第 6 回の目的確定年金現価の算式について理解する終身年金現価の算式について理解する簡単な例で掛金の計算をしてみる極限方程式を理解する年金数理第 6 回 2

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あかりなぐも
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1 東京工業大学大学院経営工学専攻年金数理第 6 回年金現価終価極限方程式講師 : 渡部善平 (( 株 )IIC パートナーズ )

2 第 6 回の目的確定年金現価の算式について理解する終身年金現価の算式について理解する簡単な例で掛金の計算をしてみる極限方程式を理解する年金数理第 6 回 2

3 確定年金現価終身年金現価

4 確定年金確定年金現価確定年金 : 年金受給者の生死にかかわらず一定期間の支払いを約束する年金例 : 2010 年 4 月開始年金額 1,000,000 円期末払い 5 年確定年金支払い時期年金額 2011 年 3 月 1,000,000 円 2012 年 3 月 1,000,000 円 2013 年 3 月 1,000,000 円 2014 年 3 月 1,000,000 円 2015 年 3 月 1,000,000 円年金数理のテーマ : この確定年金の価値は? 年金数理第 6 回 4

5 確定年金確定年金現価 ( 実例 ) 年金額 1,000,000 円期末払い 5 年確定年金年利率 3% この場合の確定年金現価率は? 確定年金現価は? 年度期末支払 1 年度始 1 年度始 1 年度始い年金額現価率 ( 算現価率現価 1 1,000,000 1/ , ,000,000 (1/1.03)^ , ,000,000 (1/1.03)^ , ,000,000 (1/1.03)^ , ,000,000 (1/1.03)^ ,609 合計 5,000, ,579,707 a 5 年金数理第 6 回 5

6 確定年金確定年金現価確定年金 : 年金受給者の生死にかかわらず一定期間の支払いを約束する年金確定年金現価の算出第 1 回目の支払の現価 P 期末払い第 2 回目の支払の現価 P 2 n 回目の支払の現価 P + P P n n P ( 2 n + + ) P n 1 P 1 Pa n a n : 年 1 回期末払いの場合の確定年金現価率 ( 年金額 1 に対する確定年金現価 ) 年金数理第 6 回 6

7 確定年金確定年金現価確定年金 : 年金受給者の生死にかかわらず一定期間の支払いを約束する年金確定年金現価の算出 P 第 1 回目の支払の現価第 2 回目の支払の現価 + n 回目の支払の現価 P a& & n + + P n 1 P 1 P P n 1 P n ( + + ) 1 : 年 1 回期始払いの場合の確定年金現価率 ( 年金額 1 に対する確定年金現価 ) 期始払い n 1 P 1 Pa& n 年金数理第 6 回 7

8 重要なことは具体的な数値の大きさについて感触を味わうこと年金数理第 6 回 8

9 生命年金生命年金現価生命年金 : 年金受給者が生存している限り一定期間 ( または終身 ) の支払いを約束する年金生命年金現価の算出 ( 例 )x 歳開始 ω-1 歳終了の終身年金現価,ω 歳 : 最終年齢 x 歳の支払の現価 x+1 歳の支払の現価 x x +1 P P 期始払い x : 生命表における x 歳の人数 ω-1 歳の支払の現価 x P+ x+ 1 P + + ω 1 P ω 1 ω x 1 P x ω 1 x P(1 + x + 1/ x + + ω 1 / x ω x 1 ) 年金数理第 6 回 9

10 ここに生命年金生命年金現価 1+ x+ 1 x + x+ 2 x ω 1 x ω 1 x ω 1 X x X x X x は x 歳における年金額 1に対する 1 人あたりの終身年金現価であり a& & x と表す x 歳開始のこれを用いて x 歳における年金額 Pに対するの年金額 ( 前のスライドの最終式 ) は P & となる x a x 人あたり年金数理第 6 回 10 x

11 実例 : 60 歳開始終身年金現価 X X X a && 年金額 :1; 年利率 3% x 60 :1, P :1 ω 1 X x X X x Pa& x X x 60 歳時の終身年金現価率 , 歳時の人数 1,000 人年金額 1 に対する生命 ( 終身 ) 年金現価年金数理第 6 回 11

12 簡単な掛金計算

13 給付 : 一時金掛金 : 一時払い 5 年後に 1,000,000 円年利率 3% 一時払いの掛金でこの給付をまかなうとして掛金額を求めよ ( 解 )< 基本的には 1,000,000 円の現価を求める > P ,000,000 終価を用いた関係式 5 P 1,000,000 /(1/1.03) 現価を用いた関係式 P (1 + i) 5 1,000,000 終価を用いた関係式 P 1,000,000 5 現価を用いた関係式 P は? 年金数理第 6 回 13

14 給付 : 一時払い掛金 : 数年で積立 5 年後に 1,000,000 円年利率 3% 今から 5 年間の期始払いでこの給付をまかなうとした場合の掛金額は? 終価を用いたアプローチ P (1 + i) + P(1 + i) + P(1 + i) + P(1 + i) + P(1 + i) S P P P P P ( 1+ i) P ( 1+ i) P ( 1+ i) P ( 1+ i) P ( 1+ i) 年金数理第 6 回 14

