Microsoft PowerPoint - Setouchi-AdSCFT-1.pptx

Transcription

1 ゲージ 重 力 対 応 とその 応 用 基 本 的 考 え 方 を 中 心 に 京 都 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科 中 村 真 00,Dec. 6 改 訂 Plan to talk Part :AdS/CFT 対 応 の 基 本 思 想 (AdS/CFT 対 応 は 難 しくない ) Part : AdS/CFTのテクニック (でも 真 面 目 に 計 算 しようとするといろいろある ) Part 3: 有 限 温 度 の 導 入 Part : フレーバーの 導 入 酒 井 杉 本 モデル Part 5: 非 平 衡 物 理 学 への 応 用

2 Part : AdS/CFT 対 応 の 基 本 思 想 AdS/CFT 対 応 は 非 常 に 自 然 なconjectureである AdSとは? CFTとは? AdS/CFT 対 応 AdS: Anti de Sitter 時 空 曲 率 が 負 で 一 定 の 時 空 間 の 一 つ この 時 空 には 境 界 がある de Sitter 時 空 ( 曲 率 が 正 で 一 定 ) CFT: Conformal Field Theory ( 共 形 場 理 論 ) スケール 変 換 のもとで 不 変 な 理 論 (β0)

3 AdS/CFT 対 応 [] 異 なる 二 つの 理 論 が 等 価 であるという 主 張 ( 予 想 ) 強 結 合 ゲージ 理 論 ( 量 子 ) (d 次 元 ) 等 価 超 重 力 理 論 ( 古 典 ) (d+ 次 元 ) (0 次 元 ) ( 必 ずしもCFTでなくとも 良 い) ( 必 ずしもAdS 時 空 でなくとも 良 い) 典 型 的 な 例 d N SU(N c ) 超 対 称 Yang-Mills 理 large-n c, large t Hooftcoupling こちらの 理 論 の 複 雑 な 計 算 が 0d type IIB supergravity on AdS 5 S 5 こちらの 理 論 の 簡 単 な 計 算 で 出 来 てしまう AdS/CFT 対 応 に 関 する 迷 信 (その) CFTに 対 してしか 用 いることができない? 重 力 側 はAdSである 必 要 はないし 場 の 理 論 側 はCFTである 必 要 もない AdS/CFT の 名 前 は 提 案 当 初 の 歴 史 的 経 緯 による AdS/CFT 対 応 ゲージ 重 力 対 応 ゲージ string 対 応 Holography Maldacena conjecture など 様 々な 名 前 で 呼 ばれる

4 一 般 相 対 性 理 論 Einsteinは 重 力 理 論 を 時 空 の 幾 何 学 の 言 葉 で 構 成 した R µν エネルギー 運 動 量 は 時 空 を 変 形 する 重 力 による 引 力 時 空 が 曲 がった ことによる 影 響 Einstein-Hilbert action: 3 c S d 6πG Einstein s equation: Rg µν d+ x 宇 宙 項 計 量 : 時 空 上 の 単 位 長 さを 決 める +Λg µν g ( R Λ) + Sstar 8πG c 曲 率 : 計 量 の 階 微 分 で 構 成 される T (star) µν Energy-momentum tensorはgravitonに 対 するsourceとなる Picture: 日 常 生 活 で 見 る 曲 面 : 曲 率 Flat space Positively curved space Negatively curved space

5 負 の 曲 率 とは? 平 行 線 を 考 えると: Flat: Positive: Negative: 平 行 線 間 の 距 離 が 発 散 する 点 は 特 別 な 点 (この 場 所 を 境 界 と 呼 ぶことにする ) Picture: AdSとは? AdS: Anti de Sitter spacetime スカラー 曲 率 が 負 で 一 定 な 時 空 の 一 つ (AdS 以 外 にもある ) r dt + dx + d AdS 時 空 にはtime-likeboundaryがある ds (boundary 上 に 時 間 軸 を 導 入 可 能 ) AdS 時 空 内 から 発 せられた 光 は 有 限 の 時 間 (affine parameter)でboundaryに 到 達 する ということは AdS 時 空 内 の 物 理 を 決 めるには 運 動 方 程 式 初 期 条 件 の 他 に 境 界 条 件 が 必 要 部 分 積 分 する 際 の 境 界 項 が 無 視 できない boundary: 0 AdS 時 空 の 境 界 条 件 と 時 空 内 部 の 物 理 は 密 接 に 関 係 している

6 AdS/CFT 対 応 [] 異 なる 二 つの 理 論 が 等 価 であるという 主 張 ( 予 想 ) 強 結 合 ゲージ 理 論 ( 量 子 ) (d 次 元 ) 等 価 超 重 力 理 論 ( 古 典 ) (d+ 次 元 ) (0 次 元 ) ( 必 ずしもCFTでなくとも 良 い) ( 必 ずしもAdS 時 空 でなくとも 良 い) 典 型 的 な 例 d N SU(N c ) 超 対 称 Yang-Mills 理 large-n, large t Hooftcoupling こちらの 理 論 の 複 雑 な 計 算 が 0d type IIB supergravity on AdS 5 S 5 こちらの 理 論 の 簡 単 な 計 算 で 出 来 てしまう AdS/CFT 対 応 の 考 え 方 同 じ 物 理 量 を 異 なる 真 空 上 で 展 開 した 摂 動 論 で 記 述 すると 計 算 結 果 は 同 じでも 計 算 過 程 が 全 く 異 なるものとなる 摂 動 論 を 展 開 する 真 空 をうまく 選 ぶことで 複 雑 な 計 算 が 簡 単 になる 場 合 がある まず 場 の 理 論 において そのような 例 を 見 てみたい

7 例 : 3 理 論 L ( φ m φ µ ) + tachyonic V(ϕ) λ 3 φ 3! φ 0 p m 真 空 A 真 空 B ϕ m φ λ p +m Aまわりの 摂 動 論 しか 知 らない 者 がBまわりの 物 理 を 議 論 したいとする どうしたら 良 いか? Aの 視 点 では Bにおいて 場 が 期 待 値 を 持 っている これをどのようにしたら 計 算 できるか? m φ λ L L Jφ δs[ J ] φ δj J 0 φ + -λ +.. Consistency condition (Schwinger-Dyson eq.) J J J m w w m m non-perturbative sourceを 導 入 ( 一 点 関 数 tadpole) φ + λ m λ w, w ( λ)! m w w m

8 Bまわりでのpropagater( 点 関 数 ) ) ( ) ( m p m m p m p m m p m p λ λ λ λ ) ( m p m m p m p m p m p m p m p λ λ λ λ Bにおけるpropagater Aまわりの 摂 動 論 の 無 限 個 のdiagramの 和 が Bまわりではたった 個 のdiagramで 計 算 される p +m 例 : 3 理 論 3 3! ) ( φ λ φ φ µ + L m tachyonic 真 空 A 0 φ V(ϕ) ϕ 真 空 B λ φ m p +m p m Aまわりの 摂 動 論 を 用 いて 無 限 個 のダイヤグラム の 足 し 合 わせ( 複 雑 な 計 算 )をすることで Bまわりの 物 理 ( 真 空 Bを 知 っていれば 一 発 で 計 算 可 )を 再 現 した ϕ

9 この 例 で 学 んだこと 同 じ 物 理 量 の 計 算 でも 摂 動 論 が 立 脚 する 真 空 を 異 なるものに 選 べば 計 算 手 法 が 大 幅 に 異 なってくる 真 空 Bまわりの 物 理 を 記 述 する 二 つの 方 法 真 空 Aの 視 点 真 空 Bの 視 点 Bにおける 場 の 期 待 値 m /λ 0 Source あり(weight:-m /λ) なし 点 関 数 ( 古 典 ) Sourceを 挿 入 した 無 限 個 のdiagramの 和 一 本 のdiagram 複 雑 な 計 算 単 純 な 計 算 同 じことを 重 力 場 でやると 真 空 Bまわりの 物 理 を 記 述 する 二 つの 方 法 真 空 Aの 視 点 真 空 Bの 視 点 Bにおける 場 の 期 待 値 m /λ 0 Source あり(weight:-m /λ) なし 点 関 数 ( 古 典 ) Sourceを 挿 入 した 無 限 個 のdiagramの 和 一 本 のdiagram 複 雑 な 計 算 単 純 な 計 算 真 空 B( 重 力 場 が 期 待 値 を 持 つ)の 物 理 を 記 述 する 二 つの 方 法 真 空 A( 平 坦 な 時 空 ) の 視 点 真 空 B( 曲 がった 時 空 )の 視 点 Bにおける 重 力 場 の 期 待 値 値 を 持 つ 0 Source あり なし 点 関 数 ( 古 典 ) Sourceを 挿 入 した 無 限 個 のdiagramの 和 一 本 のdiagram 複 雑 な 計 算 単 純 な 計 算

