Microsoft PowerPoint - ミクロ-第C章：消費者(07).ppt

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ときたておか
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1 C. 消費者行動の理論 C.1 消費選択における物理的経済的制約定義 C.1( 消費可能集合 -consumption set) 物理的制約 X Rm 定義 C.2( 消費計画 -consumption plan) 1,, m X 定義 C.3( 予算集合 -budget set) 経済的制約予算線 p I 与件 p p 1,,p m 0 I > 0 B p,i B p, I B p, I X p I 1

2 定義 C.4( 選好関係 -preference relation) 任意の 2 消費計画間の選好関係 : (i) 弱い意味の選好 -weak preference より好むか無差別 (ii) 強い意味の選好 -strong preference (iii) 無差別 -indifference より好むかつ定義 C.5( 合理的選好 -rational preference ) (i) 完備性 -completeness または (ii) 推移性 -transitivity かつ推移性が満たされない場合 2

3 事実 C.1( 合理的選好の性質 ) (i) { 非反射性 -irrefleivity: は成立しない推移性 -transitivity: yかつy z z 反射性 : (ii) ~ { 推移性 : y かつ y z z (iii) y z z 選好の合理性 =(i) 完備性 +(ii) 推移性有限個の選択肢に対して最善が存在する選好関係は比較の経路に依存しない 3

4 定義 C.6 ( 欲求に関する仮定 ) (i) 単調性 -monotonicity: 無差別集合 I R 2 右下がりの交わらない無差別曲線 ( 事実 C.4) (ii) 強い単調性 -strong monotonicity: かつ 4

5 (iii) 局所的非飽和性 -local nonsatiation 半径 ε>0 の近傍 } なる X 有り事実 C.2 単調性局所非飽和 5

6 定義 C.7 ( 選好の凸性 -conveity) t 1 t t 0, 1 (i) 凸性 } { (ii) 強い凸性 t 1 t 凸選好のインプリケーション限界代替率逓減多様性嗜好 6

7 定義 C.8 ( 選好の連続性 -continuity) 少なくともと無差別 P X 高々と無差別 P 1 X 閉集合単調性の下での P() と P -1 () 無差別集合 I X 7

8 C.3 効用関数 -utility function 定義 C.9( 効用関数 ) 選好関係 : 関数 : u : X R } u u 事実 C.5( 効用関数の存在 -eistence of utility function) 選好の合理性 + 連続性連続な効用関数の存在 + 単調性 { 無差別曲線交わらない右下がり 8

9 注意 C.1 u が効用関数 U u も効用関数事実 C.6( 凸選好と効用関数の準凹性 ) 増加関数による単調変換選好 : 合理性 + 連続性 + 単調性 + 凸性 ( 強凸性 ) 効用関数 : 準凹 ( 強準凹 ) u 2 9 1

10 定義 C.10( 限界効用 ) 第 i 財消費量の限界的な増加 u( ) i 効用の増加量? ( 第 i 財の増加量一単位当たり ) 定義 C.11( 限界代替率 ) MRS ij ( ) u( ) / u( ) / i j 10

11 11 j i k d d u d u k j j i i, 0 0, ) ( ) ( = = + 0 ) ( ) ( ) ( = + j j j i i d u d u ij j i j j i MRS u u d d = ) / ( ) / ( ) (

12 局所非飽和 C.4 効用最大化問題 -utility maimization problem 以下合理性連続性局所非飽和性を常に仮定 (UMP) 間接効用関数 v p, I ma B p,i u L, u I p 第 i 財消費量の限界的増加による効用増分 u i p i 第 i 財価格内点解 u p i i 0 I p 0 I p 0 所得の限界効用 -marginal utility of income p I 0 財 i,j 間限界代替率 = u i u j p i p j 12

13 1 階条件 ( 内点 ) u u i u j p i p j p I u* 2 階条件 : D 2 u : 半負値定符号

14 定義 C.12( マーシャルの需要関数 -Marshallian demand function) UMP の最適消費ベクトル (p,i) をマーシャルの需要関数と呼ぶ事実 C.7 マーシャルの需要関数 p, I の性質 (i) (p,i) について0 次同次予算集合に変化なし (ii) 予算の完全消化 p = I 局所非飽和 (iii) 凸選好 ( 準凹効用関数 ) 凸集合強凸選好 ( 強準凹効用関数 ) 関数 (1 要素 ) 価格効果の対称性は一般的には成立しない所得制約予算集合の変化所得効果 : 財により異なる ( 非対称性 ) c.f. 利潤最大化問題 14

