価格変動のフラクタル性への統計物理的アプローチ

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2 min P sell max P buy > Λ max P buy > min P sell c a A 24 A A B 31 B B B B

3 B B

4 1 1: 97/11/21 99/11/22 2: 1 Y=/$ 3:

5 4: 3 [1] ( 4) [2]

6 5:... 2 ( 5) 6

7 3 3.1 ( ) (dealer) N (seller) (buyer) N/2 (t =0 ) [100,100 + h] P sell [100 h,100] P buy 3.2 (min P sell ) (max P buy ) ( 6) P P = (min P sell + max P buy )/2 (1) P 3.3 [0,h] ( 7) 7

8 Price max Pbuy min Psell Dealer : min P sell max P buy. P. 3.4 i P i (t +1)=P i (t)+c (P i (t) P i (t 1)) (a i + b i ) (2) a i a [0,a] b [0,b] b i 8

9 Price Dealer : c L L L L L L L L L L L L Dealer Dealer : c(p (t) P (t 1)) = L 0. 9: c(p (t) P (t 1)) = L<0. 9

10 c(p (t) P (t 1)) (3) P (t) P (t 1) > 0 ( 8) P (t) P (t 1) < 0 ( 9) min P sell max P buy > Λ (min P sell ) (max P buy ) min P sell max P buy ( 10) Λ min Psell Λ max Pbuy Dealer : min P sell max P buy > Λ. min P sell max P buy < Λ min P sell max P buy > Λ min P sell 10

11 max P buy c c max P buy > min P sell (max P buy ) (min P sell ) (9) (2) Price Price min Psell max Pbuy Dealer Dealer : max P buy min P sell. 12: max P buy > min P sell. P i (t +1)=P i (t)+c (P i (t) P i (t 1)) ± (a i + b i ) (4) + N 11

12 (t =0 ) h a b c Λ N = 100 h =20 Λ =2 t =0 [100,120] 50 [80,100] 50 2 a b c a =0.15, b =0.25, c =0.3 P (t) [3] 1,000,000 1,000, (a) (c) (a) 200,000 (b) 40,000 (c) 8, c c 15 (a)(b)(c) 12

13 200 P e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 trade occurence 13:. a =0.15, b =0.25, c =0.3. c =0.0, c =0.1, c =0.2 c =0.0 c = a a min P sell max P buy > Λ ( 16(a) (c)) 13

14 140 P e e+05 2e+05 trade occurence 130 (a) 120 P trade occurence (b) 14

15 P trade occurence (c) 14: (a) 13. (b) (a). (c) (b). 5 P (t) Re P (ω) = 1 T Im P (ω) = 1 T T P (t)cosωt (5) t=1 T f (t) sin ωt (6) t=1 (0 ω 2π) 15

16 200 P e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 8e+05 1e+06 trade occurence (a) 200 P e+05 4e+05 6e+05 trade occurence (b) 16

17 200 P e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 trade occurence (c) 15: (a) a =0.15, b=0.25, c =0.0. (b) a =0.15, b=0.25, c =0.1. (c) a =0.15, b=0.25, c =0.2. S(ω) = P (ω) 2 = (Re P (ω)) 2 + (Im P (ω)) 2 (7) S(ω) 17 ω 2 ω 2 17

18 P e e+05 2e+05 trade time 250 (a) 200 P e+05 4e+05 6e+05 8e+05 trade time (b) 18

19 P e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 trade time (c) 16: (a) a = 0.00, b = 0.25, c = 0.3. (b) a =0.10, b =0.25, c =0.3. (c) a =0.20, b =0.25, c = P (t) =P (t) P (t 1) ( 18) [4] ( 19) ( 20) ( ) 19

20 S(omega) omega 17:

21 5 3 dp e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 trade time 図 18: 図 13 における価格変動 P の時系列. きが現実にはハイリスク ハイリターンの代表となってしまっている そ の理由として デリバティブの取り引きで動く金額は実態経済の何倍も の金額が投機目的で動いていること以外に 冪乗分布によって起こる価 格変動をガウス分布から予測しようとしているからであると考えられる さらに単位時間 t を固定し その時間間隔での価格の変位 P = P (t + t) P (t) (8) の分布を観測した (図 21) t を大きくすれば価格の大きな変動が起こる 頻度も大きくなってくる 7 まとめ 本研究では 実際のマーケットでの価格の変動の要因のうち 特に需 要 供給といった購買活動の基本にのみ着目した極めて単純なモデルを 21

22 P(dP) dp 19: 18. P. Gauss. Lévy. 22

23 p( dp ) dp 20:

24 P(dP) dp 21: P. t=1, t=5, t=25, t=125. A A.1 a, b I, S #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define _NTRADER 100 #define tradetime int main() 24

25 FILE *fp; int i,imin,j,jmax,nsell,flag[_ntrader]; float P_sell[_NTRADER/2],P_sellmin,P_buy[_NTRADER/2],P_buymax; float c,indivi,supec,time; float Delta_s[_NTRADER/2],Delta_b[_NTRADER/2]; float a[_ntrader/2],b[_ntrader/2]; float Adjust,Delta,I_s[_NTRADER/2],I_b[_NTRADER/2]; float X,Y,Price,K,L,k; printf("the tradetime: %d\n",tradetime); printf("the number of traders: %d\n",_ntrader); printf(" c=(0.1~0.3)" ); scanf("%f",&c); printf(" sphere of individuality(0~1) " ); scanf("%f",&indivi); printf(" sphere of specuration(0~1) " ); scanf("%f",&supec); /* */ for(i=0;i<_ntrader/2;i++) /* Sellers */ P_sell[i]=((float)rand()/RAND_MAX)* ; for(j=0;j<_ntrader/2;j++) /* Buyesrs */ P_buy[j]=((float)rand()/RAND_MAX)* ; /* */ for(i=0;i<_ntrader/2;i++) /* Sellers */ I_s[i]=((float)rand()/RAND_MAX)*Indivi; 25