10 同 じことを 重 力 場 でやると 時 空 内 のある 場 所 で 重 力 場 (g μν )が 期 待 値 を 持 った 状 態 まわりでの 摂 動 を 考 えることにする 平 坦 な 時 空 上 の 摂 動 論 敢 えて 平 坦 な 時 空 上 の 摂 動 論 を 用 いて 記 述 すると g μν に 対 する 一 点 関 数 を ダイアグラムの 一 つ として 用 意 する 必 要 が 生 じる g μν の 一 点 関 数 (source) T μν (energy-momentum tensor) 記 述 Aの 方 針 では 平 坦 な 時 空 上 に 何 かenergy-momentumを 持 ったものを 手 で 挿 入 したFeynman diagramを 考 えることになる Energy-momentumを 持 ったもの?の 例 点 粒 子 m τ S t t m d m v dt m x µ ν x τ gµνdt 広 がりを 持 った 物 体 次 元 面 状 の 物 体 の 場 合 の 例 : S T det( x a ξ tension~gravitonとの 結 合 µ 質 量 ~gravitonとの 結 合 ν x b ξ g µν ) 3 dξ dξ dξ もし 広 がりを 持 った 物 体 が 我 々が 探 しているsourceなのであれば w W tension

11 ただし これらが 本 当 に 導 入 すべき sourceなのか? 一 般 相 対 性 理 論 的 には energy-momentumを 担 うもの として 様 々なものを 思 い 浮 かべることが 可 能 : 膜? 星? ソリトン?... 純 粋 に 曲 がった 時 空 を 忠 実 に 表 現 する 一 点 関 数 として どのようなものが 適 切 なのだろうか? 不 定 性 無 く かつ 無 矛 盾 に 重 力 理 論 を 定 式 化 していく 指 針 があると 良 い 量 子 化 まで 含 めて 重 力 理 論 を 無 矛 盾 に 定 式 化 する 枠 組 み: 超 弦 理 論 弦 理 論 への 一 般 化 弦 理 論 の 構 成 要 素 は 点 粒 子 ではなく 弦 平 坦 な 時 空 上 の 摂 動 論 は 知 られている 超 弦 理 論 は0 次 元 で 定 式 化 されている closed string open string Diagramは 次 元 面 となる 重 力 場 など ゲージ 場 など string 長 さが 無 視 できる 極 限 では このような 点 粒 子 と 同 定 される source 一 点 関 数 は?? D-brane

12 Dp-brane[3] closed stringの 一 点 関 数 closed stringのdiagramが 終 端 することのでき るp+ 次 元 の 超 平 面 ( 部 分 空 間 ) ここのweight(tension)は どう 計 算 できるのだろうか? p+ 次 元 Dp-brane 0 次 元 tension weight Consistency condition[3] (Modular invariance) D-brane + closed stringがpropagate していると 考 えても 良 いし open stringがloopを 描 いて いると 考 えても 良 い 二 つの 考 え 方 に 基 づく 計 算 が 一 致 する 条 件 からtensionを 計 算 できる [5] tension p+ p ( π) g l l : string length s s s string coupling g s の 逆 数 に 比 例 : 非 摂 動 的 m m w, φ w λ m λ

13 さらに closed stringがpropagate していると 考 えても 良 いし open stringがloopを 描 いて いると 考 えても 良 い closed stringのtreeはopen stringのloopに 対 応 する! D-brane[3] これをopen stringのloop diagramだと 見 ると.. このopen stringの 端 点 は D-braneに 終 端 している D-brane 上 にはopen stringが 存 在 する 重 力 ゲージ 場 D-brane 上 にはゲージ 理 論 が 存 在 している ゲージ 理 論 のcoupling g YM を D3-braneのtensionから 読 み 取 ると YM g πg s

14 ということは closed stringがpropagate していると 考 えても 良 いし open stringがloopを 描 いて いると 考 えても 良 い closed stringのtreeはopen stringのloopに 対 応 する! D-braneの 存 在 する 弦 理 論 に 埋 め 込 むことの 出 来 る 理 論 に 対 しては ゲージ 理 論 の-loopは 重 力 理 論 のtree であると 言 える Analogy 真 空 Aの 視 点 真 空 Bの 視 点 場 の 期 待 値 m /λ 0 Source あり(weight:-m /λ) なし 点 関 数 ( 古 典 ) Sourceを 挿 入 した 無 限 個 のdiagramの 和 一 本 のdiagram 複 雑 な 計 算 単 純 な 計 算 弦 理 論 平 坦 な 時 空 の 視 点 曲 がった 時 空 の 視 点 Gravitonの 期 待 値 あり 0 D-brane あり(tension:g s - に 比 例 ) なし 点 関 数 ( 古 典 ) D-braneを 挿 入 した 無 限 個 のdiagramの 和 一 本 の( 曲 がった 時 空 上 の)diagram 複 雑 な 計 算 単 純 な 計 算 平 坦 な0 次 元 時 空 +D-brane で 構 成 した 弦 の 摂 動 論 同 じ 物 理 の 書 き 換 え D-braneの 無 い 曲 った0 次 元 時 空 で 構 成 した 弦 の 摂 動 論

15 Braneworldとの 違 い 平 坦 な0 次 元 時 空 +D-brane で 構 成 した 弦 の 摂 動 論 同 じ 物 理 の 書 き 換 え D-braneの 無 い 曲 った0 次 元 時 空 で 構 成 した 弦 の 摂 動 論 こちらの 曲 がった 時 空 のpictureでは ブレーンは 存 在 していない つまり 本 当 に 重 力 (closed string)しかいない D-brane vs. curved space 曲 った 空 間 の 上 での closed stringの 摂 動 論? ( 完 全 には 知 られていない しかし ) 平 坦 な 時 空 上 のIIB superstring 理 論 にD3-braneを 導 入 した 理 論 弦 の 長 さが 無 視 できる 低 エネルギー 極 限 では black 3-brane 時 空 上 の IIB supergravity 理 論 を 再 現 するための 一 点 関 数 弦 の 長 さが 無 視 できる 低 エネルギー 極 限 では IIB supergravity( 超 重 力 ) 理 論 ( 良 く 知 られている ) この 理 論 には 平 坦 な 時 空 以 外 の 解 として black 3-brane 時 空 []という 解 もある black 3-braneのtension/chargeはD3-braneの それと 厳 密 に 一 致 する

16 ds H Black 3-brane 解 N 枚 の 重 なったD3-braneに 対 応 する supergravityの 解 Black 3-brane 解 / r / ( dt + dx ) + H ( dr + r dω ) r0 H + r 0 π r 3+ 次 元 方 向 のPoincare 不 変 性 ( g / s c) l s ([]や[3]の 文 献 参 照 ) 5 string length string coupling r0にhorionがある ( 一 種 のブラックホール) ADM 質 量 はr 0 に 比 例 する すなわちNに 比 例 する この 他 に 階 反 対 称 テンソル 場 (Ramond-Ramondfield)のfluxが 存 在 し この ブラックホール はD3-braneと 同 じRR chargeを 持 つ この 他 にscalar 場 (dilaton 場 )も 存 在 する D-brane vs. curved space IIB Supergravity 理 論 の black 3-brane 解 []に 相 当 IIB superstring 理 論 の D3-brane この 上 のopen string を 調 べるとN SYM 理 論 を 構 成 している 弦 の 長 さが 無 視 できる 低 エネルギー 極 限 では 次 元 のN SYM 理 論 + 平 坦 な0 次 元 時 空 上 の supergravity 理 論 black 3-brane 解 まわりの 0 次 元 supergravity 理 論 これがいらないので 除 きたい

17 D3-brane black 3-brane ゲージ 理 論 は ここに 局 在 0 次 元 supergravity(flat 時 空 ) +D3-brane 上 の 次 元 SYM 次 元 YM だけ 抽 出 r 0 極 限 正 確 には 注 意 が 必 要 [6] 0 次 元 supergravity( 曲 った 時 空 ) ゲージ 理 論 の 自 由 度 はこの 近 傍 (r~0)に 局 在 しているのではないか? Horion 近 傍 の 情 報 のみを 抽 出 する r 0 極 限 をとったblack 3-brane 解 の 上 のsupergravity Black 3-brane ds H / r / ( dt + dx ) + H ( dr + r dω ) r0 H + r 0 π r ( gs c) / ls 5 [6] r 0 極 限 (near-horion limit) ( 正 確 には r/ls を 固 定 しながら) ds r r r 0 d r r 0 ( ) 0 dt + dx + dr + r Ω S 5 5 AdS 5 3+ 次 元 N SYM 理 論 AdS 5 S 5 上 のsupergravity 等 価?

