfrequency in solid mechanics endwith(); model.result().numerical("gev1").setresult(); usegraphics(model.result( pg1 ), graphics1 ); ウィンドウ (graphics1) への表示 zoomextents( graphics1 ); 長さが変わったので画面にフィットさせる setprogress(100); プロセス100% とする play_sound(); 音を出す model.setlastcomputationtime(timestamp()-t0); // record computation time solution_state = "solutionexists"; closeprogress(); M. Hashiguchi and D. Mi

126 参考 COMSOL の Video 教材や BLOG はぜひご覧ください M. Hashiguchi and D. Mi

127 ご清聴ありがとうございました 1 ヶ月無料トライアル * の入手や各種セミナ 資料などのご要望がございましたら気軽に下記までお知らせください * ウェブからのお申込み < 問い合わせ先 > 第 1 営業部 計測エンジニアリングシステム株式会社 M. Hashiguchi and D. Mi