Microsoft Word w.Z...F.l.doc

Transcription

1

2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 0

11

12

13 3

14 4

15 5

16 6

17 7

18 8

19 O Le Access I House IT R&D LIMS Model Prote Foldg Dockg Study Sequece aalyss Homology Search -omcs data aalyss 9

20 0

21

22

23 3

24 4

25 5

26 6

27 7

28 8

29 9

30 Art of Thkg Art Mcroscopc System Macroscopc System DNA

31 Geotype Pheotype Cloe Etropy

32 Epermet Tral Sample pot Evet Coutable A complete system of evets 0 3

33 A A A A... A m A A... Am A A Aj Φ ( A A... Am P( A P( A... P( Am P ( A P( A... P( Am E P A A P( A P( A ( j j Coutable Lesbesque Measure Theory Fermat ( B. Pascal (63-66 Huyges ( Jacob Beroull ( De Movre ( Bayes (70-76 P. Laplace ( Gauss ( Posso ( Chebyshev (8-894 A.A. Markov(856-9 A. M. Llyapuov( A.N. Kolmogorov A. Ya. Khch

34 ur G.L. Buffo D L P P L/D / / / 5

35 log! log log (π O ( log Bayes K P K K H P(H K H P(KH P(KH P(HK P(H H H K P( KH P ( K H P( H A A A K P K P ( A P( K A ( P ( A K P ( A K P( K P ( A P( K A P( K P ( A P( K A P ( A P( K A K K K A K Dstrbuto 6

36 Beroull A A A ( or 0 0 p p ( q 0 Ω B A µ ( A p( ( A µ µ µ (A A A B A k k µ ( Ak p( Ck p q ( Ak k! p k!( k! k ( p k P ( k Beroull s formula 7

37 (k Bomal Dstrbuto P! k!( k! k k ( k B p ( k p ( p P k k ( p q Ck p q k 0 C k p k q k E E E... E m p p... p m p p... pm ( E E.. E m E k E k.. E m k m P( k k km P( k k k m! k k p p k! k! km! p E k E k.. E m k m k k... km k k k ( m k m m! k k P( k k km p p p k! k! k! km m m 8

38 p p... ( p m P (k k k 0 most probable k k0 p ( p k p 0 p (k p P k k kp ( k p (k ( k p p( p P k k ( k p P ( k p( p Normal Dstrbuto Gaussa p q pq k P ( k e πpq ( k p / pq k m m p pq k k ( k p P ( k pq p( p 9

39 m σ P( k e πσ ( k m / σ N( m σ k k G ( k q p Geometrc Dstrbuto p A A k k / q / p k k HG ( k C C / P ( p q p k q k p q C p q Hyper Geometrc Dstrbuto Posso λ λ k k e λ λ Pλ ( k e k! k! λ 0

40 k λ λ ( p λ p 0 B p k p p q p /( p q p Smulato 0 < Cogruece Method a c m r a r c (mod m; r / m a 9 c m pp.34-44

41 GAUSS

42 p p p 3... m p p.. p m < X > p p... m p m X < > p p... p m < X Y > < X > < Y > < X Y > < X > < Y > m 3

43 E E E3... E... E P( E E / kt e E / kt P( E Z e Z P( E E E P P E E DE P / P P DE kt e P / DE e / kt N up dow B B B B N N N C N C 4

44 N N up /N ( µ B / kt P Ce N C dow P P ' P N P C C P ' ( ' µ µ ( µ N N N tah e e µ e e E k S ( p ε mv m 5

45 3 f ( v d v 3 3 m mv f ( v d v 4πv ( e dv d 3 v 4πv dv πkt kt kt ( m 900 6

46 944 F. DNA mrna 7

47 948 C. Shao Claude E. Shao measure of formato etropy Shao etropy A. I. Khch etropy probablstc scheme A A A pp pm A A... A A p p... p H pp p - p log p Etropy Shao Etropy Etropy Iformatoal Etropy H H H -p log p p log p -p log p 0 log 0 0 log 0 H 0 H H p ( f ( log (0 log 0 ( 8

48 H H p / H - / log - - / (- log log A A p A p H p log p ( p log ( p H H 0.5 A A A H log Etropy bt bt H e 0 logb k log b k logb a loga k loga k logb a loge k log k loge k log e A B A A... A A p p... p B B... B B q q... q 9

49 AB AkB l π kl A Ak B Bl ( qkl π kl p k q kl H ( AB H ( A H A ( B H ( A H ( B H A ( B H ( B H A ( B pkh k ( B H k ( B qkl logqkl k l [ ] log (0 f λ f ( f ( λ λ 0 λ l k k p q log q q logq p q q k k kl kl l l k k kl l B A H ( AB H ( A H ( B H A ( B H ( B 0 0

50 Measure Shao measure H Shao p.50 H

51 A A... A A p p... p H 0 p log p A B A A... A A p p... p B B... B B q q... q H ( A B ( p p log q p log p p logq p q H ( A B p log p log q p p q A B Gbbs Gbbs Kullback Dvergece Gbbs H 0 p q [ ] f ( y (log log y y (0 0 y

52 y f f log log y > 0 0 ( cocave fucto y f ( y y 0 f ( y (log log y y 0 (0 0 y p y q p q p p (log p log q p log 0 q q / p log p log Fsher A A p A p A p m p... λ λ λ p ( m λ δλ λ δλ λ δλ q... q ( m m B 3

53 S( A B p p ( λ m m ( λ log Ist ( λ q ( λ s t δλ δλ s t I ( λ st log p ( λ p ( λ λ s log p ( λ λ t Fsher Fsher s Iformato matr 4

54 5

55 Samplg :Aalog Dgtal 0 bt bag! Shao s Samplg Theorem C. Shao ad W. Weaver The Mathematcal Theory of Commucato Uv. of Illos p.86 Whttaker t f (t g(ω πωt f ( t g( ω e dω π π ω ν / ν ω g(ω g ( ω 0 ω > W f (t W f (t W f ( t π s ( ν mat π f ( ν ν t π ma ma sπ (Wt f ( W π (Wt f (t π 0 ± ν W ma ± Λ t f (t 6

56 t 7

57 Stochastc Process Brow. Brow Brow Robert Brow Actve molecule 905 A. Este J. Perr Fluctuato Dsspato Theory 93 N. Weer 8

58 F. Black M. Scholes -p a a t Nτ (t (t pa N D pa τ / (t Dt t ρ( t a /τ a 0 τ 0 ρ ( t D ρ( t t N 0 4Dt ρ ( t e. 4πDt N 0 0 N 0 9

59 A. Permutato e e the sum of fte seres e!! 3! e lm ( e Polyomal Equato algebrac umber trascedetal umber e π e e e.788 e log e 30

60 Epoetal Fucto e the epoetal fucto Logarthmc Fucto a y y log a -factoral..!! 3 (- 0! Starlg s formula! Courat ad Joh pp log! log log log (π O ( The Gamma Fucto Γ ( 0 e d ( > 0 Γ( ( ( (! 3

61 ! Γ( e d ( > Bomal Coeffcet k ( k Bomal Coeffcet k ( ( ( k k k!! k!( k! k k C Ck C ( k... k 3

62 33

63 B. V. Gedeko ad A. Ya. Khch A Elemetary Itroducto to the Theory of Probablty traslated from 5 th Russa Edto by L. Boro ad S.F. Mack Dover NY 96 W. Feller A Itroducto to Probablty Theory ad Its Applcatos (Vol. Joh Wley C. Shao ad W. Weaver The Mathematcal Theory of Commucato Uv. of Illos 949 A.I. Khch (traslated by R.A. Slverma ad M.D. Fredma mathematcal foudato of formato theory Dover NY Boformatcs R. Durba et. al. Bologcal sequece aalyss Cambrdge Uv. Press

64 第 3 章 論 理 と 計 算 の 基 礎 3. はじめに この 章 では 計 算 機 設 計 の 基 礎 になる 論 理 論 理 回 路 計 算 機 の 原 型 に 関 係 した 数 学 や 記 述 法 を 紹 介 する 現 在 の 計 算 機 の 基 礎 になっている 理 論 は 論 理 回 路 である それは 基 本 的 にオン オフで 動 作 する 電 子 的 なスィッチ 回 路 である 論 理 回 路 の 基 礎 となる 数 学 は 論 理 関 数 であるが それを 最 初 に 考 えたのは George Boole (85-864である 彼 は 確 率 を 論 ずる 思 考 の 法 則 Laws of Thought (854という 本 の 中 で 人 間 の 思 考 を 記 述 する 方 法 として 今 日 の Boole 代 数 を 紹 介 している この 考 え 方 は 9 世 紀 の 後 半 のカントー ルの 集 合 論 の 論 理 と 基 本 的 に 同 じものである こうした 論 理 に 関 する 数 学 は 0 世 紀 初 頭 の 数 学 基 礎 論 の 議 論 の 中 で 命 題 論 理 や 述 語 論 理 などとして 整 理 された 3. 論 理 と 集 合 現 代 数 学 の 基 礎 には 集 合 論 がある 数 学 で 重 要 なのは 自 然 数 N 整 数 Z 実 数 R 複 素 数 C などの 集 合 である 情 報 学 が 対 象 とするような 集 合 は このような 明 快 に 定 義 された 要 素 だけから 構 成 されてはいない もちろん 数 学 でいう 集 合 は その 集 合 に 属 しているか 否 かが 明 快 に 定 義 できるものに 限 られている 実 際 問 題 に 数 学 的 な 手 法 を 応 用 する 場 面 で は 定 義 はしばしばあいまいになる 例 えば ある 病 気 をもった 人 の 集 合 などは 病 気 の 理 解 度 に 応 じて 内 容 が 変 わってくる 量 子 力 学 における 状 態 という 概 念 は 日 常 的 な 意 味 と は 違 った 意 味 で 定 義 が 難 しい 例 である 例 えば あるスリットを 通 過 した 光 子 の 全 体 など は そうした 例 である 集 合 の 算 法 ある 集 合 Ω の 部 分 集 合 の 集 合 A B を 考 える φ を 空 集 合 とすると φ A Ω 任 意 の 集 合 A B の 間 に 積 集 合 cojucto set A B 和 集 合 dsjucto set A B 義 できる 集 合 Ω を 普 遍 集 合 Uversal set という を 定 これらの 算 法 に 関 して 巾 等 律 Idempotet law A A A A A 交 換 律 Commutatve law A B B A A B B A 結 合 律 Assocatve law ( A B C A ( B C ( A B C A ( B C 吸 収 律 Absorptve law ( A B A A ( A B A A

65 φ A φ φ A A Ω A A Ω A Ω 分 配 律 Dstrbutve law ( A B C ( A C ( B C ( A B C ( A C ( B C が 成 り 立 っている しかも これらの 算 法 に 関 する 上 記 の 関 係 の 組 は Ω とφ と と を 入 れ 替 えても 変 わらないという 意 味 で 双 対 になっている もし A B という 関 係 を A B の 意 味 とすれば これらの 集 合 すなわち A B および Ω φ は 束 Lattce となる 集 合 に 対 応 したこの 束 は Boole 束 と 呼 ばれる 3.3 論 理 関 数 あるいは Boole 関 数 変 数 が 個 の 関 数 で それぞれの 変 数 は 0 かかの 値 しかとらないものを 論 理 関 数 とい う 論 理 関 数 は Boole 関 数 とも 呼 ばれる 変 数 の 間 の 演 算 最 初 に 変 数 y に 関 する 基 本 演 算 - を 下 の 表 で 定 義 する ここで y は y と 等 価 である 入 力 変 数 論 理 和 論 理 積 否 定 排 他 的 論 理 和 含 意 y y y y y y 変 数 以 上 の 基 本 演 算 - は 変 数 の 演 算 から 括 弧 をもちいることで 容 易 に 定 義 できる y z ( y z y z ( y z 排 他 的 論 理 和 否 定 含 意 の 拡 張 も 同 様 である 問 題 3つの 変 数 y z に 対 して y z ( y ( z の 真 理 値 を 作 成 せよ

66 論 理 関 数 と 集 合 演 算 との 等 価 性 論 理 変 数 の 演 算 に 関 し 変 数 y z を 集 合 に 0 を 空 集 合 φ に を 普 遍 集 合 Ω に 対 応 させ 論 理 和 演 算 を 論 理 積 演 算 を に 対 応 させると 全 く 等 価 となる 3.4 論 理 と 束 の 関 係 順 序 関 係 ある 集 合 に 属 する 元 (あるいは 集 合 の 集 合 に 属 する 集 合 の 間 に 定 義 された 関 係 が 次 の 規 則 を 満 足 する 時 反 射 律 A A 反 対 称 律 A B かつ B A ならば A B 推 移 律 A B かつ B C ならば A C これを 順 序 関 係 と 呼 ぶ こうした 順 序 関 係 がある 集 合 を 順 序 集 合 と 呼 ぶ 束 順 序 関 係 が 定 義 された 集 合 L において その 任 意 のつの 元 A B を 選 んだ 時 必 ず C A C B となる 最 大 の C (If{ A B } および A C' B C' となる 最 小 の C' (Sup{ A B }が 存 在 する 時 これを 束 と 呼 ぶ ここで If{ A B }を A B Sup{ A B }を A B と 書 く 定 理 空 でない 集 合 L 上 に 項 演 算 が 定 義 されていて 交 換 律 結 合 律 吸 収 律 が 成 立 していれば 巾 等 律 も 成 り 立 ち L は 束 をなす ( 田 中 尚 夫 pp.9 束 の 例 ある 集 合 ( 普 遍 集 合 の 部 分 集 合 からなる 集 合 に 関 しては A B なる A B に 対 して 改 めて A B と 定 義 すれば この 集 合 間 に 定 義 されたこの 関 係 は 順 序 としての 性 質 を 満 たす この 部 分 集 合 からなる 集 合 は 束 をなす 同 様 にブール 関 数 の 集 合 も 束 になる これをブール 束 と 呼 ぶ 束 においては 次 の 規 則 が 成 り 立 つ ( z ならば ( y z ( y z 3

