伝熱学課題

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はるまさとどろき
5 years ago
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1 練習問題解答例 < 第章強制対流熱伝達 >. 式 (.9) を導出せよ (.6) を変換する最初にの微分値を整理しておく (.A) (.A) これを用いての微分値を求める (.A) (.A)

2 (.A) (.A6) (.A7) これらの微分値を式 (.6) に代入する (.A8) (.A9)

3 (.A) (.A) (.A) (.9). 薄い平板が温度で常圧の水の一様な流れの中に平行に置かれている流速は. /s であり平板の寸法は流れ方向直角方向ともに c であるこのときの板の中心における速度境界層の厚さと板全面に働く摩擦力を求めよ解 ) 式 (.) を用いる関係する数値を SI 単位の基本単位とその組み立て単位で表しておくバルク流速. /s 平板の流れ方向の寸法. 平板の流れに直角な方向の寸法. 境界層の厚みを計算する位置.. 6 の水の動粘性係数. /s. /s の水の粘性係数. Pa s. Pa s よって求める速度境界層の厚みは 6... また剪断応力は式 (.6) を用いて..

4 .. / 板全体での摩擦力は剪断力を板の面積に関して積分すればよいので F... /. / 66 / N 8. N 6. の空気が温度長さの平板に沿って流速 /s で流れている層流から乱流への遷移レイノルズ数は. とするこのとき平板単位幅あたりの空気へ伝わる熱量を求めよただし乱流部は以下の式を用いて計算せよ N.8.96 e 解 ) バルク温度は壁面温度は膜温度は 6 関連する物性値を SI 単位の基本単位で示しておくバルク流速 /s 板の長さ 6 の空気の動粘性係数 (.9 7.6) 9.9 /s.99 6 の空気のプラントル数 6.78 (.78.78) の空気の熱伝導率 /s

5 6 7.8 (. 7.8) 8.79 W/( K).879 乱流に遷移する位置を板の先端から [] とすれば式 (.) より..99 これを解いて 6. W/( K) 層流部分の平均熱伝達率を求める式 (.) より N /.e h. / /. / / / h h.. / / / / / / / / /. /.66 / / よって層流部分の伝熱量は Q / / l / / 7.8

6 67.7 W 乱流部分の平均熱伝達率を求める問題の与式より N /.96e h.96 / /.96 / / / h h.96 / / /.96 / / /.96 / / / / / / /.7 / よって乱流部分の伝熱量は Q / / ( ).7.7 / / / / / / 6. / / / /

7 W 69 よって求める伝熱量は kw. W l Q Q. 式 (.) を導出せよ解 ) 無次元温度の定義は次の通り (.9) ここでものみの関数であることを仮定するについての微分値を整理する式 (.9) より (..A8) なので (..A9) (..A) (..A) これらと式 (.), (.) を式 (.) に代入して

8 (..A) (..A) 両辺をで割って (..A) (..A) ここで式 (.7) を第項に代入 (..A6) (..A7) (..A8) (..A9) (.) ここで (.). 式 (.) を導出せよ

9 解 ) までの平均熱伝達率は平均の定義から h h (.) これに式 (.8) を代入して h / / /.. / / / /.. 66 /. /. 6 6 / (.a) 式 (.9) でとおけば / h. なので式 (.a) と比較して (..A) / / h. 66. h (.b).6 式 (.) を導出せよ解 ) e e / (.). 6 これを式 (.) に代入. 6. 6

10 ここで式 (.7) を導入して (.).7 式 (.6) から式 (.7) までを導出せよ解 ) 境界条件 ( 式 (.6)) を満たし得る最も簡単な多項式である次式を用いて a b c (.6) と置くに関する境界条件は壁面温度がより (.6a) 式 (.) に壁面上での速度ゼロである条件, v (.6b) を代入してに関する境界条件はバルク温度がより (.6c) 境界の外では温度一定より (.6) 式 (.6) より b c

11 c 6 これらを境界条件に代入して a c b a c c 6 c b a c b 上式より a c これを下式に代入して b b 下側の式を倍して上式から引くとこれを下式に代入 b b これより温度分布は

