<4D F736F F D20824F B CC92E8979D814696CA90CF95AA82C691CC90CF95AA2E646F63>

Size: px
Start display at page:

Download "<4D F736F F D20824F B CC92E8979D814696CA90CF95AA82C691CC90CF95AA2E646F63>"

Transcription

1 1/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 Ⅰ. 直交座標系 ガウスの定理は 微分して すぐに積分すると元に戻るというルールを 3 次元積分に適用した定理になります よく知っているのは 簡単化のため 変数が1つの場合は dj ( d ( ににします全微分 = 偏微分 d = d = J ( + C d です ( 積分定数 C を にしています これを 2 次元積分 ( 面積分 に拡張すると (, (6.1 d d = J (, d (6.2 また 3 次元積分 ( 体積分 に拡張すると (,, (,, (,, ddd = J dd ddd = になります (6.3 の関係がガウスの定理として一般化されます そこで (6.3 を元に の拡張を J dd (6.3 :,, J ( J : J, J, J (6.4 の対応より J( : J = + + とします そうすると (6.3 に対応する 3 次元積分は ddd ddd = ddd J J (6.6 に拡張されます (6.6 より Jddd = + + = ddd ddd + ddd + dd です ここで (6.1 に対応した公式 : より d (6.5 (6.7 d = J, d = J, d = J ( (6.8

2 2/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 J J J dd J dd J d J = J + + ddd dd dd dd = + + d になります 微小面積ベクトル d = ddi+ ddj+ ddkを用いると J J J + + dd dd dd J d J dd J dd J dd ( i+ j+ k ( i+ j+ k J ( = A B + A B + A B = A A A B B B = d (6.9 (6.1 なので (6.9 は Jddd = J d (6.11 が成立します これで ほぼ ガウスの定理 が導出できましたが 実際は 積分範囲を示さないといけま せん 積分範囲を仮に :(,, :(,, :(, 次元の領域を とすると (6.6 は とするとき その積分範囲で囲まれる ( ddd Jddd = J (6.12 と変更されます 公式 (6.8 は 実際は d = (,, J (,, d = J 2 1 (,, (,, d = J J と変更になります 従って 2 1 (,, (,, J J (,, (,, Jddd = d d J 2 J 1 + d d J (,, J (,, 2 1 (,, (,, + d d J 2 J 1 (6.13 (6.14 となります 各項の積分範囲が違うので (6.9 のようにまとめられません これは 直交座標で表していますが 円筒座標や極座標やそれ以外にも色々な座標があります (6.14 から どんな座標にも適用できるように一般化しなければなりません Ⅱ. 一般座標系

3 3/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 座標に依らない表示を考えるために 直交座標での表式 (6.14 の意味するところを図 1 に従って考えてみます 図 の項に対応しています 1 1 は d d J (,, J (,, ddj = da 1 2 図 1 ddj = da そこで 図のように 2 の面 2 の方向を 1 2 とすると da= ddj ( の面 1 の方向 =- 2 の面 2 の方向 (6.16 なので (,, (,, (,, J dd = J ddj = J da J 2 2 = 2 (,, dd (,, dd (,, = J j = J da 1 1 = 1 (6.17 になります ( 問題 1: (,, J (,, J dd = ddj を示せ これより ( = = (,, J (,, (,, (,, dd J = J da + J da ( が得られます 積分範囲を動く (, の値は J d A : = 1 にある面 1 上のす (,, 1 1 = 1 2 図 2 べての点 2 2 J d A : = 2 にある面 2 上のす (,, 1 1 = =, = 2 1 べての点 を表します 例えば = 2, = 1は面上左隅の点を表します そこで 積分範囲として面を指定して示すことにすると 面積分として表せ (,, (,, J d A = J d A = 1 1 (,, d (,, J A = J da = 2 2 (6.19 を得ます さらに

4 4/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 を表すと 積分領域として 囲まれた 方向の領域 記号用いて表せ (,, d = (,, d + (,, d ( 方向のみ J A J A J A ( のように 両面をとる約束とします 以上から 2 2 J (,, d A = d d J(, 2, J(, 1, ( を得ます 結局 これを残りの面に適用して 2 2 (,, ddi = d d J (,, J (,, J (,, ddk = d d J (,, J (,, J (6.22 すべての面の寄与を加えると (,, (,, (,, J dd i + J dd j + J dd k になります ここで 左辺は なので (,, J (,, d J (,, J (,, = d d J + d d d J (,, 2 (,, 1 ( J (,, (,, (,, J(,, ( ddi ddj ddk = + + J ddi+ J ddj + J ddk (6.24 ddi + ddj + ddk = d (6.25 に注意して (6.24 は最終的に (,, d = d d J (,, (,, + d d J (,, J (,, J J d d J (,, 2 (,, 1 ( J と表す事ができます 従って 座標系に依らないガウスの定理として 直交座標系に依存し た表記の体積要素 ddd も d ( olume: 体積 とします : d J = J d ( ガウスの定理 (6.27

5 5/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 になります ((,, のかわりに を用いています 領域は 例え ば 一般の形として図 3 です 閉曲面を とするとき で囲まれた立体の体積が になります 積分領域が図 1 のような直方体の時 J には d は d による面の向きを考慮して各面上の積分を 実行し 結局 (6.14 で計算することになります J = J( d d J J d 図 3 d J Ⅲ. と流速 ここで の数学的定義は = i + j + k で与えられています の物理における 役割について説明しましょう そのため J として 物質の流れを示すベクトル流速 : J を考えます 例えば 水流 ( 水分子の流れ 電流 ( 電子の流れ などであります 従って ミクロのレベルで見ると分子や電子の ( 平均 速度ベクトルに比例することがわかります そこで 速度は 1 秒当りの なので J を 1 秒当りの移動量 ( 流速 1 秒当り 1 m 2 当りの移動量 ( 流速 として考えることにします さて 図 4 のようにある物質が十分小さな箱 ( Δ, Δ, Δ を通って出て行っています もとの大きな箱の微小部分で 大きな箱での流出量はこの微小箱で埋め尽くせば得られます この作業を 数学では積分といいます このとき Δ t 秒間の流出量の質量は 流出量の質量 =1 秒当り箱の面を通る流出量 ( 流速 の変化 Δ J 面の面積 になります ここで 各面積は ΔΔ, ΔΔ, ΔΔ で表せます 微小面積による流出量は 図 4 を参考にして 面は 方向に向いているので流速を J Δ Δ Δ 図 4 面 ΔΔ J (,. J (, +Δ, Δ Δ Δ 体積 : + Δ

6 6/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 と名付けるルールにすると 各面での流速を 面 : J = J,, 面 : J = J,, 面 : J = J,, (6.28 と名前をつけておきます そして ベクトル J として ( : J, J, J J (6.29 とおきます このとき 図 4 から 面の Δ t 秒当りの流出量が計算できて 入った量 : J (,, ΔΔ Δt 出た量: (,, J + Δ ΔΔ Δt (6.3 になります ( 問題 2: 何故 Δt を掛けてあるか? 従って 流出量は ので 流出量 = 出た量 - 入った量で計算できる ( (,, (,, 流出量 = J +Δ J ΔΔ Δt (6.31 になります 残りの面からの流出量を加えて流出量 = J ( +Δ,, J(,, Δ Δ Δ t+ J(, +Δ, J(,, ΔΔ Δt (,, J (,, + J +Δ Δ Δ Δt になります ここで Δ, Δ, Δ のとき (,, J( +Δ,, = J(,, + Δ (,, J(, +Δ, = J(,, + Δ (,, J(,, +Δ = J(,, + Δ が成立 ( テーラー展開の最初の 2 項 します これを (6.32 に代入して 従って 流出量 (,, (,, (,, J t t t = Δ ΔΔΔ+ Δ ΔΔΔ+ Δ ΔΔΔ (,, (,, (,, J = + + Δ Δ Δ Δ (,, (,, (,, t (6.32 (6.33 (6.34 J 流出量 = + + ΔΔΔΔt (6.35

