大気環境シミュレーション

Size: px

Start display at page:

Download "大気環境シミュレーション"

れいなよどぎみ
5 years ago
Views:

1 第 3 回

2 (Q) 各自 eelを用いて次の漸化式 + = の解の初期値依存性を調べよ.は50まで () 0 =.0 () 0 =.5 (3) 0 =.0 締切 04 年月 6 日 ( 月 ) 夕方まで提出先 347 室オーバーフロー失敗ゴメンなさい

3 (Q) 各自 eelを用いて次の漸化式 + = の解の初期値依存性を調べよ.は50まで () 0 =.330 () 0 =.33 (3) 0 =.33 (4) 0 =.333 締切 04 年月 4 日 ( 火 ) 第時限まで提出先 347 室

4 今回と次回にわたって次の式を計算してもらう 0 を差分式にしてみる時間項 = 移流項 + 拡散項

5 , どうしてこのような数値を選ぶのか理解する時間項 : リープフロッグ空間差分 : 中央差分

6 次元線形移流拡散式 _ プログラム作成 ()

7 () () (3) (4) (5) (6).0, 0., 0., 0., 0., 0., 0.,.0, 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.8,.5,, ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) 宿題 : () から (6) までの ( 振幅 ) の図を描け 04 年月 0 日 ( 月 ) 午後 5 時まで 347 室

8 時間発展 Δ Δ Δ 時間微分を含む次の方程式 g( ) について差分化する時間間隔を Δ としステップ目の値をと書き表すと以下のような差分式で表せる ( ) / g( ) () ( ( ) / ) /() g( g( ) ) () (3)

9 - + + 時間発展 Δ Δ Δ ( ) / g( ) () ( ) / g( ) () ( ) /() g( ) (3) () 陽解法 (eplii sheme) ステップの値から + ステップの値が直ちに求まる解は必ずしも安定ではない () 陰解法 (implii sheme) + ステップの計算は複雑解は安定 (3) リープフロッグ法 (lep-rog sheme) - ステップの値が必要解は中立

10 線形移流方程式についての移流方程式 u 0 移流項 u( / ) は非線形のため複雑なのでここでは簡単のため移流速度は ( 0) で一定であるとする 0 移流項は線形化され解析解が求まる

11 線形移流方程式の解において変数 X, T をのように置くとこれを利用して線形移流方程式を書き直すと = 0 におけるの分布を維持したまま速さで移動 0 T X X X X T T X T X X T T 0 T

12 線形移流方程式の解 =

13 () 拡散方程式拡散方程式 ( 0) は拡散係数で定数とする拡散方程式の解は上に凸 ( / < 0) のところで減少 ( / < 0) し下に凸 ( / > 0) のところで増加 ( / > 0) するので分布を平滑化させる解となる

14 拡散方程式の厳密解 (, ) H(0) H Ae (, ) H( )si k e ( 0) は拡散係数で定数とする問題 : 方向には周期的と仮定する解 : d H d k b b H si k H e 0 b k b

15 線形移流拡散方程式の厳密解において変数 X, T をのように置くとこれを利用して線形移流拡散方程式を書き直すと速さで移動しながら拡散するような解 0 T X X X X T T X T X X T T X T

16 線形移流拡散方程式の解 =

17 線形移流方程式の差分近似 ( 復習 ) 時間微分については陽解法を採用空間微分に中心差分を用いると ±/ の補間をとすると

18 線形移流方程式の差分近似線形移流方程式を中心差分で差分近似すると整理すると

19 差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 0

20 差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 0

21 差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 0

22 差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 30

23 差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 40

24 差分解の例 ( 中心差分 ) Δ = s Δ = m = 0.3 m/s = 50

25 拡散方程式の差分近似 ( 復習 ) 拡散方程式を陽解法と中心差分で差分近似すると整理すると + +

26 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 0

27 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 0

28 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 0

29 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 30

30 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 40

31 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3 = 50

32 拡散方程式の差分解 Δ = s Δ = m = 0.3

33 安定性 - ノイマン法 ( 復習 ) 変数 (, ) を空間方向についてフーリエ変換すると (, ) Ak ( )ep( ik) k ノイマン (vo Neum) の安定条件 : 時間発展とともにあらゆる波数 k の振幅 A k () が増幅しないこと