12 よって温度境界層の厚みがわかれば温度分布がわかるまたこれを変形して (.6) なお教科書ではここで無次元温度を導入しているが実際には何にも使っておらず不要式 (.6) に式 (.) と式 (.6) を代入する式 (.) より今より

13 よって

14 ここで (.66) を導入するを代入して積分の中を整理するよって積分の部分は

15 ここでを用いている最終的に式 (.67) は 8 となるここでを仮定すればよりとおけ (.68) が得られる速度境界層の厚みととの関係は式 (.) で求められている式 (.) を変形して 8

16 としてから代入してここでに注意して (.69) これは線形微分方程式である境界条件はから伝熱が始まるとして

17 : すなわち (.7) : 公式を用いるために微分方程式の両辺を 9 6 線形微分方程式ここで P P で割って Q ep P Q ep P の一般解は C Q 9 6 ep とおいて 9 ep C 6 ep 9 6 ep C 9 ep ln ep ln C 6 ep ln / 9 epln / C 6 9 / 6 / 9 / 6 / 9 / / 6 C C C / 9 / 9 / 6 9 C / 6 境界条件を代入して C 6

18 C 9 6 / 9 C / 6 C よって / / 9 / 6 / / / / / / / / / / / / / / / /. / (.7).8 壁温内径 c の円管内に入口温度の水をで c /s で流す入口から c の部分でのバルク温度はいくらかただし熱伝達率の計算にはハウゼンの式を用いよ解 ) 関係する数値を SI 単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく

19 壁温 7. K. K 内径. 入口温度 b 7. K 9. K 温度測定位置. 体積流量 v / s のプラントル数の動粘性係数の熱伝導率 W K s の密度 998. kg の定圧比熱平均流速を求める c. 8 J kg K v. / s /. / グレッツ数を求める Gz これより N N h e / / Gz /. Gz /.. 9 W 伝わった熱が温度変化分に相当するので h h h ln c c ln b b K b c b 9..

20 h ln c h ln c ln ln ep ln ln ln h c b ep ln h c h c h h h b ep ln ep ep c c c ep K なおここではの物性値を用いて計算したが出口温度が比較的高いのでとこの温度の平均を用いて計算し直すことを繰り返す方が真の値に近づく.9 内径 c の円管内をの水が平均流速 c/s で流れているとき入口から c における局所熱伝達率はいくらか流れが十分に発達している場合の局所ヌッセルト数分布に関する図.8 を用いよ解 ) 関係する数値を SI 単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく内径. 平均流速. / s 熱伝達率決定位置. のプラントル数 / の動粘性係数.. 88 / 9. s の熱伝導率 /. 67 W K

21 グレッツ数を求める Gz e / / Gz. 8 N 壁の条件が与えられていないので伝熱面温度一定を仮定して図.8 より, よって局所熱伝達率は h N,. 67. W K. 式 (.6) より平均のヌッセルト数を求めよ解 ) 平板の始まる部分においては層流であるはずなので位置で乱流に遷移したとして位置までの範囲の乱流部分の平均熱伝達率を求める式 (.6) より N /.96e h.96 / /.96 / / / h h.96 / / /.96 / / /.96 / / / /.7 / / / /

22 . 半径の円管内のある断面での速度分布温度分布が次式で与えられる場合そこでの平均流速と混合平均温度 b を求めよ, 解 ) よりまたより定義より平均流速は混合平均温度 b は

23 b

24 表面温度の直径 c の球の周りを c/s での水を流した場合の伝熱量はいくらか解 ) 式 (.66), (.67) を用いるバルク温度球表面温度膜温度計算に必要な値を SI 単位系の基本単位で表しておく球の直径. 水の流速. /s の水の動粘性係数の水の熱伝導率の水のプラントル数レイノルズ数は /s.79 W/( K).68 /s 7.9 W/( K) /s

