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1 経 済 データの 時 系 列 分 析 と 予 測 (3) 高 森 寛 川 叩 山 川 1 川 1 川 川 川 i 日 川 川 日 川 l 日 川 1 川 川 川 川 川 日 川 叩 川 1 川 川 1 川 川 川 川 川 川 川 川 日 川 川 li 日 1 川 川 川 川 川 川 li il 川 1 川 川 川 川 自 己 回 帰 移 動 平 均 過 程 の 同 定 前 節 の 表 5.1 に 整 理 したように, 純 粋 の 移 動 平 均 過 程 MA(q) の 特 徴 は, 理 論 的 には, 自 己 相 関 コレログラム におけるラグ q 以 降 の 切 り 落 ち (cut off) に 現 われる. また, 純 粋 の 自 己 回 帰 過 程 AR(ρ) の 理 論 的 特 徴 は, 偏 自 己 相 関 コレログラムにおけるラグ ρ 以 降 の 切 り 落 ちで ある. 自 己 回 帰 部 分 と 移 動 平 均 部 分 の 両 方 を 含 む 混 合 過 程 の 場 合 は, 自 己 相 関 コレログラムに 切 り 落 ちが 生 じないで, 次 第 に 減 衰 するパターンとなる. 最 も 簡 単 な 混 合 過 程 ARMA(l, l) は, Zt= 仇 Zt-l+ð+at-8, であるが,その 自 己 相 関 々 数 は p,= 立 - (h 8,)( 仇 -8d 1+8,2_29Í 1 8, Pk= 仇 Pk-h k=2, 3,'" となることを 示 すことができる.また, 過 程 の 期 待 値 E[ZtJ とトレンド 定 数 8 の 聞 には, 己 回 帰 型 過 程 として 表 わせることも 示 せる.そして, 偏 自 己 相 関 関 数 枕 は, 近 似 的 に, 自 己 回 帰 過 程 の 係 数 仇 の 値 に 近 いことから, 混 合 過 程 については, 偏 自 己 相 関 コレログラムにも 切 り 落 ちが 生 じないことがわかる. 以 上 から, 標 本 自 己 相 関, 標 本 偏 自 己 相 関 の 両 方 のコ レログラムとも, 比 較 的 小 さいラグで 明 白 な 切 り 落 ちが あると 判 定 しにくい 場 合 は, 混 合 型 モデルを 考 えなけれ ばならない. 一 混 合 モデルの 周 定 一 図 5.6 に 示 しているのは, 利 子 率 をあらわすコールレ ート( 無 条 件 物, 東 京 平 均, 1967 年 1 月 年 12 月 [16J) の 月 別 データ 巧 の 対 前 月 差 叩 t= マ Zt 三 Zt- Z t_l をプロ ットしている. このデータ 叩 s の 自 己 相 関 と 偏 自 己 相 関 の 標 本 コレログラムを 図 5.7 に 示 す. 点 線 は 標 準 誤 差 ん の 2 倍 の 位 置 を 示 しているが, 自 己 相 関 のほうは,ラグ 1 のハからラグ 6 の η まで 有 意 であり, 偏 自 己 相 関 の ほうもかなり 長 いラグにわたって 有 意 な Økk が 観 察 され るので, 純 粋 の MA または AR モデルをあてはめよう とすると, 単 純 なモデルにはなりそうもない.そこで, 混 合 モデルを 試 みることになるが,まず, 簡 単 な ARMA (1, 1) で 試 してみるのが 順 当 であろう. の 関 係 が 成 り 立 つ. (5.9) 式 から, 明 らかに, 自 己 相 関 パラメータの 初 期 推 定 を 得 るには, 理 論 式 (5.9( 防 )に, 関 数 は 切 り 落 ちない p, と P2 に,それらの 推 定 値 η=.38 と η=.22 を 代 入 また, 混 合 過 程 の 場 合 は, 等 価 的 に, 無 限 の 次 数 の 自 して, HJ 月 1)] UJ 月 1 月 1 月 1 月 1 月 1 月 12 月 日 一 一 + 図 5.6 短 期 利 子 率 (コール レート) : 対 前 月 差 :Wt= マ Zt=Zt- Z t_l たかもり ひろし 青 山 学 院 大 学 国 際 政 治 経 済 学 部 1984 年 4 月 号