34 安定性 - ノイマン法差分点 ( = Δ, = Δ) におけるの値を A ep( i k ) とおき λ = A + / A の大きさを求めて以下のように判別する安定不安定全ての k について安定なら無条件安定

35 λ = λ r + i λ i ( λ r,λ i は実数 ) λ : r i これまで講義したことを復習する : 移流スキーム : 陽解法 + 中央差分拡散スキーム : 陽解法 + 中央差分

36 () 移流方程式の安定性陽解法中心差分での移流方程式の差分形式についての波数 k の振幅の式は A k i A A ) si( ) si( k i A A

37 () 移流方程式の安定性振幅の大きさ λ は si ( k) となり従って陽解法中心差分による移流方程式の差分解法は無条件不安定である = 0.3 m/s Δ = s Δ = m

38 () 拡散方程式の安定性拡散方程式の差分形式 : 陽解法現在値の拡散についてフーリエ変換を適用し安定性を調べる波数 k の振幅の式は A k A A ) os( si 4 k A A os si

39 () 拡散方程式の安定性安定条件は λ であるから結局あらゆる波数 k について安定となる条件は条件付き安定 4 k si = 0.3 = 0.5 = 0.7 Δ = (Δ) / =.67 Δ = (Δ) / =.00 Δ = (Δ) / = 0.7

40 どうしてマイナスマイナスはプラスなのか最初に負の数を習ったときに負の数同士を掛け合わせると正の数になると教わった例えば (-) (-3) = 6 不思議に思う人がずいぶん多い

42 (3) 移流方程式の安定性リープフロッグ法中心差分での移流方程式の差分形式についての波数 k の振幅の式は A k i A A ) si( 0 ) si( k i

43 (3) 移流方程式の安定性振幅の大きさ λ はとなり従ってリープフロッグ法中心差分による移流方程式の差分解法は条件付安定である usble eurl eurl k k k i ) si ( ) ( si ) si(

44 (3) 移流方程式の安定性リープフロッグ法中心差分による移流方程式の差分解法の安定条件 : クーラン数 : C = Δ / Δ 情報伝達距離 (Δ) と格子幅 (Δ) の比一般に C は計算安定性の必要条件これは Δ / Δ であり情報が伝播する速さが実際の現象の進む速さ以上でなければならないことを示すこの条件を CFL (Cour-Friedrihs-Lewy) 条件という

45 (4) 拡散方程式の安定性拡散方程式の差分形式 : リープフロッグ法現在値の拡散についてフーリエ変換を適用し安定性を調べる波数 k の振幅の式は A k A A ) os( 0 si 8 k os si

46 (4) 拡散方程式の安定性 λ > であるのでいつも不安定であるリープフロッグ法で拡散項に現在値を用いるのは無条件不安定である拡散項には過去値をもちいるべき ) os( A k A A si 8 0 si 8 k k

47 8 8 0., si k の値であれば拡散項に関しては安定である

48 0 0 時間 : リープフロッグ法がよい ( 次の精度移流スキームは CFL 条件を満たせばよい ) 移流スキーム : 中央差分拡散項 : 過去値を使う

49 , 次元線形移流拡散式 _ プログラム作成 () のエクセル参照

50 () () (3) (4) (5) (6).0, 0., 0., 0., 0., 0., 0.,.0, 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.8,.5,, ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) ( ) 0.0 ( ) 0.0 ( ) 宿題 : () から (6) までの ( 振幅 ) の図を描け 04 年月 0 日 ( 月 ) 午後 5 時まで 347 室

3 数値解の特性 3.1 CFL 条件を前の章では波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めたここではこのようにして得られた数値解の性質を考

3 数値解の特性 3.1 CFL 条件を前の章では波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めたここではこのようにして得られた数値解の性質を考 3 数値解の特性 3.1 CFL 条件を前の章では波動方程式 f x= x = f x= x t f c x f = [1] c f x= x f x= x 2 2 t [2] のように差分化して数値解を求めたここではこのようにして得られた数値解の性質を考えるまず初期時刻 t=t に f =R f exp [ik x ] [3] のような波動を与えたときどのように時間変化するか調べる