67 4 ( ( ( ( z y z y (3 ( ( ( z y z y 上 記 の が 等 号 になる 場 合 を 考 える すなわち (4 モジュラー 律 Modular law z y z y z ( ( ならば (5 分 配 律 Dstrbutve law ( ( ( z y z y (6 分 配 律 Dstrbutve law ( ( ( z y z y のうち モジュラー 律 が 成 り 立 つ 束 をモジュラー 束 分 配 律 が 成 り 立 つ 束 を 分 配 束 という 分 配 律 の 方 がモジュラー 律 より 強 い 条 件 である 問 題 分 配 束 はモジュラー 束 である 3.5 ブール 代 数 つの 元 O I をもつ 集 合 B が つの 項 演 算 とつの 一 項 演 算 をもち これらの 演 算 に 関 して 閉 じており これらの 演 算 に 関 して 次 の 条 件 を 満 たすならば B を ブール 代 数 という 交 換 律 Commutatve law y y y y 結 合 律 Assocatve law ( ( z y z y ( ( z y z y 吸 収 律 Absorptve law y y ( ( 分 配 律 Dstrbutve law ( ( ( z y z y ( ( ( z y z y I O O O I I ; O I ここで z y は B に 属 する 上 の 定 理 によって ブール 代 数 も 束 となる ここで 順 序 は y y y y によって 定 義 する 定 義 によって ブール 代 数 はもちろん 分 配 束 あり モジュラー 束 である 3.6 命 題 論 理 と 述 語 論 理 正 しい( 真 か 誤 り( 偽 であるかを 判 定 できる 表 現 ( 文 のことを 命 題 と 呼 ぶ 命

68 題 の 集 合 に 関 しても ~などの 演 算 を 定 義 できる ここで ~は 命 題 演 算 の 否 定 記 号 である ある 命 題 を とし これを 論 理 関 数 の 変 数 に 対 応 させ 真 である 場 合 の 値 を 偽 である 場 合 の 値 を 0 とすれば 命 題 の 集 合 は 論 理 関 数 の 集 合 と 等 価 になる ただ 論 理 関 数 は 回 路 設 計 に 使 われ 命 題 に 関 する 演 算 体 系 は 命 題 論 理 Propostoal Logc として 3 段 論 法 のような 数 学 の 定 理 証 明 法 を 形 式 化 するために 整 備 された したが って 両 者 の 表 現 方 法 両 者 で 使 われる 記 号 は 異 なっている 命 題 論 理 はその 性 格 を 定 義 する 公 理 系 と 推 論 規 則 から 出 発 する 公 理 系 や 推 論 規 則 をどう 選 択 するかは 命 題 論 理 を 利 用 して 何 をしようかという 目 的 によって 決 められる ただし 命 題 論 理 の 中 の 命 題 の 表 現 においては すべての について である とか ある について である というような 対 象 が 特 定 のものに 限 定 されな い 表 現 は 許 されないことになっている そこで こうした すべての や ある というような 表 現 を 認 める 論 理 体 系 を 述 語 論 理 という 述 語 論 理 のうち すべての や ある という 表 現 を 自 然 数 のような 数 学 において 基 本 的 な 対 象 のみに 関 して 認 める 場 合 を 階 述 語 論 理 Frst-order predcate logc 階 の 対 象 の 集 合 に 関 しても すべ ての や ある という 表 現 を 許 す 場 合 を 階 述 語 論 理 Secod-order predcate logc さらに 一 般 的 な 場 合 を 高 階 述 語 論 理 Hgher-order predcate logc と 呼 ぶ 命 題 論 理 や 述 語 論 理 は 数 学 の 証 明 などを 含 む 演 繹 的 な 推 論 をコンピュータにやらせよ うという 研 究 が 盛 んになった 980 年 代 に コンピュータのアーキテクチャー( 設 計 原 理 やプログラミングなど 視 点 からも 研 究 されるようになった もともと 数 学 のおける 証 明 の 形 式 化 は ある 意 味 で 人 間 に 依 存 しない 機 械 的 な 処 理 過 程 によって 証 明 を 行 おうという 思 想 が 含 まれていた この 意 味 では コンピュータによる 推 論 の 自 動 化 は 数 学 基 礎 論 と 深 い 関 係 にあると 言 えよう 5

69 3.7 論 理 回 路 論 理 演 算 を 実 行 する 回 路 を 論 理 回 路 Logcal Crcut/Gate という 以 下 はその 例 と 定 義 で ある AND OR XOR NOT NAND A B A AND B A OR B XOR NOT(A A NAND B CONTROLLED NOT CONTROLLED CONTROLLED NOT A B A B A B C A B C 真 理 表 CONTROLLED NOT(CN は A は A を(A'として 出 力 し B に 関 しては A が 0 なら ば 同 じ 内 容 を A が 0 なら 反 転 した 内 容 (ot Bを 出 力 する CONTROLLED CONTROLLED NOT(CCNは AB は 同 じ 内 容 を C は AB が 共 にの 時 反 転 した 内 容 を それ 以 外 は 同 じ 内 容 を 出 力 する 6

70 論 理 回 路 の 完 全 な 組 ある 一 組 の 論 理 回 路 例 えば AND NOT OR を 選 択 すれば 他 の 論 理 回 路 は 実 現 でき る これを 素 子 の 組 の 万 能 性 という 例 えば NAND は それだけで 万 能 性 を 有 している NAND は AND と NOT で 表 現 できるから AND と NOT も 万 能 性 を 有 する 同 様 に NOR も 万 能 性 を 有 している 等 価 回 路 外 部 への 動 作 としては 等 価 な 回 路 はいくつも 考 えられる 実 用 的 には 素 子 の 数 が 少 な いとか 結 線 の 数 が 少 ないなどが 問 題 にされる しかし 多 量 に 製 造 される 今 日 の 汎 用 の 回 路 では それほどの 効 率 は 追 求 されない 可 逆 回 路 論 理 回 路 からの 出 力 が 入 力 より 少 ないと 出 力 から 入 力 を 復 元 することは 不 可 能 になる こうした 回 路 を 不 可 逆 回 路 という これに 対 して 入 力 を 復 元 できる 回 路 を 可 逆 回 路 とい う 熱 力 学 の 可 逆 過 程 のように 可 逆 回 路 による 計 算 はエネルギー 消 費 が 低 いことが 予 想 される また その 代 償 として 速 度 が 遅 いことも 予 想 される 可 逆 性 を 保 ちながら 速 度 を 落 とさない 演 算 回 路 の 開 発 が 量 子 計 算 の 一 つの 目 標 である 回 路 の 設 計 論 理 回 路 は 与 えられた 多 変 数 のブール 関 数 の 真 理 表 を 実 現 するように 作 成 される 変 数 の 制 限 なく どんなブール 関 数 も の 組 み 合 わせで 表 現 される ブール 関 数 が 論 理 式 として 与 えられている 場 合 その 真 理 表 を 求 めることは 基 本 となる 論 理 式 に 分 解 し その 真 理 表 を 参 考 にすれば 容 易 に 作 成 できる その 逆 の 場 合 ブール 関 数 の 真 理 表 が 与 え られえている 場 合 は ブール 関 数 値 がであるものと 0 であるものに 注 目 して それぞれ の 行 ごとに だけで 結 合 された 論 理 式 を でさらに 結 合 した 表 現 ( 主 選 言 ( 加 法 標 準 形 とするか 0 であるものだけに 注 目 して それぞれの 行 ごとに だけで 結 合 された 論 理 式 を でさらに 結 合 した 表 現 ( 主 選 言 ( 乗 法 標 準 形 とするか に 整 理 すればよい ( 演 繹 的 な 推 論 の 項 参 照 7

71 3.8 計 算 機 証 明 の 可 能 性 と 計 算 の 可 能 性 何 が 証 明 できるか どのような 数 が 計 算 できるかに 関 する 議 論 は 0 世 紀 の 前 半 の 数 学 において さらに 深 まった 証 明 できる あるいは 計 算 できるとは 有 限 回 の 手 続 きで 解 をうる 手 順 (Feyma のいう effectve procedureが 存 在 しなければならないkとを 意 味 する これについて Kleee Post Church などにより さまざま 計 算 体 系 を 仮 定 した 計 算 の 可 能 性 に 関 する 議 論 がなされた この 問 題 に 関 して チューリング A. Turg は 今 日 の 計 算 機 の 時 代 を 先 取 りするような 視 点 から アプローチした 抽 象 化 された 計 算 機 Turg Mache Gödel の 不 完 全 性 定 理 に 刺 激 を 受 けたチューリングは 937 年 に O Computable umbers という 論 文 を 発 表 し この 中 で 後 にチューリング マシン Turg Mache と 呼 ばれるようになった 仮 想 的 な 計 算 機 械 を 記 述 した この 機 械 は 区 切 りがつけられた 枡 をも つ( 無 限 に 長 いテープと そのテープに 数 字 などの 記 号 を 書 いたり 消 去 したりできるヘ ッドと 有 限 の 内 部 状 態 をもつ 機 械 から 構 成 されている 内 部 状 態 は テープから 読 み 出 された 情 報 によって 推 移 し ヘッドのなすべき 操 作 を 出 力 する この 部 分 は 今 日 では 有 限 オートマトンと 呼 ばれる 仮 想 的 な 機 械 である テープの 部 分 は 今 日 のコンピュータ のプログラムに 相 当 する このプログラムを 適 当 に 書 くことにより チューリング マシ ンは どんな 特 別 な 目 的 をもったチューリング マシンの 真 似 をさせることもできる こ の 意 味 で チューリング マシンにあらゆる 仲 間 の 機 械 の 機 能 を 真 似 させられるという 意 味 で 万 能 性 をもたせることができる この 仮 想 的 な 機 械 は 万 能 チューリング マシン Uversal Turg Mache (UTM と 呼 ばれる この 仮 想 的 な 機 械 を 利 用 して チューリングは 計 算 できるあるいは 証 明 できる 問 題 は 万 能 チューリング マシンで 証 明 あるいは 計 算 可 能 である という 考 えを 述 べた 今 日 彼 のこの 提 唱 は 正 しいと 受 け 入 れられている 今 日 まで チ ューリング マシンを 原 理 的 に 越 える 機 械 は 提 唱 されていない 残 る 問 題 は 効 率 だけであ る 例 えば 現 在 話 題 になっている 量 子 コンピュータのモデルである 量 子 チューリング マシンが 原 理 的 にできることも 古 典 的 なチューリング マシンと 同 じである 電 子 計 算 機 (Hardware Software Networkの 発 展 8

