座談会 新教育課程における 数学 に関する指導法 2012 年度から実施されている教育課程 以下 新課 参加者 程 の数学は 数学Ｃ が廃止されて内容の一部が 数 茨城県立土浦第一高等学校 細矢英三先生 単位に増加した その他の科目については 標準単位数は 埼玉県立浦和高等学校 荻原紹夫先生 変わら

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1 新教育課程における 数学 に関する指導法 2012 年度から実施されている教育課程 以下 新課 参加者 程 の数学は 数学Ｃ が廃止されて内容の一部が 数 茨城県立土浦第一高等学校 英三先生 単位に増加した その他の科目については 標準単位数は 埼玉県立浦和高等学校 紹夫先生 変わらないが 内容に違いが生じている 特に新分野が追 埼玉県立越谷北高等学校 克範先生 加された 数学Ⅰ 数学Ａ は実際にどのような形で指 品川女子学院 斉藤浩司先生 河合塾数学科講師 郷田智恵子 学Ｂ 数学Ⅲ に移行され 数学Ⅲ は３単位から５ 導をされたのか また 今後の 数学Ⅱ 数学Ｂ 数 学Ⅲ についてはどのような指導方針で臨む予定なのか 本文中 敬称略 ４校の先生方に意見を交換していただいた は 2013 年 2 月 24 日に実施した 数学Ａ の３分野をどの程度扱うか 空間図形も扱いました とはいえ オイラーの多 面体定理は紹介した程度です この後 空間図形は三角 本日は 新課程への移行に伴って どのよう 比 ベクトルのところでも出てくるので 生徒には繰り な指導の工夫をされているか 意見交換をお願いしたい 返し触れさせていく方針です なお 作図については扱っ と思います まず 数学Ａ は 場合の数と確率 整 ていません 高校入試の際にかなり勉強している生徒が 数の性質 図形の性質 の ３つの選択分野で構成さ 多いので 知識の確認程度で十分だと考えています れることになりました 標準単位数は２単位ですから このうち２分野を選択することが標準的と考えられます 伝統的な独自の流れが確立されています その流れを壊 が 河合塾が実施したアンケート によると ３分野 さないで いかに新課程の内容を組み込んで つながる すべてを教える高校が多いようです とはいえ 比重の ようにするのかを 教科でかなり議論しました ３分野 置き方など高校によって違いがあると思われますので すべてを扱いましたが 新分野の 整数の性質 につい 2012 年度 どのように扱われたのかからお聞かせくだ ては あまり深入りしないようにして 教科書の内容を さい 丁寧に教える方針で行くことにしました 図形の性質 注１ 土浦第一高校では ３分野とも扱いました ただ し 場合の数と確率 整数の性質 は授業で教科書 県立浦和高校では 数学で教える内容については も 授業の中で６時間程度を割きましたが 証明問題な どにじっくり取り組む余裕はありませんでした の内容に沿って教えましたが 図形の性質 に関して 作図は１ ２時間 生徒同士で議論させて 楽しみな は 教科書をベースに求値問題を中心としたプリントを がら取り組みました 本校は図形問題が好きな生徒が多 作成しました 授業には６時間程度を割きました く 皆で和気あいあいと楽しんでいました 普段の授業 求値問題を使用したということは平面幾何が で どんどん新しいことを理解しなければならない生徒 中心ですか オイラーの多面体定理など 空間図形も扱 たちにとっては ちょっとした息抜きの学習に感じられ われたのですか たのかもしれません 教員の講義を聞く形式ではなく 注１ 教科に関するアンケート 全国の高校を対象に 2011 年７月 ９月に実施 回答数 Kawaijuku Guideline