25 e よって式 (.67) を用いて N.6e / / /.88 / 8. 6 熱伝達率は h N 熱流束は W/( K).78. W/ q h 伝熱量は Q qa q W. 壁温内径 c の円管内に入口温度の水を /s で流す入口から c におけるバルク温度はいくらかただし熱伝達率の計算にはディッタスベルターの式を用いよ解 ) 代表温度として壁温と入口温度の平均値を用いる壁温度入口温度代表温度計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく管内径. 問題とする位置の入口からの距離. 体積流量 v /s /s. /s

26 平均流速 v /s の水の動粘性係数の水の熱伝導率の水のプラントル数の水の密度の水の比熱容量 c.8.79 /s.79 W/( K).68 kg/ レイノルズ数は kj/(kg K).8 /s 7.9 W/( K) J/(kg K) /s e よってディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い加熱の場合なので指数に. を用いて N 6. /.88.7 /..e..7 熱伝達率は h N W/( K) 求める温度をとすれば伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので伝熱量は Q ln h h ln

27 この伝熱量だけ温度が上昇するので Q vc これらが等しいことを使って ln h vc ln h vc ln h vc h ep vc h ep vc h ep vc ep. この結果からは代表温度はの方が妥当ではあるより正確な値を得るにはここで得られた温度での物性値を用いて計算を繰り返す. 内径 c 長さの管内に常圧で入口温度の水を流す水の平均流速は /s であり管壁は 7 に加熱されている加熱部出口における平均温度はいくらになるかただし熱伝達率の計算にはディッタスベルターの式を用いよ解 ) 代表温度として壁温と入口温度の平均値を用いる壁温度 7 入口温度代表温度 7 6

28 計算に必要な値を SI 単位系の基本単位で表しておく管内径. 管の長さ平均流速 /s /s. /s 6 の水の動粘性係数.7 /s.7 6 の水の熱伝導率.68 W/(K) 6 の水のプラントル数の水の密度 98. kg/ 6 の水の比熱容量 c.8 kj/(kg K).8 レイノルズ数は 6 /s.7 J/(kg K) 7 /s e よってディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い加熱の場合なので指数に. を用いて N.e /.... / 熱伝達率は h N W/( K) 求める温度をとすれば伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので伝熱量は Q ln h この伝熱量だけ温度が上昇するので h ln

29 Q c これらが等しいことを使って ln h c ln h c ln h c h ep c h ep c h ep c ep より正確な値を得るにはここで得られた温度での物性値を用いて計算を繰り返す. 内径の円管内に. MPa の水を流す水の流速は /s であり円管の内面温度は 8 であるこのときの平均熱伝達係数をディタスベルターの式とジーターテイトの式を用いて求めるとそれぞれいくらになるか解 ) 代表温度として壁温と入口温度の平均値を用いる壁温度 8 入口温度

30 8 6 代表温度計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく管内径. 平均流速 c/s /s 6 の水の動粘性係数の水の熱伝導率の水のプラントル数の水の粘性係数 /s.8 W/( K).6 /s.8 W/( K) /s.9 Pa s.9 Pa s 6 の水の動粘性係数レイノルズ数は.66.9 Pa s. Pa s. Pa s e 本来は両式とも適用範囲外なので望ましくないが乱流領域でもあり題意であるのでこのまま計算 < ディッタスベルターの式 > ディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い加熱の場合なので指数に. を用いて N.e /...7. / 熱伝達率は h N W/( K)

31 < ジーターテイトの式 > ディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い加熱の場合なので指数を. として N.7e / /. / / 熱伝達率は h N.6.. W/( K).6 内径内壁温度の円管内に圧力. MPa の水を毎時, kg で流す管入口であった水温を管出口で 8 に上昇させるためには管長はいくら必要であるか解 ) 代表温度として壁温と入口出口温度の平均値の中間である 6 の平均値を用いる壁温度入口温度出口温度代表温度計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく管内径. 質量流量, kg/h 6 kg/s.778 kg/s 8 の水の密度 97.8 kg/

