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こごろういなおか
5 years ago
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1 人工環境設計解析工学構造力学と有限要素法 ( 第回 ) 東京大学新領域創成科学研究科鈴木克幸固体力学の基礎方程式変位 - ひずみの関係適合条件式ひずみ - 応力の関係構成方程式応力 - 外力の関係平衡方程式境界条件変位規定境界反力規定境界境界条件荷重応力ひずみ変形場の方程式 Γ t Γ t 平衡方程式構成方程式適合条件式構造力学の基礎式ひずみ一軸荷重応力ひずみ変形平衡方程式構成方程式適合条件式なぜ変位でなくひずみか ( ) () () d 多軸 Δ Δ のびひずみ剪断ひずみ Δ d () Δ () ((,Δ), v(,δ)) d d Δ (Δ) ((Δ,), v(δ,))

2 変位変形前変形後の座標 R X v Y w Z z ds d d dz d d ds dx dy dz dx dx ( d, d, dz) ( dx, dy, dz) ( z,, ) ( XYZ,, ) 変位とひずみ KJ F d KJ Y d Y z dz v d v F KJ F d KJ Z d Z F KJ F w F KJ dz d w d w X dx d X d X z dz d Y dy d F Z dz d ds ds d R d SF F KJ dz V R v d v d v z dz d SF F KJ V R w d w d w z dz dz SF F KJ V d dz v dz z dz 変位とひずみ F F R v w d R KJ KJ v v w KJ d R F F F w v w dz z z z z RF F KJ v F F KJ v v F KJ w S w KJ V RF v w KJ F KJ v S F KJ v w F KJ w V z z z z RF w F F F F v F v F w S F w V z z z z W dd ddz dzd ひずみ (Gree のひずみ ) v w F F F v F w KJ KJ KJ v w v v w w KJ F F KJ F KJ O NM KJ QP LF v w v v w w KJ F KJ F KJ F KJ H G O NM QP LF w F F F F v F v F w F w NM O z z z z QP L j k k j F jkj F O KJ KJ NM j KJ QP v F w zz F z LF F v z z テンソル表記直ひずみ剪断ひずみ

3 線形ひずみ次の項を無視直ひずみテンソル表記 v w zz z 剪断ひずみ j L F NM v v w z w z j F KJ j O KJ QP 変位 - ひずみの関係 ( 次元線形 ) 変位ひずみ {, } {,, γ } 変位が十分小さいとき線形の関係 γ / / / ベクトル表示 / / / * / / 応力任意方向の応力一軸なぜ力でなく応力か A F 多軸次元次元 A τ τ F Δ τδτ Δ τδτ τ sθ cosθ τsθ cosθ τ cosθ sθ τcosθ sθ cosθ τs θ τ s θ τ cosθ 主応力方向剪断応力ゼロ直応力最大 θ sθ τ cosθ τ

4 次元応力 z z z z z zz ds ds ds ds z z ds ds ds ds z z ds ds ds ds z z z zz z,,,,,, z z s s s z z z z z z z zz z テンソル表記 j j 次元主応力剪断応力なし面の法線方向に力がかかる L NM z z z z zz O R QP z R S λ z 固有値問題固有値 ( 成分 ) 主応力値固有ベクトル ( 互いに直交 ) 主応力方向応力と外力の釣り合い力の釣り合い微小領域における釣り合い τ τ * / / d d d / / τ d d d 次元 τ τ 任意の面の応力 τ sθ cosθ τ sθ cosθ τ cosθ sθ τ cosθ sθ cosθ τ sθ τ sθ τ cosθ τ τ τ

5 境界条件変位の境界条件荷重の境界条件 N t N Γ t Γ t 応力と歪みの関係一軸多軸 E E ν E E ν E τ Gγ フックの法則 ( 線形 ) E : ヤング率 ν: ポアソン比 G: 剪断剛性ひずみ - 応力関係式次元の線形弾性関係 Hooke の法則 τ E ν τ ν ν γ ( ν ) / γ 等方弾性 ( 平面応力問題 ) E : ヤング率 ν : ポアソン比異方性 c c c c4 c5 c6 c c c c4 c5 c 6 zz c c c c4 c5 c6 zz c4 c4 c4 c44 c45 c 46 c z 5 c5 c5 c45 c55 c 56 z c z 6 c6 c6 c46 c56 c66 z 直交異方性 ( 性質が面 z 面 z 面に対して対称 ) c c c c c c zz c c c zz c44 c55 z z c z 66 z

6 等方性 ( 次元 ) R R L z N M zz z λ μ λ λ λ λ μ λ λ λ λ μ μ OR Q P μ z μ ν ν ν ν zz ν ν zz E ν ν z z ( ) M ( ) P ( ν) z L N OR Q zz z z λ,μ: ラーメの定数 Eν λ ( )( ) ν E μ ( ν) テンソル表記 μ λ δ ν j j kk j b j ν j ν kkδ j E g s 一般の鋼材引張応力破断応力降伏応力弾性限比例限応力アルミ材などでは降伏点が明確に現れない.% 耐力歪基礎方程式有限要素離散 * * ( ) o Γ N * t o Γt 偏微分方程式の境界値問題変位表記状態変数変位自己随伴解析解を求めるのは困難数値解 Γ t Γ t 領域を単位領域 ( 要素 ) に分割 ((7),(7)) 節点要素