15 事実 C.8( 間接効用関数 v p, I の性質 ) (i) (p,i) について0 次同次予算集合不変 (ii) pについて非増加予算集合縮小 (iii) Iについて ( 強い意味で ) 増加局所非飽和 (v) p, Iについて連続最大値定理 (Berge) ウィリアムノヴシェク ( 著 ), 奥口孝二小林信治 ( 訳 ) 経済数学 : 基礎と応用多賀出版, 1996 年 : p

16 無差別曲線と間接無差別曲線 ( 所得 I 所与 ) 量平面 v p, I ma B p,i u 価格平面双対問題 : min v p,i p 0,I 0 s. t. p I v p, I u 16

17 (iv) pの準凸関数 -quasi conve function 効用関数の準凹性に依存しない p tp 1 t p p 2 間接無差別曲線 p I 所与下での予算線 p p p p 1 17

18 間接効用関数 (I を所与とした図 ) v I p u* * の購入を所得 I の下で保証した価格の変化 2 p 2 1 p 1 18

19 C.5 支出最小化問題 -ependiture minimization problem 支出関数 -ependiture function e p, u min p X s. t. u u 支出関数 e p, u の性質生産における費用関数の性質と同様 (i) pについて1 次同次最適消費計画不変 (ii) Pについて非減少 (iii) u について強い意味で増加局所非飽和 (iv) pの凹関数 (v) p, uに連続 19

20 定義 C.12( 補償需要関数 -compensated demand function) 支出最小化問題の最適解 :h(p,u) 事実 C.14( シェパードの補題 ) h i p, u e p,u p i, i 1,, m 事実 C.15( 補償需要関数 h p, u の性質 ) (i) (p,u) について 0 次同次 (ii) D p h(p,u): 対称半負値定符号 ( 補償需要の法則 ) 事実 C.16( 補償需要の凸性 ) (i) 凸選好 ( 準凹効用関数 ) 凸集合 (ii) 強凸選好 ( 強準凹効用関数 ) 関数 (1 要素 ) 20

21 支出最小化問題 e p, u min p X s. t. u u 双対問題 mae p, u p 0 s. t. p ē 双対問題効用最大化問題 min v p,i p 0,I 0 s. t. p I v p, I u 双対問題 v p, I ma B p,i u 21

22 C.6 ロワの恒等式事実 C.18( ロワの恒等式 -Roy s Identity) 局所非飽和効用関数の連続性微分可能性 i p, I v p,i p i v p,i I p,i 効用最大化,u u v p,e p, u p i で微分 0 v p,i p i v p,i I シェパードの補題 e p,u p i h i p,u p, I v p,i p i v p,i I 22

23 23 )), ( ( ), ( I p u I p v j i m i p i j p u p I p v i = = = 1 ) ( ), ( 123 λ 0 ), ( 1 = + = j i m i i j p p I p I I p p = ), ( ), ( ), ( I p p I p v j j = λ I p I I p v i m i i = =1 ), ( λ 1 1 = = I p i m i i = λ I I p v ), ( I I p p = ), ( p j で微分訂正

24 効用最大化問題の双対問題とロワの恒等式 min v p,i p 0,I 0 s. t. p I v p, I u ラグランジュ関数 : L v p, I I I p u u v p, I p 1 1 p 2 2 I - 平面上での変化 { FOC: v p,i p i v p,i I I i u v p,i p i 0 I u v p,i I 0 v p,i p 1 v p,i I dp 1 v p,i p m 1 dp 1 m dp m v p,i p 1 dp m v p,i I dp 1 v p,i p m 1 dp 1 m dp m 1 v p,i I di 0 1 次の効果 dp m m i 1 v p,i p i i dp i 所得効果で正規化 v p,i p i v p,i I dp j 0 j i 24