2 新教育課程における 数学 に関する指導法 自分なりの発想で取り組めるので 通常の授業ではあま り目立たないタイプの生徒が面白い発想を発表して 驚 かされる場面もありました 越谷北高校では 授業内容 スケジュールは 学 年ごとに決めています もちろん 通常講習 夏期講習 などを含めて 授業で扱った内容は 数学科全体で情報 を共有するように努めています 2012 年度からクラス 数が増加したことで 数学を苦手とする生徒が増えてい る印象があります 数学Ａ に関しては ３分野とも 教科書に沿って教えました 整数の性質 は これま でも大学入試で出題されていましたから それほど深く 茨城県立土浦第一高等学校 埼玉県立浦和高等学校 英三先生 紹夫先生 踏み込んだわけではありませんが きちんと扱うように しました 斉藤 品川女子学院は 中高一貫の女子校で 教科書は 一貫校対象の検定外教科書 体系数学 数研出版 を 使用しています そのため 生徒にとっては 今教わっ ている分野が 数学Ⅰ か 数学Ａ かといった意識は 希薄かもしれません 体系数学 では 方程式につい ては中学１年で１次方程式を学んだ後すぐに連立方程式 に入りますし 三角比の次は三角関数を学習するといっ た流れになっています 検定教科書に比べて発展的な内 容も多く含まれているため 苦労している生徒も見られ ます 授業時間数の関係もあって 2014 年度の高校１ 埼玉県立越谷北高等学校 克範先生 品川女子学院 斉藤 浩司先生 年生からは システム数学 啓林館 河合塾 という 教科書に変更する予定です 生徒の様子が変化したとは感じませんでしたが 数学Ａ については 大学入試を見据えると避けて 確かに 図形分野を理解するには時間がかかります た 通れないため ３分野とも授業で扱いました 場合の だし 高校の数学では 数学 A の 図形の性質 だ 数と確率 は中学３年 整数の性質 は高校１年の学 けでなく さまざまな単元で図形を扱います それらを 習内容になっています 図形の性質 は 完全に中学 通じて総合的に身につけていくことが重要だと思います 校の学習内容になっており 作図は中学１年の１学期 先ほど 本校の生徒は作図を楽しんでいたと言いました 空間図形も中学１年から教え 中学２年までに終えます が そんな生徒でも いざ問題を解くとなると苦労して います 注意しながら教えなければならない単元でしょ 図形に関する分野をいかに身につけさせるか 新課程では 中学校の内容も変化しており う 三角比 や ベクトル でも図形が出てき ますが 初めて触れた三角比やベクトルの概念を理解す 中学３年で学ぶ図形の内容が増えています 図形は十分 るのに手いっぱいで なかなか図形と結び付けられませ な演習が不可欠な分野ですが 中学３年で学ぶとなると ん 幾何学の基本を早い段階で身につけさせ 応用力を あまり時間をかけて学習できない可能性があります そ つけることが重要でしょう のため 新課程の高校入学者は 図形の力が低下するの 斉藤 今年の大学入試センター試験 以下 センター試 ではないかとの懸念もありますが 生徒の様子はいかが 験 の第３問も あれほど平均点が低くなるとは想定外 でしょうか だったのではないでしょうか 三角比の問題で相似 注２ 注２ 2013 年度センター試験の 数学Ⅰ 数学 A の第３問のこと これまで問われたことのない ２つの三角形の内接円の位置関係について出題さ れた 新傾向の出題の影響もあり 数学Ⅰ 数学 A の平均点は 点 前年 点 と 大幅にダウンした 平均点は大学入試センター の発表資料より Kawaijuku Guideline

3 を使わなければならないとなると とたんに生徒はとま どってしまいます 本校の生徒は 図形をイメージする ことを苦手にする傾向が見られます 新設された 整数の性質 の各項目の指導方針について 郷田 数学 A で新設された 整数の性質 には さまざまな項目が含まれています 特にユークリッドの 互除法はまったく新しい分野ですが どのように扱われ ていますか ユークリッドの互除法については これまで教え たことがありませんでした 原則的に 整数の性質 は 教科書に沿って教えたのですが ユークリッドの互除法 に関しては 本校で採用している教科書は式の羅列で 生徒がイメージしにくいと感じました そこで タイ ルを用いて視覚的にイメージできるように説明しました あくまで 1 