7 7/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 とわかります ここで :,,, J : ( J, J, J( (6.36 なので J J J AB AB AB ( A A A ( B B B J + J + J = J + + = i+ j + k i+ j + k = A B (6.37 が得られます すなわち (,, (,, (,, J 流出量 = + + ΔΔΔΔ t = J ΔΔΔΔt (6.38 と計算されます 従って J は 流出量 ΔΔΔΔ t = J (6.39 になります ΔΔΔ は微小領域の体積になります ここで 流出量 ΔΔΔΔ t = 単位時間当たり単位体積当たりの流出量 (6.4 なので の物理的意味は J は単位時間当り単位体積当りの流出量 とわかりました (6.38 では Δ, Δ, Δ, Δt の極限で d, d, d, dt と表記する ので 流出量 = J( ddddt (6.41 となります これより 測定開始 t 1秒目から終了 t 2 秒目とするとき 全体積 からの流出量は t 2 ddddt dt ddd ( 箱の体積 全流出量 = J = J = (6.42 と計算できます また J は 外に放出 という 発散する 様子を表すので div ( divegenc e: t1 J = J 発散 (6.43 と記述することもあります 従って ガウスの定理は

8 8/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 d J = J d d divj = J d と 2 つの表記でまとめられます Ⅳ. マックスエルの電磁気学 (6.44 電磁気学では 真空中のマックスエルの電磁場方程式は 電場を E ( 電荷密度を ρ と すると 1 E = ρ ( (6.45 ε で与えられます この関係式より (6.27 は J = d E と置いて E = E d (6.46 (6.45 を用いて 全電荷を とすると 1 E d = ρ d = (6.47 ε ε なので より E (6.48 ε = d がわかります これを d を半径 R の球面で計算すると 5 2 重積分と面積分 -Ⅶ. 例 : 球面上の面積分 : 閉じた面より d = R sinθdθdφ (6.49 なので 2 ˆ 2 2 = d = R sinθdθdφˆ = R sinθdθ dφ ˆ ε E E E (6.5 θ= π φ= 2π になります ここで E ˆ = E として E (6.51 とすると (6.5 は π 2π R 2 sinθ d θ d φ E ε = (6.52 ここで E は極座標では E (,, θ φ と表されるが E は ( 角度に依らない 球対称 : at π 2π E = E = R (6.53

9 9/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 と仮定すると π 2π π 2π 2 2 R sinθ d θ d φ E ( R R E ( R sinθ d θ d φ ε = = です 積分は π (6.54 2π sinθdθ dφ = 4π (6.55 になるので ( 問題 3:(6.55 を計算して示せ π 2π RE 2 R RE R ε = = d d 2 sinθ θ φ 4π (6.56 になります つまり E ( R = 2 4πε R (6.57 従って 位置にある電荷 q に働く力 F は F = q X にある電荷に働く力 F R は (6.57 より で与えられるので 中心から R q F( R = qe( R = 2 4πε R (6.58 がえられる これを 力といいます Ⅴ. 演習 閉曲面を とし で囲まれた立体の体積を とするとき ( dd + dd + dd = 3 ( = ddd (6.59 を証明せよ (6.59 は :(,, と d :( dd, dd, dd で表す事ができて dd + dd + dd = d (6.6 従って は dd + dd + dd = d (6.61 となります そこで J = = i+ j + k (6.62 と置けばガウスの定理 (6.27 を利用できるようになり (6.61 は J ddd に等し

10 1/1 平成 23 年 3 月 24 日午後 6 時 52 分 6 ガウスの定理 : 面積分と体積分 くなるので より A A A B B B J = = i+ j + k i+ j + k (6.63 A i+ A j+ Ak B i+ B j+ B k = A B + A B + A B (6.64 を用いて A A A A A A B B B B B B J = i+ j+ k i+ j+ k = + + (6.65 となります ここで なので より = 1, = 1, = 1 (6.66 =3 (6.67 = = 3 J (6.68 です 従って J ddd = 3ddd = 3 = ddd (6.69 が証明できました

<4D F736F F D20824F F6490CF95AA82C696CA90CF95AA2E646F63>

<4D F736F F D20824F F6490CF95AA82C696CA90CF95AA2E646F63> 1/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 5 重積分と面積分 Ⅰ. 重積分 と で 回積分することを 重積分 といいます この 重積分は何を意味しているのでしょう? 通常の積分 (1 重積分 ) では C d 図 1a 1 f d (5.1) 1 f d f ( ) は 図形的には図 1a のように面積を表しています つまり 1 f ( ) を高さとしてプロットすると図

More information

<4D F736F F D20824F E B82CC90FC90CF95AA2E646F63>

<4D F736F F D20824F E B82CC90FC90CF95AA2E646F63> 1/1 平成 3 年 6 月 11 日午前 1 時 3 分 4 ベクトルの線積分 4 ベクトルの線積分 Ⅰ. 積分の種類 通常の物理で使う積分には 3 種類あります 積分変数の数に応じて 線積分 ( 記号 横(1 重 d, dy, dz d ( ine: 面積分 ( 記号 縦 横 ( 重 線 4 ベクトルの線積分 重積分記号 ddy, dydz, dzdz ds ( Surface: 1 重積分記号

More information

<4D F736F F D20824F B834E835882CC92E8979D814690FC90CF95AA82C696CA90CF95AA2E646F63>

<4D F736F F D20824F B834E835882CC92E8979D814690FC90CF95AA82C696CA90CF95AA2E646F63> 1/10 平成 23 年 6 月 1 日午後 4 時 33 分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分 07 ストークスの定理 : 線積分と面積分 ストークスの定理はガウスの定理とともに 非常に重要な定理であり 線積分と面積分の関係を表します つまり ガウスの定理 : 面積分と体積分 ( 体積を囲む閉じた面 = 表面 ) の関係 ストークスの定理 : 線積分と面積分 ( 面積を囲む外周の線 )

More information

<4D F736F F D A CF95AA B B82CC90CF95AA8CF68EAE2E646F63>

<4D F736F F D A CF95AA B B82CC90CF95AA8CF68EAE2E646F63> /8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 複素積分 : コーシーの積分公式 Ⅰ. 閉じた積分経路と円周 積分しなくても線積分の結果が分かる場合の第 弾です それは ( ( π d は正則関数 d! d 積分経路は を囲む (. になります これを コーシーの積分公式といいます 複素積分 : コーシーの積分定理 -Ⅰ. 線積分の実技での線積分では 半径 r の円 周上の閉じた経路

More information

Chap2.key

Chap2.key . f( ) V (V V ) V e + V e V V V V ( ) V V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) () V (0 ) (4) V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) O r θ ( ) ( ) : (r θ) : { r cos θ r sn θ { r + () V (0 ) (4) V ( ) θ θ arg( ) : π π

More information

パソコンシミュレータの現状

パソコンシミュレータの現状 第 2 章微分 偏微分, 写像 豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分 工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分 積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小な に対して傾きを表し, を無限に

More information

応用数学A

応用数学A 応用数学 A 米田 戸倉川月 7 限 1930~2100 西 5-109 V を :x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部とする F = ye x xe y + ze z FdV = V e x e y e z F = = 2e z 2e z dv = 2e z 3 23 = 64π 3 e z y x z 4π V n Fd = 1 F nd 2 F nd 法線ベクトル n g x,

More information

ベクトル公式.rtf

ベクトル公式.rtf 6 章ラプラシアン, ベクトル公式, 定理 6.1 ラプラシアン Laplacian φ はベクトル量である. そこでさらに発散をとると, φ はどういう形になるであろうか? φ = a + a + a φ a + a φ + a φ = φ + φ + φ = 2 φ + 2 φ 2 + 2 φ 2 2 φ = 2 φ 2 + 2 φ 2 + 2 φ 2 = 2 φ したがって,2 階の偏微分演算となる.