2 自 己 相 関 関 数 ーー 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ー ラグ k()j) (b) 偏 自 己 相 関 関 数 れk 01, 了 r:i-~- 一 一 一 一 一 -~-I 一 一 一 一 一 -JI-- 一 一 一 --l---.-~- 一 二 一 一 図 5.7 ラグ )ー 参 自 己 相 関 関 数 と 偏 自 己 相 関 関 数 :コール レート 対 前 月 差 叩 t= 令 r. いす 元 =.55 が 得 られる. さらに, ムを 求 めるために r1=.38 と 仇 =.55 を (5.9(a)) 式 に 代 入 する. (1 ー.55Ô 1 )(.55-Ô 1 ).38= 一 一 一 --:;..-ニム 7 一 一 2 これを 解 くと, 8 1 =.69 が 得 られる. (もうひとつの 根 8 1 =4.5 があるが,これは,いわゆる, 逆 換 条 件 invertib i1i ty を 満 たさないので 採 用 しない. )また, 図 5.6 の データ 叩 t の 標 本 平 均 は Wt=.0218(%) であり,その 標 準 誤 差 は O 却 =.036(%) と 推 定 される.したがって, 凹 =.0218/.036=.605 が 2 を 超 えないため, は 有 意 で はないので, E[WtJ=o と 判 断 する.よって, (5.10) 式 の 関 係 から, トレンド 項 S もゼロと 判 定 するこ とになる.コールレートの 対 前 差 データ 即 t= マ Zt いて 得 られた 初 期 モデルは, につ 即 t=.55 叩 ト l+ a t-. 69a t となる. モデル 推 定 と 適 性 の 診 断 パラメータの 推 定 時 系 列 データ 九 Z2,, Z~ が, 特 定 次 数 p, d, q の ARIMA 過 程 から 発 生 しているとして,パラメータ 仇, <þz,,<þp, 81>, 8q, ð, f1 a2 の 値 を 推 定 する 問 題 は, 統 計 的 推 定 論 の 領 域 て あり, 多 くの 方 法 が 提 案 されている が,それらについては,ここでは 議 論 しない. 基 本 的 には, 適 当 に 階 差 をとって 定 常 化 されたデー タ ベクトル W=(W I> W2,, WN)' が 与 えられたとき, 正 規 性 の 仮 定 のもとで, 尤 度 関 数 を 最 大 化 する 推 定 量 を 求 める 問 題 である.この 場 合, 尤 度 関 数 は, L(Ø,fJ, ð, σ a 2 Iw)=(2 π )-N/2( σ a2) オベレーションズ リサーチ

3 表 8. 季 節 移 動 平 均 モデル 推 定 一 通 貨 供 給 量 表 6.2 (1, 1, 1) モテール 推 定 一 利 子 率 (コ 推 定 初 期 値 推 定 値 95% 信 頼 区 間 残 差 二 乗 和.059 自 由 度 154 残 差 二 乗 平 均 残 差 個 数 残 差 標 準 誤 差 (â a ) N expl ーす 土..- â(ø, (}, ö) (6.1) ;t. σa.ci となる.ただし, â(ø,(}, ölt は, 残 差 に 相 当 し, â(ø,(}, ö)t= 叩 t-'hwt-, ー "-øp 叩 ト p+ö+oât 1 + +Oqâト q 寸 である.このように, 推 定 の 問 題 は, 非 線 形 の 定 度 関 数 (6.1) を 最 大 化 するパラメータ φ, fj, ö の 値 を 求 める 問 題 に 帰 着 するが,ある 条 件 のもとでは, 残 和 二 乗 和 関 数 S(Ø,(},ö)=L: â( φ,(}, õ) を 最 小 化 する 推 定 量 が,ほぼ 近 似 的 に, 尤 度 関 数 を 最 大 化 することも 知 られている. 残 差 二 乗 和 を 最 小 化 する 方 法 としては,マーカ- rquardt) のアルゴリズムなどがよく 知 られている. 統 計 数 理 研 究 所 のプログラム TIMSAC, [IOJ, [IIJ, [12J には, 尤 度 関 数 を 正 確 に 最 大 化 するもの, AIC 基 準 によって, 次 数 ρ, d, q の 決 定 も 含 めて, 最 尤 推 定 値 を 求 めるプログラムなどがそろっている. ARIMA モデルのパラメータ 推 定 に 特 有 の 困 難 な 問 題 としては 初 期 値 問 題 がある. データに ARMA(ρ, q) をあてはめると 残 差 は (6.2) 式 に 相 当 するものであるが, 残 差 â" â 2,, ân は, wo, w- h, 叩 l-p, âo, Ûl-qに 依 存 する.