72 チューリングが 計 算 の 原 理 的 な 可 能 性 に 関 する 問 題 にアプローチするために 仮 想 的 な 計 算 機 械 のアイデアを 提 唱 してまもなく 第 次 大 戦 が 始 まった これによって 軍 事 目 的 から 計 算 を 機 械 的 かつ 高 速 に 実 行 する 必 要 性 が 高 まり 自 動 計 算 機 械 実 現 に 向 けた 努 力 が 始 まった そうした 中 から 電 子 計 算 機 の 原 型 が 形 をなしていきた 今 日 コンピュータと 呼 ばれる 電 子 計 算 機 の 元 祖 となった 機 械 ENIAC(Electroc Numercal Itegrator Ad Calculatorが 米 国 のペンシルバニア 大 学 の J.P. Eckert と J.W. Mauchly によって 開 発 されたのは 第 次 大 戦 直 後 の 945 年 である その 後 すぐプログラ ムを 内 蔵 するより 洗 練 された EDSAC や EDVAC が 米 国 のプリンストンと 英 国 のケンブリ ッジで 相 次 いで 開 発 された これらの 初 期 のコンピュータは 真 空 管 を 使 っていた この 時 期 米 国 のベル 研 究 所 でトランジスターは 発 明 された 950 年 代 には 半 導 体 トランジ スター 技 術 にもとづく 素 子 がコンピュータに 使 われるようになった その 後 半 導 体 によ る 回 路 素 子 技 術 の 進 歩 に 依 存 するように 演 算 機 能 や 記 憶 容 量 など コンピュータの 性 能 は 指 数 関 数 的 な 向 上 を 続 けている これは Moore の 法 則 と 呼 ばれている 今 日 のほとんどのコンピュータは 内 蔵 したプログラムを 逐 次 的 に 実 行 するという 意 味 で vo Neuma 型 (アーキテクチャーArchtectureと 呼 ばれる これに 対 して 大 規 模 な 科 学 計 算 などには 並 列 型 と 呼 ばれる 計 算 機 が 使 われている 計 算 機 の 改 良 は ( 人 間 にとっての 使 い 勝 手 をよくし コストを 引 き 下 げる ( 演 算 機 能 記 憶 容 量 を 増 大 させる (3 人 間 のような 認 知 や 思 考 能 力 を 備 えさせる を 目 標 としている 第 の 目 的 は 商 業 的 な 成 功 のかぎを 握 る 要 素 であり 今 日 のPC(パーソナルコンピ ュータはそうした 努 力 の 成 果 である 第 の 目 的 に 関 しては コンピュータあるいはその 部 品 である 演 算 装 置 や 記 憶 装 置 はし ばしば 特 定 の 目 的 に 開 発 されたものと 汎 用 に 開 発 されたものに 分 けて 考 えることがで きる 汎 用 コンピュータに 特 定 の 目 的 の 装 置 を 組 み 込 むことも 行 われる 例 えば 計 算 能 力 を 必 要 とする 画 像 解 析 やシミュレーション 計 算 用 のボードを 汎 用 機 に 組 み 込 むというよ うな 組 み 合 わせである こうした 試 みはいつの 時 代 にもなされている これに 対 して 計 算 全 体 をある 目 的 に 合 わせ 設 計 開 発 するというのは 利 用 者 も 必 然 的 に 少 なくなるから 大 変 な 贅 沢 であって コストが 高 くある スーパーコンピュータと 呼 ばれる 計 算 機 がその 例 であり 我 が 国 が 開 発 した 地 球 シミュレータも その 典 型 的 な 例 である だが 月 日 が 立 つと こうしたコンピュータの 性 能 は やがて 汎 用 機 に 凌 駕 されることなるため スーパ ーコンピュータとはその 時 代 の 最 速 機 だと 一 般 には 受 け 取 られている 第 3の 目 的 は 俗 に 人 工 知 能 と 呼 ばれる 研 究 に 属 する この 目 的 に 関 しては 昔 からハー ドウエアを 開 発 しょうとする 試 みと コンピュータの 万 能 性 を 利 用 してソフトウエアを 開 発 し 知 的 な 行 為 を 計 算 機 上 でシミュレートしようという 試 みとがあった これは 人 間 の 9

73 頭 脳 作 業 と 似 たことを 行 わせようと 言 う 試 みであるが 脳 に 到 る 前 の 感 覚 系 における 情 報 処 理 や 脳 からの 信 号 で 動 く 運 動 系 の 制 御 を 含 めた 全 体 モデルの 研 究 も 盛 んになってきた いわゆるロボットの 研 究 がこれである その 一 方 で 脳 自 身 の 機 能 を 特 別 な 機 械 で 実 現 さ せようという 研 究 は 汎 用 コンピュータの 性 能 とコストの 減 少 で 意 義 が 失 われてきた さらに 早 い 計 算 機 の 必 要 性 計 算 機 が 世 に 出 た 頃 この 種 の 計 算 の 需 要 がどれだけあるかを 予 測 した 専 門 家 の 意 見 は 全 世 界 で 数 台 あれば 十 分 だろうというものだったと 言 われている しかし コンピュータ の 市 場 が 広 がれば 広 がるほど コンピュータの 性 能 の 向 上 と 価 格 低 下 への 要 請 は 一 貫 して 大 きくなっている 例 えば 最 近 の 携 帯 電 話 の 普 及 は 携 帯 電 話 のテレビ 電 話 化 と 通 信 セ ンタ- 化 を 促 し 大 量 の 画 像 処 理 機 能 を 要 求 するようになった コンピュータ 性 能 の 需 要 予 測 は 技 術 だけに 依 存 せず 使 い 手 である 一 般 大 衆 の 心 理 に 左 右 されるようになってきて いる 電 子 計 算 機 が 定 着 した 960 年 代 から 今 日 まで 新 しい 計 算 機 を 開 発 しようというプロジ ェクトが 幾 度 か 提 唱 された 我 が 国 においても 大 規 模 集 積 回 路 高 速 に 推 論 を 実 行 す ることを 売 り 物 にした 第 5 世 代 コンピュータ その 後 継 計 画 である 次 世 代 コンピュータ 光 コンピュータ 生 物 化 学 素 子 脳 型 コンピュータ 地 球 シミュレータ など 新 しいさ まざまな 大 型 プロジェクトがあった 現 在 関 心 を 集 めているのは Grd Computer である このうちで 成 功 したのは 実 用 的 な 目 的 の 大 規 模 集 積 回 路 と 地 球 シミュレータである 前 者 は 計 算 機 のもならず 現 在 の 携 帯 電 話 にも 利 用 されている 超 微 細 電 子 回 路 の 開 発 につ ながる 技 術 である 地 球 シミュレータや Grd Computer は 大 規 模 な 計 算 に 徹 した 問 題 に 応 用 されている 例 えば IBM は 自 社 技 術 の 宣 伝 も 狙 った 超 高 速 コンピュータの 開 発 目 標 としてチェスの 世 界 チャンピオンと 対 局 する Deep Blue を 開 発 した 現 在 は Bleu Gee という 名 称 で アミノ 酸 の 配 列 からタンパク 質 の 高 次 構 造 を 予 想 する 超 高 速 (ペタフロッ プス 程 度 コンピュータを 開 発 している 地 球 シミュレータ 開 発 プロジェクトが 当 初 掲 げ た 目 標 は 気 候 を 全 地 球 的 な 規 模 で 長 期 に 予 測 することであった この 種 の 科 学 計 算 とし ては 分 子 計 算 ( 量 子 化 学 計 算 がある しかし 第 5 世 代 コンピュータや 脳 型 コンピュ ータなど 概 念 的 に 新 しい 計 算 機 の 開 発 計 画 は 期 待 どおりの 成 果 はあげていない こう した 計 画 がめざしているのは 人 間 のような 賢 い 計 算 機 の 開 発 である 計 算 機 の 開 発 には (より 早 い 計 算 機 (より 広 く 使 われる 計 算 機 (3より 賢 い 計 算 機 という 目 標 が 設 定 されてきた これに 加 えて(4 頻 繁 なモデルチェンジにも 耐 える 環 境 に 優 しい 水 に 流 せて 捨 てられるような 計 算 機 という 目 標 も 近 未 来 に 現 実 的 になるだろう 0

74 3.8 超 高 速 の 計 算 機 を 必 要 とする 問 題 Algorthm とNP 完 全 計 算 機 に 実 行 させたい 問 題 には 簡 単 に 解 けるものから 原 理 的 には 解 けるが 実 際 問 題 としてどのくらい 時 間 がかかるのか 分 からない 問 題 まで さまざまである そこで 計 算 の 手 間 を 見 積 もる 研 究 が 行 われている この 問 題 を 考 えるためには どのような 手 段 で 計 算 するかという 計 算 モデル(あるいは 計 算 機 を 定 義 しなければならないが ここでは 詳 し くは 立 ち 入 らない ただ いくつかの 定 義 を 述 べておこう 計 算 不 能 :ある 問 題 の 解 法 (Algorthm 問 題 を 解 くための 具 体 的 な 手 順 が 存 在 しない 時 計 算 不 能 ucomputable という この 場 合 疑 問 に 答 えられないという 意 味 で 決 定 不 可 能 udecdable ともいう 例 :あるプログラム P と 入 力 データ が 与 えられたとして このプログラムが 停 止 するか 否 かは 決 定 できない これを プログラムの 停 止 問 題 という 例 :ナップサック 問 題 A と a a Λ a とが 自 然 数 で 与 えられた 時 a a Λ a の 中 か らいくつかの 数 を 選 択 して 和 が A となるようにできるか?この 問 題 はすべての 部 分 集 合 を 試 せばできるか 否 かを 決 定 できる この 意 味 で 原 理 的 には 解 ける しかし ある 部 分 集 合 のすべてを 試 す 手 間 は c が 大 きくなると 急 激 に 大 きくなる 例 : 巡 回 セールスマン 問 題 いくつかの 都 市 を 巡 回 しなければならないセールスマンが 総 距 離 がある 与 えられた 値 以 下 であるルートを 求 める 問 題 この 問 題 は 後 にでていくる NP 完 全 問 題 である P: 入 力 のサイズを として 時 ある 定 数 k が 存 在 して k のオーダー(すなわち O ( k のステップで 解 くアルゴリズムが 存 在 するクラスの 問 題 を 決 定 性 多 項 式 時 間 (あるいは 多 項 式 時 間 polyomal tmeと 呼 び P であらわる k EXPTIME: 上 記 において O( のステップで 解 くアルゴリズムが 存 在 する 時 指 数 関 数 時 間 呼 ぶ 計 算 モデルのうち ether or 文 をあるステップ 数 で 実 行 できる 機 構 をもつ 計 算 モデルを 非 決 定 性 の 計 算 モデルという そうでない 計 算 モデルを 決 定 性 モデルという NP: 非 決 定 性 の 計 算 モデルによって 多 項 式 ステップで 解 ける 問 題 を 非 決 定 性 多 項 式 時 間

75 o determstc polyomal tme と 呼 ぶ これは NP とあらわされる NP 完 全 : 非 決 定 性 の 計 算 モデルにより 多 項 式 ステップで 解 け さらに 非 決 定 性 の 計 算 モデ ルによって 解 く 限 りではどうしても 多 項 式 ステップが 必 要 な 問 題 を NP 完 全 と 呼 ぶ NP 完 全 問 題 は それを 解 くのに 必 要 な 計 算 量 の 下 限 が 存 在 する 問 題 である P と NP とが 等 しいかそうでないかは 計 算 数 学 の 未 開 決 問 題 になっている 仮 にある NP 完 全 問 題 が P で 解 けることを 示 すか 解 けないことを 示 せれば この 未 解 決 問 題 は 決 着 す る 現 在 まで 多 数 の NP 完 全 問 題 が 見 つかっているが P で 解 くアルゴリズムはみつかっ ていない もちろん P で 解 けないことも 証 明 されていないが NP 完 全 問 題 は 多 項 式 ステ ップでは 解 けないのではないかと 予 想 されている これらの 概 念 はチューリング マシンを 計 算 モデルとしても 定 義 することができる 暗 号 問 題 量 子 計 算 機 もそうであるが 超 高 速 計 算 機 のひとつの 重 要 な 応 用 課 題 は 暗 号 解 読 であ る 暗 号 技 術 はネットワーク 社 会 となり いわゆる 公 開 かぎの 利 用 が 普 及 することに 伴 い 情 報 化 社 会 の 中 核 技 術 の 一 つとして 浮 上 してきた この 技 術 の 計 算 上 の 問 題 は ある 与 え られた 大 きな 数 を 素 数 の 積 に 分 解 することである これを 素 因 数 分 解 という 素 因 数 分 解 問 題 以 外 にも 計 算 機 能 を 要 求 する 数 学 的 な 問 題 は 沢 山 ある こうした 問 題 への 挑 戦 において 超 高 速 計 算 機 にその 性 能 を 発 揮 させるためには 効 率 のよい 解 法 Algorthm を 探 すとともに それを 実 行 させるためのプログラムにも 工 夫 を 凝 らさなければ ならない