More information

<4D F736F F F696E74202D2095A8979D90948A CE394BC A2E707074>

<4D F736F F F696E74202D2095A8979D90948A CE394BC A2E707074> 物理数学 1B( 後半部 ) 担当教員 : 山本貴博 講義内容 : ベクトル場における積分定理 第 1 回目講義 : 平面におけるグリーンの定理 ( 線積分 2 重積分 ) (12 月 11 日 ) 第 2 回目講義 : ガウスの定理 ( 面積分 体積分 ) (12 月 18 日 ) 第 3 回目講義 : ストークスの定理 ( 線積分 面積分 ) (1 月 15 日 ) 第 1 回目講義 : 平面におけるグリーンの定理

More information

DVIOUT-SS_Ma

DVIOUT-SS_Ma 第 章 微分方程式 ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した という有名な逸話があります 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると 重力が働くと始め静止しているものが動き出して そのスピードはどんどん大きくなる つまり速度の変化が現れることがわかります 速度は一般に時間と共に変化します 速度の瞬間的変化の割合を加速度といい で定義しましょう 速度が変化する, つまり加速度がでなくなるためにはその原因があり

More information

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0 /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 (,t の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ ö ç å è = 0 c + ( t =, 0 (. = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ

More information

Microsoft Word - 微分入門.doc

Microsoft Word - 微分入門.doc 基本公式 例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい 基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,

More information

1/10 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 ct 移動 v相対 v相対 ct - x x - ct = c, x c 2 移動

1/10 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 ct 移動 v相対 v相対 ct - x x - ct = c, x c 2 移動 / 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 t t - x x - t, x 静止静止静止静止 を導いた これを 図の場合に当てはめると t - x x - t t, x t + x x + t t, x (5.) (5.) (5.3) を得る

More information

発散.rtf

発散.rtf 4 章発散 発散は重要なベクトル演算の一つであり, 定義は A =diva = lim Δv 0 Δv A d (4.) である.Divergence( ダイバージェンス ) ともいう. この意味は, 微小体積 vを取り囲む全表面 ( 閉曲面という ) 上で, 外向きのベクトル法線成分をすべて加えあわせ, 全体としての量を調べるものである. ベクトルAはどのような向きでもかまわないが, 面ベクトルとの内積

More information

2018年度 筑波大・理系数学

2018年度 筑波大・理系数学 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ < < とする 放物線 上に 点 (, ), A (ta, ta ), B( - ta, ta ) をとる 三角形 AB の内心の 座標を p とし, 外心の 座標を q とする また, 正の実数 a に対して, 直線 a と放物線 で囲まれた図形の面積を S( a) で表す () p, q を cos を用いて表せ S( p) () S(

More information

Microsoft PowerPoint - 第5回電磁気学I 

Microsoft PowerPoint - 第5回電磁気学I  1 年 11 月 8 日 ( 月 ) 1:-1: Y 平成 年度工 系 ( 社会環境工学科 ) 第 5 回電磁気学 Ⅰ 天野浩 項目 電界と電束密度 ガウスの発散定理とガウスの法則の積分形と微分形 * ファラデーの電気力線の使い方をマスターします * 電界と電束密度を定義します * ガウスの発散定理を用いて ガウスの法則の積分形から微分形をガウスの法則の積分形から微分形を導出します * ガウスの法則を用いて

More information

1/12 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 1 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使

1/12 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 1 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使 / 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使う事ができる 最小作用の原理 : 粒子が時刻 から の間に移動したとき 位置 と速度 v = するのが ラグランジュ関数

More information

Laplace2.rtf

Laplace2.rtf =0 ラプラスの方程式は 階の微分方程式で, 一般的に3つの座標変数をもつ. ここでは, 直角座標系, 円筒座標系, 球座標系におけるラプラスの方程式の解き方を説明しよう. 座標変数ごとに方程式を分離し, それを解いていく方法は変数分離法と呼ばれる. 変数分離解と固有関数展開法. 直角座標系における 3 次元の偏微分方程式 = x + y + z =0 (.) を解くために,x, y, z について互いに独立な関数の積で成り立っていると考え,

More information

<4D F736F F D F2095A F795AA B B A815B837D839382CC95FB92F68EAE2E646F63>

<4D F736F F D F2095A F795AA B B A815B837D839382CC95FB92F68EAE2E646F63> 1/8 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 11 分 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 10 複素微分 : コーシー リーマンの方程式 9 複素微分 : 正則関数 で 正則性は複素数 z の関数 f ( z) の性質として導き出しまし た 複素数 z は つの実数, で表され z i 数 u, v で表され f ( z) u i 複素数 z と つの実数, : z + i + です

More information

2011年度 筑波大・理系数学

2011年度 筑波大・理系数学 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ

More information

2 図微小要素の流体の流入出 方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は 以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量 密度 流速 断面 Ⅰ の面積 微小要素の断面 Ⅰ から だけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように

2 図微小要素の流体の流入出 方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は 以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量 密度 流速 断面 Ⅰ の面積 微小要素の断面 Ⅰ から だけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように 3 章 Web に Link 解説 連続式 微分表示 の誘導.64 *4. 連続式連続式は ある領域の内部にある流体の質量の収支が その表面からの流入出の合計と等しくなることを定式化したものであり 流体における質量保存則を示したものである 2. 連続式 微分表示 の誘導図のような微小要素 コントロールボリューム の領域内の流体の増減と外部からの流体の流入出を考えることで定式化できる 微小要素 流入

More information

Microsoft PowerPoint - zairiki_3

Microsoft PowerPoint - zairiki_3 材料力学講義 (3) 応力と変形 Ⅲ ( 曲げモーメント, 垂直応力度, 曲率 ) 今回は, 曲げモーメントに関する, 断面力 - 応力度 - 変形 - 変位の関係について学びます 1 曲げモーメント 曲げモーメント M 静定力学で求めた曲げモーメントも, 仮想的に断面を切ることによって現れる内力です 軸方向力は断面に働く力 曲げモーメント M は断面力 曲げモーメントも, 一つのモーメントとして表しますが,

More information

Microsoft Word - EM_EHD_2010.doc

Microsoft Word - EM_EHD_2010.doc H のための電磁気学 機能材料工学科阿部洋 . 電磁気学電磁気学電磁気学電磁気学の基礎基礎基礎基礎 - マクスウェルマクスウェルマクスウェルマクスウェルの応力応力応力応力静電場の条件は e div ρ ( ) ot ( ) である 体積 V で電荷密度 ρ e に働く力はクーロン力から ρ dv F e ( 3) と表せる ( 3) 式に ( ) を代入すると ( ) dv div F ( 4) となる

More information

物性基礎

物性基礎 水素様原子 水素原子 水素様原子 エネルギー固有値 波動関数 主量子数 角運動量 方位量子数 磁気量子数 原子核 + 電子 個 F p F = V = 水素様原子 古典力学 水素様原子 量子力学 角運動量 L p F p L 運動方程式 d dt p = d d d p p = p + dt dt dt = p p = d dt L = 角運動量の保存則 ポテンシャルエネルギー V = 4πε =

More information

線積分.indd

線積分.indd 線積分 線積分 ( n, n, n ) (ξ n, η n, ζ n ) ( n-, n-, n- ) (ξ k, η k, ζ k ) ( k, k, k ) ( k-, k-, k- ) 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W は 次式で計算された A, A, W : d 6 d+ d+ d@,,, d+ d+

More information

数学 t t t t t 加法定理 t t t 倍角公式加法定理で α=β と置く. 三角関数

数学 t t t t t 加法定理 t t t 倍角公式加法定理で α=β と置く. 三角関数 . 三角関数 基本関係 t cot c sc c cot sc t 還元公式 t t t t t t cot t cot t 数学 数学 t t t t t 加法定理 t t t 倍角公式加法定理で α=β と置く. 三角関数 数学. 三角関数 5 積和公式 6 和積公式 数学. 三角関数 7 合成 t V v t V v t V V V V VV V V V t V v v 8 べき乗 5 6 6