いわゆる 後 方 予 測 をして,これらの 値 を 推 定 し たり,ある 特 定 の 値 を 仮 定 したりしなければならない. 筆 者 が 現 在 使 っているプログラムは,ウィスコンシン 大 学 で 開 発 された Box-Jenkins 時 系 列 分 析 用 プログ ラム1>, 2>" で, パラメータ 推 定 には,マーカートのアル ゴリズムをつかっている. 前 回 5.3 節 て の 通 貨 供 給 量 M, データ 分 析 で 適 切 なモデル 構 造 は, 季 節 移 動 平 均 型 の ママ 12 1 ー θ B'2)at であることが 明 らかになったが,パラメータ 推 定 計 算 の 結 果 は, 表 6.1 のとおりである.また, 図 5.6 のコール レート 対 前 差 即 t= マ Zt の 分 析 では,コールレート 原 デ ータ {Ztl のモデルとしては, ARIMA(I, I, I) の, (1-q\, B) マ Zt=(1-0, B)at を,ひとまず 試 してみることになったが, 推 定 計 算 の 結 脚 注 1) このプログラムは 国 際 大 学 大 槻 聡 幸 氏 との 共 同 研 究 で 利 用 しているものである. 一 部 は 対 話 方 式 で 利 用 できるようにしてある. 開 発 は 北 沢 博 之 氏 による[ ノミラメ タ ールレート) 推 期 定 値 初 推 定 値 95% 信 頼 区 間 1 0, 残 差 二 乗 和 自 由 度 164 残 差 二 乗 平 均 残 差 個 数 残 差 標 準 偏 差 (â a ) 果 を 表 6.2 に 示 す. モデルの 適 性 の 診 断 推 定 されたモデルの,いわゆる できばえ"は, 次 の 観 点 からなされる. パラメータ 推 定 値 の 標 準 誤 差 との 関 係 で, 推 定 値 が 統 計 的 に 有 意 で あるかどうか. 得 られたモデルの 構 造 に 難 点 はないか. 定 常 条 件, MA 部 分 の 逆 換 条 件 に 関 するもの. ( 出 ) 残 差 系 列 がホワイトノイズであるかどうか. AR 部 分 の (i)に 関 しては,パラメータの 95% 信 頗 区 間 がゼロの 値 を 含 んでいるようだと, 得 られた 推 定 値 は 有 意 で あると はいえない.すなわち,パラメータの 真 の 値 がゼロであ るとし う 仮 説 を 棄 却 できない. 上 記 の 2 つのケースの 推 定 結 果 では,どの 信 頼 区 間 も, 下 限, 上 限 とも 正 である から,これらの 推 定 値 は 十 分 に 有 意 である. (ii)に 関 する 診 断 では,モデルの AR 部 分 Ø(B), 部 分 (B) について, φ(b)=o, O(B)=O の 棋 がすべて 単 位 内 の 外 側 にあることの 確 認 である. 表 6.1 の f 主,=.714,また 表 6.2のム =.825,ム =.562 は,いずれも, 絶 対 値 が 1 より 小 さいので, 1-q\, B=0, 1-0, B=0 の 根 は 単 位 内 の 外 側 である.ただ, 表 6.2 の 推 定 では, </>, の 95% 信 頼 区 聞 は,その 上 限 に 近 いところではあるが, 1 を 含 んでいるので, 'h=1 である 仮 説 を 完 全 には 棄 却 できない. q\, =1 ならば, AR 部 分 は, 1-</>, B=I-Bで あるから,もういちど 階 差 をとることに 等 しい. ( 出 )に 関 する 診 断 では,モデルをあてはめたあとの 残 差 めがホワイト ノイズかどうかの 検 定 をすることにな る.もし, ât がホワイト ノイズではないということに なれば, この 残 差 データには, まだ, 将 来 の Zt の 予 測 のために 利 用 できる 情 報 が 残 っているわけで,そのモデ ルは,まだ 原 データの 情 報 を 完 全 に 活 用 しきっていない と 判 断 しなければならない. 残 差 系 列 {â c} がホワイト ノイズかどうかの 検 定 ある 時 系 列 過 程 {a C} が,ホワイト ノイズであれば, その 自 己 相 関 関 数 Pk は,すべてのラグ h について,ゼ ロの 値 である.また,そのような 過 程 から 発 生 したデー タの 標 本 自 己 相 関 関 数 η の 標 準 誤 差 としては, 5.2 節 で 1984 年 4 月 号