25 I p 1 1 p 2 2 I v(p,i) = u* p 2 p 1 25

26 C.7 スルツキー方程式 -Slutsky equation 価格所与所得変化 ( 所得 ) 拡張経路下級財所得固定価格変化オファー曲線ギッフェン財 - Giffen good 26

27 事実 C.19( スルツキー方程式 -Slutsky equation) j p,i p i h j p,v p,i p i j p,i I i p, I 代替効果所得効果 h j p,u j p,e p, u : p, I 下での効用最大化解 u u シェパードの補題 h j p,u p i j p,i p i j p,i I i s ji (p,i) スルツキー ( 代替 ) 行列 : S p, I s 11 p, I s 1m p, I s m1 p,i s mm p,i 27

28 j p,i p i h j p,v p,i p i j p,i I i p, I 正常財所得効果代替効果 i p,i I i p,i I 0 h i p,u p i 0 i p,i p i 0 ギッフェン財になり得ない 28

29 ロワの恒等式効用最大化双対問題支出最小化 p, I スルツキー方程式 ( 価格に関する微係数について ) p, I h p,v p, I h p, u p,e p, u h p, u シェパードの補題v p, I u v p, I e p, u I e p, u 29

30 C.9 顕示選好理論市場価格需要行動 ( 観察可能 ) 一貫性選好のに関する公準 ( 公理 ) 合理性 { } 選好関係 ( 観察不可能 ) 顕示選好理論乖離? 効用関数これまでの理論構築需要の理論 30

31 定義 C.16( 顕示選好の弱公準 -Weak Aiom of Revealed Preference / WA) 任意の p, I と p, I p p,i I かつ p,i p,i p p,i I WAの解釈 (p,i) の下で(p,I ) を購入可能 (p,i) は (p,i ) より好まれるはず (p,i ) の下では (p,i) は購入不可能であるはず 31

32 多数の消費パターンの比較無差別曲線の近似 32

33 事実 C.20(WA と補償需要法則 ) p, I :0 次同次 + 予算制約等号成立 p, I p,p p, I p, I の購入可能性を保証した価格所得変化 WA p p p,i p,i 0 価格需要 33

34 WA 補償需要の法則 ( p,i p, I の場合 ) WA p' ( p, I) I' ( p, I) ( p', I') p ( p', I' ) > I B( p, I) ' 補償需要の法則 I p p,i p p p,i p,i 0 p p,i p,i 0 B( p', I') 所得補償 : p p,i p p, I I (p,i ) 下ではどちらも購入可能 p p, I p, I 0 WA p p, I I p p, I p p,i p,i p p,i p,i < 0 34

35 補償需要法則 WA 補償需要の法則 ( p,i p, I の場合 ) WA I p p,i p p p,i p,i 0 { p p,i I p,i p, I p p,i I WA が成立しないとする p p,i I p p,i p,i 0 所得補償 : p p,i p p, I I p p, I p, I 0 p p,i p,i p p,i p,i 0 : 補償需要法則に矛盾 35

36 事実 C.21 (WA と代替 / スルツキー行列 ) p, I :0 次同次 + 予算制約等号成立 +WA 微分可能性 S p, I : 半負値定符号 ( 支出最小化の 2 階条件 ) s ij p,i i p,i p j i p,i I j p, I 36

37 価格の変化所得補償 : di p,i dp 需要の変化標記の注意 d D p p,i dp D I p,i di D p p,i dp D I p,i p,i dp D p p,i D I p,i p,i T dp S p,i dp dp S p,i dp 0 補償需要の法則 dp d 0 スルツキー行列 : 半負値定符号 D p p,i D I p, I 1 p,i p 1 m p,i p m 1 p,i I m p,i I 37

38 需要の価格所得に関するゼロ次同次性価格の比例的変化 : dp tp t 0 所得補償 : di ti 予算集合に変化無し : B 1 t p, 1 t I B p,i 需要に変化無し : 1 t p, 1 t I p,i d 0 S p, I p 0 スルツキー行列 : 負値定符号にはならない 38

39 命題 C.1(WA の必要十分条件 ) { (p,i) の微分可能性 (p,i) の 0 次同次性予算制約等号成立 :p = I + p 0, I 0 v S p, I v 0, v tp 任意定数 39