76 3.9 思 惟 の 限 界 計 算 機 の 進 歩 は 考 える 力 を 拡 大 している 論 理 的 な 思 考 の 産 物 である 数 学 も 自 然 認 識 としての 科 学 も 進 歩 している 人 間 に 考 える 力 を 涵 養 させる 要 因 として 宗 教 や 哲 学 が ある 例 えば 宗 教 における 思 考 法 には ユダヤ 教 (ヘブライニズム キリスト 教 イスラ ム 教 インドの 原 始 宗 教 (ブラフマン/アートマン 仏 教 密 教 中 国 思 想 すなわち 易 経 老 子 ( 道 教 荘 子 論 語 ( 孔 子 日 本 の 神 道 (シントウなどが 含 まれる また 哲 学 に は ギリシャ 哲 学 インド 哲 学 中 国 思 想 イスラム 思 想 スコラ 哲 学 ( 中 世 の 神 学 などが 含 まれる 我 々は これを 思 惟 ( 考 えることと 呼 ぶ( 思 惟 の 方 法 論 中 村 元 こうした 宗 教 や 哲 学 的 な 思 惟 の 根 源 には 何 らかの 感 じる 力 が 働 いている 仏 教 学 者 の 玉 城 康 四 郎 は 人 類 の 教 師 とも 呼 ぶべきブッダ( 釈 迦 孔 子 ソクラテス キリストらは 皆 何 らかの 天 の 声 ( 霊 的 な 声 を 聞 いていたと 推 測 している( 玉 城 康 四 郎 仏 道 探 求 999 年 春 秋 社 感 じる 体 験 が 考 える 体 験 の 以 前 にあることは 人 間 の 思 考 の 特 徴 である 自 然 に 対 する The Sese of Woder もそうした 感 覚 につながる こうした 仕 組 みを 組 み 込 んだ 思 考 機 械 はまだ 開 発 されていない 論 理 的 理 性 的 な 思 考 においては 感 動 というような 主 観 的 な 体 験 に 依 存 しない 方 法 論 を 極 限 まで 追 及 する そうした 方 向 の 究 極 に 位 置 している 研 究 領 域 が 数 学 基 礎 論 Mathematcal Logc である それは 公 理 から 出 発 するユークリッドの 原 論 や デカルト の 思 惟 の 方 法 論 ( 方 法 序 説 などをへて G. Cator の 集 合 論 の 波 紋 で 新 しい 展 開 を 見 た それが 数 学 の 公 理 化 (D. Hlbertである 98 年 ヒルベルトとアッケルマンが 記 号 論 理 学 の 基 礎 で 述 語 論 理 を 形 式 的 に 体 系 化 する 試 みを 発 表 した 935 年 ゲーデル Kurt Gödel( は 彼 の 名 前 を 冠 した 完 全 性 定 理 および 不 完 全 定 理 を 発 表 した ゲ ーデルの 完 全 性 定 理 は ( 数 学 の 基 礎 になっている 論 理 体 系 は 内 容 的 に 完 全 である ことを 示 した ゲーデルの 不 完 全 性 定 理 は 自 然 数 論 を 含 む 述 語 論 理 の 体 系 Z は もし 無 矛 盾 ならば 形 式 的 に 不 完 全 である という 内 容 である その 後 G. Getze(936 年 は 集 合 論 を 含 まない 純 粋 の 自 然 数 論 を 含 む 体 系 Z は もし 無 矛 盾 ならは 不 完 全 で ある 純 粋 の 自 然 数 論 は 無 矛 盾 であり 不 完 全 である ことを 証 明 した これらの 定 理 は 数 学 の 体 系 を 構 築 した 時 その 体 系 自 身 が 無 矛 盾 である( 誤 謬 が 無 いということを 必 ず しも 証 明 できないことを 示 した ゲーデルの 不 完 全 性 定 理 は 人 間 の 知 性 の 限 界 を 示 す 定 理 とも 言 われている 公 理 主 義 は 数 学 基 礎 論 だけでなく 数 学 全 体 を 公 理 論 的 に 見 直 す 風 潮 を 生 み 出 した フ ランスの N. Bourbak グループの 公 理 的 な 記 述 による 数 学 の 再 構 成 はそうした 例 である 公 理 主 義 の 影 響 は 物 理 学 にも 及 んだ 3

77 計 算 機 が 進 歩 してくると 計 算 機 の 限 界 あるいは 実 用 的 な 意 味 での 計 算 の 限 界 が 議 論 されるようになってきた 計 算 の 限 界 に 関 る 議 論 は 理 論 的 な 予 測 に 関 する 議 論 とも 関 係 がある 例 えば 古 典 物 理 学 においては ラプラスのデモ ン(84が 昔 から 知 られていた 天 体 力 学 を 研 究 していたラプラスは 対 象 系 の 方 程 式 境 界 条 件 初 期 条 件 を 知 れば 系 の 未 来 は 予 測 できる そしてこ の 考 えは 宇 宙 の 将 来 予 想 にも 適 用 できる という 説 を 提 唱 した これに 対 して は 自 由 意 志 を 否 定 するものだというような 反 論 や 量 子 力 学 のような 本 質 的 に 確 率 的 な 現 象 を 無 視 していると 批 判 されている マックスウエルのデモンの 研 究 者 であるランダウアー ロイド(Ladauer-Lloydは 仮 に 正 しい 予 測 理 論 があったとしても 実 際 の 予 測 は 計 算 の 限 界 によって 阻 まれると 主 張 して いる すなわち 将 来 仮 に 量 子 計 算 のような 超 高 速 計 算 機 が 開 発 されても 不 確 定 性 原 理 光 速 熱 力 学 の 第 法 則 宇 宙 の 計 算 資 源 などを 考 慮 に 入 れると 0 0 bts の 情 報 処 理 が 限 界 であると 論 じている 一 般 に ある 系 を 理 解 しようとすると その 系 の 振 る 舞 いを 予 測 することが 課 題 になる 複 雑 な 系 の 場 合 は それをより 簡 単 な 部 分 に 還 元 して 理 解 しよう という 方 法 論 ( 還 元 論 がとられる しかし 部 分 にわけてしまっては 本 質 が 失 われてしまうような 系 の 場 合 こうした 還 元 論 にも 限 界 がある このような 系 は 何 らかの 分 解 不 可 能 な Orgazg Prcple に 支 配 されていると 考 えら れる 生 命 系 の 場 合 こうした 原 理 は Bologcal Prcple と 呼 ばれる そうし た 原 理 がどうしても 必 要 なのか 還 元 論 だけでよいのか 議 論 は 分 かれている 非 常 に 簡 単 な 法 則 にしたがうが 振 る 舞 いは 極 めて 複 雑 になるという 系 があ る こうした 系 は 複 雑 系 Comple System と 呼 ばれる 複 雑 系 の 研 究 は こ れからの 科 学 の 重 要 課 題 と 見 なされている そこでは これまでの 物 理 学 の 基 盤 であった 平 衡 と 線 形 に 代 わって 非 平 衡 非 線 形 が 主 役 とされている 参 考 文 献 George Boole Laws of Thought 854 (Dover の 復 刻 版 あり S. Wataabe Kowg ad Guessg Joh Wley 969 Rchard P. Feyma (J.G. Hey ad R.W. Alle eds. Feyma Lecture o Computato Addso Wesley 996( 原 康 夫 他 訳 ファイマン 計 算 機 科 学 岩 波 書 店 999 年 竹 内 外 史 数 学 基 礎 論 の 世 界 日 本 評 論 社 97 竹 内 外 史 八 杉 満 利 子 証 明 論 入 門 改 題 数 学 基 礎 論 共 立 出 版 988 Seth Lloyd Ultmate physcal lmts to computato Nature

78 第 4 章 古 典 物 理 学 におけるエントロピーと 情 報 4. 力 学 から 古 典 物 理 学 へ この 章 では 古 典 物 理 学 がどのように 体 系 化 されてきたかを 簡 単 に 振 り 返 ってみる 古 典 物 理 学 は 天 体 の 動 きを 理 解 しょうという 努 力 の 中 から 形 成 されてきた 自 然 認 識 の 方 法 で ある 力 学 に 遡 ることになる 力 学 現 代 の 物 理 学 の 起 源 は ガリレオとニュートンによる 力 学 にある それは 次 の3つの 法 則 として 知 られている ( 外 力 が 働 いていない 物 体 は 等 速 運 動 をする( 慣 性 の 法 則 ( 運 動 の 変 化 すなわち 加 速 度 と 質 量 の 積 は 外 力 に 等 しい(ニュートンの 運 動 方 程 式 (3 つの 物 体 が 力 を 及 ぼしあっている 場 合 それらの 力 の 大 きさは 等 しく 向 きは 反 対 である( 作 用 反 作 用 の 法 則 これらの 法 則 は 天 体 の 動 きや 地 球 上 の 物 体 に 働 く 重 力 についての 考 察 から 導 かれたも ので ガリレオによって 認 識 され ニュートンによって 一 般 的 な 原 理 として 著 書 プリ ンキピア の 中 で まとめた 形 で 述 べられた 法 則 である これらの 法 則 は 今 日 ではニュ ートンの 名 を 取 って ニュートンの 力 学 と 呼 ばれている とくに 第 法 則 は F α m α d / dt と 表 現 される ここで F は 力 でベクトル α d / dt は 同 じくベクトルで 加 速 度 m は 物 体 の 質 量 は 物 体 の 位 置 を 表 す 座 標 でこれもベクトルである 物 体 は 大 きさが 無 視 できる 点 すなわち 質 点 と 理 想 化 されている このニュートンの 力 学 は その 後 発 展 した 古 典 物 理 学 の 基 礎 となった 理 論 であり 現 在 もそのまま 使 われているほど 完 成 度 が 高 い プリンキピア が 出 版 されたのは 687 年 で あるが その 後 さまざまな 問 題 とくに 天 体 の 運 動 に 応 用 されながら 数 学 的 な 形 式 が 洗 練 されていった 例 えば 体 の 運 動 の 一 般 解 として 楕 円 軌 道 が 導 かれた その 焦 点 は つの 天 体 の 質 量 中 心 である 約 00 年 後 には ラグランジュが 最 小 作 用 の 原 理 ( 変 分 法 を 取 り 入 れた 解 析 力 学 (788を 発 表 している 解 析 力 学 は 9 世 紀 に 入 り 天 体 の 運 動 ( 天 体 力 学 Celestal Mechacsを 研 究 する 過 程 でさらに 体 系 化 された ラプラスの 天 体 力 学 が 発 表 されたのは 80 年 である

79 電 磁 気 学 9 世 紀 の 中 頃 になると 力 学 以 外 の 物 理 学 の 原 理 的 な 法 則 に 関 する 研 究 が 体 系 化 され 古 典 物 理 学 が 完 成 される その 一 つが 電 磁 気 学 である それはクーロン(Charles A. Coulomb ボルタ( オーム(Georg S. Ohm アン ペール(A-M. Ampère エルステッド(H. C. Oersted ファラ デー(Mchel Faraday らによって 個 別 の 法 則 として 記 述 され マックスウエル(J. C. Mawell によって 基 本 方 程 式 群 にまとめられた 今 日 マックスウエルの 名 前 で 呼 ばれるそれらの 基 本 方 程 式 は 以 下 のものである (クーロンの 法 則 D 4π ρ (アンペールの 法 則 の 補 正 4π H J c (3 単 磁 極 は 存 在 しない B 0 (4ファラデーの 法 則 B E c t c D t ただし これらの 方 程 式 は Gauss 系 で 書 かれている また E は 電 場 Electrc Feld D は 電 気 変 位 Electrc Dsplacemet あるいは 電 束 密 度 Electrc Flu Desty B は 磁 束 密 度 Magetc Flu Desty H は 磁 場 Magetc Feld ρ は 電 荷 Electrc charge J は 電 流 密 度 Curret Desty と 呼 ばれる 量 である これらの 量 の 間 には D E 4π P H B 4π M ρ J 0 t とく 関 係 がある ここで P は 巨 視 的 な 分 極 Macroscopc Polarzato( 単 位 体 積 当 たりの 電 気 双 極 子 モーメント J07 M は 巨 視 的 な 磁 化 Macroscopc Magetzato( 単 位 体 積 当 たりのモーメント J5である 電 荷 と 電 流 密 度 の 関 係 式 は 電 荷 が 消 滅 せず 電 流 となる 連 続 性 を 表 している E D B H はすべてベクトル 量 であり f dv f A curl A とも 書 かれる ただし f は 任 意 のスカラー A は 任 意 のベ クトルである

80 上 記 (のアンペールの 法 則 の 補 正 はマックスウエルによって 行 われた 補 正 のもと になったアンペールの 法 則 は 4π ( H J c という 変 位 電 流 の 時 間 変 化 が 欠 けた 形 であった これを D J J 4π t と 置 き 換 えたのは マックスウエルの 洞 察 力 による 彼 は ( の dv( 湧 き 出 しをと ると 左 辺 は dv ( curl H H 0 となり 常 に0になる(ベクトルの 計 算 の 規 則 により dv curl は 常 に0となる 一 方 4π 右 辺 は J となるが これが0であるということは 閉 曲 面 からの 電 流 の 湧 き 出 しが c 0になるということを 意 味 する しかし 物 理 的 な 考 察 では 閉 曲 面 からの 電 流 の 湧 き 出 しは その 閉 曲 面 内 部 の 電 荷 の 減 少 に 等 しいはずである それは 連 続 の 式 ρ J 0 t の 意 味 するところでもある 一 方 (のように 補 正 した 式 の dv をとると 左 辺 は0に なるが 右 辺 も 4π D 4π 4π ρ J J D ( J 0 c c t c c t c t となる ここで 最 初 の 等 式 は dv と 時 間 に 関 する 編 微 分 操 作 の 交 換 可 能 性 を 第 の 等 式 はクーロンの 法 則 を 最 後 の 等 式 は 電 荷 の 保 存 則 を 使 った 古 典 物 理 学 の 力 と 相 対 論 マックスウエルは 時 間 的 に 変 化 する 電 場 および 磁 場 に 関 する 方 程 式 を 解 き いわゆる 電 磁 場 の 存 在 と その 伝 播 測 度 が 光 の 速 さに 等 しいことを 見 出 した これを 有 力 な 根 拠 とし て 彼 は 光 が 電 磁 波 だと 結 論 した この 発 見 により 電 気 磁 気 光 に 関 する 理 論 はマッ クスウエルの 方 程 式 に 立 脚 すべしという 理 念 が 確 立 した ニュートン 力 学 とマックスウエ ルの 電 磁 気 学 は 古 典 物 理 学 の 基 盤 となった ニュートン 力 学 にはつの 物 体 の 間 に 働 く 重 力 の 法 則 mm F G r 3 r が 含 まれていた ここで G は 重 力 定 数 力 F と 距 離 rはベクトル 量 m m は それぞれ の 物 体 の 質 量 である 電 磁 場 中 にある 荷 電 粒 子 ( 電 荷 qをもつに 働 く 力 は 3