More information

F コンデンサーの静電容量高校物理において コンデンサーは合同な 2 枚の金属板を平行に並べたものである 電池を接続すると 電圧の高い方 (+ 極 ) に接続された金属板には正の電気量 Q(C) が 低い方には負の電気量 -Q(C) が蓄積される 正負の電気量の絶対値は等しい 蓄積された電気量 Q

F コンデンサーの静電容量高校物理において コンデンサーは合同な 2 枚の金属板を平行に並べたものである 電池を接続すると 電圧の高い方 (+ 極 ) に接続された金属板には正の電気量 Q(C) が 低い方には負の電気量 -Q(C) が蓄積される 正負の電気量の絶対値は等しい 蓄積された電気量 Q 電磁気の公式の解説 更新日 :2017 年 5 月 11 日 A 電気量電荷と電気量は何が違うのだろうか? 簡単に言うと 電気を帯びたものを電荷といい その電荷の大きさを数字で表すものが電気量である 電荷と電気量の本来の意味は少し違うが 実際には同じ意味で使われることが多い 電気量は次のように決められる ファラデー定数 9.65 10 4 (C /mol ) より電子 6.02 10 23 個が電気量

More information

物性物理学 I( 平山 ) 補足資料 No.6 ( 量子ポイントコンタクト ) 右図のように 2つ物質が非常に小さな接点を介して接触している状況を考えましょう 物質中の電子の平均自由行程に比べて 接点のサイズが非常に小さな場合 この接点を量子ポイントコンタクトと呼ぶことがあります この系で左右の2つ

物性物理学 I( 平山 ) 補足資料 No.6 ( 量子ポイントコンタクト ) 右図のように 2つ物質が非常に小さな接点を介して接触している状況を考えましょう 物質中の電子の平均自由行程に比べて 接点のサイズが非常に小さな場合 この接点を量子ポイントコンタクトと呼ぶことがあります この系で左右の2つ 物性物理学 I( 平山 ) 補足資料 No.6 ( 量子ポイントコンタクト ) 右図のように つ物質が非常に小さな接点を介して接触している状況を考えましょう 物質中の電子の平均自由行程に比べて 接点のサイズが非常に小さな場合 この接点を量子ポイントコンタクトと呼ぶことがあります この系で左右のつの物質の間に電位差を設けて左から右に向かって電流を流すことを行った場合に接点を通って流れる電流を求めるためには

More information

Microsoft Word - thesis.doc

Microsoft Word - thesis.doc 剛体の基礎理論 -. 剛体の基礎理論初めに本論文で大域的に使用する記号を定義する. 使用する記号トルク撃力力角運動量角速度姿勢対角化された慣性テンソル慣性テンソル運動量速度位置質量時間 J W f F P p .. 質点の並進運動 質点は位置 と速度 P を用いる. ニュートンの運動方程式 という状態を持つ. 但し ここでは速度ではなく運動量 F P F.... より質点の運動は既に明らかであり 質点の状態ベクトル

More information

応用数学Ⅱ 偏微分方程式(2) 波動方程式(12/13)

応用数学Ⅱ 偏微分方程式(2) 波動方程式(12/13) 偏微分方程式. 偏微分方程式の形 偏微分 偏導関数 つの独立変数 をもつ関数 があるとき 変数 が一定値をとって だけが変化したとす ると は だけの関数となる このとき を について微分して得られる関数を 関数 の に関する 偏微分係数 略して偏微分 あるいは偏導関数 pil deiie といい 次のように表される についても同様な偏微分を定義できる あるいは あるいは - あるいは あるいは -

More information

2011年度 大阪大・理系数学

2011年度 大阪大・理系数学 0 大阪大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を自然数とする O を原点とする座標平面上で行列 A= a の表す 次変換 を f とする cosθ siθ () >0 および0θ

More information

人間科学部研究年報平成 24 年 (1) (2) (3) (4) 式 (1) は, クーロン (Coulomb) の法則とも呼ばれる.ρは電荷密度を表し,ε 0 は真空の誘電率と呼ばれる定数である. 式 (2) は, 磁荷が存在しないことを表す式である. 式 (3) はファラデー (Faraday)

人間科学部研究年報平成 24 年 (1) (2) (3) (4) 式 (1) は, クーロン (Coulomb) の法則とも呼ばれる.ρは電荷密度を表し,ε 0 は真空の誘電率と呼ばれる定数である. 式 (2) は, 磁荷が存在しないことを表す式である. 式 (3) はファラデー (Faraday) 複素振幅をもつ球面波の人間科学部研究年報 Maxwell 平成 24 方程式年 複素振幅をもつ球面波の Maxwell 方程式 Maxwell Equation of Spherical Wave with Complex Amplitude 戸上良弘 Yoshihiro TOGAMI Abstract 複素振幅をもつ球面波に関して, マクスウェル (Maxwell) 方程式との関係を考察した. 電気的な球面波としてのスカラーポテンシャルが与えられたとき,

More information

ÿþŸb8bn0irt

ÿþŸb8bn0irt 折戸の物理 スペシャル補習 http://oritobuturi.co/ NO.5(009..16) 今日の目的 : 1 物理と微分 積分について 微分方程式について学ぶ 3 近似を学ぶ 10. 以下の文を読み,[ ア ]~[ ク ] の空欄に適当な式をいれよ 物体物体に一定の大きさの力を加えたときの, 物体の運動について考え よう 右図のように, なめらかな水平面上で質量 の物体に水平に一定の大きさ

More information

ÿþŸb8bn0irt

ÿþŸb8bn0irt 折戸の物理 スペシャル補習 http://orito-buturi.com/ NO.3 今日の目的 : 1 微分方程式をもう一度 三角関数の近似について学ぶ 3 微分の意味を考える 5. 起電力 の電池, 抵抗値 の抵抗, 自己インダクタンス のコイルとスイッチを用いて右図のような回路をつくった 始めスイッチは 開かれている 時刻 t = でスイッチを閉じた 以下の問に答えよ ただし, 電流はコイルに

More information

ニュートン重力理論.pptx

ニュートン重力理論.pptx 3 ニュートン重力理論 1. ニュートン重力理論の基本 : 慣性系とガリレイ変換不変性 2. ニュートン重力理論の定式化 3. 等価原理 4. 流体力学方程式とその基礎 3.1 ニュートン重力理論の基本 u ニュートンの第一法則 = 力がかからなければ 等速直線運動を続ける u 等速直線運動に見える系を 慣性系 と呼ぶ ² 直線とはどんな空間の直線か? ニュートン理論では 3 次元ユークリッド空間

More information

Microsoft Word - mathtext8.doc

Microsoft Word - mathtext8.doc 8 章偏微分と重積分 8. 偏微分とは これまで微分を考える際 関数は f という形で 関数値がつの変数 に依存している場合のみを扱ってきました しかし一般に変数はつとは決まっておらず f のように 複数の変数を持つ関数も考えなければなりません そ こでこの節では今まで学んできた微分を一般化させ 複数の変数に対応した偏微分と呼ばれるものについて説明します これまでの微分を偏微分と区別したいとき 常微分という呼び方を用います

More information

2017年度 長崎大・医系数学

2017年度 長崎大・医系数学 07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () 0 のとき, si + cos の最大値と最小値, およびそのときの の値 をそれぞれ求めよ () e を自然対数の底とする > eの範囲において, 関数 y を考える この両 辺の対数を について微分することにより, y は減少関数であることを示せ また, e< < bのとき, () 数列 { } b の一般項が,

More information

スライド 1

スライド 1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 球面波 回折 (. グリーンの定理. キルヒホッフの積分定理 3. ホイヘンスの原理 4. キルヒホッフの回折公式 5. ゾンマーフェルトの放射条件 6. 補足 付録 (90~904 のアプローチ : 回折 (diffaction までの道標. 球面波 (pheical wave のみ対象 : スカラー表示. 虚数単位 i を使用する 3. お詫び : 自己流かつ説明が飛躍する場面があります

More information

1/30 平成 29 年 3 月 24 日 ( 金 ) 午前 11 時 25 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ) 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (2.18) より ˆ dp 1 1 =