次不定方程式を解くための下準備と位置づけ ており 大学入試で出題されたような問題には踏み込ん でいません 本校では 以前から 整数の性質 分野のほとん どを扱っていました とはいえ 今までは簡単に紹介す る程度だったのですが 今回は教科書に掲載されたわけ ですから 丁寧に解説しました ただし 大学入試問題にまで踏み込むと とても難しいものになってしまうので 教科書の内容を確実に理解させる方針をとりました 本校には普通科と理数科があり 私は両方の授業を担当しています 理数科の方がやや進度が早いため ユークリッドの互除法の授業も先になったのですが 数学が得意な生徒が多い理数科でも 式の羅列による説明では約 4 分の1の生徒が理解しにくいと答えていました そこで 普通科ではタイルを活用してイメージしやすいようにしたのですが それでもなかなか理解できないようでした どのような方法が有効なのか まだ悩んでいるというのが正直なところです 斉藤本校では 式の羅列とタイルの両方を用いて説明しましたが 最終的には 何とか使えるようになろうね と伝えるに留めました 確かに1 次不定方程式への導入ですし 大学入試で1 次不定方程式の問題も散見されますが ユークリッドの互除法を使わないと特殊解が求められないような問題はほとんど出題されてこなかったからです 郷田河合塾ではこれまで 東京大や東京工業大などの難関大を志望する生徒を対象にユークリッドの互除法を教えていました それを高校 1 年で学ぶのは抽象的 < 図表 1> 参加高校の状況 1 週間の授業時間数 各科目の配当単位数 採用教科書 1 月末時点の進度 数学 B の選択分野 ( 予定 ) 高校名 茨城県立土浦第一高等学校 埼玉県立浦和高等学校 埼玉県立越谷北高等学校 品川女子学院 1 年 年 年 数学 Ⅰ 3 単位 4 単位 3 単位 3 単位 数学 A 2 単位 2 単位 3 単位 3 単位 数学 Ⅱ 数学 B 2 年 4 単位 3 年文系 3 単位 2 年 2 単位 3 年文系 2 単位 ( 選択 ) 3 年理系 2 単位 2 年理系 4 単位 2 年文系 3 単位 (*3 年文系は学校設定科目 4 単位 ) 2 年理系 2 単位 2 年文系 1 単位 2 年理系 5 単位 2 年文系 3 単位 2 年理系 2 単位 2 年文系 2 単位 3 単位 理系 3 単位文系 2 単位 数学 Ⅲ 3 年理系 6 単位 3 年理系 5 ~ 7 単位 3 年理系 7 単位理系 5 単位 数学 Ⅰ 数学 A 数学 Ⅰ 数学 A 数学 Ⅰ ( 東京書籍 ) 数学 A ( 東京書籍 ) 高等学校数学 Ⅰ 高等学校数学 A 体系数学 体系数学 数学 Ⅰ データの分析 を除き授業終了 すべて授業終了 すべて授業終了 すべて授業終了 数学 A 3 分野とも授業終了 3 分野とも授業終了 3 分野とも授業終了 3 分野とも授業終了 数学 Ⅱ いろいろな式 図形と方程式 いろいろな式 図形と方程式 いろいろな式 の授業終了の授業終了 指数関数 対数関数 三角関 図形と方程式 の授業中 三角関数 の授業中数 の授業終了 いろいろな式 図形と方程式 三角関数 の授業終了 指数関数 対数関数 の授業中 数学 B ベクトル の授業中 ベクトル の授業中 数列 2 年生で扱う予定 2 年生で扱う予定 2 年生で扱う予定 2 年生で扱う予定 ベクトル 2 年生で扱う予定 すでに授業を始めている 2 年生で扱う予定 すでに授業を始めている 確率分布と統計的な推測 進度や選択分野は すべて 2013 年 1 月末時点の状況および予定 2 年生で扱う予定 2 年生で扱う予定 2 年生で扱う予定 期待値については大学入試対策で扱う予定 品川女子学院は中高一貫校 34 Kawaijuku Guideline

