河澄殲滅Ⅱ

Size: px

Start display at page:

Download "河澄殲滅Ⅱ"

あまめいくのや
5 years ago
Views:

2 , f(x) [a,b] n [ x i,x i ](i=,2, n) inf ( ) sup ( ) s S max sup min inf ( )

3 (n ) n f(x) [a,b] [a,b] 2- wwww f(x),g(x) x 2 + adx = x' = x x 2 + a x x 2 + adx x x 2 + a dx = x x 2 + a x 2 + adx x 2 + a dx = log x + x + a 2 + a x 2 + a dx + C 2 x x2 + a + 2 a log x + x2 + a + C

4 2-2 wwwwwwwww 2-3 px + q x 2 + ax + b dx Arctan px + q x + a 2 dx a b a 2 4b 0 x 4 x 2 5x + 6 dx = 2 x 2 dx x 3 = 2log x 2 log x 3 + C x + x 2 2x + dx = + x = log x 2 x + C 2 ( x ) dx 2 a 2 4b < 0 Arctan x x 2 + 2x + 5 dx = 2(x +) 2(x +) dx 4 x + 2 = 2 log (x +) Tan x + + C dx

5 Arctan ( ) px + q x 2 + ax + b dx (x + c), k (x 2 + ax + b), x l (x 2 + ax + b) m (x + c) k, (x 2 + ax + b) l, x (x 2 + ax + b) m a 2 4b 0 log a 2 4b < 0 Arctan dx = a 2 + x 2 a Arc tan x a + C C

6 2-4 ( ) u = tan x 2 cos x = u2 2u2 2,sin x = + u + u 2 u wwwww u = tan x 2

7 3, dx dt = x x t x x x dx dt dx = dt dx = x x dx = x dt log x = t + c x = Ce t = dx dt dt p(t)

8 x C C(t) C(t) () dy dt = y αy 2 2 dy = dt y αy y + α dy = dt αy log y log αy = t + C

9 (2) dy dt y = 0 y = Ce t C t C(t) d ( ) dt C(t)et C(t)e t = e 2t C'(t)e t + C(t)e t C(t)e t = e 2t C'(t) = e t C(t) = e t + A A y = (e t + A)e t P(t)=0 C C

10 4- ( ) wwwww 0 log xdx logx x=0 0 0 log xdx = lim s 0 s 0 = lim[ x log x x] s limslogs = 0 s 0 s log xdx = lim slog s + s s 0 ( ) 0 log xdx = dx x 0 s 0 lim dx = lim log log s x s 0 s ( ) =

11 ( > p) dx = p x p 0 ( p) ( < p) dx = p x p ( p) 0 e x dx = lim e x s s [ ] 0 = + x 2 s π [ ] t = dx = lim s lim t Tan x 2 π = π 2 x 2 dx = lim s s π [ ] t = lim Sin x t 2 π = π 2

12 4-2 sin x dx + x 2 f(x) [a,b] f (x) g(x) g(x) f(x) b g(x)dx f (x)dx a b a or sin x dx + x 2 sin x 2 sinx - +x sin x + x 2 + x sin x x +x 2 dx = lim + x lim Tan x 2 s t [ ] t s sin x dx + x 2 = π 2 π =π 2 sin x dx + x 2 or ww wwww

13 5 ガンマ関数とベータ関数をガンマ関数といいますガンマ関数には次の性質がありますこの二つを用いると自然数 n に対し Γ( ) 分は問われる可能性があるので一応目を通しておくといいかもが成り立つことがわかりますこの部分積をベータ関数といいますベータ関数はと置換することでとも表せますこれもチェックが必要かもしれません後述の重積分を使うとベータ関数とガンマ関数の間には関係性を見出すことができますまた後ででてくるガウス積分ってやつを用いると ( ) とか訳わかんない式を導くことができちゃいます重積分の項でもう一回触れようと思います

6- 重積分今学期の最重要テーマです感覚的には今までは積分を一回行うことによって面積を求めていたけれどこれからは積分を二重に行うことによって体積を求めてやろうじゃないのって感じですもちろん 3 重 4