18 等 価 というからには 理 論 の 持 つ 対 称 性 くらいは 一 致 して いないと 困 る 本 当 に 一 致 しているか? N SYM 理 論 の 対 称 性 ϕ N SYM 理 論 の 場 種 類 の 超 対 称 変 換 を 組 み 換 える 自 由 度 :R-symmetry A µ λλ λ3λ に 対 応 ϕϕ 3ϕ ϕ 5ϕ 6 SO(6) 6 個 のscalar 場 を 組 み 換 える 自 由 度 N SYM 理 論 はCFTであることが 知 られている (β0) 3+ 次 元 のconformal groupは SO(,) ds 重 力 側 の 対 称 性 0 r r0 ( dt + dx ) + dr + r Ω r 0d r r AdS 5 時 空 は 時 間 がつあるような +次 元 Minkowski空 間 内 の 偽 球 面 として 構 成 できるので 対 称 性 は SO(,) AdS 5 S 5 SO(,) SO(6) 5 ここの 回 転 対 称 性 が SO(6) たしかに 一 致 している! Super-conformal 対 称 性 まで 含 めて 考 えても 一 致 していることが 確 認 できる

19 注 意 事 項 () N 枚 のD-braneが 重 なった 状 況 事 実 の 確 認 open string(ゲージ 粒 子 )の 端 点 がどのD-brane に 終 端 するかという 自 由 度 がある この 自 由 度 の 対 称 性 はU(N c ) N 枚 のD-brane 上 の 理 論 はU(N c ) SYM 理 論 しかし U(N c )SU(N c ) U()のU() 部 分 は near-horion 極 限 をとった 後 ではdecoupleしている ここだけ 見 ていると 見 えない N 枚 を 一 斉 に 動 かす 自 由 度 [7] 対 応 するゲージ 理 論 はSU(N c ) SYM [7] 注 意 事 項 () 強 結 合 : AdS/CFT 成 立 には 必 要 でない が 計 算 遂 行 に 有 用 な 近 似 もともとは 弦 理 論 の 摂 動 論 を 異 なる 真 空 ( 異 なる 時 空 )で 構 成 して 同 じ 物 理 の 計 算 を 比 較 するのがideaであった しかし 曲 った 時 空 での 弦 理 論 は 定 式 化 が 容 易 でない ため 弦 の 長 さが 無 視 できるとして 点 粒 子 の 理 論 超 重 力 理 論 に 落 として 議 論 した l s この 近 似 は こちらの 状 況 で 正 当 化 される string ds 0 時 空 の 曲 がり 具 合 ( 曲 率 ) r r0 ( dt + dx ) + dr + r Ω r 0d r r 5 0 YM ( ) r πg g c s >> t Hooftcoupling >> ( 強 結 合 )で 弦 の 補 正 を 無 視 することが 正 当 化 される r 0 c / l s >> l s

20 注 意 事 項 (3) Large-Nc: AdS/CFT 成 立 には 必 要 でない が 計 算 遂 行 に 有 用 な 近 似 弦 理 論 から 重 力 理 論 に 落 として 考 えたとしても もし 量 子 重 力 を 扱 わねばならないのであれば 解 析 が 非 常 に 困 難 になる 重 力 理 論 が 古 典 的 になるためには 0 次 元 重 力 のNewton constant 0の 極 限 をとるべき κ πg π ( ) g s ls κで 展 開 したleadingのみ 残 したい κは( 長 さ) の 次 元 を 持 っている しかし 展 開 係 数 は 無 次 元 でなくてはならないので AdS 時 空 側 の 長 さスケールr 0 と 組 み 合 わせて 無 次 元 化 したものが 真 の 展 開 係 数 κ r 0 (π ) πg これが 重 力 側 の 量 子 補 正 をカウントする 際 の 展 開 係 数 s 7 / c g l s s l s c つまり 注 意 事 項 (3) Large-Nc: AdS/CFT 成 立 には 必 要 でない が 計 算 遂 行 に 有 用 な 近 似 重 力 理 論 のloop 展 開 /N c 展 開 N c において 重 力 側 の 量 子 補 正 は 考 慮 しなくて 良 くなる( 古 典 重 力 となる ) t Hooft のlarge-N c 極 限 をとれば ゲージ 理 論 側 にはplanar diagramの 範 囲 で 量 子 効 果 が 入 って いるが 重 力 側 は 古 典 重 力 にできる!

21 注 意 事 項 () 事 実 の 確 認 重 力 理 論 は 古 典 的 であるが 対 応 するゲージ 理 論 側 は 量 子 論 large-n c をとっているのでplanar diagramしか 含 まないが planarなloop diagramは 全 て 含 めて 計 算 している D-brane(tadpole)がからむ 全 ての 可 能 なdiagramの 和 曲 った 時 空 上 での 単 純 計 算 という 当 初 のideaと closed stringのtreeopen stringのloop を 思 い 出 せば 少 なくともそう 期 待 できる ( 実 際 そうなっている ) 例 えば ゲージ 理 論 側 のanomalyが 重 力 側 の 古 典 的 計 算 で 再 現 される 結 論 N SU(N c ) large-n c SYM 理 論 のλ>> 極 限 の 量 子 論 等 価 曲 率 <<のAdS 5 S 5 上 のIIB 超 重 力 理 論 の 古 典 論 であると 予 想 するに 足 る 十 分 な 理 由 が 超 弦 理 論 にはある

22 Plan to talk Part :AdS/CFT 対 応 の 基 本 思 想 ( 自 然 な 考 察 で 等 価 性 にたどりつくこと) Part : AdS/CFTのテクニック ( 具 体 的 な 対 応 辞 書 ) Part 3: 有 限 温 度 の 導 入 Part : フレーバーの 導 入 酒 井 杉 本 モデル Part 5: 非 平 衡 物 理 学 への 応 用 ( 私 の 最 近 の 仕 事 ) Part: AdS/CFTのテクニック AdS/CFTを 用 いてゲージ 理 論 側 の 計 算 を 行 うにはどうしたら 良 いのか

23 ここまでの 結 論 N SU(N c ) large-n c SYM 理 論 のλ>> 極 限 の 量 子 論 等 価 曲 率 <<のAdS 5 S 5 上 のIIB 超 重 力 理 論 の 古 典 論 であると 予 想 するに 足 る 十 分 な 理 由 が 超 弦 理 論 にはある どう 等 価 なのか?[8] 重 力 側 とゲージ 理 論 側 の 対 応 関 係 の 辞 書 をどのように 作 ったら 良 いか? Black 3-brane 時 空 D-braneのpictureに 立 ち 返 ることが 重 要 Supergravity 反 応 が 戻 ってくる 重 力 波 AdS flat 同 じ 反 応 の はず D3-brane + flatな 時 空 Supergravity SYM flat 重 力 波 反 応 が 戻 ってくる SYMの 視 点 からは 外 場 (source)の 役 割 を 果 たす

24 Near-horion limit 後 では AdS 時 空 に 境 界 があった Horion AdS Boundary 境 界 上 のモード (つまり 境 界 条 件 )が 外 場 sourceに 対 応 する 何 に 対 するsource? D-brane pictureでは T ij SYM T ij ( x ( x () () ) ) 重 力 波 g ij 重 力 波 g ij これは 何? 入 射 した 重 力 理 論 のモードが D-brane 上 のYMの どのモードを 励 起 するか 調 べれば 良 い D-braneの 有 効 作 用 の 構 造 : S g δs YM d Tr x d x detg detg kl kl ij T δg ij F ij F ij +... 例 えば 重 力 (3+ 次 元 成 分 metric g ij )は D-brane 上 のYM 理 論 のenergy-momentum tensorと 線 形 に 結 合 する