1/30 平成 29 年 3 月 24 日 ( 金 ) 午前 11 時 25 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ) 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (2.18) より ˆ dp 1 1 = / 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (.8 より ˆ ( ( ( q -, ( ( c ( H c c ë é ù û - Ü + c ( ( - に限る (. である 一方 フェルミ型は 成分をもち その成分を,,,,

More information

例題1 転がり摩擦

例題1 転がり摩擦 重心 5.. 重心問題解法虎の巻. 半円 分円. 円弧. 扇形. 半球殻 5. 半球体 6. 厚みのある半球殻 7. 三角形 8. 円錐 9. 円錐台. 穴あき板. 空洞のある半球ボール 重心問題解法虎の巻 関西大学工学部物理学教室 齊藤正 重心を求める場合 質点系の重心の求め方が基本 実際の物体では連続体であるので 積分形式で求める場合が多い これらの式は 次元のベクトル形式で書かれている通り つの式は実際には

More information

座標系.rtf

座標系.rtf 2 章座標系 場 空間は3 次元なので, ベクトルを表現するには少なくとも3 成分を指定する必要がある. そのために座標系が必要となる. 座標系として最も一般的なものは,,, 成分を使った直角座標系である. しかし, 他にも円柱座標, 球座標, だ円座標, 放物線座標など様々なものがある. 現在までに3 成分で変数分離可能な座標系は11 個あるといわれている (Moon & Spencer, Field

More information

2010年度 筑波大・理系数学

2010年度 筑波大・理系数学 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f( x) x ax とおく ただしa>0 とする () f( ) f() となるa の範囲を求めよ () f(x) の極小値が f ( ) 以下になる a の範囲を求めよ () x における f(x) の最小値をa を用いて表せ -- 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 C : y six ( 0

More information

PowerPoint プレゼンテーション

PowerPoint プレゼンテーション 電磁波工学 第 5 回平面波の媒質への垂直および射入射と透過 柴田幸司 Bounda Plan Rgon ε μ Rgon Mdum ( ガラスなど ε μ z 平面波の反射と透過 垂直入射の場合 左図に示す様に 平面波が境界面に対して垂直に入射する場合を考える この時の入射波を とすると 入射波は境界において 透過波 と とに分解される この時の透過量を 反射量を Γ とおくと 領域 における媒質の誘電率に対して透過量

More information

固体物理2018-1NKN.key

固体物理2018-1NKN.key , `, m`, m s ` ` apple m` apple ` m` m s m s ± E H m x () () () A si x A si x () () () () H m x () 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

More information

喨微勃挹稉弑

喨微勃挹稉弑 == 全微分方程式 == 全微分とは 変数の関数 z=f(, ) について,, の増分を Δ, Δ とするとき, z の増分 Δz は Δz z Δ+ z Δ で表されます. この式において, Δ 0, Δ 0 となる極限を形式的に dz= z d+ z d (1) で表し, dz を z の全微分といいます. z は z の に関する偏導関数で, を定数と見なし て, で微分したものを表し, 方向の傾きに対応します.

More information

Microsoft PowerPoint - 夏の学校(CFD).pptx

Microsoft PowerPoint - 夏の学校(CFD).pptx /9/5 FD( 計算流体力学 ) の基礎理論 性能 運動分野 夏の学校 神戸大学大学院海事科学研究科勝井辰博 流体の質量保存 流体要素内の質量の増加率 [ 単位時間当たりの増加量 ] 単位時間に流体要素に流入する質量 流体要素 Fl lm (orol olm) v ( ) ガウスの定理 v( ) /9/5 = =( ) b=b =(b b b ) b= b = b + b + b アインシュタイン表記

More information

Microsoft PowerPoint - 応用数学8回目.pptx

Microsoft PowerPoint - 応用数学8回目.pptx 8- 次の 標 : 複素関数 ( 正則関数 ) の積分 8- 実関数 : 定積分 講義内容 名城 学理 学部材料機能 学科岩 素顕 複素関数の積分について学ぶ 複素関数の積分 複素積分の性質 周回積分の解法 コーシーの積分定理 コーシーの積分公式 グルサーの公式 - 定義 複素関数の積分 : 線積分 今後の内容 区分的に滑らかな曲線に沿って複素関数の積分を計算する 複素関数の積分の性質に関して議論する

More information

数学 ⅡB < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 1 大小関係の公理 順序 (a > b, a = b, a > b 1 つ成立 a > b, b > c a > c 成立 ) 順序と演算 (a > b a + c > b + c (a > b, c > 0 ac > bc) 2 図

数学 ⅡB < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 1 大小関係の公理 順序 (a > b, a = b, a > b 1 つ成立 a > b, b > c a > c 成立 ) 順序と演算 (a > b a + c > b + c (a > b, c > 0 ac > bc) 2 図 数学 Ⅱ < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 大小関係の公理 順序 >, =, > つ成立 >, > > 成立 順序と演算 > + > + >, > > 図形の公理 平行線の性質 錯角 同位角 三角形の合同条件 三角形の合同相似 量の公理 角の大きさ 線分の長さ < 空間における座漂とベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル

More information

OCW-iダランベールの原理

OCW-iダランベールの原理 講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理 無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明する これを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになる また, 後半では, ダランベールの原理の応用として ラグランジュ方程式の導出を示す

More information

Microsoft Word - t30_西_修正__ doc

Microsoft Word - t30_西_修正__ doc 反応速度と化学平衡 金沢工業大学基礎教育部西誠 ねらい 化学反応とは分子を構成している原子が組み換り 新しい分子構造を持つことといえます この化学反応がどのように起こるのか どのような速さでどの程度の分子が組み換るのかは 反応の種類や 濃度 温度などの条件で決まってきます そして このような反応の進行方向や速度を正確に予測するために いろいろな数学 物理的な考え方を取り入れて化学反応の理論体系が作られています

More information

平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A 札幌医科大学 年 P ab, を正の定数とする 平面上において ( a, を中心とする円 Q 4 C と (, b を中心とする円 C が 原点 O で外接している また P を円 C 上の点と

平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム A 札幌医科大学 年 P ab, を正の定数とする 平面上において ( a, を中心とする円 Q 4 C と (, b を中心とする円 C が 原点 O で外接している また P を円 C 上の点と 平成 年 月 7 日 ( 土 第 75 回数学教育実践研究会アスティ 45 ビル F セミナールーム 微分積分の拡張 変数関数問題へのアプローチ 予選決勝優勝法からラグランジュ未定乗数法 松本睦郎 ( 札幌北高等学校 変数関数の最大値 最小値に関する問題には多様なアプローチ法がある 文字を固定した 予選決勝優勝法, 計算のみで解法する 文字消去法, 微分積分を利用した ラグランジュ未定乗数法 がある

More information

<4D F736F F D20837D834E B95FB92F68EAE>

<4D F736F F D20837D834E B95FB92F68EAE> マクスウエルの方程式 Akio Arimoto, Monday, November, 7. イントロ長野 []p.4 に証明抜きで以下のような解説がある 次節以下これを証明していきたいと思う grad f «df d dx =,, rot «( i i), [ ] div «d ( dx dx + dx dx + dx dx ) æ f f f æ f f f rot grad f = rot( df

More information

2014年度 筑波大・理系数学

2014年度 筑波大・理系数学 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G

More information

平面波

平面波 平面波 図.に示すように, 波源 ( 送信アンテナあるいは散乱点 ) から遠い位置で, 観測点 Pにおける波の状態を考えてみる. 遠いとは, 波長 λ に比べて距離 が十分大きいことを意味しており, 観測点 Pの近くでは, 等位相面が平面とみなせる状態にある. 平面波とは波の等位相面が平面になっている波のことである. 通信や計測を行うとき, 遠方における波の振舞いは平面波で近似できる. したがって平面波の性質を理解することが最も重要である.