7 形状関数要素内のある節点でとなり他の節点でとなる関数三角形要素では次関数変位の近似形状関数と節点での値 (, ) N (, ) N (, ) N (, ) (, ) N (, ) N (, ) N (, ) N () N () N () N N N N N N N ひずみ応力の近似変位を微分三角形要素では要素内で一定値 N B * * / B / B / / / / / / / / / / 弱形式とエネルギー原理変分原理 ( * ( * ) ) δ (( * )) δ d N t dγ (( ) ) * * Γt δ δ d δ tdγ Γt o Γ 仮想仕事の原理仮想変位による内部エネルギーの増加分外力の仕事 ( δ ) * * d δ o Γ d δ tdγ Γt

8 なぜ弱形式か次関数で近似するとひずみは要素間で不連続階微分は存在しない (( ) ) * * δ δ d δ tdγ 要素ごとの積分 (( ) ) * * δ δ d δ tdγ Γt Γt 有限要素離散の弱形式変位ひずみ仮想変位 δ Nδ 仮想ひずみ δ Bδ (( δ ) ) ( δ ) ( δ ) B B d N d N dγ t Γt B ( δ B B ) d δ N d δ N d Γ t Γt N 要素剛性マトリクスと全体剛性マトリクス剛性マトリクス荷重ベクトルの足し合わせ ( δ B B ) d δ N d δ N d Γ Γt t δ δ K 全体剛性 K ( B B) d マトリクス全体荷重 N d N dγ t Γ ベクトル t K 要素剛性マトリクス要素荷重ベクトル有限要素法の剛性方程式線形連立方程式ソルバー全体自由度の中の相当する位置に足し込む要素剛性マトリクス要素剛性マトリクス要素荷重ベクトル要素荷重ベクトル全体剛性マトリクス全体荷重ベクトル

9 動的解析過渡応答解析線形非線形固有振動解析線形過渡応答解析の例時間を追って解析静的問題では力が釣り合う ΣF 動的問題では不釣り合い力が加速度を生じる ΣFma 固有振動解析の例平衡方程式自動車ガスタンク微小領域における釣り合い d d d d d d 次 9.6 Hz 次 74.8 Hz 次 Hz τ / / ρ τ / / ρ τ * ρ

10 基礎方程式弱形式 ( ) o Γ N * * ρ * t o Γt 偏微分方程式の境界値問題変位表記状態変数変位外力境界条件は時間の関数であり得る材料定数は? Γ t Γ t δ * * * ( ( ) ) δ (( )) t Γt d N dγ δ ( ρ ) d (( ) ) * * δ δ ( ρ ) d d δ d δ tdγ Γt o Γ o Γ 有限要素離散の弱形式変位仮想変位 δ 加速度 (( δ ) ) N Nδ N B B d δ K ( Nδ ) d ( Nδ ) d Γ δ t Γ ( δ ρ ) δ ( ρ ) δ M δ M t N N d N N d M: 質量マトリクス基礎方程式減衰なし K M 減衰を考慮 K C M 固有振動解析 K ω M

11 減衰現実の振動は必ず減衰理論的に評価は困難実験経験により評価構造減衰質量減衰 C α K β M 固有振動問題モード解析モーダル解析 a s( ωt) Ka ω Ma ω a 固有振動数固有振動モード固有値問題通常の固有値問題 K λ 一般化固有値問題 K λm Mが正値対称であれば M LL L K λl L KL v λv 特徴 KとMは正値対称固有振動数は実数固有モードは互いに直交

12 過渡応答解析時間積分陰解法比較的ゆっくりとした非線形現象をきちんと解く動的問題準静的問題 ABAQS, MARC など陽解法運動方程式の時間積分において連立方程式を解くことなく解を得る強度の大変形を伴う衝撃問題非常に小さな時間刻みにする必要性 LS-YNA PAM-CRASH など時間積分 ( 中央差分法 ) K C M Δt Δt C M M K C M t t t t t Δ Δ Δ Δ Δ 時間積分法陽解法中央差分法陰解法 Wlsoのθ 法 Newmarkのβ 法課題以下の問題を有限要素法を用いて解く. 要素剛性マトリクス, 全体剛性マトリクスを求めよ質量マトリクスをもとめよただし三角形内の積分は三角形の重心での値に三角形の面積をかけたもので近似できるとしてもよい Matlab Octave 等を用い固有振動数固有モードを求めよ m 固有モードが直交する E GPa m ことを確認せよ ν F N

Microsoft PowerPoint - シミュレーション工学-2010-第1回.ppt

Microsoft PowerPoint - シミュレーション工学-2010-第1回.ppt シミュレーション工学 ( 後半 ) 東京大学人工物工学研究センター鈴木克幸 CA( Compter Aded geerg ) r. Jaso Lemo (SC, 98) 設計者が解析ツールを使いこなすことにより設計の評価設計の質の向上を図る geerg の本質の計算機による支援 (CA CAM などより広い名前 ) 様々な汎用ソフトの登場工業製品の設計に不可欠のツール構造解析流体解析