4 図 6.1 通 貨 供 給 量 モデルマ 四 マ loge B12)at の 残 差 {d t } の 自 己 相 関 コレログラム 図 6.2 コール レートモデル (1 ー.825B) マ 的 =(1ー.562B)at の 残 差 {dtl の 自 己 相 関 コレログラム 述 べたように, 近 似 的 に, (5.1) 式 をつかえるから, γ= -v'v[rkj= -v' I/N を 得 る.したがって, 残 差 めのデータ 数 を N' として, その 標 本 自 己 相 関 係 数 η が,ほほ. 土 2ó'r=::t: 2/ -v' N' の 範 聞 から 外 へ 出 ないようであれば, iit はホワイト ノイ ズであると 判 断 してよい.しかし, rk はあくまでも 標 本 誤 差 をともなうものであるから, 1-2 の 日 が 土 2iì rの 外 に 出 たとしても,ホワイト ノイズであることを 完 全 には 否 定 できない. そこで,ボックスとピアース (Box は,ラグが 1 から K までの 標 本 自 己 相 関 係 数 rh, rkを 一 括 して,それらが 全 体 として 十 分 小 さ L かどうかを 検 定 できる 統 計 量 Q を 提 唱 している.それによれば, N を データ 数 として, 次 の 統 計 量 は, 自 由 度 が K-p-q のカイ 二 乗 分 布 をしている.し たがって, Q が,たとえば 有 意 水 準 5%の 棄 却 値 z 05 2 を 超 えなければ, 残 差 {â t } はホワイト ノイズであると 判 定 できる. 通 貨 供 給 量 M,について, 表 6.1 に 示 すモデル 推 定 の 際 の 残 差 {âtl の 自 己 相 関 コレログラムを 図 6.1 に 示 す. また,コールレートについては, 表 6.2 のモデル 推 定 の 際 の 残 差 の 自 己 相 関 コレログラムを 図 6.2 に 示 している. 点 線 で 示 しているのは, :l: 2iìγ の 位 置 である. 図 6.1 の 通 貨 供 給 量 モデルの 場 合 は,すべての η が:l: 2iì r の 範 囲 におさまっている.また, K=12 として, Q 統 計 量 を 求 めると, 31 であった. Q の 自 由 度 は, K-ρ -q=12 ー 1 ー 0= であり, 有 意 水 準 5% とし て 棄 却 値 は χ 05 2 = 7 である. Q=18.31 は χ.05 2 を 超 え ていない.したがって ワイトノイズであると 判 断 してよい. 2 つの 検 定 から, 残 差 {âtl はホ 表 6.1 に 得 られたモデルは, t かにも 簡 単 な 構 造 のも ( 日 ) オベレーションズ リサーチ

5 - フ A 判 仇. θ タ 表 B J 一 一 一 推 定 初 期 値 推 定 値 95% 信 頼 区 間 残 差 二 乗 和.254 自 由 度 151 残 差 二 乗 平 均. 残 差 個 数 残 差 標 準 誤 差.4 10 のではあるが, 以 上 の 診 断 から,これ 以 上 モデルを 複 雑 で 精 綴 なものにしても,あまり 大 きな 結 果 は 期 待 できな L. 一 方, 図 6.2 のコレログラムのほうは,ラグ 12, 24の 自 己 相 関 係 数 r12=.22, 23 は,その 標 準 誤 差 の 2 倍, 28 r =2{.08)=.16 を 超 えており, 明 らかに, 有 意 である.また, K=24 として, Q 統 計 量 を 計 算 してみる と Q=N ~ 155 である.この Q の 自 由 度 は, K-p-q=24 ー 1-1=22 であり, 棄 却 値 は χ 05 2 =33.9 であるので, Q= は 棄 却 値 を 超 えている. 以 上 か は, 等 価 的 に, 過 去 のランダム ショック(ホワイト ノイズ)の 線 形 関 数 Zt=at+W,at_,+ +Wjat_j+ (7.2) の 表 現 に 変 換 することができ,これは ランダム ショ ック 形 式 "と 呼 ばれている. たとえば, AR(I) 過 程 : Zt=ø,Zt_,+at は,これに Zt-1=Ø1 Zt-2+ a t-1 を 代 入 すると Zt=at+ 仇 at_, Zt-2 となる.