情報科学と数学複素数の基礎 3 情報科学分野でのでの複素数複素数 複素関数論複素関数論情報科学分野において複素数は必須の知識といえる 特に, 以下のような領域で使われる 複素数の知識が必要となる講義科目も多い ハードウェア設計設計の基礎 3 学期 電気回路 電磁気学,4 学期 電子回路 通信 信号処

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1 情報科学と数学複素数の基礎 情報科学分野でのでの複素数複素数 複素関数論複素関数論情報科学分野において複素数は必須の知識といえる 特に, 以下のような領域で使われる 複素数の知識が必要となる講義科目も多い ハードウェア設計設計の基礎 学期 電気回路 電磁気学,4 学期 電子回路 通信 信号処理信号処理 4 学期 線形システム入門 応用確率論,5 学期 情報通信 信号処理,6 学期 制御工学 画像処理 画像 音声の圧縮方式, 音声認識での周波数スペクトル表現など 自然現象のモデルモデル化シミュレーション電気回路, 電子回路といった分野の技術計算では日常的に複素数を使う また波動現象など, 振動 が関係している全ての分野で, 複素数が関係してくる 演習問題 [] 複素共役に関する補足 )A,B をそれぞれ複素数とするとき,A + B の複素共役を求めよ ) 以下の複素数について, 絶対値の二乗を求めよ 4 + ( + )(4 + ) + 解答例 ) ( A + B) A + ( B) A B 式に含まれる全ての複素数の複素共役を取る 4 + ) z とおくと, + z zz ( a + b)( a b) a ( b) a + b z と整理してから求めてもよいが 5 + この方が簡単なことが多い ( + )(4 + ) z とおくと, z zz ( + )(4 + ){( + )(4 + )} ( + )(4 + )( )(4 ) ( + )( )(4 + )(4 ) z ( + )(4 + ) と整理してから計算してもよい 電気電子回路と情報科学就職してから, 電気回路や電子回路をきちんと勉強しておけば良かった と感じる卒業生が多いという話を聞きました 情報科学と社会講義資料 -

2 演習問題 [] オイラーの公式 極形式を使った計算 ) 以下の極形式の複素数を直交形式に変換せよ ただし,n は整数である e e π / e π / 4 4 e π π / 5 e nπ 6 e nπ 7 e π / 6 8 e π / ) 以下の式を計算せよ e e ( e ) ( + ) ) e e e を用いることで, 三角関数の加法定理, cos( + ) cos cos sn sn sn( + + を導け ) sn cos cos sn e : 回転因子 ze : 複素数平面上で z を だけ回転したものになる e πn / は, z の解 (n, は整数 ) ( e πn / ) e πn となることから明らかなように, e πn / 上の単位円上に 個存在し, それぞれ,( e 0 ), e は方程式 z の解となる つまり, z の解は複素数平面 π π, e π, e,, e π ( ) で与えられる 三角関数 (trgonometrc functon), 加法定理 (angle sum and dfference denttes, addton and subtracton theorems), 情報科学と社会講義資料 -

3 演習問題の解答例 [] ) e π π π + cos + sn / e π / π π cos + sn / 4 e π π π + cos + sn 4 4 π nπ 4 e cosπ + snπ 5 e 6 e ( ) 6 7 e π π π + cos + sn 6 6 ) e e ) / + ) + 8 e π / e ( e ) e (を e e e と間違う人が多いそうです ) ( e e e の両辺でオイラーの公式を使うと, cos( + ) + sn( + ) (cos + sn)(cos + sn) cos cos sn sn + (sn cos + cos sn) 左辺と右辺の実部, 虚部を比較することで, cos( + ) cos cos sn sn sn( + + ) sn cos cos sn nπ n 正弦波の複素表現 正弦波信号の複素表現 ae ω + 正弦波信号 a cos( t ) を扱うときに, 複素関数 ( ω t + ) を使う ae ( ωt + ) a cos( ωt + ) + a sn( ωt + ) ( ω t + ) となるので, ae は, 実部が実際の信号の変動と一致し, 虚部が実際の信号と直交しているような複素関数である ( 下の図では虚数単位を j と表記 している Im a j( π f t+ ) a e t 0 Re なぜ工学システムシステムではでは正弦波正弦波と複素三角関数複素三角関数を使うのか 正弦波は, 線形 線形かつかつ時不変時不変なシステムシステムの固有信号固有信号 正弦波を線形 時不変なシステムに入力すると, 同じ周波数の正弦波正弦波が出力出力される. このことはシステムを扱う際に非常に重要な意味を持つ. 