81 F q( E v B c ローレンツ(H.A. Loretz 力 と 呼 ばれる ニュートンの 運 動 の 方 程 式 とマックスウエ ルの 方 程 式 および 重 力 とローレンツ 力 は 古 典 物 理 学 のすべての 理 論 の 基 盤 である と くに 微 視 的 な 現 象 は これらの 方 程 式 を 直 接 解 くことによって 説 明 されるようになった ただ 9 世 紀 の 末 から0 世 紀 の 始 めにかけて ローレンツやアインシュタインの( 特 殊 相 対 性 理 論 の 登 場 によってニュートン 力 学 は 一 部 補 正 されることになる すなわち 力 学 の 第 法 則 ニュートンの 運 動 方 程 式 は F d dt ( p p mv v / c となる ただし マックスウエルの 方 程 式 は 変 更 を 受 けない このことをファイマン(R. Feymaは 磁 場 は 相 対 論 の 効 果 である 電 磁 気 の 法 則 は v / c 程 度 の 精 度 で 正 しい 結 果 を 与 える と 表 現 している(ファイマン 訳 本 p 熱 力 学 と 統 計 力 学 ニュートン 力 学 やマックスウエルの 電 磁 気 学 は 考 察 の 対 象 となる 系 が 小 数 の 粒 子 から なっているか あるいは 多 数 であっても 剛 体 Rgd body や 弾 性 体 Elastc body と 呼 ばれる ような 自 由 度 が 小 さなかたちに 扱 える 場 合 に 有 効 である しかし 気 体 のように 多 数 の 粒 子 からなる 系 では それらの 粒 子 をすべて 含 めた 運 動 方 程 式 を 解 くことは 不 可 能 である そ うした 系 に 関 しては 微 視 的 状 況 を 個 々に 問 題 にすることはできず 巨 視 的 な 測 定 量 や 性 質 だけに 注 目 することしかできない 熱 に 関 係 した 現 象 もそうした 取 り 扱 いしかできない 熱 に 関 する 研 究 は 効 率 的 な 熱 機 関 をつくりたいというカルノー(S. Carot によって 基 礎 がつくられ クラウジウス トムソンらによって 熱 力 学 として 体 系 化 された 熱 力 学 の 法 則 は 次 の3つにまとめられる ( 第 法 則 エネルギー 保 存 則 ある 系 の 変 化 ( 過 程 に 伴 う 内 部 エネルギーの 増 大 は その 変 化 の 過 程 で 吸 収 した 熱 と なされた 仕 事 の 和 に 等 しい ( 第 法 則 最 終 結 果 が 同 じ 温 度 に 保 たれている 熱 源 から 仕 事 をさせられる 熱 (work heatを 取 り 出 して それをすべて 仕 事 に 変 換 するだけで それ 以 外 の 変 化 は 起 こさない ような 過 程 は 不 可 能 である(Lord Kelv (3 第 3 法 則 絶 対 零 度 におけるすべての 系 の etropy は 常 にゼロにとれる (Nerst s theorem 4

82 これに 第 0 法 則 として 物 質 の 温 度 は 定 義 できる(~93 年 頃 を 加 える 場 合 もある 第 の 法 則 は 熱 と 仕 事 は 変 換 可 能 であり 等 価 であるという(Joule による 考 えも とづくもので ニュートン 力 学 に 熱 の 概 念 を 導 入 することによって エネルギー 保 存 則 が 成 り 立 つようにしたものである 運 動 している 物 体 が 摩 擦 のような 抵 抗 を 受 ける 現 象 を 解 析 する 場 合 ニュートン 力 学 だけでは 不 十 分 なのである 第 法 則 は その 過 程 の 最 後 の 結 果 が ある 温 度 にある 物 体 から 熱 を 取 り 出 し それより 高 い 温 度 の 物 体 に 受 け 渡 すだけであるような 過 程 は 不 可 能 である(Clausus 孤 立 系 におけるいかなる 変 化 ( 過 程 においても 最 終 状 態 の etropy は 最 初 の 状 態 のそれより 減 少 することはない 孤 立 系 において etropy が 最 大 の 状 態 は 最 も 安 定 な 状 態 である などとも 表 現 される これらの 表 現 が 同 等 であることを 証 明 することは 熱 力 学 の 教 科 書 の 最 初 の 仕 事 になっている 第 3 法 則 は 有 限 回 の 変 化 ( 過 程 を 踏 んで 物 質 の 温 度 を 絶 対 零 度 にもっていくことはできない ことを 表 している この 法 則 は 物 質 が 原 子 からできているという 仮 定 から 導 かれる(アト キンス p.5 熱 力 学 の 法 則 のうち 最 初 に 認 識 されたのは 第 法 則 であり それは 基 本 的 にカルノー の 考 察 の 成 果 である それは 980 年 代 の 前 半 であったが クラウジウスやトムソン(ケル ビンらによって 整 理 されたのは 980 年 代 の 後 半 である その 過 程 でエントロピーとい う 概 念 も 始 めて 導 入 された この 概 念 は その 導 入 者 であるクラウジウス 自 身 や 絶 対 温 度 の 概 念 を 考 えたネルストなどにも 正 しく 理 解 されていなかった 気 体 の 分 子 的 な 運 動 論 を 研 究 する 過 程 で エントロピーの 本 質 を 洞 察 したのは ボルツマンである 気 体 に 関 しては マックスウエルとボルツマンらによって 分 子 運 動 論 が 構 築 され そこ から 統 計 力 学 が 生 まれた マックスウエルは 構 成 要 素 である 粒 子 同 士 の 相 互 作 用 が 希 薄 な 場 合 の 気 体 の 粒 子 の 速 度 の 分 布 を 算 定 することに 成 功 した 速 度 の 分 布 とは ある 速 度 の 微 小 範 囲 を 指 摘 した 時 その 範 囲 の 速 度 をもつ 粒 子 の 数 がどれだけかを 教 えるものであ る すなわち 粒 子 の 速 度 はベクトル 量 であるが それの 絶 対 値 が v と vdv である 確 率 3 f ( v d v は 3 mv 3 m kt f ( v d v 4π v ( e dv ( 体 積 要 素 は d 3 v 4π v dv πkt kt で 与 えられるとマックスウエルは 推 定 した この 分 布 による 最 も 確 からしい 早 さは ( m である なお 速 度 の 各 成 分 の 分 布 は 正 負 対 称 のガウス 分 布 ( 正 規 分 布 となり その 平 均 はもちろんゼロである この 速 度 分 布 は 成 分 が 複 数 ある 理 想 気 体 にも 適 用 できる 5

83 ポテンシャルエネルギーを 無 視 できるとした 場 合 気 体 のエネルギーは 運 動 エネルギー のみであるから 速 度 の 絶 対 値 の 分 布 が 分 かれば 運 動 エネルギーの 平 均 値 も 求 められる それは 巨 視 的 な 気 体 の 状 態 に 関 する 式 PV RT などと 関 係 づけられる このようにし てマックスウエルは 集 団 を 構 成 する 要 素 である 個 々の 粒 子 の 状 態 を 表 す 量 (この 場 合 は 速 度 と 集 団 の 巨 視 的 な 観 測 量 ( 温 度 体 積 圧 力 などとを 関 係 づける 道 を 示 した ボルツマンは マックスウエルの 考 察 をさらに 進 め 巨 視 的 な 状 態 量 である 熱 力 学 的 な エントロピーSと 微 視 的 な 粒 子 系 の 取 りうる 状 態 の 数 W との 間 に S k log W という 関 係 があることを 発 見 した ここで 定 数 k は ボルツマン 定 数 である 彼 はまた 平 衡 状 態 にある(N 個 からなる 多 粒 子 の 系 が 離 散 的 なエネルギー 値 E E 3 E... E... をとるとした 場 合 系 がエネルギー E をとる 確 率 P E が e P( E Z E / kt Z ( E / kt e で 与 えられることを 示 した ここで k Tはそれぞれ ボルツマン 定 数 と 温 度 である こ れをボルツマン 分 布 という また Z は 分 配 関 数 と 呼 ばれる こうした 考 察 により 巨 視 的 な 世 界 を 記 述 する 熱 力 学 は 微 視 的 な 世 界 の 記 述 から 出 発 する 統 計 力 学 と 関 係 づけられるようになった これによって 熱 力 学 と 統 計 力 学 は 巨 視 的 な 物 理 法 則 に 関 する 物 理 学 の 基 礎 理 論 となり 力 学 や 電 磁 気 学 とならぶ 古 典 物 理 学 の 基 盤 理 論 となった 熱 力 学 や 統 計 力 学 の 理 論 が 体 系 化 されたのも 9 世 紀 の 後 半 である こ うして 古 典 物 理 学 は 0 世 紀 になる 頃 までに 数 学 的 に 整 理 された 理 論 体 系 となった その 他 の 分 野 光 学 流 体 力 学 古 典 物 理 学 の 完 成 と 見 直 し ほとんど 完 成 されたかに 見 えた 古 典 物 理 学 は 0 世 紀 の 始 めにつの 挑 戦 を 受 ける そ の 一 つは すでに 述 べた( 特 殊 相 対 論 であり もう 一 つは 量 子 論 である 量 子 力 学 は 98 年 のディラックの 相 対 論 的 電 子 論 の 論 文 で 完 成 された さらにその 間 にアインシュタイ ンの 一 般 相 対 論 が 発 表 され 宇 宙 論 に 新 たな 展 開 をもたらした しかし 力 学 に 続 く 電 磁 気 学 熱 力 学 統 計 力 学 特 殊 および 一 般 相 対 論 量 子 力 学 が 出 揃 い 古 典 物 理 学 の 修 正 がなされたのは 9 世 紀 の 中 頃 から 0 世 紀 の 中 頃 ( 年 頃 の 約 00 年 間 であ ったということができる それ 以 後 の 物 理 学 は 素 粒 子 を 記 述 する( 場 の 理 論 宇 宙 論 ( 一 般 相 対 論 や 量 子 力 学 による 宇 宙 論 と さまざまな 分 野 への 応 用 へと 発 展 している 6

84 7 4. 解 析 力 学 と 統 一 的 な 方 法 論 としての 最 小 作 用 の 原 理 解 析 力 学 は 原 理 的 にニュートンの 運 動 方 程 式 を 数 学 的 に 洗 練 した 方 法 である ここでは 統 計 力 学 にでてくるような 多 数 の 粒 子 を 構 成 要 素 とする 系 を 例 として この 方 法 を 説 明 す る 質 量 m を 有 する 単 一 の 粒 子 ( 質 点 に 関 するニュートンの 力 学 の 運 動 方 程 式 ( 第 法 則 は r / dt m d F となる ここで F は 物 体 に 働 いている 力 であり r は 座 標 t は 時 間 である 運 動 量 は dt m dr p / で 定 義 される 力 F 座 標 r 運 動 量 p はすべてベクトルであり p r F ρ ρ ρ などと 書 くこと もある 具 体 的 な 成 分 は ( ( ( ( ( ( p p p p p p p z y r F F F F F F F z y z y ρ ρ ρ などと 表 記 される もし 複 数 の 粒 子 を 考 えると すべてに 添 え 字 などをつけ 番 目 の 粒 子 の 質 量 を m とすれば 力 座 標 運 動 量 の 成 分 も 同 じように 添 え 字 で 表 す ( ( ( ( ( ( z y z y p p p p p p p z y r F F F F F F F ρ ρ ρ 運 動 方 程 式 は... 3 d t r d m F ρ ρ となるが これは d t d m F ; d t y d m F y ; d t z d m F z という 成 分 ごとに 成 り 立 つ 式 を 代 表 させたものである

85 力 座 標 運 動 量 は 時 間 とともに 変 化 すると 考 えられるので 時 間 の 関 数 と 見 なせる 座 標 運 動 量 p の 時 間 に 関 する 微 分 は 座 標 & 運 動 量 p&などと 表 記 する 上 記 の 表 記 における 座 標 は 直 交 座 標 を 想 定 していた 問 題 によっては 他 の 座 標 系 の 方 が 便 利 なことがある 例 えば 極 座 標 や 円 柱 座 標 はよく 使 われる 極 座 標 は r θ φ ( r 0 0 θ π 0 φ π が 使 われる 直 交 座 標 と 極 座 標 との 間 には 次 の 関 係 がある sθ cosφ y sθ sφ z r cosθ こうした 一 般 の 座 標 では 直 交 座 標 の 時 のように 各 成 分 に 関 する 式 は 同 じ 形 にはならな い そこでそれぞれの 粒 子 ごとの 座 標 や 運 動 量 の 成 分 を 粒 子 の 添 え 字 で 識 別 するのでは なく 単 に 列 にならべた 添 え 字 を 使 うのが 一 般 的 である そして 座 標 としては q 運 動 量 としては p を 使 うのが 習 慣 になっている これを 一 般 化 座 標 と 呼 ぶ すなわち q q... q... それに 対 応 する 運 動 量 を p p... p... と 表 記 する 例 えば 粒 子 およびからなる 粒 子 系 の 場 合 直 交 座 標 系 を 選 べば そ れぞれの 粒 子 の 座 標 ベクトル r r は r ( y r ( y z 3 z ( ( 3 3 などと 書 けるが これをまとめて f の 形 に 書 けば つの 表 記 法 は 以 下 のように 対 応 している (... 6 ( y z y z3 ( 3 3 ただし 実 際 にはどちらをあるいはと 呼 ぶかは 問 題 にならない 重 要 なのはいくつの 座 標 ( 成 分 が 必 要 かである その 総 数 をその( 力 学 系 の 自 由 度 と 呼 び f で 表 すのが 習 8