これに, さらに Zt-2= 仇 Zt_3+ at-2 を 代 入 するプロセスを 繰 り 返 していくと, Zt=at+ 仇 at-1+ +ø1ia t-j+.. =(1 +φ1b+ + 仇 ibj+ )at の 形 に 変 換 される. ここで, (7.3) 式 の ( 1-Ø1 B )zt=at が, 等 価 的 に, (7.4) 式 に 置 き 換 えられたのであるから, (1-aB) の 逆 演 算 子 ( 1-aB)-1 として, (1 -ab) =1+aB+ +αjbj+ (7.5) を 定 義 し, (1-aB) (1-aB)=( =1 と 約 束 すると 都 合 がよい. ここで, 1 は 単 位 演 算 子 ら, 表 6.2 に 推 定 したコールレートのモテツL- :{1 ー.825B) マ Zt= {1 ー. )at の 残 差 {âe} にはラグ 12, 24の 有 意 な 自 己 相 関 が 存 在 しており,モデルには, 季 節 変 動 要 因 を 組 み 込 むべきであることを 示 唆 している. そこで, (6.4) 式 のモデルをベースにして, 次 のよう な 季 節 ARMA モデルを 推 定 する. (1 -Ø, B) ママ 12Zt={ 1-8,B){ 1 ー θ B12)at 推 定 結 果 を 表 6.3 に 示 す. このモデル 推 定 による 残 差 系 列 の 標 本 自 己 相 関 係 数 で,やや 大 きなものとしては, 行 = 一.12, rll=.14, r'5= 一.15 などであったが, 推 定 標 準 誤 差 ムが.08 な ので, 有 意 なものはないとみなせる.また, K=12 とし て, Q 統 計 量 は, ~ rk 2 =7.4であった.この 推 定 モデルはパラメータを 3 個 含 むので, Q の 自 由 度 は K 3=9 となり, 有 意 水 準 5% として 棄 却 値 は χ 05 2 = であるから, Q=7.4 の 値 は 十 分 に 小 さい. よって, 残 差 系 列 はホワイトノイズであると 考 えてよい. ARIMA モデルによる 予 測 について 時 系 列 モデルをつくる 通 常 の 目 的 は,それをつかって, その 時 系 列 変 数 の 何 期 か 将 来 の 値 について 予 測 すること にある. 以 下 に, 推 定 して 得 られた ARIMA つかつての 予 測 について 説 明 する. ARIMA 過 程 のランダム ショ.'1 ク 表 現 一 般 に, ARIMA 過 程 (B) マ d Zt =8{B)at 1984 年 4 月 号 モデルを で, IZt=Zt とする. この 逆 演 算 子 をつかって,たとえば, ARIMA{O, I, I) 過 程 : (1 -B) 巧 =(1-8B) at のランダム ショック 形 式 を 求 めるには,この 河 辺 に (1-B)-1 をかけて, Zt={I-B) {1-8B)at={ I+B+B2+B3+ ) 1-8)2B2+ +(1-8)JBJ+ }at が 得 られる. 最 小 平 均 二 乗 誤 差 予 測 1( foreeωt) いま, 時 点 t において, 1 期 先 の Zt +l の 値 を 予 測 した いとして,その 予 測 j 値 をぬ (l) とかく. Zt+! は,ランダ ム ショック 形 式 (7.2) であらわすと, Zt +l=at+!+w, + + 事 Tト 1 a t +1+ 型 r!at +W!+1 at-1+ (7.8) である. 時 点 t において,あ (l) を 求 めるには, 時 点 t までのデ ータしか 利 用 できないから, 予 測 れ (/) は, 観 察 Zt, Zt_h の 線 形 関 数 で 求 めるものとする.それは 結 局, 時 点 t までのランダム ショック at, at-h の 線 形 関 数 であら わされることになる. すなわち, Zt (l)= ザグ at+ W!+グ at-1 at-2+ ここで, 問 題 は, Zt (l) が 良 い 予 測 であるためには, W!*, W! +1*, がどんな 値 であることが 望 まし L かとい うことである.