More information

c y /2 ddy = = 2π sin θ /2 dθd /2 [ ] 2π cos θ d = log 2 + a 2 d = log 2 + a 2 = log 2 + a a 2 d d + 2 = l

c y /2 ddy = = 2π sin θ /2 dθd /2 [ ] 2π cos θ d = log 2 + a 2 d = log 2 + a 2 = log 2 + a a 2 d d + 2 = l c 28. 2, y 2, θ = cos θ y = sin θ 2 3, y, 3, θ, ϕ = sin θ cos ϕ 3 y = sin θ sin ϕ 4 = cos θ 5.2 2 e, e y 2 e, e θ e = cos θ e sin θ e θ 6 e y = sin θ e + cos θ e θ 7.3 sgn sgn = = { = + > 2 < 8.4 a b 2

More information

機構学 平面機構の運動学

機構学 平面機構の運動学 問題 1 静止座標系 - 平面上を運動する節 b 上に2 定点,Bを考える. いま,2 点の座標は(0,0),B(50,0) である. 2 点間の距離は 50 mm, 点の速度が a 150 mm/s, 点 Bの速度の向きが150 である. 以下の問いに答えよ. (1) 点 Bの速度を求めよ. (2) 瞬間中心を求めよ. 節 b a (0,0) b 150 B(50,0) 問題 1(1) 解答 b

More information

Microsoft Word - 1B2011.doc

Microsoft Word - 1B2011.doc 第 14 回モールの定理 ( 単純梁の場合 ) ( モールの定理とは何か?p.11) 例題 下記に示す単純梁の C 点のたわみ角 θ C と, たわみ δ C を求めよ ただし, 部材の曲げ 剛性は材軸に沿って一様で とする C D kn B 1.5m 0.5m 1.0m 解答 1 曲げモーメント図を描く,B 点の反力を求める kn kn 4 kn 曲げモーメント図を描く knm 先に得られた曲げモーメントの値を

More information

スライド 1

スライド 1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) マクスウェルの方程式 : 真空中 () 1. 電磁波 ( 光波 ) の姿 : 真空中. エネルギー密度 3. ポインティング ベクトル 4. 絵解き : ポインティング ベクトル 5. ポインティング ベクトル : 再確認 6. 両者の関係 7. 付録 : ベクトル解析 注意 1. 本付録 : マクスウェルの方程式: 微分型 を使用. マクスウェルの方程式を数学的に取扱います

More information

第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解 教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題 問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2

第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解 教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題 問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2 第 4 週コンボリューションその, 正弦波による分解 教科書 p. 6~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題 問. 以下の図にならって, と の δ 関数を図示せよ. - - - δ () δ ( ) - - - 図 δ 関数の図示の例 δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) - - - - - - - -

More information

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学 波動方程式と量子力学 谷村吉隆 京都大学理学研究科化学専攻 http:theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp TA: 岩元佑樹 iwamoto.y@kuchem.kyoto-u.ac.jp ベクトルと行列の作法 A 列ベクトル c = c c 行ベクトル A = [ c c c ] 転置ベクトル T A = [ c c c ] AA 内積 c AA = [ c c c ] c =

More information

(Microsoft Word - \216\221\227\277\201i\220\333\223\256\201jv2.doc)

(Microsoft Word - \216\221\227\277\201i\220\333\223\256\201jv2.doc) 宇宙工学基礎講義資料摂動 ( 松永担当分 ) ベクトル行列演算 ) 微分演算の定義 [ ] ) 微分公式 ( ベクトル記法と行列記法 ) E E ここで E は単位行列 チルダ演算は外積演算と等価の反対称行列を生成する演算 : ( ) ) 恒等演算式 : 次元列ベクトル ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E ) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

More information

PowerPoint プレゼンテーション

PowerPoint プレゼンテーション 米田 戸倉川月 7 限 193~21 西 5-19 応用数学 A 積分定理 Gaussの定理 divbd = B nds Stokesの定理 E bds = E dr Green の定理 g x f y dxdy = fdx + gdy = f e i + ge j dr Gauss の発散定理 S n FdS = Fd 1777-1855 ドイツ Johann arl Friedrich Gauss

More information

第1章 様々な運動

第1章 様々な運動 自己誘導と相互誘導 自己誘導 自己誘導起電力 ( 逆起電力 ) 図のように起電力 V V の電池, 抵抗値 R Ω の抵抗, スイッチS, コイルを直列につないだ回路を考える. コイルに電流が流れると, コイル自身が作る磁場による磁束がコイルを貫く. コイルに流れる電流が変化すると, コイルを貫く磁束も変化するのでコイルにはこの変化を妨げる方向に誘導起電力が生じる. この現象を自己誘導という. 自己誘導による起電力は電流変化を妨げる方向に生じるので逆起電力とも呼ばれる.

More information

Microsoft Word - cavitation.doc

Microsoft Word - cavitation.doc 音響キャビテーション ヤング ラプラスの式 A B dl g C ヤングは 二つの流体の境界に厚さの無視できる架空の膜が存在し しかもこの膜には張力が作用するというモデルを考えた. すなわち 図に示すように 気泡表面と交わる平面 ABC を考えたとき 表面の接線方向の単位長さ dl 当たり g の力が作用していると考え この力を表面張力とよんだ. 次元は [N/m][J/m] となる. 気相と液相が接する界面には表面張力が働く

More information

2018年度 東京大・理系数学

2018年度 東京大・理系数学 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母

More information

Microsoft PowerPoint - ロボットの運動学forUpload'C5Q [互換モード]

Microsoft PowerPoint - ロボットの運動学forUpload'C5Q [互換モード] ロボットの運動学 順運動学とは 座標系の回転と並進 同次座標変換行列 Denavit-Hartenberg の表記法 多関節ロボットの順運動学 レポート課題 & 中間試験について 逆運動学とは ヤコビアン行列 運動方程式 ( 微分方程式 ) ロボットの運動学 動力学 Equation of motion f ( ( t), ( t), ( t)) τ( t) 姿勢 ( 関節角の組合せ ) Posture

More information

スライド 1

スライド 1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) デルタ関数. ローレンツ関数. ガウス関数 3. Sinc 関数 4. Sinc 関数 5. 指数関数 6. 量子力学 : デルタ関数 7. プレメリの公式 8. 電磁気学 : デルタ関数 9. デルタ関数 : スケール 微分 デルタ関数 (delta function) ( ) δ ( ) ( ), δ ( ), δ ( ), δ ( ) f x x dx

More information

3回

3回 30 第 3 章ベクトルの微分法 キーワードベクトル ベクトルの演算 ゼロベクトル マイナスのベクトル ベクトルの定数倍 定数ベクトル 関数ベクトル ベクトルの成分表示 ベクトルの微分法 速度ベクトル 加速度ベクトル 極率 極率半径 ベクトルのスカラー積 ベクトル積 3.1 ベクトルの演算 1kgの質量や m 3 の体積などのように量で与えるものをスカラーと呼ぶ これに対し 北東の風 風速 m/sのように方向と大きさで与えるものをベクトルと呼ぶ

More information

Chap3.key

Chap3.key 区分求積法. 面積 ( )/ f () > n + n, S 長方形の和集合で近似 n f (n ) リーマン和 f (n ) 区分求積法 リーマン和 S S n n / n n f ()d リーマン積分 ( + ) + S (, f ( )) 微分の心 Zoom In して局所的な性質を調べる 積分の心 Zoom Ou して大域的な性質を調べる 曲線の長さ 領域の面積や体積 ある領域に含まれる物質の質量

More information

数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 ) 1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期

数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 ) 1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期 数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 )1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期 ) (2) 次の関数を微分せよ (ⅰ) を正の定数とする (ⅱ) (ⅳ) (ⅵ) ( 解答 )(1) 年群馬大学

More information

第9章

第9章 第 9 章光の量子化これまでは光を古典的電磁波として扱い 原子を量子力学システムとして与え 電磁波と原子に束縛された電子との相互作用ポテンシャルを演算子で表現した この表現の中で電磁波の電場はあくまでも古典的パラメータとして振舞う ここでは この電磁波も量子力学的システム ; 電場と磁場をエルミート演算子で与える として表現する その結果 電磁波のエネルギー密度や運動量密度なども演算子として表せれる