86 慣 である したがって 一 般 化 された 座 標 は q q... q... q f これに 対 応 して 運 動 量 は p p... p... p f と 表 される 添 え 字 の 使 い 方 は 座 標 の 場 合 と 同 じである ここで 対 応 する 運 動 量 が 何 を 意 味 するかは 直 交 座 標 の 場 合 は 対 応 する 座 標 成 分 の 微 分 に 質 量 を 掛 けた 量 として 明 ら かであるが 一 般 の 場 合 はまだ 分 からない ハミルトン 関 数 とラグランジュ 関 数 一 般 座 標 Geeralzed coordate 一 般 化 運 動 量 を 定 義 したところでそれらを 変 数 とす るつの 重 要 な 関 数 を 導 入 する それらがハミルトン 関 数 Hamltoa とラグランジュ 関 数 Lagraga である 普 通 は まずラグランジュ 関 数 Lagrage s fucto L が L L( q.. q... q&... q& k k... t と 与 えられたとして ハミルトニアン 関 数 と 一 般 化 運 動 量 を H pkq& k L k p k L q& k で 定 義 する 最 初 に 導 入 するラグランジュ 関 数 は L T V と 仮 定 されるのが 普 通 である ただし T は 運 動 エネルギー V は 位 置 エネルギーである 運 動 エネルギーは 直 交 座 標 の 場 合 単 一 粒 子 が V mr& m( & y& z& であり これを 全 部 の 粒 子 に 足 したものである 位 置 Potetal エネルギーは F V によって 力 F と 結 びついている ここでこれも 単 一 粒 子 の 分 を 総 計 したものになる 9

87 一 般 の 場 合 運 動 エネルギーは 一 般 化 座 標 qk とその 時 間 微 分 q&の k 関 数 であり 位 置 エ ネルギーは 座 標 だけの 関 数 である したがって 一 般 化 された 運 動 量 pk を ( 添 え 字 が 対 応 する 一 般 化 された 座 標 の 時 間 微 分 q&による 偏 微 分 によって 定 義 することが 可 能 である 上 で 定 義 したハミルトン 関 数 H は 実 は 運 動 エネルギーと 位 置 エネルギーを 合 計 した 全 エ ネルギーに 対 応 した 関 数 である すなわち H T V この 式 の 中 の 量 もすべて 一 般 化 座 標 および 一 般 化 運 動 量 の 関 数 である ハミルトン 関 数 や ラグランジュ 関 数 の 重 要 性 は 各 粒 子 の 運 動 がこれらの 関 数 で 記 述 できることにある ハミルトン 関 数 による 運 動 の 記 述 ハミルトン 関 数 と 一 般 座 標 一 般 運 動 量 の 間 には 次 の 関 係 がある H H p& q&... q p これをハミルトンの 正 準 方 程 式 Hamlto s caocal equatos と 呼 ぶ ここで q k 座 標 と 運 動 量 pk は 互 いに 共 役 Cojugate な 正 準 変 数 Caocal varable と 呼 ばれる ラグランジュ 関 数 による 運 動 の 記 述 系 の 運 動 は 次 の 方 程 式 でも 記 述 できる d dt L L ( 0... q& q この 方 程 式 をラグランジュの 運 動 方 程 式 と 呼 ぶ この 方 程 式 は t δ Ldt 0 t という 変 分 方 程 式 の 解 になっている すなわちラグランジュの 方 程 式 は ラグランジュ 関 数 の 時 間 に 関 する 経 路 積 分 の 変 分 を 停 留 値 ならしめるという 条 件 から 導 かれる 方 程 式 であ る 変 分 によって 表 現 されたこのことをハミルトンの 原 理 と 呼 ぶ これは 変 分 問 題 の 特 別 な 場 合 である 一 般 にこのような 形 の 変 分 問 題 の 解 はオイラーの 方 程 式 を 満 たす 関 数 であ る ゆえに ラグランジュの 方 程 式 をオイラー ラグランジュの 方 程 式 と 呼 ぶこともある (ラグランジュ 関 数 の 変 分 に 関 する 解 であるオイラーの 方 程 式 すなわちハミルトンの 原 0

88 理 を 満 たす 関 数 を 与 えるのがラクランジュの 方 程 式 というややこしいことになる 上 記 の 積 分 は 作 用 積 分 Acto tegral と 呼 ばれ しばしば S と 表 記 される S t t L dt またこの 積 分 は 経 路 に 沿 った 積 分 Path tegral でもある 物 理 学 の 中 で 作 用 は 力 と 動 いた 距 離 の 積 と 定 義 される 物 理 学 の 中 には 作 用 積 分 と 同 じような 積 分 とその 極 値 問 題 がいく つも 存 在 している 光 の 経 路 はその 一 例 である 正 準 変 換 Caocal Trasformato 一 般 化 座 標 qk と 一 般 化 運 動 量 p k ハミルトン 関 数 H をもつ 系 に 関 して 変 数 変 換 を 考 え 新 しいハミルトンとする Q P H Q ( q p t P ( q p t K このような 変 換 がハミルトンの 運 動 方 程 式 を K K P& Q&... Q P 満 たす 時 この 変 換 を 正 準 変 換 Caocal Trasformato と 呼 ぶ この 条 件 は δ t ( P Q K( Q P t dt t 0 δ t ( p q H ( q p t dt t この 条 件 が 同 時 に 満 足 されるためには 被 積 分 関 数 同 士 がある 任 意 の 関 数 Fの 全 微 分 だけ 違 っている 必 要 がある そうであれば このような 違 いの 積 分 は t df dt F( F( t dt となり 任 意 の 関 数 でゼロになる このような 関 数 を 変 換 の 母 関 数 Geeratg Fucto と 呼 ぶ 関 数 Fは 次 の 方 程 式 を 満 足 するものである p q& H P Q& K d dt F 0 こうしたFにより 新 旧 のハミルトン 関 数 は

89 F K H t. P F K p&... Q q& とかける ハミルトンージャコビの 方 程 式 正 準 変 換 の 母 関 数 Fの 変 数 が F ( q P t のように 選 ばれている 時 は H ( q q... q F F... q q F t t f f 0 が 満 たされる これをハミルトンージャコビの 方 程 式 と 呼 ぶ ポアッソンの 括 弧 解 析 力 学 において つの 力 学 変 数 u v が 正 準 変 数 q k p k の 関 数 である 時 ポアッ ソンの 括 弧 Posso Bracket が 次 のような 定 義 される u [ u v] q v p u p v k k k k qk この 関 係 式 は 量 子 力 学 の 交 換 関 係 commutato relato を 導 くために 重 要 である 運 動 方 程 式 の 同 等 性 最 初 に 述 べた 運 動 の 方 程 式 と 上 で 定 義 したさまざまな 運 動 方 程 式 は 一 方 から 他 方 が 導 けるという 意 味 で 実 は 同 等 である 運 動 の 方 程 式 はポアッソンの 括 弧 からも 導 ける そう した 同 等 性 の 証 明 は 解 析 力 学 の 中 のある 部 分 を 占 めている 実 際 の 同 等 性 を 具 体 的 な 系 で 確 認 してもよう 量 子 力 学 の 教 科 書 でよく 紹 介 されている 初 等 的 に 解 ける 系 とハミルトニアンは 次 のよ うなものに 限 られている

90 自 由 粒 子 H mv p ( p py pz m m mq& kq mq& mω q 調 和 振 動 子 H ただし ω k / m 中 心 力 場 中 の 粒 子 H ( p ( は m py pz V r ただし r y z これらのうち 最 初 のつの 系 によって 運 動 方 程 式 の 同 等 性 を 証 明 するのは 容 易 である 最 後 の 例 は 極 座 標 の 扱 いがあるので 多 少 計 算 は 面 倒 になる 解 析 力 学 のご 利 益 それではなぜわざわざわずらわしい 手 続 きを 経 てこうした 定 式 化 を 行 うのであろう そ の 最 も 大 きな 理 由 は 一 般 化 されたことで 他 の 理 論 との 対 応 をつけやすくなり 見 通 し がよくなることであろう 例 えばニュートン 力 学 では 対 応 が 考 えられにくい 量 子 力 学 との 関 係 も 解 析 力 学 であればある 程 度 の 対 応 をつけることができる また 力 学 と 電 磁 気 学 とを 統 一 的 に 論 ずることもできる さらに 一 般 化 座 標 と 運 動 量 によって 定 義 される f 次 元 の 空 間 は 統 計 力 学 では 状 態 空 間 位 相 空 間 あるいは 単 に 相 空 間 Phase space と 呼 ば れ 重 要 な 概 念 となる また 上 記 ではラグランジュ 関 数 やハミルトニアン 関 数 を 直 交 座 標 を 基 礎 にしたニュートン 力 学 の 視 点 から 導 入 した しかし 素 粒 子 論 などでは こうし た 古 典 的 な 視 点 に 縛 られず より 天 下 り 的 にラグランジュ 関 数 を 導 入 する それが 適 当 か どうかは 結 果 次 第 というわけである 見 通 しがよくなるという 利 点 の 一 つは 対 称 性 と 保 存 量 の 関 係 が 理 解 されやすいことで ある 系 がさまざまな 対 称 性 を 有 していれば それはラグランジュ 関 数 やハミルトン 関 数 に 反 映 されているはずである 対 称 性 とは 座 標 系 を 平 行 移 動 ( 変 換 しても 回 転 して も 関 数 の 形 が 変 わらないことを 意 味 する そのような 対 称 性 があると 保 存 される 物 理 量 が あることが 知 られている(ネーターNoether の 定 理 ただ 多 くの 初 等 的 な 問 題 は 問 題 にあった 個 別 の 方 法 で 解 くのが 便 利 であり 解 析 力 学 の 方 法 を 適 用 するのは 泰 山 鳴 動 し て 鼠 一 匹 あるいは 鶏 を 割 くに 牛 刀 をもってす というような 具 合 になりかねない しか し 解 析 力 学 の 方 法 を 理 解 することは 初 等 的 な 力 学 から 脱 出 して より 高 次 の 理 論 物 理 学 の 世 界 を 訪 ねる 足 慣 らしとなるのである 小 出 昭 一 郎 解 析 力 学 岩 波 書 店 983 年 3

91 4.3 熱 力 学 のエッセンス 熱 力 学 が 相 手 にする 要 素 の 数 力 学 に 較 べると 熱 力 学 は 理 解 し 難 いという 定 評 がある 力 学 は 質 点 のようにつ つ と 数 えられる 粒 子 か あるいは 剛 体 のように 物 体 を 構 成 する 要 素 は 多 いが 互 いの 束 縛 が 強 いため 各 要 素 は 勝 手 に 運 動 することが 許 されない( 自 由 度 が 小 さい 系 を 対 象 にする こ れに 対 して 熱 力 学 では コップの 中 の 水 とか やかんの 中 の 蒸 気 というような 膨 大 な 数 の 構 成 要 素 がかなり 自 由 に 動 いている 系 を 対 象 とする こうした 物 体 を 構 成 する 要 素 の 数 が どのくらいかの 目 安 となるのがアボガドロ 数 である アボガドロ 数 Avogadoro s umber 同 じ 圧 力 同 じ 体 積 の 気 体 は 気 体 の 種 類 によらず 同 じ 数 の 分 子 を 含 む 気 圧.44 リットルでは 個 の 分 子 が 含 まれる この 数 だけの 構 成 要 素 ( 分 子 原 子 イオ ンを 含 む 物 質 の 量 をモルと 呼 ぶ ついでに この 数 と 関 係 の 深 い 数 も 紹 介 しておく それらは 気 体 定 数 とプランク 定 数 と ボルツマン 定 数 である A. Avogadoro s umber R Gas costat erg/mol egrees.986 cal/mol degrees h Plack s costat cm.. gm.sec - k Boltzma costat R/A erg/degree すなわち 熱 力 学 が 扱 う 系 を 構 成 する 粒 子 の 数 はざっと 0 4 のオーダー( 桁 orderであ る こうした 系 はさまざまな 状 態 をとりうるだろう ゆえに これらの 状 態 のすべてにつ いて 知 ることは 不 可 能 であろう しかし 膨 大 な 数 からなる 系 でも 外 から 見 た 場 合 に 落 ち 着 いた 変 化 のないように 見 えることがある 対 象 とする 系 が 巨 視 的 な 観 察 では 動 きの 見 ら れない 時 系 は( 熱 的 平 衡 状 態 にある という 巨 視 的 に 見 て 平 衡 状 態 にある 系 は 少 ない 数 の 変 数 で 記 述 できるだろう こうした 変 数 を 熱 力 学 の 変 数 と 呼 ぶとすれば これら の 変 数 の 間 の 関 係 を 見 つけることが 熱 力 学 の 課 題 になる また このような 系 の 巨 視 的 な 振 る 舞 いが 何 らかの 法 則 にしたがっているなら そうした 法 則 は 熱 力 学 の 変 数 によっ て 記 述 できるであろう さらに その 法 則 を 使 えば 変 数 の 間 の 関 係 式 も 導 けるであろう し 系 の 巨 視 的 な 振 る 舞 いを 予 測 することもできるであろう これが 熱 力 学 の 基 本 的 な 考 え 方 である 法 則 は 実 際 にさまざまな 系 を 観 察 したり 実 験 を 行 ったりして それらの 結 果 をさま ざまな 角 度 から 分 析 吟 味 し 推 論 を 行 ったりして 仮 説 を 立 て さらにそれを 検 証 する 4