線形 時不変なシステムで入力信号を様々な周波数の正弦波に分解して考えるとき, それぞれの成分に対しては, 同じ周波数の成分しか現れない. つまり, 正弦波を基本信号とするとき, 入力信号と出力信号出力信号の中の同じ周波数を持つ成分同士成分同士が 対 に関連関連している. そして入出力関係としては, 入力したした正弦波正弦波の振幅振幅が何倍何倍になり位相位相がどれだけずれるかがどれだけずれるかということだけ考えれば良いことになる. 複素三角関数で表すとすと入出力入出力を比例関係比例関係で把握把握できる正弦波を複素三角関数で表すと, 入力と出力は複素の比例係数を持つ比例関係として表される. このことにより, 数学的な取り扱いが容易になり, 入出力関係を直観的に理解しやすいものになる. a cos( π f t + ) 信号やシステムシステムを周波数周波数の領域領域で考えることができる周波数により信号の 変化の速さ を量的に捉えることが可能になる. 周波数領域で信号信号やシステムシステムを扱うことは, 直観的な把握を可能にし, 信号処理システムの解析や設計の際にも便利である. t 情報科学と社会講義資料 -

4 複素数の内部表現 つの実数のペアで表現できる 幾つかのプログラミング言語 ( 後述 ) では, 複素数のデータ型と, それに対する四則演算を使うことができる FORTRA: 科学技術用のプログラミング言語として開発され, 初期のバージョンから複素数型のデータを使えた (958 年から開発された FORTRA II で COMPLEX 型が追加された ) C 言語 :999 年に制定された標準仕様 (C99) から複素数がサポートされるようになった プログラムの中で, 虚数単位は I のような定数データとして表現できる Matlab: 数値解析ソフトウェアの Matlab では, 特に型の宣言をしないで, や j を虚数単位として使うことができる Mama: 数式処理システムの Mama では % で虚数単位を表せる 例 :Mama による複素関数計算 ω ω ( 0 通信などに使うディジタルフィルタの特性を表す関数のつ, g ω) e cosω e + をグラフ に描かせた 変数 ωは 0~πの範囲, 関数の値は db( デシベル ) による対数尺度でグラフ化してある Db() : 0log()/log(0); omega0 : %p/; g(omega) : Db(abs(-cos(omega0)ep(-%omega)+ep(-%omega))); plotd( g(omega), [omega, 0,%p], [, -60,0] ); ディジタルフィルタの一種の特性を表す関数 ( 伝達関数 ) を計算した ディジタルフィルタは通信や音響信号処理などに使われる この例の伝達関数は, 特定の周波数の信号を阻止する ノッチ フィルタ のものだ ω 参考文献志賀浩二 : 複素数 0 講, 朝倉書店 (989) 情報科学と社会講義資料 -4

5 質問 意見 ( 抜粋 ) と回答例 (Q: 質問,C: 意見,R: 要求,A: 回答 ) Q: そもそも複素共役とは, 何のための表現なのですか?( 複数の質問 ) A: 直交形式で書くと,z a + b の複素共役は, 虚数部の符号を反転したz a b で与えられます 極形式だと, z re に対しz re となります 極形式の方が, 意味が分りやすいのではないでしょうか 複素数の位相の符号を反転したものが複素共役です 信号処理の分野ですが, 複素数 zに複素共役 z を乗算すると, 位相が打ち消されて実数 r が得られる, というのが応用としてはよく使われると思います あと, 理論的な式変形で, z zz や, Re( z) ( z + z ) /, Im( z) ( z z ) / ( ) もよく使います Q: 共役ってどういう意味ですか? A: 数学的な意味は上の回答の通りです 共役の 役 は当て字で, もともとは, 軛 ( くびき ) という字です 軛は, 馬車や人力車で 本の梶棒を結びつける横木 だそうです つのものが結びついてセットになっているものということですが, 数学以外に聞いたことはありません ( 昨年度の質問と回答も参考にしてください ) C/Q:なぜ z zz となるのか, わからなかった ( 質問が多数 )なぜ絶対値を求めるのに, 複素共役を乗算するのか? A: 証明は簡単です z a + b とするとき, zz ( a + b)( a b) a b + ( ba ab) a + b z となります 絶対値を速く正確に求めるために行っているのではなくて, 理論的な取り扱いのときに使うことがあります C: 自分はソフトと数学がどのように関わっているかよく理解しているが, プログラムを打ったことがない人には, 