40 ヒックスとスルツキーの意味での所得補償とスルツキー行列 p, I p,i スルツキーの所得補償 : 初期の需要水準を保証 ΔI Slutsky p p, I I ヒックスの所得補償 : 初期の効用水準を保証 ΔI Hicks e p,u I ΔI Slutsky ΔI Hicks p p, I e p, u 0 ΔI Hicks ΔI Slutsky 40

41 価格の微小変化 : dp p p シェパードの補題 D p e p,u h p, u p, I ヒックスの意味での所得補償 e p,u Dpe p,u dp e p, u h p, u dp p h p,u dp p h p, u p p,i スルツキーの意味での補償ヒックスの意味での補償スルツキーの意味での所得補償 ΔI Slutsky ΔI Hicks 41

42 市場価格需要行動 ( 観察可能 ) (p,i) の 0 次同次性予算制約の等号成立 {WA 選好関係 ( 観察不可能 ) 顕示選好理論効用関数これまでの理論構築乖離? 需要の理論 S(p,I) の対称性 i.e., 選好関係の推移性 42

43 定義 C.17( 顕示選好の強公準 -Strong Aiom of Revealed Preference / SA) p n,i n p n 1, I n 1 n 1,, N 1 であるような任意の価格所得ペアのリスト : p 1,I 1,, p N, I N p 1 p 1,I 1 p 1 p 2,I 2 p 2 p 2,I 2 p 2 p 3,I 3 p N 1 p N 1,I N 1 p N 1 p N,I N 2 より 1 3 より 2 N より N-1 p N p 1,I 1 I N 1 は (p N,I N ) 下で購入不可 43

44 WA と SA が要求する選好の一貫性 WA: 任意の消費ベクトルペア間の一貫性 SA: 任意数の消費ベクトル間での選好の非循環性選好関係の推移性 S(p,I) の対称性事実 C.22(SA と合理的選好 ) (p,i) SA 整合する合理的選好関係の存在 44

45 }集計しても Gorman 型 C.10 消費者の集計 C.10.1 Gorman 型効用関数間接効用関数 :v i p,i i a i p b p I i 消費者 ID 代表的個人の需要関数ロワの恒等式}ai p p j b p b p i j p,i i i j p j p I i 全消費者共通 b p p j X j N p,i 1,, I N i 1 N N v p, Ii i 1 i 1 j i p j N p i 1 N ai p b p i 1 Ii Ii 45

46 事実 C.23( ホモセティック効用関数 ) 間接効用関数 : v p, I V p I 定義 C.17( 補償無しの需要法則 -uncompensated law of demand / ULD) 個人 i の需要関数 i (p,i i ) は補償無しの需要法則を満たす : 所得固定価格は p p へ変化 p p i p, I i i p, I i 0 p, p 0, I 0 ( i p, I i i p, I i 強い意味の不等号 ) 個人の効用関数がホモセティック代表的個人の効用関数もホモセティック集計需要に関する補償無しの需要法則注 )ULD の十分条件 MWG(Prop.4C3) 46

47 C.10.2 準線形効用関数 -quasi-linear utility function U 0, 1,, k 0 u 1,, k k=1 ma 0, 0 u 1 1 s. t. 0 p 1 1 I ma 1 u 1 I p u 1 p u p 1 内点解 u は凹関数 v p 1,I u 1 p 1 I p 1 1 p 1 V p 1 I 47

48 p 1 1 とする u u 1 1 u 1 1 所得が十分大財 1 財 0 48

<4D F736F F F696E74202D20837E834E838D2D91E6428FCD EF97708DC58FAC89BB96E291E E707074>

<4D F736F F F696E74202D20837E834E838D2D91E6428FCD EF97708DC58FAC89BB96E291E E707074> B.3 費用最小化問題生産要素価格生産量所与生産費用を最小化する生産要素投入量の決定利潤最大化問題よりまずは費用最小化問題 1 利潤最大化の必要条件 2 利潤最大化問題 = 生産財価格の受容者としての利潤最大化問題収穫一定規模の経済の下で不適 1 B.3.1. 生産費用の概念定義 B.26 固定費用 -fied cost 生産計画期間中に投入量変更不可な生産要素費用 1 埋没費用