92 実 験 や 観 察 を 行 うことで 導 かれる そうして 得 られたのがすでに 述 べた 熱 力 学 の 法 則 であ る 熱 力 学 の 法 則 熱 力 学 の 法 則 は 以 下 のように 表 現 される 第 0 法 則 : 物 質 の 温 度 T は 定 義 できる 第 法 則 :エネルギー 保 存 則 ある 系 の 変 化 ( 過 程 に 伴 う 内 部 エネルギーの 増 大 du は その 変 化 の 過 程 で 吸 収 した 熱 dq と なされた 仕 事 dw の 和 に 等 しい すなわち du dq dw 第 法 則 :(- 最 終 結 果 が 同 じ 温 度 に 保 たれている 熱 源 から 仕 事 をさせられる 熱 (work heatを 取 り 出 して それをすべて 仕 事 に 変 換 するだけで それ 以 外 の 変 化 は 起 こ さないような 過 程 は 不 可 能 である(Lord Kelv これと 同 等 な 表 現 は (-その 過 程 の 最 後 の 結 果 が ある 温 度 にある 物 体 から 熱 を 取 り 出 し それより 高 い 温 度 の 物 体 に 受 け 渡 すだけであるような 過 程 は 不 可 能 である (Clausus (-3 孤 立 系 におけるいかなる 変 化 ( 過 程 においても 最 終 状 態 のエントロピー etropy は 最 初 の 状 態 のそれより 減 少 することはない (-4 孤 立 系 において etropy が 最 大 の 状 態 は 最 も 安 定 な 状 態 である 第 3 法 則 絶 対 零 度 におけるすべての 系 の etropy は 常 にゼロにとれる (Nerst s theorem このように 述 べられた 法 則 の 内 容 を 理 解 するためには まず そこで 使 われている 概 念 を 正 しく 理 解 する 必 要 がある 第 法 則 の 中 には 内 部 エネルギーと 熱 というつの 概 念 が でてくる そのうちの 内 部 エネルギーは 系 の 構 成 要 素 のすべての 運 動 エネルギーとポテン シャル エネルギーの 和 であり 仕 事 は 力 学 で 定 義 される 力 と 移 動 距 離 の 積 と 考 えてよい しかし 熱 量 は 力 学 にはない 概 念 である そこで 第 法 則 は Newto 力 学 に 熱 という 概 念 を 導 入 してエネルギー 保 存 則 が 成 り 立 つようにした とも 熱 と 仕 事 は 変 換 可 能 であ り 等 価 である(Joule とも 言 われる このことは 熱 をやったりとったりすることは 仕 事 をしてあげたりされたりすることと 交 換 可 能 である ということを 意 味 している こ のことは 経 験 的 な 事 実 と 考 えられる 第 法 則 にはさまざまな 同 等 な 表 現 がある その 中 にはエントロピーを 使 った 表 現 もあ り 使 わない 表 現 もある (- (-は エントロピーという 概 念 を 使 わない 表 現 であるが これらの 表 現 においては 過 程 という 概 念 が 使 われている この 場 合 の 過 程 とは 仕 事 の 方 法 あるいは 熱 機 関 の 機 構 と 運 転 の 仕 方 を 意 味 している 第 法 則 は そう した 機 関 のデザインや 性 能 の 限 界 を 述 べた 工 学 的 な 命 題 であると 見 ることができる こ れらは 自 然 法 則 を 述 べたというより 人 間 の 能 力 あるいは 人 為 の 限 界 に 関 する 命 題 である 5

93 これは 自 然 法 則 を 述 べる 場 合 自 然 だけの 話 をしないで 人 間 の 営 みを 例 として その 限 界 を 指 摘 することで 自 然 の 仕 組 みを 教 えるという 論 法 の 例 である 実 は 第 法 則 に 関 してもこのような 表 現 は 可 能 である それは 外 からエネルギーを 供 給 しないで 永 久 に 仕 事 をするような 永 久 機 関 はつくれない という 表 現 である このような 機 関 は エ ネルギー 保 存 則 にしたがわないからである 第 法 則 は 第 法 則 を 破 るような 機 関 をつ くって 運 転 することはできない ということを 意 味 している 前 者 の 永 久 機 関 を 第 種 永 久 機 関 第 法 則 を 破 るような 機 関 を 第 種 の 永 久 機 関 と 呼 ぶこともある 問 題 : 自 分 自 身 を 他 の 物 体 を 利 用 しないで 静 かに 持 ち 上 げることはできない とい う 法 則 は 人 間 に 言 及 しない 表 現 としては どんな 法 則 に 対 応 しているか? 第 法 則 が 人 間 の 営 みを 例 として 挙 げた 法 則 であれば そうした 人 間 の 営 みに 触 れず その 代 わりにエントロピーを 使 った 表 現 においても 人 間 の 営 みに 関 る 何 かが 継 承 されて いるはずである しかもそれはエントロピーという 概 念 に 関 係 しているはずである それ は 何 であろうか エントロピーの 定 義 を 見 るとこの 疑 問 に 対 する 答 えが 見 えてくる 熱 力 学 の 歴 史 から 言 うと 最 初 にエントロピーという 概 念 を 導 入 したのはクラウジウスであるが それは 次 の 最 初 の 式 今 日 クラウジウスの 不 等 式 と 呼 ばれている 式 であった.クラウジウス Clausus: 彼 は 熱 源 T T... 機 関 本 体 の 作 業 物 質 への 熱 の 出 入 りが Q Q Q3 T3... であるように 運 転 されていている 場 合 を 考 察 し 以 下 の 式 が 成 り 立 つことを 見 出 した そしてこの 式 の 左 辺 の 量 をエントロピー( 変 化 の 量 と 呼 んだ Q Q Q 3... T T T 3 0 ( 等 号 は 可 逆 過 程 のみ ただし ここで 熱 量 の 符 号 は 作 業 物 質 に 移 動 する 場 合 を 正 と 約 束 している.より 洗 練 されたエントロピーの 定 義 : S ( A A dq O T ただし 積 分 は 可 逆 過 程 に とる B dq S ( B S ( A A T 熱 力 学 の 第 法 則 第 の 式 はより 洗 練 されている これは 最 初 の 不 等 式 を 無 限 に 沢 山 の 過 程 に 分 解 したこと に 相 当 する 第 の 定 義 の 積 分 には 但 し 書 きがある それは 積 分 は 可 逆 過 程 を 辿 ること という 但 し 書 きである これは 明 らかに 行 為 を 規 定 する 但 し 書 きであり 熱 機 関 を 運 転 する 時 の 注 意 を 継 承 した 条 件 と 見 ることができる そのような 注 意 を 守 らない 一 般 の 場 合 6

94 はどうなるか その 答 えが 最 初 のクラウジウスの 不 等 式 である それでは 可 逆 過 程 とは 如 何 なる 過 程 であるか それは ある 熱 力 学 的 な 状 態 A にある 系 を 異 なる 状 態 B に 移 行 させる 時 その 間 に 起 きるすべての 変 化 を 反 対 向 きにしながら 逆 に B から 出 発 して A に 戻 れる 時 最 初 の A から B にいたる 過 程 を 可 逆 過 程 と 呼 ぶ という ことで 定 義 される クラウジウスは 上 記 の 不 等 式 を 導 いた 熱 機 関 が 可 逆 的 な 運 転 が 可 能 な 場 合 は 不 等 式 が 等 式 になることを 見 出 した これは 経 験 則 である そうした 可 逆 的 な 運 転 の 具 体 的 な 方 法 というのが カルノーによって 見 出 されたカルノー サイクルにほ かならない カルノー サイクルは カルノーの 考 えたつの 熱 源 をもつ 熱 機 関 (カルノ ー エンジンの 運 転 方 法 である この 方 法 はより 多 くの 熱 源 をもつ 熱 機 関 に 容 易 に 拡 張 できる それゆえ エントロピーの 定 義 における 積 分 を 可 逆 過 程 にとるということは 多 数 の 熱 源 をもつ 熱 機 関 をカルノーのやり 方 で 運 転 するということに 他 ならない エントロ ピーを 定 義 する 積 分 式 にはこのような 物 理 的 あるいは 工 学 的 な 操 作 が 対 応 しているので ある 以 上 のことは 第 法 則 の 理 解 には カルノー サイクルとエントロピーの 説 明 と 理 解 が 必 要 不 可 欠 であることを 物 語 っている すなわち 熱 力 学 の 法 則 の 説 明 には エントロ ピーを 定 義 する 線 積 分 とある 熱 機 関 とその 運 転 方 法 というつの しかも 互 いに 深 く 関 係 している 概 念 がどうしてもでてくるのである もちろんエントロピーも 力 学 にはなかった 概 念 である 熱 力 学 ででてくる 力 学 にはない3 つの 基 本 概 念 温 度 熱 量 エントロピーは 微 分 の 形 式 d S d Q / T で 結 びついている この 関 係 は 熱 力 学 の 法 則 の 核 心 であり 加 速 度 力 質 量 を 結 びつけ るニュートン 力 学 の 第 法 則 を 想 起 させる この 式 のもつ 数 学 的 な 意 味 にも 注 意 しなけれ ばならない 後 にでてくるが 熱 量 の 微 分 d Q は 全 微 分 の 条 件 を 満 たしていない そ れゆえ d ' Q と 書 くこともある しかし それを 温 度 で 割 った d Q / T は 全 微 分 である そしてこれが 全 微 分 なら それに 対 応 した 関 数 S が 存 在 し それは 上 記 のエントロピーに 関 する 不 等 式 で 表 現 された 関 係 を 満 たすのである 温 度 熱 量 エントロピーに 圧 力 と 体 積 を 加 えると 初 等 的 な 熱 力 学 の 基 本 的 な 変 数 の すべが 揃 う すなわち 熱 力 学 の 対 象 となるような 系 の 巨 視 的 な 状 態 やその 変 化 は こう した 変 数 の 値 を 手 掛 かりにしらべていける というのが 熱 力 学 の 立 場 である もちろん 対 象 とする 物 体 によっては 系 の 状 態 を 記 述 する 巨 視 的 な 変 数 はこの 他 にもいろいろ 考 えら れる 例 えば 磁 場 の 中 におかれた 物 質 の 磁 化 する 割 合 である 磁 化 率 はそのような 例 である 次 に カルノーが 考 察 した 仮 想 的 な 熱 機 関 を 説 明 しておく 7

95 カルノー エンジンとカルノー サイクル 熱 力 学 の 創 始 者 カルノー(Sad Carot は 効 率 のよい 熱 機 関 をつくるため の 基 本 アイデアとして 現 実 を 理 想 化 した 可 逆 的 に 運 転 できる 機 関 と 過 程 とを 考 えた そ のためにこの 熱 機 関 における 熱 の 移 動 は つの( 部 分 系 の 間 に 温 度 差 がない 場 合 に 限 った カルノーの 熱 機 関 は 高 温 T H の 熱 源 とそれより 低 温 T L の 熱 源 作 業 物 質 ( 普 通 気 体 を 含 む 熱 機 関 の 本 体 それが 仕 事 をする 物 体 から 構 成 されているとする この 機 関 を 次 の ような4つの 過 程 を 辿 って 運 転 する 運 転 は 全 過 程 で 可 逆 的 ( 準 静 的 である ( 機 関 の 本 体 を 高 熱 源 に 接 触 させ この 温 度 を 保 って( 等 温 的 に 作 業 物 質 を 膨 張 させる この 間 に 熱 Q H が 熱 源 から 機 関 本 体 に 移 動 する ( 機 関 本 体 を 高 熱 源 から 離 し 断 熱 的 に 低 い 温 度 T L になるまで さらに 膨 張 させる (3 機 関 の 本 体 を 断 熱 装 置 から 離 して 低 熱 源 に 接 触 させ この 温 度 を 保 って( 等 温 的 に 作 業 物 質 を 収 縮 させる この 間 に 熱 Q L が 機 関 本 体 から 熱 源 に 移 動 する (4 機 関 本 体 を 低 熱 源 から 離 し 断 熱 的 に 高 い 温 度 T H まで さらに 収 縮 させる この4 過 程 は 最 初 に 戻 るから サイクルとなり 連 続 して 運 転 することができる この サイクル 過 程 をカルノー サイクルという カルノー サイクルの 要 点 は 熱 の 移 動 は 必 ず 温 度 差 のない 場 合 に 限 る というやり 方 である 温 度 差 があると 可 逆 的 ななくなるから である 問 題 作 業 物 質 として 完 全 ( 理 想 気 体 を 使 った 場 合 のカルノー サイクルを V-p 平 面 T-S 平 面 の 閉 曲 線 として 図 示 せよ 熱 機 関 の 効 率 熱 機 関 の 効 率 η を 一 般 的 な 蒸 気 機 関 のそれと 同 じように 定 義 する この 時 η W Q H QH Q Q T H L TH T T Q L L TH QH H L Q Q ' L ' H が 成 り 立 つ ここで 上 記 のW Q H QL は 第 法 則 をもちいている また 熱 から 温 度 Q L TL による 表 現 への 変 換 には 第 法 則 の 結 果 である 次 の 等 式 による ここで Q T H H 8