最後の説明は分りにくかったと思う A: たぶん, そうだと思います 最後の部分は例を見せただけで, すぐに理解することまでは期待していませんでした 昨年度は, この話の後も担当しましたので, 補足もできたのですが Q: これから専門科目の講義に入って行く際に, 複素数については今回の講義内容をおさえておけば大丈夫でしょうか? さらに自学しておくべきでしょうか? A: この後, 学習をスタートするに際して必要最低限の知識を, お話ししたつもりです しかし練習の量という点では, この 回の講義だけでは, ぜんぜん足りません C/R: 複素数は実際に使われる数字なのに数学のルールが当てはまらないというのが, よくわからないというか, 不思議だった もし他にそういう数字などがあれば知りたいです A: 4 元数 とか 8 元数 があります 4 元数は,CG( コンピュータグラフィックス ) などの分野で使われているようです なお, 質問の前半の部分には誤解があるようです 工学で実際に使われている数だが, 日常的な数学のルールが当てはまらない ということでしょうか? 複素数は数学的なルールに従っています 子供の頃は 存在しないモノの個数を表すゼロ とか, ある数に足すと, 減ったりゼロになったりする負の数 などが登場して, 何とか, それを 数 として実感できるようになってきました 複素数も, そのような, ちゃんとした 数 です Q: ゲーム機のコントローラをポインタとして使うのも, 複素数を使っているのですか? A: 複素数とは直接関係ありません スクリーンで使えるかどうかテストしていました ( 三軸加速度センサの設計に複素数が使われている可能性はありますが )W リモコンをプレゼン用の道具に使おうと考えたきっかけは, 今まで使っている無線付のレーザポインタの電池がすぐ消耗してしまうのと, ちょっと離れると, 無線通信が効かなくなるからです W リモコンは Bluetooth インタフェースが付いているので, これだと距離 50m くらいまで届くみたいだし, 三軸加速度センサの精度は高いようだし, なんといってもコストパフォーマンスが高いのが魅力です ( その後, 米沢キャンパスの大教室でテストして, 何とか使えることを確認しました ) Q: 電気回路や電子回路をきちんと勉強しておけば良かった という感想を言っていた卒業生は, 主にどんな所に就職していたのですか? A: 確か,EC 系のソフトウェア関連企業だったと思います 最近は, 組込みソフトなどの需要もありますから, 回路の知識の必要性は増えています Q: アナログの音をデジタルの数値に変換しているということですが, そのとき, きっちり正確に変換するのは, 数を使う限り不可能なのではないかと思いますが A: はい, その通りです 量子化誤差 は避けられません デモでお見せしたフリーソフトも, 内部表現は 6 ビット整数なので, 768~+767 の範囲の整数でしか表せません 量子化誤差が実用上問題ないようにすることは可能ですし, アナログのままよりも, 伝送や保存しても, さらに劣化することがないので, 現在では, デジタル化して扱うことが主流になっています (Ver Good) Q:- で 自然現象のモデル化 とあるが, 具体的にどういったものですか? A: 例えば, 地震, 天候の変化などがあります 物体に力が加わって歪んだり移動したりする現象をコンピュータで扱う場合, 複素数を使った微分方程式の解を求めることになります Q: 線形かつ時不変 とは何ですか? A: 入出力関係が, 線形 ( 例えば比例関係のような, 重ね合わせが成り立つ性質 ) で, その特性が時間で変化しないようなシステムのことです 詳しくは 年の後期の 線形システム入門 で学びます C: 演習問題を解くことで, わからなかったことも, だんだんわかるようになってきました わかると楽しく解くことができました A: わかると楽しい です 私の講義のスローガンは 楽しいしい講義, 厳しいしい評価評価 なので, 覚えておいてください ( なーにを偉そうに 退屈な講義, 大甘な評価 の癖に と言われそう ) C: e π / が z A: π n/ π n の解である, というのが, いまいちわからなかった ( e ) e となることから, 明らかです 情報科学と社会講義資料 -5