25 ということは 重 力 波 g ij 重 力 波 g ij Horion AdS Boundary T ij ( x () ) T ij ( x () ) 曲 った 時 空 上 の 重 力 の 古 典 的 Green 関 数 が 平 らな 時 空 上 のYM 理 論 の stress tensorのあらゆるplanar diagram を 取 り 入 れた 点 関 数 を 与 える まとめると:GKP-Witten 処 方 [8] 重 力 時 空 (AdS)のboundary 上 のg ij の 値 対 応 するゲージ 理 論 (N SYM)のstress tensorに 対 するsource (つまりSYM 理 論 が 定 義 されている3+ 次 元 時 空 のmetricそのもの) 重 力 理 論 のon-shell 作 用 S( g ij 境 界 条 件 の 関 数 boundary ) SYM 理 論 の 有 効 作 用 (sourceの 関 数 としての) SYM 理 論 の( 経 路 積 分 後 の) (connected correlation func.の) 生 成 汎 関 数 これをboundary metricでn 回 変 分 すれば stress tensorのn 点 関 数 の 期 待 値 が( 重 力 側 の 古 典 的 計 算 から) 求 められる

26 AdSとは? AdS: Anti de Sitter spacetime スカラー 曲 率 が 負 で 一 定 な 時 空 の 一 つ (AdS 以 外 にもある ) AdS 時 空 にはtime-likeboundaryがある (boundary 上 に 時 間 軸 を 導 入 可 能 ) AdS 時 空 内 から 発 せられた 光 は 有 限 の 時 間 (affine parameter)でboundaryに 到 達 する ということは AdS 時 空 内 の 物 理 を 決 めるには 運 動 方 程 式 初 期 条 件 の 他 に 境 界 条 件 が 必 要 部 分 積 分 する 際 の 境 界 項 が 無 視 できない AdS 時 空 の 境 界 条 件 と 時 空 内 部 の 物 理 は 密 接 に 関 係 している 重 力 側 には 他 の 場 もいる 重 力 理 論 は 正 確 にはtype IIB supergravityであった この 理 論 には graviton スカラー 場 (dilaton) テンソル 場 (Ramond-Ramond Neveu-Schwar)などが 存 在 例 えばD3-braneの 有 効 作 用 でdilaton 依 存 性 を 復 活 させると S φ ij Tr d xe detg +... klfijf g YM DilatonはgluoncondensateTrF (をN SYMに 一 般 化 したもの) に 対 するsourceとなる

27 どう 変 分 するのか? 数 学 的 構 造 を 見 るためにscalar 場 (dilaton)の 例 で 考 える 係 数 は 省 略 ds S dt d d 運 動 方 程 式 の 解 は r + dx xd g xd + d µ µν [ g µ φ νφ] µν ( gg φ) ν φ+ d x gg 5 次 元 のscalar 場 の 作 用 (S 5 部 分 はreductionして 残 りの5 次 元 を 考 えている ) φ φ 0 運 動 方 程 式 によりゼロ 境 界 項 のみにできる (ある 意 味 次 元 に 帰 着 ) というmetricを 採 用 したとする(0がboundary) 場 が 座 標 のみに 依 存 する 3 ( ( ) ) 0 場 合 運 動 方 程 式 は φ( ) C+ C という 形 (C C は 積 分 定 数 ) φ Non-normaliable mode Normaliable mode φ( ) C + C これがboundary(0) での 値 :source 期 待 値 (に 比 例 ) S d x gg φ S( C 5 ) d x ( C+ C ) ( C+ C ) 0 d d x x これが 対 応 するoperatorの [ CC + C ] [ CC + C ] 0 0 conjugateな 形 これをC で 変 分 するとC ( factor)が 落 ちてくる On-shell 作 用 の 正 則 性 (@ )を 要 請 すると C 0 と 答 えが 定 まる d AdSのboundary xcc φ

28 ゲージ 理 論 (N SYM)での 言 葉 では この 理 論 のgluon condensateの 期 待 値 はゼロ µν Tr F µν F +L 0 super 量 子 論 的 期 待 値 が 得 られると 言 ったが くりこみ はどうしているのか? 紫 外 発 散 は? ( 古 典 ) 重 力 理 論 側 にもAdS/CFTの 文 脈 では くりこみ の 対 応 物 がある YM 理 論 側 の 紫 外 発 散 重 力 理 論 側 の 赤 外 発 散 重 力 理 論 の 境 界 項 に この 発 散 をcancelする ような counter term を 加 えて 繰 り 込 む 応 用 として Holographic 繰 り 込 み 群

29 解 は 境 界 項 は Massiveなscalar 場 でやると ( 3 φ) 5 φ 0 m φ( ) C 3 φ φ + m + C + + m + m + + m ( C + C ) + m + + m ( + m ) C + ( + + m ) C ) + m ( C ( + m ) C ) + L 3 m C 境 界 項 として あらかじめ d x γ 0で 発 散! ( + m ) φ ε を 手 でいれておけば 発 散 が 除 去 される (カウンターターム)( 例 えば[0-] 参 照 ) Holographicな 繰 り 込 み[9] 一 般 的 には 重 力 側 で 物 理 量 の 期 待 値 を 計 算 すると 表 面 項 を 境 界 に 持 っていく( 0) 手 続 きの 際 に 発 散 が 生 じる そこで これは 時 空 の 範 囲 を 境 界 まで 伸 ばす( 時 空 の 体 積 を 増 やす) 操 作 における 発 散 なので 重 力 側 の 視 点 では 赤 外 発 散. Zεというregulator(cut-off)を 導 入 する. ちょうど 発 散 を 打 ち 消 すような 境 界 項 S cout を あらかじめ 重 力 作 用 に 入 れておく ( 対 称 性 を 保 ち 発 散 を 過 不 足 無 く 消 すもの) 3. 最 後 にε 0をとる Holographicな 繰 り 込 み counter term

30 紫 外 vs. 赤 外 [9] なぜ 0( 境 界 に 近 づく 極 限 )がYM 側 の 紫 外 極 限 に 対 応 するのか? 外 場 の 間 の 3+ 次 元 的 距 離 Horion AdS Boundary Z0 Horion AdS Boundary Z0 YM 側 でshort distanceを 考 えると 重 力 側 ではboundary 近 傍 を 考 える ことに 対 応 する 5 番 目 の 座 標 の 意 味 [9] そもそも AdS 5 と 次 元 SYMが 対 応 する と 言 った 時 に 5 番 目 の 方 向 の 意 味 を 問 うのは 自 然 な 質 問 であった 厳 密 な 正 確 性 を 無 視 して 言 えば 5 番 目 の 座 標 はYM 理 論 の 言 葉 ではエネルギースケールの 方 向 であり 非 常 に 大 雑 把 には 異 なるエネルギースケールの 物 理 が5 番 目 方 向 の 異 なる 場 所 に 住 み 分 けしている というイメージを 持 つこともできる IR UV Horion (または origin) 5 次 元 目 の 方 向 Boundary 実 際 巨 視 的 物 理 に 関 連 した 物 理 量 (エントロピーなど)はhorionで 与 えられる

31 Stress tensorの 計 算 [0] 境 界 のある5 次 元 重 力 の 正 しい 作 用 S d xd g( R Λ) + d x γk 6πG 8πG 境 界 上 のextrinsic curvature 境 界 上 のmetric Gibbons-Hawking term これをmetricの 自 由 度 について 部 分 積 分 をして 境 界 項 のみの 作 用 に 書 き 換 えると µν µν [ K γ ] γ µν S π d x K 8 G しかし このまま 計 算 してみると 紫 外 発 散 が 出 るためcounter termが 必 要 + () Scount d x γ 6 R 8πG 繰 り 込 まれたstress tensorは Λ-6 のconvention でN c /(π ) T µν 8πG K µν Kγ µν 3γ µν + () µν µν () ( R γ R ) ds しかし 結 局 [] ~ i j g ( x, ) dx dx ij + という 座 標 系 (Fefferman-Graham 座 標 )を 採 用 した 場 合 は 話 が 単 純 になり 結 局 d g ~ ij ij ij γ + ( π G ) T +... ( x, ) + source (boundary metric) <operator> (stress tensor) ( 参 考 : 先 ほどscalar 場 で 考 察 した 時 の 形 ) π π G c φ( ) C + C source operatorの 期 待 値 (に 比 例 )