26 for(j=0;j<_ntrader/2;j++) /* Buyesrs */ I_b[j]=((float)rand()/RAND_MAX)*Indivi; fp = fopen("price.dat","w"); X=100; Y=100; /* */ for(time=0;time<tradetime;time++) /* */ for(i=0;i<_ntrader/2;i++) /* Seller */ a[i]=((float)rand()/rand_max)*supec; for(j=0;j<_ntrader/2;j++) /* Buyesrs */ b[j]=((float)rand()/rand_max)*supec; /* */ P_sellmin=P_sell[0]; /* Seller */ imin=0; for(i=0;i<_ntrader/2;i++) if (P_sellmin>P_sell[i]) P_sellmin=P_sell[i]; imin=i; 26

27 P_buymax=P_buy[0]; /* Buyer */ jmax=0; for(j=0;j<_ntrader/2;j++) if (P_buymax<P_buy[j]) P_buymax=P_buy[j]; jmax=j; /* */ if ((P_sellmin-P_buymax)*(P_sellmin-P_buymax)<4) Price =(P_sellmin+P_buymax)/2; fprintf(fp,"%lf\n",price); k=0; else k+=c; Y=X; X=Price; /*P_sellmin<P_buymax */ if (P_sellmin<P_buymax) Adjust = -1; else 27

28 Adjust = 1; /* */ K= I_s[imin]; L= I_b[jmax]; I_s[imin]=L; I_b[jmax]=K; /* Delta */ P_sell[imin]=P_buymax+((float)rand()/RAND_MAX)*20; P_buy[jmax]=P_sellmin-((float)rand()/RAND_MAX)*20; /* */ for(i=0;i<_ntrader/2;i++) /* Seller */ P_sell[i]+=(-(Adjust)*(a[i])-I_s[i]+(c+k)*(X-Y)); for(j=0;j<_ntrader/2;j++) /* Buyer */ P_buy[j]+=(+(Adjust)*(b[j])+I_b[j]+(c+k)*(X-Y)); fclose(fp); 28

29 A.2 #include<stdio.h> #include<math.h> #define Ndata /* */ int main() FILE *fp,*somega_out; int t,iomega; float f[ndata],omega,freal,fimag,pi=2*asin(1.0); float DeltaOmega=2.0*PI/Ndata,Somega; if ((fp = fopen("price.dat","r")) == NULL) printf("erorr no data!\n"); exit(1); for(t=0; t<ndata; t++) /* input */ fscanf( fp, "%f", &f[t] ); fclose(fp); Somega_out=fopen("Somega.dat","w"); for(iomega=0;iomega<100000;iomega++) omega=iomega*deltaomega; Freal=0.0; Fimag=0.0; for(t=0; t<ndata; t++) 29

30 Freal += ( f[t] * cos( omega * t ) ) ; Fimag += ( f[t] * sin( omega * t ) ) ; Freal/=Ndata; Fimag/=Ndata; Somega= (Freal*Freal)+(Fimag*Fimag); fprintf (Somega_out,"%f %e\n", omega,somega); fclose(somega_out); 30

31 B B.1 [5] B.2 i S i B i S i i B i S i B i S i B i L (9) L max B i B i B i S j S j max B i i B i (t +1)=B i (t)+ i + a i (10) i i N δ N i δ (for buyer) δ i = (for sellers) N 0 (for others) 31

32 buyer buyer Price Price N L seller seller seller seller seller N N seller seller N i i 22: t =0 23: t =1 a i a i i B.3 (10) , B.4 24 ( 25(a) (b)) (7) ( 26) ω 2 32

33 120 N=100, T=500, L=5, 2.5<a<2.5, delta=5 110 market price trade times 24:. N = 100,T = 500,L = 5, 2.5 <a<2.5,δ =5. B.5 33

34 120 T= market price trade times 115 (a) T=2000 market price trade times 110 (b) T=500 market price trade times (c) 25: (a) 24. (b) (a). (c) (b). 34

35 10 4 S_omega fourier transform :

36 B.6 #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define _NTRADER 100 int main() FILE *fp; int i,imax,nsell,flag[_ntrader]; float B[_NTRADER],Bmax,Delta[_NTRADER],a[_NTRADER],price; printf("the number of traders: %d\n",_ntrader); for(i=0;i<_ntrader;i++) /* (80 120) */ B[i]=((float)rand()/RAND_MAX)* ; fp = fopen("marketprice.dat","w"); for(price=0;price<10000;price++) /* */ for(i=0;i<_ntrader;i++) /* */ a[i]=((float)rand()/rand_max)* ; Bmax=B[0]; imax=0; for(i=0;i<_ntrader;i++) /* (Bmax) */ 36

37 if (Bmax<B[i]) Bmax=B[i]; imax=i; fprintf(fp,"%f\n",bmax); /* output */ Nsell=0; for(i=0;i<_ntrader;i++) if (B[i]+5<=Bmax) flag[i]=1; Nsell++; else flag[i]=0; /* Nsell */ Delta[imax]=-5.0; for(i=0;i<_ntrader;i++) /* Delta */ if (flag[i]==1) Delta[i]=+5.0/Nsell; else if (i!= imax) Delta[i]=0.0; 37

38 for(i=0;i<_ntrader;i++) /* */ B[i]+=(Delta[i]+a[i]); fclose(fp); 38

39 [1],,27,,1997, [2],,2,,1997, [3],,8,vol.54,No.1,1999 [4] A.Sato H.Takayasu, 7 4, ,1998 [5] H.Takayasu,Physica A 184, ,

40 40

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