6 C: なぜ C 言語というのでしょうか? A: B 言語の次に開発されたから です 詳しくは, 来週以降の講義資料のどこかに書いたはず 数学に関するする疑問疑問 コメント ( 以下は全て 名からのからの質問質問 コメント, 短く編集編集してあります ) C/Q: e π より, log( ) π として 真数が負の対数 を定義できるか? 例 : log( ) log + log( ) log + π A: できます 対数関数の定義域の複素数への拡張は, z re の両辺の対数を取った,log( z) log( re ) log r + という形になります ド モアブルの公式を,n が自然数の場合について証明していたが, n が負の場合についても示さなければならないのでは? A: もちろんそうです しかし, 講義の時に こんな感じで と言いましたように, メンドくさいので詳しいところは省略しました なお, 負の n については, 自然数の場合について証明した後で, (cos + sn ) n / (cos + sn ) n /{cos( n ) + sn( n )} {cos( n ) sn( n )}/{cos ( n ) + sn ( n )} cos( n ) + sn( n ) のようにして導くこともできます 加法定理から三角関数の微分を導出 三角関数のテイラー展開を求める sn,cos のテイラー展開からオイラーの公式を導出 オイラーの公式から加法定理を導出, となって,- は 証明 にはなっていないのでは? もちろん, 別の微分導出 5 4 法があったり, sn /! + / 5!, cos /! + / 4! と定義しなおせば, その限りではないが ( + ) A: 演習問題は e e e を用いることで, 三角関数の加法定理加法定理を導け とあるように, 証明証明せよせよ ではありません なお, 三角関数の微分は, 加法定理を使わなくても, 図で導出する方法もあります (Ver Good) C: これまで, ありがとうございました 米沢の講義を楽しみにしています ( 複数の方からコメントあり ) A: こちらこそです 質問表に, わからないところなどを書いてもらうおかげで, 説明の方法をいろいろ工夫して, 楽しかったです 皆さん, 名の落伍者も無く米沢に来てくれることをお祈りしています なお, 昨年度は私 人で全部担当したのですが, 第 8 週と中間試験の監督, そして来週から期末試験の監督までは山内先生が担当されます 配布資料やスライドショーの一部は, 私が作ったものを利用されるでしょうから, わかり難いところがあったら私の責任ですので, 時間があれば手直しや補足資料を作ることになるでしょう Q: 複素数は Java などの言語でも使えるのですか? A: 標準の言語仕様としては, 定義されていないと思いますが,Java などでは自分で定義して作ることができると思います 昨年度までのまでの質問質問と回答回答の例より C: について説明がほとんどなく意味がわからない ( というコメントは つだけ ) A: 複素共役は説明したはずですが ( 資料 0-5) 複素数 z の複素共役を z や z などと表す この講義では論理否定を A のように表すことにしたので, を使うことにする と言ったと記憶しています Q: 複素共役共を ふくそきょうやく と読んでいますが, 私は高校のときに ふくそきょうえき と習いました どちらが正しいのでしょうか ( 質問 件 ) A: きょうやく が正式のようです 辞書でもそのようになっています なお, 本来の文字は 共軛 で, これに音の同じ 共役 を当てたのだそうです 軛 とは くびき です 呉音ではヤク, 漢音ではアクなので, きょうえき とは読めません 実は私も高校のときに きょうえき と習いました ( 同じ高校でも, 別の教師は きょうやく だったようです ) 高校卒業以降は, 周りは皆 きょうやく 言っていました どうも, 高校の数学教師の中には きょうえき と読むのだと習った人達が ( 今でも ) いるようです 地域的なものがあるのかもしれません ( 秋田市内の高校でしたが ) Q: 正弦波信号なのに, なぜ cos を使うのか? A: これもよくある質問です 正弦波信号 (snusodal wave, snusod) は sn も cos も含む呼び方ですので, 覚えておきましょう R: 資料の脚注は, 講義の最後にでも解説してもらえないでしょうか? A: 時間があれば, 口頭で説明しましょう Q: FORTRA は大学で習いますか? A: 今は,C,Java をプログラミング演習などで習います FORTRA は研究室によって使うところがあるでしょう 以前は, 数値計算をするなら, 数値計算用のライブラリが充実している FOTRA を使いました 実際,C 言語に比べて計算は速かったです ( 特に 次元配列を使うとき ) 今は,C 言語でも数値計算ライブラリが使えるようになりました Q: 今回作ったプログラムは何言語を使ったのですか? A: 複素数平面上の単位円を等速度で動く値 のデモは,Matlab を使いました 周波数スペクトル解析のは, フリーソフトウェアです Q: 数学の話が終わって, ほっとしました A: 私もほっとしました ( なんて言ったら, ダメですね ) でも, 数学を教えるのだったら, もっと時間をかけます この講義では, 厳密な議論はしないで, イメージを持つことを優先しました 最後に強調したいのは, 数学からは逃げられない, ということです 英語や日本語からも 情報科学と社会講義資料 -6