D とその上にある曲面で囲まれる部分の体積です ( 下図 ) 右の図を例にとると円柱を斜めにカットしたような図形の体積を求めることになります

という方法で重積分は行われます具体例から入りましょう ( ) が欲しいですどうしようまずは領域 D を描きますどの領域の上の体積を求めるのかを最初に確定させれば考えるのが楽になります D の形は右図のようになります

14 6- 重積分今学期の最重要テーマです感覚的には今までは積分を一回行うことによって面積を求めていたけれどこれからは積分を二重に行うことによって体積を求めてやろうじゃないのって感じですもちろん 3 重 4 重積分もあるけどまずは一番単純な二重積分を説明しますある二変数関数 f(x,y) に対し ( ) を f(x,y) の領域 D における重積分と呼びますこの積分は何を求めているかというとある xy 平面上の領域 D とその上にある曲面で囲まれる部分の体積です ( 下図 ) 右の図を例にとると円柱を斜めにカットしたような図形の体積を求めることになります今までは平面で切断した切断面の面積を求めてそれを積分して体積を出していましたが操作は基本的には同じです変数の片方を固定してもう一方の変数で積分を先に行い固定していた変数を動かして再度積分するという方法で重積分は行われます具体例から入りましょう ( ) が欲しいですどうしようまずは領域 D を描きますどの領域の上の体積を求めるのかを最初に確定させれば考えるのが楽になります D の形は右図のようになりますこの三角形領域と曲線 z=x+y で挟まれる部分の体積を求めろってことですまずは y を固定してみましょう y の値をある値 y に固定すると x の値は右図のように 0~y に限られますしたがってまずは x を 0~y で動かして積分しその次に y を 0~ の範囲で動かして積分するという流れで計算を行えばいいのです y y

15 [ ] [ ] ってな感じで無事体積を求めることができましたここでもう一つ大事な定理を紹介しておきます重積分を行う際に被積分関数によっては先に y を固定すると計算できないなんてこともありますでも実は別に x を固定して y から積分したって y を固定して x から積分したって答えは同じなんですこれを Fubini の定理といいます重積分は言ってしまえばある立体を x か y の平面でぶった切って切断面の面積を求めてからもう一方の変数で積分して体積を出すという高校時代から慣れ親しんだ求積法を体系的にしているだけです重積分においてある変数を固定するというのは切断を表し固定されていない変数で積分は切断面の面積を積分によって求めているにすぎず最後にもう一方の変数の固定を解いて積分は体積を求める作業こう考えれば最初に固定する変数がどれであっても構わないつまり切断する方向が違っても体積は同じでしょと Fubini の定理とはそういう意味ですこの定理が役に立つ問題を一問 ( ) が欲しいです領域はさっきと同じなので割愛これを x を固定して y を動かす操作を先にしようとすると積分不可能ですは中身の y の積分がどうやっても無理ですしかしこんな時には切断する方向を変えてやればいいんですってわけで x と y を入れ替えますなら簡単に求めることができます [ ] ( ) という風にこの範囲はマジで問題演習しといたほうがいい次の項で変数変換について述べますができないと不可の地雷問題はほぼ確実に重積分の問題です黄色い教科書の 5 ページとかやりこんどくといいよ

16 6-2 重積分の変数変換 ( できないと不可 ) 普通の積分でもよく使われる手法置換積分を重積分でも扱えるようにしようというのが目標ですこれから説明することは公式として暗記してしまってくださいいま重積分の変数 x,y を別の変数 u,v に変換することを考えますつまり x を x(u,v),y を y(u,v) に変換するということですしかし変数を変換するということは考える領域の形や関数の形が変わってしまうことを意味しますから積分する際になんらかの手続きが必要になるでしょう ( 置換積分では dx に係数がついたりしましたよね?) 単純に置き換えるだけではいけなかったさてどんな操作が必要になるのでしょうか前作河澄殲滅で説明した変数変換のヤコビ行列に登場してもらいます関数 f(x y) の二変数 x,y が u,v の関数としてそれぞれ x(u,v),y(u,v) と表せるとき f f(x(u v) y(u v)) u x x u f y y u f f(x(u v) y(u v)) v x x v f y y v である (Chain rule) またこの式は f u f v f f x y x u y u x v y と変形できるこのとき右辺の 2 2 行列を x x(u,v) y (u,v) の変数変換のヤコビ行列という v Chain rule とかマジ懐かしいわ実は今までそんなに重要ではなかったこのヤコビ行列が重積分では大活躍するんですわヤコビ行列の行列式をヤコビアンといい ( ( ) ( ) ) で表しますこのヤコビアンが超重要なのでヤコビ行列の形は確実にインプットしてください

