Microsoft PowerPoint - シミュレーション工学-2010-第1回.ppt

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1 シミュレーション工学 ( 後半 ) 東京大学人工物工学研究センター 鈴木克幸 CA( Compter Aded geerg ) r. Jaso Lemo (SC, 98) 設計者が解析ツールを使いこなすことにより 設計の評価 設計の質の向上を図る geerg の本質の 計算機による支援 (CA CAM などより広い名前 ) 様々な汎用ソフトの登場 工業製品の設計に不可欠のツール 構造解析 流体解析 運動解析 最適設計 製品設計における CA 自動車 衝突 振動 騒音 操縦安定性 空気抵抗 有限要素法 (te lemet Method, M) 連続体の離散化解法 無限自由度から有限自由度へ 構造解析 線形 固有振動 大変形 塑性 流体解析 空気 水 粘性流 電磁気 熱物質 4

2 線形と非線形 構造力学の基本的な考え方 現実は非線形 実用上は線形で OK なことがほとんど 微少変形, 固有振動 CA として製品開発に使われている解析の 9% は線形解析 非線形でなければ表現できない現象 座屈, 破壊, 接触 大回転 荷重 応力 ひずみ 変形 強度 5 6 固体力学の基礎式 固体力学の基礎方程式 荷重応力ひずみ変形 平衡方程式構成方程式適合条件式 変位 - ひずみの関係 適合条件式 ひずみ - 応力の関係 構成方程式 応力 - 外力の関係 平衡方程式 境界条件 変位境界条件 荷重境界条件 境界条件 場の方程式 Γ t Ω t Γ 偏微分方程式の境界値問題 7 8

3 ひずみ 一軸 多軸 Δ ( ) () () d Δ d () d Δ Δ d 直ひずみ 剪断ひずみ () ((,Δ), v(,δ)) Δ ((Δ,), v(δ,)) (Δ) 変位 変形前 変形後の座標により変位を表現 X v Y w Z z ds d d dz d d ds dx dy dz dx dx ( d, d, dz) ( dx, dy, dz) ( z,, ) ( XYZ,, ) ((,), v(,)) 9 変位とひずみ d KJ d KJ Y d Y z dz v d v KJ d KJ Z d Z KJ w KJ dz d w d w X dx d X d X dz Y dy d Z dz d S V dz v dz z dz 変位とひずみ ds ds d d z dz d KJ KJ v KJ v v KJ w w S KJ Vdd v d v d v z dz d S KJ V v w KJ KJ v KJ v w KJ w S Vddz z z z z w d w d w z dz dz S KJ V w v v w S w Vdzd z z z z W v w d KJ KJ v w KJ d v w dz z z z v w z

4 ひずみ (Gree のひずみ ) v w v w KJ KJ KJ v w v v w w KJ KJ KJ O NM KJ QP L v w v v w w KJ KJ KJ KJ H G O NM QP L w v v w w NM O z z z z QP L j k k j jkj O KJ KJ NM j KJ QP v w z L v z z テンソル表記 直ひずみ 剪断ひずみ 線形ひずみ 次の項を無視 直ひずみ v w z テンソル表記 j L NM j KJ j O KJ QP 剪断ひずみ 工学剪断ひずみ v v w z w z v γ v w γ z z w γ z z 4 次元の適合条件式 ( 変位 - ひずみ ) 応力 変位 ひずみ { v, } {,, γ } / / v/ / v γ / v/ / / ベクトル表記 * 5 一軸 多軸 直応力,, 剪断応力 τ, τ z, τz τ τ Δ A τδτ Δ τδτ 6

5 次元応力 z z z z z ds ds ds ds z z ds ds ds ds z z ds ds ds ds z z z z,,,,,, z z s s s z z z z z z z z テンソル表記 j j 7 次元主応力 剪断応力なし 面の法線方向に力がかかる L NM z z z z O QP z S λ z 固有値問題 固有値 ( 成分 ) 主応力値 固有ベクトル ( 互いに直交 ) 主応力方向 8 境界反力と応力 ( 次元 ) 応力と体積力の釣り合い ( 次元 ) τ t τ t τ t τ t t t τ τ t τ t 微小領域における釣り合い τ d d τ d τ d dd τ τ d τ d d d dd d d d d d d 9