6 (7.8) 式 と (7.9) 式 から, 1 期 先 の 予 測 誤 差 et(l) の 二 乗 の 平 均 は, E[et (l )2J 三 E[ZtH 一 九 (l)j2=(i+w W I _ 1 2) σa2+i5ve+j-mj}2d(7.10) この E[et (l )2J は, 事 rl+j*=w 1 + j であるときに, 最 小 化 されることになる.すなわち,そのとき, 九 (l) は, 最 のノイズ,あるいは 残 差 として 知 られているものに 等 し いことがわかる.れ (1) は, 時 点 t において 利 用 できる 観 察 値 Zt. Zト h の 線 形 関 数 のうちで Zt +1 を 最 小 の MSE で 予 測 するものであるが, 実 際 には, Zt+1 が 実 現 し て, 予 測 値 と 実 現 値 との 講 離 を 表 わしているのが (7.14) 式 である.ノイズ at が, 別 名 ショックとか, イノベー 小 平 均 二 乗 誤 差 予 測 である. さて, (7.8) 式 の Zt 刊 を, 時 点 t において 予 測 しよう ション( innovation) 考 えられる. と 呼 ばれるのはこのためであると とすると, at, at_h o はもうすでに 実 現 した 値 であり, at+h a t+2,, at+t はこれから 実 現 する 確 率 変 数 である. このように, at, at-h, はすでに 実 現 済 みとし う 条 件 のもとで (7.8) 式 の 期 待 値 E[Zt+1 をとると, =E[edl)J 十 九 (l)= ぬ (l) となる.すなわち, 時 点 t Zt, Zt-h ] 三 E[ZtHJ a t+ト 1+ + 型 r l _ 1 までの 匂 の 値 が 既 知 である と L う 条 件 のもとでの 的 刊 の 条 件 付 期 待 値 E[ 勾 +t1 Z t, Zt-h ]を 求 めれば,それは, Zt 叫 に 関 する 最 小 平 均 二 乗 誤 差 予 測 ( 最 小 MSE 予 測 )でもあることがわかる. れ (l) は, t を 固 定 すると l の 関 数 なので, 予 測 j 関 数 と も 呼 ばれている. 九 日 ]の 予 測 誤 差 et (l) は et(l)=zth 一 九 (l)=at 叫 +W 1 a th-1+ であり, 予 測 誤 差 の 期 待 値 は, [et (l )J=O であり, 予 測 九 (l) には 偏 りはない.また, et (l) の 分 散 は, + +Wト,2)σJ となる.これから, とができる. Zt 刊 についての 信 頼 区 聞 を 求 めるこ いま, 時 点 t において, Zt+hZt+h, Zt+L の 線 形 関 数 Ft(L)=f1 Z t+1+ +fl Zt+L からなる 量 Ft(L) を 予 測 し たし ときは, Zt+L の 最 小 MSE 予 測 量 e( l) を 用 いて, Ft(L)=f, 令 (1)+ +flzt(l) が Ft(L) の 最 小 平 均 二 乗 誤 差 予 測 であることも 知 られている. たとえば, 叩 t=zt-zt-, であるとき Zt+L=Zt+Wt+, + +Wt+ L であるから, 叩 s についての 最 小 MSE 予 測 wdl) を 用 いて, Zt+L の 最 小 MSE 予 測 ゐ (L)=zt+ Wt (1)+ +wt(l) が 得 られることになる. 予 測 想 差 としての 残 差 予 測 Zt (l) を 計 算 するには, 過 去 から 現 在 に 至 るラン 予 測 を 行 なうには, 過 去 に 起 こったショック at, at-h を 知 ることが 必 要 であるが,そのためには, 過 去 の 1 期 先 予 測 の 誤 差 を 記 憶 しておけばよいことになる. [IJ-[7J: 前 々 回 参 照 J, : 前 回 参 照 参 考 文 献 Akaike, H., Ozaki, 1), No.5, Mathematics, Akaike, H., Ozaki, SAC-74(2), Comρ. No.6, Stat., Akaike, H., Kitagawa, Tada, TIMSAC-78, No.ll, Stat., 高 森 寛, 北 沢 博 之 対 話 型 時 系 列 分 析 システム J. 青 山 コンピュータ サイエンス, 第 10 巻, 第 l 号, 青 山 学 院 大 情 報 科 学 研 究 センター. 高 森 寛 時 系 列 分 析 理 論 の 基 本 的 枠 組 J. 青 山 コ ンピュータ サイエンス, 第 巻, 第 1 号, 青 山 学 院 大 情 報 科 学 研 究 センター 1983 年 9 月 Box, P., Pierce, Models, Association, 経 済 企 画 庁 調 査 局 編, r 経 済 変 動 観 測 資 料 年 報 J, 昭 和 55 年 7 月 Vandaele, W., Models, Press, ダム ショック(ホワイト ノイズ ) a e, at-h の 値 を 知 らなければならない. (7.12) 式 から 期 先 の 予 測 れ (1) の 予 測 誤 差 は, となり,その 時 系 列 過 程 を 発 生 している 確 率 動 因 として オベレーションズ リサーチ

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