32 注 意 事 項 S count + () d x γ 6 R 8πG Counter termは 発 散 が 除 去 されるように 入 れるだけでなく その 項 が 理 論 の 対 称 性 (boundary 上 の 一 般 座 標 変 換 に 対 するcovarianceなど) を 保 つような 形 でなくてはいけない このため 発 散 を 過 不 足 なく 取 り 除 くようにcounter termの 係 数 を 調 整 すると counter termの 発 散 部 分 以 外 の 部 分 から 有 限 の 寄 与 が 生 じる 場 合 がある これは 量 子 効 果 であって anomalyの 計 算 などに 重 要 な 寄 与 をする 一 般 に 単 に 発 散 部 分 を 手 で 捨 て 去 るだけでは この 有 限 の 量 子 効 果 を 見 逃 す 危 険 性 がある ds g~ x dx dx i j (, ) ij + 注 意 事 項 その d g~ ij ( x, ) π c γij + Tij source (boundary metric) +... <operator> (stress tensor) sourceは 手 で 指 定 して operatorの 期 待 値 は 結 果 として 得 られるはず 矛 盾? 一 方 で 重 力 側 の 方 程 式 は 階 の 微 分 方 程 式 なので 解 を 決 定 するため には 境 界 条 件 つ 必 要 なのでは?(つまり 右 辺 項 目 も 与 えるべき 境 界 条 件 ) 実 は 重 力 側 の 時 空 がregular (naked singularityがない)ということを 要 請 すると この 条 件 により 右 辺 項 目 operatorの 期 待 値 が 決 まる 宇 宙 検 閲 仮 説 []

33 Operatorの 期 待 値 を 決 定 するために 用 いる 条 件 Case by caseであって この 条 件 を 統 一 的 に 与 える 処 方 は 今 のところ 知 られていない しかし 経 験 上 必 ず 何 らかの 物 理 的 に 自 然 な 条 件 がある 例 On-shell 作 用 のIR 正 則 性 (gluon condensateの 計 算 など) 時 空 に 裸 の 特 異 点 が 存 在 しない (stress tensorの 計 算 など) Black hole horionでのingoing wave boundary condition On-shell 作 用 が 実 数 であること... AdS/CFTの 迷 信 (その) ゲージ 理 論 (CFTなど)は 重 力 時 空 のboundaryに 住 んでいる 重 力 時 空 ( 高 次 元 ) d boundary ゲージ 理 論 は あくまで 重 力 理 論 という 言 葉 に 置 き 換 わって 高 次 元 時 空 全 体 に 住 んで いる ゲージ 理 論 の 視 点 ではあくまでnon-dynamical ただし operatorのsource( 外 場 )はboundaryに 住 んでいる と 思 っても 構 わない

34 まとめ AdS/CFT 対 応 の 基 本 的 アイディアは 既 に 場 の 理 論 の 基 本 的 な 考 え 方 の 中 に 既 に 内 在 していた いくつかの 自 然 なジャンプを 経 ることでAdS/CFTに 到 達 する 弦 の 場 の 理 論 は 完 全 には 完 成 していない しかし 場 の 理 論 での 基 本 的 な 考 え 方 を 弦 理 論 で 用 いて 構 わないと 考 えている Near-horion 極 限 で 注 目 したいD-brane 上 の 物 理 (ゲージ 理 論 )と その 周 囲 の 自 由 度 ( 重 力 )が 分 離 され ゲージ 理 論 に 対 応 する 自 由 度 のみがきれいに 残 るものと 仮 定 している ゲージ 理 論 と 重 力 理 論 の 対 応 辞 書 を 構 成 するには もとの D-braneのpictureに 戻 ることが 重 要 逆 にD-branepictureが あれば 両 者 の 関 係 を 自 然 に 推 測 することが 出 来 る Part 3 有 限 温 度 の 導 入 ( 特 にブラックホールの 導 入 )

35 ここまでの 説 明 N SU(N) large-ncsym 理 論 のλ>> 極 限 の 量 子 論 等 価 曲 率 <<のAdS 5 S 5 上 のIIB 超 重 力 理 論 の 古 典 論 ただし 基 本 的 に 温 度 T0 の 話 であった 有 限 温 度 を 導 入 するには[5] Imaginary-time formalism 時 間 方 向 をwick rotateし 虚 時 間 を 導 入 虚 時 間 方 向 の 周 期 をβ/Tにとる bosonについては 周 期 境 界 条 件 fermionについては 反 周 期 境 界 条 件 を 課 す 例 えばAdS 5 時 空 において 同 様 のプロセスを 踏 む ことが 出 来 る Thermal AdS: Euclidean AdS 5 で 虚 時 間 周 期 β

36 AdS(real time) Thermal AdS Thermal AdS ds ds dτ dt r + dx r + dx + d + d τ τ+β この 計 量 はβと 無 関 係 On-shell 作 用 の 中 で 温 度 方 向 のS は 直 積 として 入 っている On-shell 作 用 Free energy β entropy0 ここがβと 無 関 係 解 釈 :large-nc のleadingが 消 えている entropyはo() Colorの 自 由 度 は 見 えない: 閉 じ 込 め 相 AdS-Black hole (AdS-Schwarschild) Euclidean 5 次 元 重 力 ( 宇 宙 項 負 )の 解 はthermal AdSのみではない AdS-BHも 解 Euclideanではやはり 虚 時 間 方 向 は 周 期 的 になっている 参 考 : 通 常 のEinstein 理 論 でもMinkowski 時 空 とblack hole 時 空 の 種 類 の 解 が 存 在 した Black hole:horionが 存 在 する Event horion: horion 内 側 の 情 報 は 無 限 遠 に 到 達 しない Apparent horion: horion 内 側 で 発 せられた 光 はhorion 外 部 に 逃 げ 出 せない 静 的 な 解 では 両 者 は 一 致

37 A metric of Euclidean AdS-BH ds AdS-BH Horion 近 傍 の 構 造 H ds + H H dτ + + horionの 位 置 : H. boundaryの 位 置 :0. H 0 d + 8 H 周 期 β/t ( H ) H r dx dτ + K d + dr +r dθ dθ と 思 った 時 に 周 期 がπでなく てはならない T π H H でsingularとならない 条 件 からβと H の 関 係 が 決 まる AdS-BHのentropy この 場 合 時 空 の 構 造 は H (T) 0 周 期 β 計 量 が 温 度 Tによっており on-shell 作 用 はTに 依 存 する On-shell 作 用 Free energy β entropy O(N c )>0 ここがβに 依 存 する Colorの 自 由 度 が 見 えている: 非 閉 じ 込 め 相

38 まとめると 重 力 側 の 解 として 同 じ 虚 時 間 周 期 β/tを 持 つものは Thermal AdS: entropy O(N c0 ), 閉 じ 込 め AdS-BH: entropy O(N c ), 非 閉 じ 込 め 両 者 の 間 の 相 転 移 はFree energyon-shell 作 用 /β の 大 小 で 決 まり 典 型 的 には 一 次 相 転 移 である ( 重 力 理 論 ではHawking-Page transitionとして 知 られていた ) Minkowski 上 のN SYMではscaleが 入 ってこないため T c 0 ( 基 本 的 に 非 閉 じ 込 め 相 ) ds g~ 非 閉 じ 込 め 相 でstress tensorを 読 み 取 ってみる x dx dx i j (, ) ij + d g~ ij ( x, ) π c γij + Tij source (boundary metric) +... <operator> (stress tensor) ds AdS-BH + H H dτ + + H r dx + d ここを0(boundary) まわりで 展 開 すれば 良 い

39 ds + L r 3 r d ( dτ + dx ) + dτ + dx + AdS-BH H H T π H ゲージ 理 論 側 の 計 量 ゲージ 理 論 側 の π T c ij T T エネルギー 密 度 Є, T cπ xx 8 c 圧 力 P πt T エネルギー 密 度 Є cπ T, Txx 8 c 圧 力 P πt Є3P: stress tensorはtraceless (スケール 不 変 性 ) N SYMの 弱 結 合 極 限 で 計 算 すると T 00 cπt 強 結 合 極 限 での 値 は 弱 結 合 極 限 での 値 の3/ 倍 となっている

40 エネルギー 密 度 (QCDの 場 合 ) (SB) 3/ Lattice QCD (Cheng et al., PRD77(008))の 結 果 Black holeと 熱 力 学 もともと AdS/CFT 対 応 が 言 われる 以 前 より Black holeの 物 理 学 と 熱 力 学 の 類 似 性 が HawkingやBekensteinにより 指 摘 されていた