4 新教育課程における 数学 に関する指導法 すぎて 難しい気がします 今年度 高校１年生のクラ 問題もあるので 重要度は高いと思います ただし 旧 スで ユークリッドの互除法を使って１次不定方程式を 課程の時代から使う生徒はいましたが 等式と混同した 解かせてみたのですが それでなぜ特殊解が出るのか りすると採点者から厳しくチェックされるという話を聞 意味がわからないままで なかなか腑に落ちない生徒が いたこともあり 使う場合はきちんと使うように指導す 多かったように思います る必要があると感じています 次に 整数の性質 では合同式が発展として掲載され ｎ進法や部屋割り論法について どのように ていますが どの程度指導されましたか 扱われたのかをご紹介ください 教科書では発展の扱いですが 傍用問題集を見る ｎ進法も教科書と傍用問題集を用いました 新課 と かなり込み入った問題まで掲載されています そこ 程では 教科書の記述はさらっとしているのに 傍用問 で 合同式に関しては傍用問題集の問題を授業で解説し 題集は急に難しくなり 落差が激しく その差が埋めら ました 生徒は意外に道具として使いこなせるように れない生徒も見られます ただし ｎ進法に関しては比 なっており 定期テストでフェルマーの小定理と絡めた 較的定着度は良好です 部屋割り論法は教科書に用語が 問題を出したのですが 合同式をうまく使って すっき 出てこないので扱っていません りとした答案を仕上げている生徒も見られました 教員 にとっては教えにくい単元でも 生徒は便利な道具だと とにかく負荷をかけすぎない方針ですから １題だけ問 感じれば吸収していきます 題を解かせた程度です 本校では 教科書に沿って教えただけで 傍用問 ｎ進法は教科書通りに解説し 部屋割り論法は 本校も教科書に沿って教えましたが 整数の 10 題集は時間的に取り上げられませんでした ほとんどの 進法を２進法に直すことはできても 新課程で追加され 生徒は 大学入試では合同式を使わないので 必要な生 た 10 進法以外への小数の変換になると定着度が低い 徒に対しては講習で指導する予定です ですね 循環小数も教科書通りで 部屋割り論法は扱っ 斉藤 ていません 数学は３段階の習熟度別授業を展開しており 合 同式は 習熟度の高いクラスで教え 他では軽く触れた 斉藤 本校も教科書通りです ｎ進法の小数は あまり 程度です 合同式を使った方がすっきり解ける大学入試 なじみがないので 定着度が心配です 図表２ 新課程における数学の分野名 数学 Ⅰ ３単位 数学Ⅱ ４単位 数学Ⅲ ５単位 数と式 いろいろな式 平面上の曲線と複素数平面 図形と計量 図形と方程式 極限 二次関数 指数関数 対数関数 微分法 データの分析 三角関数 積分法 数と集合/式 式と証明/高次方程式 直線と円/軌跡と領域 三角比/図形の計量 指数関数/対数関数 二次関数とそのグラフ/二次関数の値の変化 角の拡張/三角関数/三角関数の加法定理 データの散らばり/データの相関 微分 積分の考え 平面上の曲線/ 複素数平面 数列とその極限/関数とその極限 導関数/導関数の応用 不定積分と定積分/積分の応用 ( 曲線の長さ) 微分の考え/積分の考え 数学Ａ ３単位分の内容から２単位選択 数学Ｂ ３単位分の内容から２単位選択 場合の数と確率 確率分布と統計的な推測 整数の性質 ベクトル 場合の数/確率 約数と倍数/ユークリッドの互除法/整数の性質 の活用 ( 剰余類 不定方程式 ｎ進法) 図形の性質 平面図形/ 空間図形 ( 作図 多面体 空間における直線や平面の位置関係 なす角) 確率分布/正規分布/統計的な推測 平面上のベクトル/空間座標とベクトル 数列 数学活用 ２単位 数学と人間の活動 数や図形と人間の活動/ 遊びの中の数学 社会生活における数理的な考察 社会生活と数学/数学的な表現の工夫/ データの分析 数列とその和/漸化式と数学的帰納法 高等学校学習指導要領 2009 年３月告示 より作成 新課程で新たに扱うこととなった項目には を付してある Kawaijuku Guideline