96 等 号 が 成 り 立 つのはカルノー サイクルの 場 合 である カルノー サイクルはつの 温 度 の 異 なる 熱 源 をもち 可 逆 的 に 運 転 される 熱 機 関 であり 最 も 効 率 の 高 いものである 以 下 この 式 の 意 味 することを 説 明 しよう カルノー サイクルの 場 合 全 体 系 での 熱 の 増 減 はないので 高 熱 源 系 熱 放 出 に 伴 うエ ントロピーの 減 少 と 低 熱 源 における 熱 吸 収 によるエントロピーの 増 大 が 打 ち 消 しあって 全 体 としてのエントロピーの 増 減 はない したがって Q T H H Q T L または L Q Q H L T T H L が 成 り 立 つ したがって カルノー サイクルでは W η Q H L L H T T T H T T H Q Q L H となる 同 じように 運 転 されるが 可 逆 過 程 で 運 転 されない 機 関 の 場 合 熱 の 放 出 吸 収 に をつければ その 効 率 は カルノー サイクルのそれより 悪 くなる ' ' W Q L η η (カルノー サイクルの 効 率 ' Q Q H H ただし ここで Q Q ' L ' H Q Q L H T T L H が 証 明 なく 使 われている 不 等 号 の 右 辺 は 可 逆 過 程 の 場 合 である 上 記 の 不 等 式 は 温 度 が 定 められたつの 熱 源 によって 可 逆 的 に 働 く 熱 機 関 の 効 率 は つの 熱 源 の 温 度 だけで 決 まり η T T T H L H T T L H となる この 効 率 を 越 える 熱 機 関 はない ことを 意 味 する したがって カルノー サイ 9

97 クルの 効 率 が 最 も 高 い これをカルノーの 原 理 ( 定 理 と 呼 ぶ 上 記 では この 原 理 を 導 くために 孤 立 系 のエントロピーは 増 大 する という 表 現 の 第 法 則 が 使 われている また Q Q ' L ' H Q Q L H T T L H から Q Q ' L ' H T T L H Q すなわち T ' H ' H Q T ' L L 0 ここで Q ' L は 機 関 本 体 が 外 部 に 放 出 する 熱 であるから これを 本 体 への 負 の 流 入 の 形 ( Q ' L と 書 けば Q T ' H ' H ' ( Q T L L 0 となる もちろん 等 号 が 成 り 立 つのは 可 逆 過 程 の 場 合 である この 式 は クラウジウス の 方 程 式 ( 不 等 式 と 呼 ばれる Q Q Q T T T 3 の 特 別 な 場 合 になっている ここでも 等 号 が 成 り 立 つのは 可 逆 過 程 の 場 合 である こ の 和 を 循 環 過 程 でとり 熱 源 の 数 を 無 限 にしていくと 和 は 閉 曲 線 の 沿 った 積 分 となる 例 題 0 度 C と 00 度 C にあるつの 熱 源 を 利 用 した 熱 機 関 の 最 大 効 率 を 求 めよ 温 度 を η 絶 対 温 度 に 変 換 すると 00/ となる ma 温 度 と 熱 の 関 係 カルノー サイクルでは 熱 源 のつの 温 度 と 熱 の 出 入 りに 関 して Q T H H Q T L または L Q Q H L T T H L 0

98 が 成 り 立 つ この 式 は 可 逆 過 程 においては 温 度 と 熱 のうち 一 方 の 変 化 を 知 れば 他 方 の 変 化 を 類 推 できることを 示 唆 している 温 度 と 熱 はこうした 双 子 のような 深 い 関 係 にあ る 熱 力 学 では こうした 温 度 を 実 際 に 定 義 できる( 第 0 法 則 ことを また 絶 対 零 度 においてエントロピーはゼロになる となること( 第 3 法 則 を 教 えている これも 経 験 則 である ただし 実 際 には 有 限 回 の 変 化 ( 過 程 を 踏 んで 物 質 の 温 度 を 絶 対 零 度 にも っていくことはできない すなわち 全 体 零 度 とは 現 実 には 実 現 できず 単 に 極 限 をと った 仮 想 の 状 態 である また 第 3 法 則 は 物 質 が 原 子 からできているという 仮 定 か ら 導 かれるが 後 者 が 認 められるようになったのは 0 世 紀 に 入 ってのことである(アト キンス p 熱 力 学 エントロピーのさらなる 理 解 熱 力 学 の 法 則 のエッセンスを 述 べたところで エントロピーについて もう 少 し 詳 しく みてみよう そのためには 基 礎 となる 数 学 を 紹 介 し 次 にエントロピーの 概 念 を 最 初 に 導 入 したクラウジウスの 論 法 とその 後 の 洗 練 された 定 式 化 に 話 を 発 展 させる これは 熱 力 学 をエントロピーの 立 場 から 見 直 す 作 業 とも 言 える エントロピーを 実 際 に 計 算 してみる 力 をつけるようにすることが 最 終 的 な 目 標 である 熱 力 学 のための 数 学 : 完 全 微 分 微 分 形 式 の 性 質 : 変 数 の 微 分 形 式 X ( y d Y ( y dy において X Y y が 成 り 立 つ 時 この 形 式 は 完 全 微 分 Eact dfferetal 形 式 であるという この 等 式 は オイラーEuler の 積 分 可 能 条 件 と 呼 ばれる この 場 合 ある 関 数 f ( y が 存 在 して f f df X ( y d Y ( y dy d dy y となる ここで df 0 であれば この 微 分 方 程 式 は 全 微 分 方 程 式 Total dfferetal equato と 呼 ばれ 積 分 可 能 である この 場 合 y 平 面 における 任 意 の 閉 曲 線 に 沿 った 積 分 はゼロになる df 0 一 般 に 変 数 に 関 するある 微 分 形 式 が 与 えられた 場 合 各 々の 係 数 である 関 数 に 関 す る 編 微 係 数 が 等 しいことと f のような( 与 えられた 微 分 形 式 が その 完 全 微 分 となるよ

99 うな 関 数 が 存 在 することと この 関 数 の 経 路 に 沿 った 積 分 がゼロになることとは 同 値 である 閉 経 路 に 沿 った 積 分 がゼロになることとは ある 関 数 の 始 点 A 終 点 Bの 線 積 分 の 値 が 経 路 に 依 存 しないことを 意 味 する この 定 理 は3 変 数 の 場 合 に 拡 張 できる 3 変 数 の 微 分 形 式 X ( y z d Y ( y z dy Z( y z dz がある 関 数 f ( y z の 完 全 微 分 であれば 3 次 元 に 拡 張 された 偏 微 分 係 数 ( 偏 微 係 数 の 関 係 X Y Y Z Z X y z y z が 満 たされる f ( X Y Z とすれば この 条 件 は ベクトル 解 析 記 法 を 用 いて curl f f 0 と 書 ける さらに 変 数 の 場 合 と 同 じく 3 次 元 空 間 の 閉 曲 線 に 沿 った 積 分 もゼロになる なお 積 分 因 子 が 存 在 する 条 件 は ベクトルである f が 自 身 の curl と 直 交 すること f curl f 0 である (Sommerfeld p. 3 次 元 空 間 のベクトル( 関 数 に 拡 張 されたこの 定 理 は Potetal( 関 数 の 存 在 とそ の 性 質 に 関 係 している ポテンシャルも 位 置 だけで 決 まる 関 数 であり 積 分 経 路 は 問 題 に ならない 微 分 形 式 に 関 するこの 議 論 は 例 えば 和 達 三 樹 物 理 のための 数 学 岩 波 書 店 988 年 Courat & Joh II p.63 を 参 照 のこと 上 記 の 議 論 は より 一 般 的 な 個 の 変 数 の 微 分 形 式 Pfaff 形 式 Pfaffa に 拡 張 できる こうした 立 場 から 熱 力 学 を 公 理 的 に 構 成 しようとしたのが C. Carathéodory である この 場 合 上 で 述 べたように 微 分 形 式 が 完 全 微 分 であり ゼロに 等 しければ df 0 から 積 分 が 求 まる 微 分 形 式 が 完 全 微 分 でない 場 合 でも ある 関 数 を 乗 じて 完 全 微 分 とすること ができることがある この 関 数 を 積 分 因 子 と 呼 ぶが このような 関 数 が 一 般 的 に 求 められ るという 保 証 はない 熱 力 学 に 出 てくる 量 dq ( 熱 量 は 全 微 分 ではない しかし これを 温 度 Tで 割 った(つまり /T を 乗 じた dq / T ds は 全 微 分 となり S の 閉 経 路 に 沿 っ た 積 分 はゼロになる すなわち 温 度 は 積 分 因 子 に 関 係 している ただし エントロピー の 定 義 においては この 積 分 の 経 路 をたどる 過 程 が 可 逆 的 でなければならないという 条 件 がついている 熱 力 学 の 変 数 のうち 全 微 分 となる 関 数 は 状 態 量 property と 呼 ばれる 内 部 エネルギ ーは 状 態 量 であるが 熱 も 仕 事 も 状 態 量 ではない 状 態 量 は 状 態 をあらわす 変 数 である 温 度 圧 力 体 積 などと 同 じく 熱 力 学 的 な 状 態 を 記 述 する 変 数 ではあるが すべて の 変 数 が 必 ずしも 状 態 量 ではない

100 問 題 次 の 微 分 形 式 は 積 分 可 能 か? 3 y d 3y dy Clausus による 熱 力 学 の etropy 熱 力 学 は 微 視 的 な 対 象 を 多 数 含 む 巨 視 的 な 系 の 全 体 の 状 態 を 問 題 にする 例 えば 同 種 の 分 子 が 多 数 集 まった 気 体 の 状 態 は 気 体 の 容 器 の 体 積 容 器 の 壁 面 への 圧 力 温 度 な どで 特 徴 づけられる それらの 変 数 がある 値 をとったのが 巨 視 的 な( 熱 力 学 的 なある 状 態 である いま つの 状 態 A と B があった 時 A の 状 態 から B の 状 態 への 変 化 を 考 える この 時 B から A への 変 化 が 仕 事 や 熱 の 受 け 渡 しに 関 して 逆 の 関 係 にできる 時 この 変 化 は 可 逆 的 (reversble trasformatoであるという Carot cycle は 可 逆 的 な 変 化 で 熱 機 関 が 運 転 される 例 である これらの 概 念 をもちいて 状 態 A の etropy が S ( A O A dq T と 定 義 される ただし 上 記 の 積 分 は O から A への 可 逆 的 変 換 にそってなされなければな らない また 状 態 O は 任 意 の 基 準 状 態 であり 通 常 絶 対 零 度 が 採 用 される 上 記 の 式 を 天 下 り 式 に 与 えたが その 理 由 を 説 明 する すでに 強 調 したように 熱 力 学 の 第 法 則 はさまざまに 表 現 される そこでエントロピーを 用 いない 表 現 から 出 発 すれば エントロピーを 定 義 する 上 記 の 式 は 第 法 則 から 導 くべき 対 象 になる われわれは む しろエントロピー 概 念 によって 第 法 則 を 表 現 する したがって そのための 仮 定 は 熱 の 増 分 dq は 全 微 分 でないが それに 積 分 因 子 / T を 乗 じた 分 dq / T は 全 微 分 である という 仮 定 である そうであればある 関 数 S が 存 在 して ds dq / T は 全 微 分 となり そ の 閉 曲 線 にそった 積 分 はゼロになる dq T 0 ただし 物 理 学 的 な 要 請 として その 時 の 線 積 分 は 物 理 的 には 可 逆 過 程 となるものに 限 定 する ここまでは エントロピーという 関 数 が 確 かに 存 在 するという 主 張 である 次 に 状 態 A から 状 態 B への 変 化 に 伴 う etropy 変 化 量 は 一 般 に 3