17 まず結論から示してしまいますと重積分 f(x y)dxdy において x=x(u,v),y=y(u,v) と置き換えたときこの積分は例えば一番よく使われるのが極座標表示 x=rcosθ y=rsinθ というふうに r と θ の二変数に変換する場合が代表例です f(x(u v) y(u v)) (x y) (u v) というヤコビアンの絶対値を掛けた形で表される dudv x=rcosθ y=rcosθ と置き換え θ=0~2π r=0~2 で考えるとよさげですねしかしこう置き換えてとするだけではいけませんヤコビアンを中に入れてあげなくちゃあかんこの場合ヤコビ行列は ( )=( ) なので行列式を計算すると -r になりこれがヤコビアンになりますただし大事なことが一つあってヤコビアンの絶対値を積分の中に入れなきゃいけないので間違えないようにこの場合は被積分関数に r をかけて積分しなきゃなりませんしたがってを計算すればいいので結果は 8π になります ( 計算は単純なので割愛 ) 絶対値忘れないように! 正関数を積分したのに積分の結果が負になったら不可にするって言ってました w ここも相当問題演習をして訓練を積んでおくことをお勧めします 2 ページとか

~ おまけ ~ ガウス積分という公式があります最後の小テストで触れてたからもういいかなとも思いますが一応小テストでは挟み撃ちとかやってかなり厳密だったけど今回は簡略化して書きますまず, 左辺の積分値をとしますは被積分関数の関数形から, 定義域がことがわかりますは

18 ~ おまけ ~ ガウス積分という公式があります最後の小テストで触れてたからもういいかなとも思いますが一応小テストでは挟み撃ちとかやってかなり厳密だったけど今回は簡略化して書きますまず, 左辺の積分値をとしますは被積分関数の関数形から, 定義域がことがわかりますはであると書いてもと書いても積分値に変わりはありませんねしたがってと変形していくことができますすると重積分に帰着できるので変数変換が使えるってわけですここで, と変数変換をしますすると (3) 式はと書けますについては積分を実行することができてさらに式変形をしていくと

19 となりますただし 2 行目から 3 行目で見やすいように積分変数すなので正の値のみをとってをに置換していまとなりガウス積分の公式を得ることができましたまた先ほどのガンマ関数において Γ ( ) ここでとすればと変形できガウス積分の公式からこれはになることがわかりますもともとガンマ関数は自然数の階乗を表す手段の一つだったわけでこの結果からさっき話したが得られるってわけです

20 6-3 線積分とグリーンの定理だってめんどかったんだもん wwwwwwwwwwwwww それでは試験頑張りましょう! 皆さんが無事殲滅できますように

数学 IB まとめ ( 教科書とノートの復習 ) IB ということで計算に関する話題中心にまとめました理論を知りたい方はのみっちー IA のシケプリを参考にするとよいと思います河澄教授いわくテストはまんべんなく出すらしいですでも重積分 ( 特に変数変換使うもの ) 線積分とグリーンの定理は

数学 IB まとめ ( 教科書とノートの復習 ) IB ということで計算に関する話題中心にまとめました理論を知りたい方はのみっちー IA のシケプリを参考にするとよいと思います河澄教授いわくテストはまんべんなく出すらしいですでも重積分 ( 特に変数変換使うもの ) 線積分とグリーンの定理はほぼ間違いなく出ると思うんで時間がない人はこのあたりに絞ってやるとよいと思います多分前にも書きましたが