5 整数の性質 が大学入試で どう出題されるのかが課題 整数の性質 に関連した問題は これまで 難関大といわれる大学で やや難しい問題として出題さ れる傾向にありました 高校でも 難関大の志望者を対 象に指導はしていたと思いますが 高校１年の教科書に 出てくるようになったことで 大学入試にどのような影 響があるかが問題です 難関大は従来通りと予想できま 河合塾講師 すが とても教科書の知識のみで解けるような問題では ありません 難関大の志望者には今後補完する必要が出 てくるでしょう その一方で これまで出題していない 郷田智恵子 数学Ⅰ で新設された データの分析 をどう扱うか 大学や センター試験でも出題される可能性があります 整数の性質 について これからどのような方針で指 ています どのように扱われていますか 導されていくのかをお聞かせください あり ２月下旬からの授業で扱っています 教科書をベー 傍用問題集の後半に 大学入試の過去問が掲載さ 数学Ⅰ では データの分析 が新設され どのように指導をするか 様子見していたことも れているので その中からいくつかピックアップして スにプリントを作成し 生徒に黒板で解かせる演習形式 授業で演習しました ただ この分野に関しては定期テ にする予定です 手計算が可能な あまり複雑な計算を ストの問題作成にも苦労しているのが実状です 伴わない問題が中心です 本校でも 青チャート 注３ で演習させて 特に これまでセンター試験の 数学Ｂ で出題さ 重要と思われる問題を取り上げて授業で解説しています れていたのは 手計算できるように作られた問題でした もちろん 大学入試でどう出題されるのかは気になりま 今後も センター試験では データの分析 が出題さ す 難関大は従来通りとして その他の大学も出題しや れても手計算になるかもしれません すくなると思うので ただ 生徒にとっては 教科書の 内容でも十分に難しいので 少なくともセンター試験は えて その上で 授業で２ ３時間 箱ひげ図 分散 教科書を理解していれば解ける問題になると思っていま 標準偏差などの用語の説明や データの見方などを解説 す しました 宿題だったので 電卓を使用していないかは 授業では教科書に即して教えていますから 今後 本校では 夏休みに宿題としてワークノートを与 確認していませんが 一生懸命計算した跡が残っており の講習などで補うときに 生徒に配布している 黄チャー 相関係数なども手計算で取り組めたようです ト から問題を抜粋して演習させることになるでしょ 注４ センター試験でどう出題されるのか予想しにくく う また これまで出題しなかった大学でも出題される どの程度の時間を使うべきか 難しいですね 本校では かもしれません どの程度の問題がどのような形で出題 ２学期後半に 教科書に沿って授業で扱い 定期テスト されるのか まだ不透明なので 情報がほしいです では電卓持ち込み可で出題したのですが 分散 標準偏 斉藤 差の計算もできていました ところが 埼玉県で実施し 難関大では数多くの整数問題が出されているので 高校３年の夏期講習で相当な時間を割いています もっ ている標準テスト とも 教科書の内容は 難関大の大学入試問題とは大き 本校の生徒は分散 標準偏差の平均点が低く 特に箱ひ な差があるのが実状です その他の大学でどう出題する げ図から読み取る力が弱いという結果が出ています 今 かですが 大学の先生方は高校の教科書を詳細に見てい 後 演習をしなければ身につかないと感じています るという話を聞いており 新課程の教科書に即した新傾 斉藤 体系数学 では約 20 ページ割かれていますし 向の問題が出てくる可能性もあると考えています センター試験でも出題されるといわれているので 10 注３ 新課程 チャート式 基礎からの数学Ⅰ + A 数研出版 のこと 注４ 新課程 チャート式 解法と演習数学Ⅰ + A 数研出版 のこと 注５ 埼玉県高等学校数学教育研究会が作成する標準テストのこと 36 Kawaijuku Guideline 注５ では 電卓の持ち込みが不可で