41 ブラックホール 熱 力 学 の 法 則 熱 力 学 ブラックホール 第 0 法 則 熱 平 衡 では 温 度 が 一 定 定 常 解 では 表 面 重 力 κ (Tに 対 応 )が 一 定 第 法 則 det ds+μdn dm[κ/(8πg N )]da+μdn ( 第 項 は 各 運 動 量 や 電 荷 に 対 応 する 項 ) 第 法 則 第 3 法 則 エントロピーは 減 少 しない ホライズンの 面 積 は 減 少 しない 物 理 過 程 で 温 度 をゼロに できない (Nernst) 物 理 過 程 で 表 面 重 力 を ゼロにできない 各 法 則 について 対 応 が 成 立 している T κ, S π A G π G π c T κ, π S A G BHと 熱 力 学 との 類 似 性 については しかし BH 時 空 の 次 元 によらず BH 時 空 が 漸 近 的 に 平 坦 でも(AdS-BHでなくとも) 成 立 している entropyは 示 量 性 : 系 の 体 積 に 比 例 するべき 空 間 3 次 元 の 熱 力 学 に 対 応 させたければ Aはhorionの 面 積 というよりも 体 積 BHの 定 義 のためにhorionに 垂 直 方 向 が 必 要 Extraな 空 間 方 向 が 重 力 理 論 側 には 必 要

42 Black hole Einstein 方 程 式 の 解 の 一 つ 重 力 が 強 い 重 力 が 弱 い 3+ d radial direction 5th direction 光 は 脱 出 できない (trapped region) Horion (Apparent horion) 光 が 脱 出 できる (un-trapped region) さらに 平 坦 な 時 空 に 埋 め 込 まれたBH ( 通 常 のSchwarschild BH)の 比 熱 を 計 算 すると 負 になる 熱 力 学 的 にill-defined しかし 例 えばAdS 時 空 にBHを 埋 め 込 むと 比 熱 を 正 にできる この 意 味 でも 5d AdS-BHが 有 限 温 度 系 のholographic dual として 登 場 したのは 自 然 であり ある 意 味 必 然 であった のかも 知 れない

43 もしBHから 考 察 を 出 発 すると 5d AdS-BH? 何 らかの d 有 限 温 度 系 5d AdS? T0 limit 具 体 的 にはN SYMで あることが 判 明 した 何 らかのd 系 (ゼロ 温 度 )? 超 弦 理 論 により この 矢 印 が 厳 密 化 されたのがAdS/CFT 対 応 であると 言 える 5 番 目 の 座 標 の 意 味 [9] そもそも AdS 5 と 次 元 SYMが 対 応 する と 言 った 時 に 5 番 目 の 方 向 の 意 味 を 問 うのは 自 然 な 質 問 であった 厳 密 な 正 確 性 を 無 視 して 言 えば 5 番 目 の 座 標 はYM 理 論 の 言 葉 ではエネルギースケールの 方 向 であり 非 常 に 大 雑 把 には 異 なるエネルギースケールの 物 理 が5 番 目 方 向 の 異 なる 場 所 に 住 み 分 けしている というイメージを 持 つこともできる IR UV Horion (または origin) 5 次 元 目 の 方 向 Boundary 実 際 巨 視 的 物 理 に 関 連 した 物 理 量 (エントロピー 温 度 など)はhorionで 与 えられる

44 Real-time formalism もともとBlack hole 解 は 実 時 間 の 重 力 理 論 の 解 であった そして そのblack holeの 物 理 に 温 度 やエントロピーの 概 念 があった 実 時 間 でAdS-BHを 扱 うことにより 温 度 と 時 間 双 方 の 概 念 が 入 った 物 理 を 扱 うことができる 例 えば ゆっくり 変 動 する 動 的 BHの 物 理 ゆっくり 変 動 するゲージ 理 論 のstress tensorの 振 る 舞 い ゲージ 理 論 プラズマの 流 体 力 学 流 体 力 学 の 計 算 例 N SYMのgluon plasma 媒 質 中 を 音 速 より 早 く 移 動 する ( 無 限 に 思 い)quarkが 作 る 衝 撃 波 Chesler and Yaffe, arxiv:

45 非 平 衡 状 態 も 記 述 可 能? もともとAdS/CFT 対 応 は 微 視 的 理 論 のoperatorの 期 待 値 を 計 算 可 能 な 枠 組 みであった 時 間 依 存 性 も 議 論 可 能 非 平 衡 状 態 にあるゲージ 理 論 の 物 理 を 扱 うことも できるのではないか Part 5 むしろ BHにより 温 度 の 概 念 ( 平 衡 の 概 念 )が 導 入 される ことの 方 が 驚 き?(BHという 一 個 の 物 体 で 多 体 系 を 表 現 できる) 演 算 子 の 期 待 値 以 外 の 物 理 量 の 計 算

46 Glueballのspectrum GKP-Witten 処 方 : ゲージ 理 論 の 演 算 子 のn 点 関 数 を 計 算 する 処 方 φ( ) C + C これがboundary(0) での 値 :source これが 対 応 するoperatorの 期 待 値 (に 比 例 ): gluon condensate <TrF >の 期 待 値 Non-normaliable mode Normaliable mode 階 の 微 分 方 程 式 の 独 立 なつの 解 に 相 当 (φconst.とφ(const.) ) Dilatonのnormaliablemodeの 揺 らぎ ~<TrF >の 揺 らぎ~glueball (スカラーのもの) Normaliablemodeの 揺 らぎの 固 有 振 動 数 ( 波 数 )から glueballの 分 散 関 係 ~ 質 量 がわかる エネルギースケールの 導 入 離 散 的 スペクトラムを 得 るためには mass gapを 与 える エネルギースケールΛ QCD が 必 要 (N SYMはCFTなのでダメ ) Wittenの 方 法 [7] まず D3-braneではなくD-braneから 始 める D-braneの 余 分 な 一 方 向 を 丸 める(コンパクト 化 ) このコンパクト 化 半 径 がスケールを 与 える そのスケールよりも 長 距 離 スケールでは 残 りの ( 延 びている)3+ 次 元 上 の 場 の 理 論 として 見 える さらに 都 合 の 良 いことに このコンパクト 化 により (fermionについては 反 周 期 境 界 条 件 を 課 すことで) 超 対 称 性 も 破 れる 低 エネルギーで3+ 次 元 pure Yang-Millsを 実 現

47 ds u R 重 力 dualは? D-braneをコンパクト 化 したもの に 対 応 する 超 重 力 理 論 の 解 を 見 つければ 良 い そして そのnear-horion limitをとれば 良 い (ここではその 時 空 をWitten 時 空 と 呼 ぶことにする [7]) 3/ 3/ r R du ( dt + dx + f ( u ) d τ ) + + u d Ω u f ( u) f u u コンパクト 化 でスケールを 導 入 した ことにより 時 空 が フタ をされた 時 空 内 のモードが 離 散 的 になる (spectrumにgapが 生 じる) 3 KK 3 ( u), R πg 3 s cls uu KK (τ) u 周 期 τ 例 えばdilatonについて 具 体 的 には φ ( t, x, u) ϕ( u) e の 形 を 指 定 し 運 動 方 程 式 に 代 入 すると 様 々な 解 が 得 られるが uu KK において dilatonの 作 用 がregularであることを 要 請 すると 勝 手 なk の 値 がとれなくなる ikx 分 散 関 係 :( 敢 えてω0としているので) k m より 質 量 spectrumを 読 み 取 ることができる

48 Glueball spectrum AdS/CFT 対 応 によるd large-ncymのglueballspectrum ( 左 ) と そのSU(3) QCDでの 格 子 シミュレーション 結 果 ( 右 )との 比 較 (Brower et. al., NPB587(000)9) Flavorの 導 入

49 AdS/CFT 対 応 の 一 般 化 最 も 標 準 的 なAdS/CFT 対 応 に 現 れるN SYM には 基 本 表 現 のクォークが 存 在 しない (グルーオンとそのsuper-partnerのみの 理 論 ) N SYM 理 論 の 場 A µ ϕ λλ λ3λ ϕϕ 3ϕ ϕ 5ϕ 6 これらのfermionもadjoint 表 現 クォークを 導 入 するにはどうしたら 良 いか? U(Nc) Nc クォークを 導 入 するには 3+ dim. D3-brane A μ q q m q U(N f ) N f Flavor D-brane 別 のD-brane を 挿 入 すると もともとのD3-brane 上 の 視 点 からは quark と anti-quarks が 導 入 されたように 見 える このD-braneをN f 枚 導 入 すれば N f 種 類 のフレーバーを 導 入 した ことになる 対 称 性 はU(N f ) D3とflavor braneの 距 離 current quark massに 対 応