6 平衡方程式 ( 次元 ) 応力と歪みの関係 ( 構成方程式 ) 微小領域における釣り合い τ τ τ 一軸 多軸 ( 等方性 ) ν ベクトル表記 * ν τ Gγ γ ( ν ) : ヤング率 ν: ポアソン比 G: 剪断剛性 ひずみ - 応力関係式 次元の線形弾性関係 Hooke の法則 τ ν τ ベクトル表記 ν ν γ ( ν ) / γ 等方弾性 ( 平面応力問題 ) : ヤング率 ν : ポアソン比 異方性 c c c c4 c5 c6 c c c c4 c5 c 6 c c c c4 c5 c6 c4 c4 c4 c44 c45 c 46 c z 5 c5 c5 c45 c55 c 56 z c z 6 c6 c6 c46 c56 c66 z 直交異方性 ( 性質が 面 z 面 z 面に対して対称 ) c c c c c c c c c c44 c55 z z c z 66 z 4

7 等方性 ( 次元 ) 一般の鋼材 z z z z L N M λ μ λ λ λ λ μ λ λ λ λ μ μ O Q P μ z μ L N M ν ν ν ν ν ν ( ν) O Q P ( ν) z ( ν) z z λ,μ: ラーメの定数 ν λ ( )( ) ν μ ( ν) テンソル表記 μ λ δ ν j j kk j b j ν j ν kkδ j g s 5 引張応力破断応力 降伏応力弾性限比例限 応力 アルミ材などでは 降伏点が明確に現れない.% 耐力 歪 6 境界条件 ( 次元 ) 変位の境界条件 荷重の境界条件 τ t τ t t t τ ベクトル表記 N t N Ω Γ t Γ t 7 基礎方程式 適合条件式 構成方程式 平衡方程式 変位の境界条件 荷重の境界条件 * 領域内 * N t 境界上 8

8 変位による基礎方程式 有限要素離散 ( ) * * Ω o Γ N t * o Γt o Ω Γ t t 解析領域を 単位領域 ( 要素 ) に分割 ( メッシュ分割 ) 三角形 四辺形 偏微分方程式の境界値問題変位表記状態変数変位自己随伴解析解を求めるのは困難 数値解 Γ ((7),(7)) 節点 (ode) 要素 (elemet) 形状関数 形状関数の導出 要素内のある節点でとなり 他の節点で となる関数 三角形要素では 次関数 (, ) (, ) N d N (, ) c c c at ode N (, ) at other odes N () N () N () c c c N ()

9 変位の近似 ひずみ 応力の近似 形状関数と節点での値 (, ) N(, ) N(, ) N(, ) v (, ) vn(, ) vn(, ) vn(, ) v N N N v N N N v v N 変位を微分 三角形要素では要素内で一定値 N B * * / B / B / / / / / / / / / / 4 弱形式とエネルギー原理 なぜ弱形式か 変分原理 Ω ( * ( * ) ) δ (( * )) δ dω N t dγ (( ) ) * * Ω Γt δ δ dω δ tdγ Γt o Γ 仮想仕事の原理仮想変位による内部エネルギーの増加分 外力の仕事 ( δ ) * * d Ω Ω Ω δ o Γ d Ω δ tdγ Γt 5 次関数で近似するとひずみは要素間で不連続 階微分は存在しない (( ) ) * * Ω δ δ dω δ tdγ 要素ごとの積分 Ω (( ) ) * * δ δ dω δ tdγ Γt Γt 6

10 有限要素離散の弱形式 変位 ひずみ 仮想変位 δ Nδ 仮想ひずみ δ Bδ (( δ ) ) ( δ ) ( δ ) B B dω N dω N dγ t Ω Ω Γt B ( δ B B ) d δ N d δ N d Ω Ω Γ Ω Ω t Γt N 7 要素剛性マトリクスと全体剛性マトリクス ( δ B B ) d δ N d δ N d Ω Ω Γ Ω Ω t Γt δ K δ 全体剛性 K ( B B) dω マトリクス Ω 全体荷重 N dω N dγ Ω t Γ ベクトル t K 要素剛性マトリクス 要素荷重ベクトル 有限要素法の剛性方程式 線形連立方程式ソルバー 8 剛性マトリクス 荷重ベクトルの足し合わせ 課題 全体自由度の中の相当する位置に足し込む 要素剛性マトリクス 要素剛性マトリクス 全体剛性マトリクス 課題 : 以下の問題を有限要素法を用いて解く. 要素剛性マトリクス, 全体剛性マトリクスを求めよ 要素荷重ベクトル m GPa 要素荷重ベクトル m ν 全体荷重ベクトル 9 N 4