6 新教育課程における 数学 に関する指導法 時間以上かけました 定期テストは電卓持ち込み可で実 施したのですが 相関係数の定着度が若干低いぐらいで 箱ひげ図 四分位数などを含めて 全体的に平均点は高 かったです 大学入試はさておき 大学入学後 さらに は社会に出てから必要になる分野であり 時間をかけて 教えるだけの意義はあると考えています 数学 Ⅲ が 5 単位になる中でどれだけ進度を早められるのか 郷田 数学 B は 3 つの単元からの選択ですが 数列 と ベクトル を中心に扱う高校がほとんどだ と思います 確率分布と統計的な推測 についてはど のように扱われる予定でしょうか まだ決まっていませんが 伝統的に 数列 ベ クトル の順に授業を行っています できるだけ早めに ひと通り終えて演習に入りたいので 確率分布と統計 的な推測 は 少ない授業時間でさらっと扱う感じにな るでしょう 本校も 3 単元とも扱う予定です 従来は 数列 ベクトル の順で教えていましたが ベクトルを知 らないと物理の指導ができない場合もあるので ベク トル を先に教えることも検討しています 本校も 確率分布と統計的な推測 をどう扱うか は未定ですが まったく取り上げないということはない と思います 文系 理系で扱いが異なる可能性もありま す 理系の生徒はできるだけ早めに 数学 Ⅲ に入りた いので 2~3 時間で終えるつもりです 逆に文系の生 徒にとっては 将来を考えると この分野は大切かもし れないので やや多めに時間を割く可能性もあります 斉藤本校では 確率分布と統計的な推測 は扱わない 予定です 大学入試で出題されることはまずありません から その方針の高校も多いと聞いています 郷田 数学 C が廃止され 数学 Ⅲ が 5 単位に なりました 教科書が分厚くなり 負担が増しますが 指導に影響はあるでしょうか 気になるのは どれだけ早く教科書を終えて 演 習の時間を確保できるかです 本校は文理分けは 3 年次 からですが 数学では例年 2 年次後半からクラスを分 割して 理系志望者は 数学 Ⅲ 数学 C の授業を進め 文系志望者は問題演習に入ります 今年の 1 年生につい ては なるべく早く 数学 Ⅲ の教科書を終えて 問題 演習の時間を確保することが理想です 他校ではどのような状況になっていますか 本校では 理系は高校 2 年までに 数学 Ⅲ 数学 C を終えています 郷田数学全体で考えると 新課程では分量が増えていますから 例年通りのスピードで授業を進めることが難しくなる可能性はありませんか 非常に厳しいのは確かですが 現 1 年生も同様のペースを目標にしています その分 データの分析 など あまり時間がかけられない分野もありますが 本校では 現 3 年生は9 月までかかりました 現 2 年生はやや早く 1 学期の中間頃に終える見込みです 新課程でも 学習量が増えたとはいっても 1 学期末までには終えたいと考えています 斉藤本校では 高校 3 年の夏休みまでに終えるのを目標にしていますが 例年 9 月にも残っています 体系数学 は検定教科書よりも分量が多いですし 女子校ということもあり 納得しないと先に進みにくい生徒が多いという 本校ならではの悩みもあります ある程度難しい問題演習を並行して進める方法もありますが 早めに教科書を終えた後でまとめて演習をした方が良いと判断し 教科書の変更を決めました 郷田最後に 数学 Ⅲ では複素数平面が復活し 極方程式と同じ教科書で前後して扱われることになりました rについては極方程式になると負の値も出てくるなど rの扱いに混乱する生徒も出てくることが懸念されます また 旧旧課程の複素数平面は複素数と方程式とともに扱われていましたが 新課程では分かれているため 方程式の復習をしてから教えるなどの配慮も必要かもしれません 以前は 数学 B の範囲でしたが 数学 Ⅲ に入ったことで 難問が出る可能性もあります 純粋な複素数平面の問題だけではなく これを使うことで面白い解き方ができるような問題が出ることも考えられますね 郷田また 今回の改訂で 行列 が高校での指導内容から外れました 行列について十分に習熟しないままに進学することで 大学における線形代数の指導が難しくなるかもしれません このような影響を大学側がどう考えているか 聞いてみたい気もします 本日は貴重なご意見をお聞かせいただき ありがとうございました Kawaijuku Guideline