50 D3-D7 system Nc 3+ dim. D3-brane A μ q q m q D7 N f Flavor braneはどのようなものでも 良 い 訳 ではない 例 えば 組 み 合 わせに よってはopen stringのモードに 不 安 定 性 (tachyon)が 生 じる 場 合 もある 系 が 安 定 な 場 合 の 例 として flavor braneがd7-braneの 場 合 が 挙 げられる Flavor 群 :U(N f ) NcD3 NfD ここを 用 いてD3 D7を 引 き 離 すことができる Chiral 対 称 性 の 破 れを 記 述 するゲー ジ 重 力 対 応 : 酒 井 杉 本 モデル 基 本 WittenのD-braneをコンパクト 化 したモデル 3+ 次 元 pure Yang-Mills 理 論 これにmasslessquarkを 加 えたもの 酒 井 杉 本 モデル クォークの 自 由 度 を 導 入 するには 新 たにD8-branefを 加 える

51 D-D8-D8 system ( 酒 井 杉 本 モデル[6]) 基 本 WittenのD-braneをコンパクト 化 したモデル 3+ 次 元 pure Yang-Mills 理 論 これにmasslessquarkを 加 えたもの 酒 井 杉 本 モデル D8 NcD q R q L chiralfermionが 存 在 し D8とD8-barで 独 立 に 対 称 性 が 存 在 :U(N f ) L U(N f ) R D8 まとめ ( 詳 しく 触 れることの 出 来 なかった 内 容 も 含 む)

52 AdS/CFTで 計 算 可 能 なもの We can introduce finite temperatures.[5] We can introduce finite densities of global charges.[9] We can compute the free energy. We can draw the phase diagram. We can study phase transitions. AdS/CFTで 計 算 可 能 なもの Expectation values of operators in gauge theories. Correlation functions of operators in gauge theories. For example, the retarded Green function of stress-energy tensor has been computed, and the shear viscosity of the gauge-theory plasma has been obtained. η lim ω 0 ikx r [ i d xe θ ( t) [ Txy ( t, x), Txy (0,0 ]] Im ) ω η h s πk B Revew: Natsuume, hep-ph/0700 Son, Starinets, arxiv:070.90

53 AdS/CFTで 計 算 可 能 なもの We can compute the expectation value of macroscopic operators like Wilson loops.[3] We can compute the effects of non-dynamical external objects (like external quarks) on the gauge theory systems.[] AdS/CFTで 計 算 可 能 なもの 流 体 力 学 [8] N SYMのgluon plasma 媒 質 中 を 音 速 より 早 く 移 動 する ( 無 限 に 思 い)quarkが 作 る 衝 撃 波 Chesler and Yaffe, arxiv:

54 guleball spectrum Mass spectrums of glueballs and mesons. ([,6]など) Mass spectrum of baryons.[] An example of glueballspectrum in d large-ncym (left) and its comparison with lattice result on SU(3) QCD. (Brower et. al., NPB587(000)9) Part 5 非 平 衡 物 理 学 への 応 用 の 試 み ( 別 のスライド)

55 参 考 文 献 コメント まず 全 般 にわたっての 日 本 語 で 書 かれた 良 いreviewとしては [0-] 今 村 洋 介 AdS 5 /CFT correspondence 素 粒 子 論 研 究 98(6) pp.09- (999) また AdS/CFTが 提 案 されて 比 較 的 初 期 に 書 かれた 大 部 なreviewに [0-] O. Aharony, S.S. Gubser, J. Maldacena, H. Ooguri, Y. O, `` Large N Field Theories, String Theory and Gravity, Phys.Rept.33:83-386,000, arxiv:hep-th/9905 があります 他 の 日 本 語 reviewとしては [0-3] 今 村 洋 介, AdS/CFT:その 基 本 的 アイデアとその 応 用, 原 子 核 研 究 5-, pp.5-67 (007). [0-] 夏 梅 誠, 線 形 応 答 理 論 からみたAdS/CFT 双 対 性, 原 子 核 研 究 5-3, pp.0- (00). [0-5] 中 村 真 夏 梅 誠, 超 弦 理 論 がつなぐブラックホールと 流 体 力 学, 物 性 研 究 9-3 (00-6), pp , (00); ( 同 一 原 稿 の 転 載 版 としては 素 粒 子 論 研 究 8-, (00).) [0-6] 杉 本 茂 樹, 超 弦 理 論 によるQCDの 解 析, 原 子 核 研 究 5-, pp (007). [] J. Maldacena, ``The Large N Limit of SuperconformalField Theories and Supergravity, Adv.Theor.Math.Phys.:3-5,998, arxiv:hep-th/9700. しかし 以 下 の 論 文 では 既 にAdS/CFTの 基 本 概 念 が 見 え 隠 れしています 基 本 思 想 を 読 み 取 る 上 で 重 要 です I. R. Klebanov, ``World Volume Approach to Absorption by Non-dilatonic Branes, Nucl.Phys. B96 (997) 3-, arxiv:hep-th/ [] ここで 用 いたϕ 3 理 論 のアナロジーでAdS/CFTの 説 明 を 行 うアイディアは 筆 者 の 独 自 の 試 みであり 他 の 文 献 には AdS/CFTを 説 明 する 目 的 では 恐 らく 見 当 たらないのではないかと 思 います しかしD-braneをclosed stringのtadpoleとみなしてre-summationする 考 え 方 や ここで 行 った 計 算 については tachyon condensationの 研 究 の 過 程 で 川 合 光 氏 より 手 ほどきを 受 けました また 計 算 の 細 部 の 理 解 については 韓 国 APCTPの 松 尾 善 典 氏 竹 内 紳 悟 氏 との 議 論 が 役 に 立 ちました この 場 を 借 りてお 礼 申 し 上 げます

56 [3] D-braneの 考 え 方 tensionの 求 め 方 などは 例 えば [3-] J. Polchinski, ``String Theory, vol., Cambridge University Press [3-] 太 田 信 義 超 弦 理 論 ブレイン M 理 論 シュプリンガー フェアラーク 東 京 に 詳 しく 載 っています また 素 粒 子 論 研 究 のReview 記 事 のうち [3-3] 橋 本 幸 士 D-brane 特 にそのEffective ActionとDuality 素 粒 子 論 研 究 9(5) pp.75-6 (997) [3-] 今 村 洋 介 String, M and Matrix Theories 素 粒 子 論 研 究 96(5) pp.87-70(998) なども 参 考 になります [] G. Horowit and A. Strominger, ``Black Strings and p-branes, Nucl. Phys. B360 (99)97. 歴 史 的 にはD-braneよりも 先 に 知 られていました [5] ここではstring tensionとd-braneのtensionの 比 がgsとなるような conventionを 採 用 しています 例 えば[3-]の.5 章 の 最 後 などを 参 照 [6] 実 は ここでのnear-horion limitの 説 明 は 少 し 不 十 分 な 点 があります つまり 単 純 に r 0 の 極 限 をとるのではなく この 極 限 を 取 る 際 に ゲージ 理 論 側 の 物 理 量 を 一 定 に 保 ったまま 極 限 をとる 必 要 があります ( 例 えば 有 限 温 度 を 導 入 した 場 合 は 極 限 をとったあとも 有 限 の 温 度 が 得 られる ようにスケールさせる 必 要 があります ) ここの 例 では r (string tension)がゲージ 理 論 のエネルギースケールなので これを 一 定 に 保 ったまま r 0 の 極 限 をとる と 言 うのがより 正 確 です ここで string tension(πl s ) - です こう 思 うと l s 0 r~l s のようにスケール させていることになります r 0 ~l s であることを 考 え 合 わせると この l s 0 極 限 で metricのhの 中 の が 無 視 できることになります しかし このように 詳 細 を 説 明 すると 複 雑 になるため 講 演 では 直 観 を 重 視 して 単 に r 0 の 極 限 をとるとしました 直 観 を 重 視 する 場 合 は まず r 0 の 極 限 をとる とした 上 で この 極 限 操 作 においてゲージ 理 論 の 物 理 量 がちゃんと 一 定 に 保 たれている( 極 限 後 も 有 限 に 保 たれている)ことを 確 認 する 必 要 があると 思 います [7] ここでdecoupleしているU()のモードはsingletonと 呼 ばれるモードです より 正 確 な 考 察 は[0-]の(3.6)と(3.7) 式 の 間 (で 引 用 されているRefs.)を 参 照 されたい (また[0-]にも 説 明 があります )