More information

補足 中学で学習したフレミング左手の法則 ( 電 磁 力 ) と関連付けると覚えやすい 電磁力は電流と磁界の外積で表される 力 F 磁 電磁力 F li 右ねじの回転の向き電 li ( l は導線の長さ ) 補足 有向線分とベクトル有向線分 : 矢印の位

補足 中学で学習したフレミング左手の法則 ( 電 磁 力 ) と関連付けると覚えやすい 電磁力は電流と磁界の外積で表される 力 F 磁 電磁力 F li 右ねじの回転の向き電 li ( l は導線の長さ ) 補足 有向線分とベクトル有向線分 : 矢印の位 http://totemt.sur.ne.p 外積 ( ベクトル積 ) の活用 ( 面積, 法線ベクトル, 平面の方程式 ) 3 次元空間の つのベクトルの積が つのベクトルを与えるようなベクトルの掛け算 ベクトルの積がベクトルを与えることからベクトル積とも呼ばれる これに対し内積は符号と大きさをもつ量 ( スカラー量 ) を与えるので, スカラー積とも呼ばれる 外積を使うと, 平行四辺形や三角形の面積,

More information

2014年度 千葉大・医系数学

2014年度 千葉大・医系数学 04 千葉大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 袋の中に, 赤玉が 3 個, 白玉が 7 個が入っている 袋から玉を無作為に つ取り出し, 色を確認してから, 再び袋に戻すという試行を行う この試行を N 回繰り返したときに, 赤玉を A 回 ( ただし 0 A N) 取り出す確率を p( N, A) とする このとき, 以下の問いに答えよ () 確率 p( N, A) を N と

More information

Taro-F25理論 印刷原稿

Taro-F25理論 印刷原稿 第 種理論 A 問題 ( 配点は 問題当たり小問各 点, 計 0 点 ) 問 次の文章は, 真空中の静電界に関する諸法則の微分形に関する記述である 文中の に当てはまるものを解答群の中から選びなさい 図のように, 直交座標系において電界の z 軸成分が零となるような電界について, y 平面の二次元で電位や電界を考える ここで,4 点 (h,0),(0,h), (- h,0),(0,-h) の電位がそれぞれ

More information

2019 年 6 月 4 日演習問題 I α, β > 0, A > 0 を定数として Cobb-Douglas 型関数 Y = F (K, L) = AK α L β (5) と定義します. (1) F KK, F KL, F LK, F LL を求めましょう. (2) 第 1 象限のすべての点

2019 年 6 月 4 日演習問題 I α, β > 0, A > 0 を定数として Cobb-Douglas 型関数 Y = F (K, L) = AK α L β (5) と定義します. (1) F KK, F KL, F LK, F LL を求めましょう. (2) 第 1 象限のすべての点 09 年 6 月 4 日演習問題 I α, β > 0, A > 0 を定数として Cobb-Douglas 型関数 Y = F K, L) = AK α L β 5) と定義します. ) F KK, F KL, F LK, F LL を求めましょう. ) 第 象限のすべての点 K, L) R ++ に対して F KK K, L) < 0, かつ dethf )K, L) > 0 6) を満たす α,

More information

以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ

以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ 以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する

More information

Microsoft Word - 9章(分子物性).doc

Microsoft Word - 9章(分子物性).doc 1/1/6 9 章分子物性 1 節電気双極子モーメント (Electric Dipole Moment) 電子双極子モーメント とは 微小な距離 a だけ離れて点電荷 q が存在する状態 絶対値は aq で 負電荷 q から正電荷 q へ向かうベクトルである 例えば 水分子は下右図のような向きの電気双極子モーメントをもち その大きさは約 1.85D である このように元々から持っている双極子モーメントを

More information

<4D F736F F F696E74202D20836F CC8A C58B858B4F93B982A882E682D1978E89BA814091B28BC68CA48B E >

<4D F736F F F696E74202D20836F CC8A C58B858B4F93B982A882E682D1978E89BA814091B28BC68CA48B E > バットの角度 打球軌道および落下地点の関係 T999 和田真迪 担当教員 飯田晋司 目次 1. はじめに. ボールとバットの衝突 -1 座標系 -ボールとバットの衝突の前後でのボールの速度 3. ボールの軌道の計算 4. おわりに参考文献 はじめに この研究テーマにした理由は 好きな野球での小さい頃からの疑問であるバッテングについて 角度が変わればどう打球に変化が起こるのかが大学で学んだ物理と数学んだ物理と数学を使って判明できると思ったから

More information

電磁気学 A 練習問題 ( 改 ) 計 5 ページ ( 以下の問題およびその類題から 3 題程度を定期試験の問題として出題します ) 以下の設問で特に断らない限り真空中であることが仮定されているものとする 1. 以下の量を 3 次元極座標 r,, ベクトル e, e, e r 用いて表せ (1) g

電磁気学 A 練習問題 ( 改 ) 計 5 ページ ( 以下の問題およびその類題から 3 題程度を定期試験の問題として出題します ) 以下の設問で特に断らない限り真空中であることが仮定されているものとする 1. 以下の量を 3 次元極座標 r,, ベクトル e, e, e r 用いて表せ (1) g 電磁気学 A 練習問題 ( 改 ) 計 5 ページ ( 以下の問題およびその類題から 題程度を定期試験の問題として出題します ) 以下の設問で特に断らない限り真空中であることが仮定されているものとする. 以下の量を 次元極座標,, ベクトル e, e, e 用いて表せ () gad () ot A (). 以下の量を 次元円柱座標,, z 位ベクトル e e, e, z 用いて表せ () gad ()

More information

Microsoft PowerPoint EM2_15.ppt

Microsoft PowerPoint EM2_15.ppt ( 第 5 回 ) 鹿間信介摂南大学理工学部電気電子工学科 後半部 (4~5 章 ) のまとめ 4. 導体 4.3 誘電体 5. 磁性体 5. 電気抵抗 演習 導体表面の電界強度 () 外部電界があっても導体内部の電界は ( ゼロ ) になる () 導体の電位は一定 () 導体表面は等電位面 (3) 導体表面の電界は導体に垂直 導体表面と平行な成分があると, 導体表面の電子が移動 導体表面の電界は不連続

More information

スライド 1

スライド 1 電流と磁場 目次 0. はじめにー物質の磁気的性質と磁場ー 1. 磁石と磁場 2. 電流のつくる磁場 (1) 3. 磁場中の運動する荷電粒子に働く磁気力 ( ローレンツ力 ) 4. 磁場中の電流に働く力 ( アンペアの力 ) 5. 平行または反平行電流の間に働く磁気力 6. 電流のつくる磁場 (2)- ビオ サバールの法則 7. アンペアの法則 ( アンペアの回路定理 ) 8. 磁場 に対するガウスの法則付録

More information

DVIOUT

DVIOUT 1 体積 1.1 初めに この中では積分は第一基本量 ( 微分幾何 ) を用いて計算する 基本量の 意味を知らなくても別に気にする必要はなく 計算をたどって行けば理解 できるように書いてある 計算するものは球の体積なので カルテシアン 座標 (x-y 座標の畏まった言い方 ) ではなく 球座標を用いるようになる 球座標も x-y 座標と同様に直交座標であるので 扱うのに便利である 通 常は体積などを計算するために座標変換すると

More information

2015年度 京都大・理系数学

2015年度 京都大・理系数学 05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの関数 y= si( x+ ) と y = six のグラフの 0 x の部分で囲まれる領域 を, x 軸のまわりに 回転させてできる立体の体積を求めよ ただし, x = 0 と x = は領域を囲む線とは考えない -- 05 京都大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ次の つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ

More information

2015-2017年度 2次数学セレクション(複素数)解答解説

2015-2017年度 2次数学セレクション(複素数)解答解説 05 次数学セレクション解答解説 [ 筑波大 ] ( + より, 0 となり, + から, ( (,, よって, の描く図形 C は, 点 を中心とし半径が の円である すなわち, 原 点を通る円となる ( は虚数, は正の実数より, である さて, w ( ( とおくと, ( ( ( w ( ( ( ここで, w は純虚数より, は純虚数となる すると, の描く図形 L は, 点 を通り, 点 と点

More information

2018年度 2次数学セレクション(微分と積分)

2018年度 2次数学セレクション(微分と積分) 08 次数学セレクション問題 [ 東京大 ] > 0 とし, f = x - x とおく () x で f ( x ) が単調に増加するための, についての条件を求めよ () 次の 条件を満たす点 (, b) の動きうる範囲を求め, 座標平面上に図示せよ 条件 : 方程式 f = bは相異なる 実数解をもつ 条件 : さらに, 方程式 f = bの解を < < とすると > である -- 08 次数学セレクション問題

More information

2016年度 筑波大・理系数学

2016年度 筑波大・理系数学 06 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ k を実数とする y 平面の曲線 C : y とC : y- + k+ -k が異なる共 有点 P, Q をもつとする ただし点 P, Q の 座標は正であるとする また, 原点を O とする () k のとりうる値の範囲を求めよ () k が () の範囲を動くとき, OPQ の重心 G の軌跡を求めよ () OPQ の面積を S とするとき,

More information

5-仮想仕事式と種々の応力.ppt

5-仮想仕事式と種々の応力.ppt 1 以上, 運動の変数についての話を終える. 次は再び力の変数に戻る. その前に, まず次の話が唐突と思われないように 以下は前置き. 先に, 力の変数と運動の変数には対応関係があって, 適当な内積演算によって仕事量を表す ことを述べた. 実は,Cauchy 応力と速度勾配テンソル ( あるいは変位勾配テンソル ) を用いると, それらの内積は内部仮想仕事を表していて, そして, それは外力がなす仮想仕事に等しいという

More information

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 37 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は

1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 37 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は /7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は 素粒子を質量 とすると ì x : ( ct, x, y, z) :,,, ì c ct ç + y (, t) ç å

More information

2018年度 神戸大・理系数学

2018年度 神戸大・理系数学 8 神戸大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ t を < t < を満たす実数とする OABC を 辺の長さが の正四面体とする 辺 OA を -t : tに内分する点を P, 辺 OB を t :-tに内分する点を Q, 辺 BC の中点を R とする また a = OA, b = OB, c = OC とする 以下の問いに答えよ () QP と QR をt, a, b, c を用いて表せ

More information

経済数学演習問題 2018 年 5 月 29 日 I a, b, c R n に対して a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( a, b) + 2( b, c) + 2( a, c) が成立することを示しましょう.( 線型代数学 教科書 13 ページ 演習 1.17)

経済数学演習問題 2018 年 5 月 29 日 I a, b, c R n に対して a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( a, b) + 2( b, c) + 2( a, c) が成立することを示しましょう.( 線型代数学 教科書 13 ページ 演習 1.17) 経済数学演習問題 8 年 月 9 日 I a, b, c R n に対して a + b + c a + b + c + a, b + b, c + a, c が成立することを示しましょう. 線型代数学 教科書 ページ 演習.7 II a R n がすべての x R n に対して垂直, すなわち a, x x R n が成立するとします. このとき a となることを示しましょう. 線型代数学 教科書

More information

数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ

数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ 数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュレーションによって計算してみる 4.1 放物運動一様な重力場における放物運動を考える 一般に質量の物体に作用する力をとすると運動方程式は

More information

学習指導要領

学習指導要領 (1) いろいろな式 学習指導要領紅葉川高校学力スタンダードア式と証明展開の公式を用いて 3 乗に関わる式を展開すること ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算ができるようにする 三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し そ 3 次の因数分解の公式を理解し それらを用いて因数れらを用いて式の展開や因数分解をすること また 分解することができるようにする 整式の除法や分数式の四則計算について理解し

More information

Microsoft Word - 断面諸量

Microsoft Word - 断面諸量 応用力学 Ⅱ 講義資料 / 断面諸量 断面諸量 断面 次 次モーメントの定義 図 - に示すような形状を有する横断面を考え その全断面積を とする いま任意に定めた直交座標軸 O-, をとり また図中の斜線部の微小面積要素を d とするとき d, d () で定義される, をそれぞれ与えられた横断面の 軸, 軸に関する断面 次モーメント (geometrcal moment of area) という

More information

Microsoft Word - Chap17

Microsoft Word - Chap17 第 7 章化学反応に対する磁場効果における三重項機構 その 7.. 節の訂正 年 7 月 日. 節 章の9ページ の赤枠に記載した説明は間違いであった事に気付いた 以下に訂正する しかし.. 式は 結果的には正しいので安心して下さい 磁場 の存在下でのT 状態のハミルトニアン は ゼーマン項 と時間に依存するスピン-スピン相互作用の項 との和となる..=7.. g S = g S z = S z g

More information

2014年度 名古屋大・理系数学

2014年度 名古屋大・理系数学 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ空間内にある半径 の球 ( 内部を含む ) を B とする 直線 と B が交わっており, その交わりは長さ の線分である () B の中心と との距離を求めよ () のまわりに B を 回転してできる立体の体積を求めよ 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数 t に対して 点 P( t, t ), Q(

More information

Microsoft PowerPoint EM2_15.ppt

Microsoft PowerPoint EM2_15.ppt ( 第 5 回 ) 鹿間信介摂南大学理工学部電気電子工学科 後半部 (4~5 章 ) のまとめ 4. 導体 4.3 誘電体 5. 磁性体 5. 電気抵抗 演習 静電誘導電界とその重ね合わせ 導体内部の電荷 : 外部電界 誘導電界の重ね合わせ電界を感じる () 内部電荷自身が移動することで作り出した電界にも反応 () さらに移動場所を変える (3) 上記 ()~() の繰り返し 最終的に落ち着く状態

More information

vecrot

vecrot 1. ベクトル ベクトル : 方向を持つ量 ベクトルには 1 方向 2 大きさ ( 長さ ) という 2 つの属性がある ベクトルの例 : 物体の移動速度 移動量電場 磁場の強さ風速力トルクなど 2. ベクトルの表現 2.1 矢印で表現される 矢印の長さ : ベクトルの大きさ 矢印の向き : ベクトルの方向 2.2 2 個の点を用いて表現する 始点 () と終点 () を結ぶ半直線の向き : ベクトルの方向

More information

スライド 1

スライド 1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) マクスウェルの応力テンソル (). ある領域に作用する力 2. 応力テンソル 3. 力の総和と応力テンソル 4. ローレンツ力 5. マクスウェルの方程式 6. 孤立系 注意. 本付録 : マクスウェルの応力テンソル(stress tesor) 2. 簡単のため 個々の電荷が真空中をバラバラに運動する孤立系を考えます 3. 背景は真空とします 真空中の誘電率と透磁率を使用します

More information

ギリシャ文字の読み方を教えてください

ギリシャ文字の読み方を教えてください 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー ( 小西克享 ) 慣性モーメント -1/6 テーマ 01: 慣性モーメント (Momet of ietia) コマ回しをすると, 長い時間回転させるには重くて大きなコマを選ぶことや, ひもを早く引くことが重要であることが経験的にわかります. 遊びを通して, 回転の運動エネルギーを増やせば, 回転の勢いが増すことを学習できるので, 機械系の学生にとってコマ回しも大切な体験学習のひとつと言えます.

More information

宇宙機工学 演習問題

宇宙機工学 演習問題 宇宙システム工学演習 重力傾度トルク関連. 図に示すように地球回りの円軌道上を周回する宇宙機の運動 を考察する 地球中心座標系を 系 { } 軌道面基準回転系を 系 { } 機体固定系を 系 { } とする 特に次の右手直交系 : 地心方向単位ベクトル 軌道面内 : 進行方向単位ベクトル 軌道面内 : 面外方向単位ベクトル 軌道面外 を取る 特に この { } Lol Horiotl frme と呼ぶ

More information