32 平均流速 / /s / の水の動粘性係数.67 /s.67 /s.67 /s 8 の水の熱伝導率.667 W/(K) 8 の水のプラントル数. 9 6 の水の比熱容量 c.96 kj/(kg K).96 J/(kg K) レイノルズ数は e よってディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い加熱の場合なので指数に. を用いて N.e / / 熱伝達率は h N W/( K) 伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので伝熱量は求める管の長さを [] として Q ln h (8 ) (8 ) ln ( ) h ln [W] 一方伝熱量は kg/h の水をから 8 まで加熱するのに必要な熱量でもあるで Q c よって W.86.66

33 を解いて求める長さは.6.7 の水が平均流速 = /s で直径 = 長さ l = の滑らかな円管内を流れているこのときの圧力損失と熱伝達率を求めよただし圧力損失の計算には以下の式を用い熱伝達率の計算にはディッタスベルターの式 ( n =. の場合 ) を用いよ p C l ここで l は管路長さは管直径は流体密度 C は平均流速は摩擦抵抗係数である解 ) 計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく管内径. 管の長さ l 平均流速 /s の水の密度 998. kg/ 6 の水の動粘性係数. /s. /s の水の熱伝導率.99 W/(K) の水のプラントル数レイノルズ数は. e 摩擦係数は教科書の式 (.8) を用いて C.6e よって圧力損失は p C l.9 Pa.9 kpa またディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い加熱の場合なので指数を. として

34 N.e /.. / 熱伝達率は h N W/( K).9 kw/( K).8 直径の円管内をスピンドル油が平均流速 /s で流れているこの温度を入口の 8 からまで冷却したい冷却部では壁温をに保つとすれば冷却部の長さはどれだけ必要かただしジーターテイトの整理式を用いよ解 ) 代表温度として壁温と入口出口温度の平均値の中間である 6 の平均値を用いる壁温度入口温度出口温度 6 代表温度計算に必要な値をSI 単位系の基本単位で表しておく管内径. 平均流速 /s 伝熱工学資料第版 P6 より.8 /s K のスピンドル油の動粘性係数 6.6 /s K のスピンドル油の動粘性係数これより = K のスピンドル油の動粘性係数は /s 8. K のスピンドル油のプラントル数 K のスピンドル油のプラントル数 78. これより = K のスピンドル油のプラントル数は K のスピンドル油の熱伝導率. W/( K) K のスピンドル油の熱伝導率. W/( K) これより = K のスピンドル油の熱伝導率は 6 /s

35 .... W/( K) K のスピンドル油の密度 867 kg/ K のスピンドル油の密度 8 kg/ これより = K のスピンドル油の密度は kg/ c.88 kj/(kg K).88 J/(kg K) K のスピンドル油の比熱容量 c.96 kj/(kg K).96 J/(kg K) K のスピンドル油の比熱容量これより = K のスピンドル油の比熱容量は c J/(kg K).9 J/(kg K) kg/s.697 kg/s 質量流量レイノルズ数は e 乱流への遷移が起きるかどうかぎりぎりのところだが題意に従ってディッタスベルターの式 ( 式 (.68)) を用い冷却の場合なので指数に. を用いて N.e / /.96. 熱伝達率は h N....7 W/( K) 伝熱の駆動力となる温度差が徐々に位置とともに指数関数的に小さくなっていることを踏まえて温度差には対数平均温度差を用いる必要がある (p79 参照 ) ので伝熱量は求める管の長さを [] として Q ln h (8 ) (8 ) ln ( ) h ln [W] 一方伝熱量は.697 kg/s の水を 8 からまで冷却するのに必要な熱量でも

36 あるで Q c よって W を解いて求める長さは 8.

伝熱学課題

伝熱学課題練習問題解答例 < 第 9 章熱交換器 > 9. 入口温度 0 の kg/ の水と入口温度 0 の 0 kg/ の水の間で熱交換を行う前者の出口温度が 40 の時後者の出口温度はいくらか解 ) 式 (9.) を使う,,,, においてどちらの流体も水よりに注意して 0 40 0 0, これを解いて, 9. 0 の水を用いて 0.MPa の飽和蒸気 kg/ と熱交換させ蒸気を復水させること