57 [8] ここで 説 明 されている operatorと 重 力 側 の 場 の 対 応 についての 対 応 処 方 はGKP-Witten 処 方 と 呼 ばれています [8-] S.S. Gubser, I.R. Klebanov, A.M. Polyakov, ``Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory, Phys.Lett.B8:05-,998, arxiv:hep-th/98009 [8-] E. Witten, ``Anti De Sitter Space And Holography, Adv.Theor.Math.Phys.:53-9,998, arxiv:hep-th/98050 [9] Holographicな 繰 り 込 み( 群 )や UV/IR 対 応 に 関 しては 非 常 に 多 くの 文 献 が あります Lecture Noteとしては [9-] K. Skenderis, ``Lecture Notes on Holographic Renormaliation, arxiv:hep-th/ また より 繰 り 込 み 群 に 主 眼 を 置 いた 初 期 の 論 文 として [9-] J. de Boer, E. Verlinde, H. Verlinde, ``On the Holographic Renormaliation Group, JHEP 0008 (000) 003, arxiv:hep-th/990 があります

58 [0] Stress tensorの 正 確 な 計 算 については 上 記 [9-]の 他 [0-] V. Balasubramanianand P. Kraus, ``A Stress Tensor for Anti-de Sitter Gravity, Commun.Math.Phys. 08 (999) 3-8, arxiv:hep-th/990 [0-] S. de Haro, K. Skenderis, S. N. Solodukhin, `` Holographic Reconstruction of Spacetimeand Renormaliation in the AdS/CFT Correspondence, Commun.Math.Phys. 7 (00) 595-6, arxiv:hep-th/00030 [] ここで 伝 えたかったメッセージは 次 のようなものです bulkの 場 を 座 標 で 展 開 していった 時 ののべきと operatorのscaling dimension の 間 にはある 関 係 が 存 在 します 重 力 側 の 場 がゲージ 理 論 のどのoperator に 対 応 するのか 同 定 する 際 に このoperatorのscaling 次 元 と 重 力 側 の 場 の 展 開 のべきの 関 係 から 対 応 を 同 定 しようとする 論 理 がたまに 見 受 けられます しかし もともと scaling dimensionとのべきの 関 係 は 結 論 であって それが 指 導 原 理 ではないと 私 は 考 えています あくまで 重 力 側 の 場 とゲージ 理 論 側 のoperatorの 対 応 関 係 はD-braneの pictureから 導 出 される ものです そうしないと 理 論 を 一 般 化 複 雑 化 したときに 重 力 側 とゲージ 理 論 側 を どう 対 応 付 けて 良 いのかが 全 くわからなくなってしまいます 重 力 側 の 計 量 が 複 雑 になれば 一 般 に のべき と scaling の 関 係 は 変 化 し 得 ますし また 仮 にゲージ 理 論 のoperatorのscalingがのべきから 同 定 されたとしても 同 じscalingを 持 つoperatorがいくつもある 場 合 は どれを 選 んで 良 いのかがわからないでしょう

59 [] この 問 題 については S. Kinoshita, S. Mukohyama, S. Nakamura, and K-y. Oda ``A Holographic Dual of Bjorken Flow, Prog.Theor.Phys.:-6,009, arxiv: および そこで 引 用 した 文 献 において 深 く 考 察 されています [3] Wilson loopの 計 算 とあわせ 以 下 の 文 献 がoriginalな 仕 事 です [3-] J. Maldacena, ``Wilson loops in large N field theories, Phys. Rev. Lett. 80 (998)859, arxiv:hep-th/ [3-] S-J. Rey and Jungtay Yee, ``Macroscopic strings as heavy quarks: Large-N gauge theory and anti-de Sitter supergravity, Eur.Phys.J. C (00) , arxiv:hep-th/ [] 例 えば [-] C. Csaki, H. Ooguri, Y. O and J. Terning, ``Glueball Mass Spectrum From Supergravity, JHEP 990 (999) 07, arxiv:hep-th/98060 [-] R.de Mello Koch, A. Jevicki, M. Mihailescuand J. P. Nunes, ``Evaluation Of Glueball Masses From Supergravity, Phys.Rev.D58:05009,998, arxiv:hep-th/ [-3] R. C. Brower, S. D. Mathurand C-I. Tan, ``Discrete Spectrum of the Graviton in the AdS 5 Black Hole Background, Nucl.Phys.B57:9-,000, arxiv:hep-th/ [-] R. C. Brower, S. D. Mathurand C-I. Tan, ``Glueball spectrum for QCD from AdS supergravity duality, Nucl.Phys.B587:9-76,000, arxiv:hep-th/00035 など 非 常 に 多 くの 文 献 があります

60 [5] E. Witten, ``Anti-de Sitter Space, Thermal Phase Transition, And Confinement In Gauge Theories, Adv.Theor.Math.Phys.:505-53,998 arxiv:hep-th/ [6]Holographic QCDの 代 表 的 なものとして 酒 井 杉 本 モデル [6-] T. Sakai and S. Sugimoto, ``Low energy hadron physics in holographic QCD, Prog.Theor.Phys. 3 (005) 83-88, arxiv:hep-th/0 [6-] T. Sakai and S. Sugimoto, ``More on a holographic dual of QCD, Prog.Theor.Phys.:083-8,005. arxiv:hep-th/ があります 日 本 語 reviewとしては[0-6] [7] E. Wittenの[5]を 参 照 なお [6-,]でも[5]の 方 法 に 基 づき 超 対 称 性 を 破 っている [8] ゲージ 理 論 流 体 の 流 体 力 学 的 物 理 量 の 導 出 等 に 関 するreviewとしては 例 えば [8-] M. Natsuume, `` String theory and quark-gluon plasma, arxiv:hep-ph/0700 [8-] D. T. Son, A. O. Starinets, ``Viscosity, Black Holes, and Quantum Field Theory, Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.57:95-8,007, arxiv: などがあります また 流 体 力 学 と 重 力 dualの 対 応 に 主 眼 を 置 いたreviewとしては [8-3] M. Rangamani, ``Gravity & Hydrodynamics: Lectures on the fluid-gravity correspondence, arxiv: があります さらに ( 流 体 の) 時 間 依 存 性 に 主 眼 をおいた 仕 事 については[]および そこで 引 用 している 文 献 を 参 照

61 [9] 私 の 認 識 では 有 限 バリオン 密 度 を 本 当 に 満 足 いく 形 で 導 入 する には いろいろと 解 決 すべき 問 題 が 残 っていますが 参 考 になる 文 献 としては 例 えば [9-] O. Bergman, G. Lifschytand M. Lippert, `` Holographic Nuclear Physics, JHEP07:056,007 arxiv: などがあります ( 他 にも 実 に 多 くの 文 献 があります ) [0] + 次 元 のCFTとの 対 応 を 考 えることにより 物 性 系 へAdS/CFTを 応 用 する 試 みが 近 年 なされています 一 つのreviewとしては [0-] S. A. Hartnoll, C. P. Herog, G. T. Horowit `` Holographic Superconductors, JHEP08:05,008, arxiv: がありますが ここで 網 羅 されていない 仕 事 も 多 数 あります [] 例 えば C. P. Herog, A. Karch, P. Kovtun, C. Kocaand L. G. Yaffe, `Energy loss of a heavy quark moving through N supersymmetric Yang-Mills plasma,'' JHEP 0607 (006) 03 [arxiv:hep-th/060558]; S. S. Gubser, ``Drag force in AdS/CFT,'' Phys. Rev. D 7, 6005 (006)[arXiv:hep-th/06058]. [] H. Hata, T. Sakai, S.Sugimoto, and S.Yamato, Baryons from instantonsin holographic QCD, Prog.Theor.Phys.7:57,007, hep-th/ K. Nawa, H. Suganuma, and T. Kojo, Baryons in holographic QCD, Phys.Rev.D75:086003,007, hep-th/0687.

62 ここで 全 く 触 れることの 出 来 なかった テーマ Spin Chain 関 連 の 仕 事 Alday-Maldacenaのgluon 散 乱 の 仕 事 など 多 数 あります