15 給付 : 一時払い掛金 : 数年で積立 5 年後に 1,000,000 円年利率 3% 今から 5 年間の期始払いでこの給付をまかなうとした場合の掛金額は? 現価を用いたアプローチ P + P + P + P + P P P P P P S 5 P P P P S S 5 年金数理第 6 回 15

16 給付 : 一時払い掛金 : 数年で積立 P S 5 /( ) 今 S が1,000,000 円 5 /( ) がなので P は 182,869 円年金数理第 6 回 16

17 給付 : 年金掛金 : 一時に積立現在 50 歳 60 歳開始終身年金年金額 1 年利率 3% 掛金を一時払いで積み立てる人員は別 ( スライド19) に示す脱退残存表のように推移するものと仮定手順ステップ 1 :60 歳時点の終身年金現価を計算ステップ 2 :50 歳時点の上記金額の期待値を求めるステップ 3: その金額の 50 歳時点の現価を求める ( この金額が 50歳時点の一時払い掛金 ) ステップ 1: 60 歳時点の終身年金現価は ( スライド 19 より ) ステップ 2: この額の 50 歳時点の期待値は 60 / / 歳から 60 歳まで生存する確率をかけてを算出ステップ3:50 歳時点の現価は (1/1.03) 年金数理第 6 回 17

18 給付 : 年金掛金 : 一時に積立算式によるフォローステップ 1 a& & ステップ 2 ( / ) a & /1020* ステップ 3 ( / ) a& * 次頁数値に関する設定を参照年金数理第 6 回 18

19 数値に関する設定 X X x-50 X X X a& & X X X 60 x 59 X 50 X 50 X 年金数理第 6 回 19

20 給付 : 年金掛金 : 数年で積立現在 50 歳 60 歳開始終身年金年金額 1 年利率 3% 今から10 年間期始払いで掛金を積み立てる手順ステップ1 :60 歳時点の終身年金現価を計算ステップ2 : 現在 50 歳なので上記金額の期待値を求めるステップ3: その金額の50 歳時点の現価を求めるステップ 4: その金額を 50歳から 10 年間で積み立てる ( 途中の死亡退職による積立中止を考慮にいれるステップ 4 の方程式 (50 歳の人員数に関する算式 ) P これを解くと ( ) 60 a a&& 60 P && 年金数理第 6 回 20

21 給付 : 年金掛金 : 数年で積立前のスライドと数値例 ( スライド 19) より P a&& 年金数理第 6 回 21

22 定常状態と極限方程式年金数理第 6 回 22

23 財政計画を立てるとは給付の発生状況を予測しそれをまかなうための掛金年金資産利息収入に関する計画を立てること給付算定式をひとつに決めれば給付の発生状況の予想は給付の発生状況の予想は一様に予測可能これに対しこれをまかなう掛金利息年金資産の組み合わせは無数に存在する財政計画のパターンを決めるポイント - どのように掛金を積み立てるか - どれだけ年金資産を積み立てるか - 掛金と利息の大きさの割合をどのように設定するか年金数理第 6 回 23

24 定常状態とは - 財政計画を理論的に考える実験室 - 定常人口人員数の年齢分布が脱退残存表どおりの状態定常状態定常人口の状態にありかつ掛金 ( 総額 ) 給付( 総額 ) が一定水準である状態この結果必然的に年金資産額も一定水準となる ( 後述 ) 定常状態では掛金給付年金資産が一定年金数理第 6 回 24

25 ( 年金数理の基礎理論で ) なぜ定常状態を考えるか理論のベースとなるモデルは極力シンプルであるほうがよい議論をシンプルにするためなるべく変数を少なくする事業規模一定従業員規模一定従業員の勤続年齢構成も一定毎年の退職給付支払総額も一定 ( 必然 ) また一方毎年の掛金総額も一定 ( となるように財政計画を立てる ) 年金数理の技術上の要請定常状態を前提にすると財政方式の定式化が非常に簡明になる ( もし諸々のものが一定でなければどのように一定でないかハラメータが無数に必要になる ) 年金数理第 6 回 25

26 定常状態では極限方程式が成立している (1) ひとりの人間の収支相等でなく集団 ( 企業 ) 全体の収支であることに留意定常状態では給付額一定掛金額一定このとき年金資産額が際限なく増加もしくは減少しないためにはその水準がある一定 ( 時間経過により変化しない ) の額に達している必要がある ( 証明 ) 給付支払い掛金額支払いは年始に発生し利率は一定とする F n n 年度末年金資産 B ( 一定 ) 給付額 i 利率 F ( F + C B)(1 i) 1 n F F ( F F )(1 + i 0 F ( 一定 ) 掛金額 + F ( F + C B)(1 + i n + n + 2 n+ 1 ) > F F F F > n+ 2 n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n n+ 1 n F ( F F )(1 + i) < F F F F < 0 n+ 2 n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n n+ 1 n C ( の場合 ) ( の場合 ) ) 年金数理第 6 回 26

27 定常状態では極限方程式が成立している (2) 年金資産が際限なく増加することも際限なく減少することも好ましくないすなわち一定の年金資産額を保つことが必要になるすなわち定常状態では給付額一定掛金額一定のほか - 年金資産額一定の要件が加わる F ( F + C B)(1 + i) n + 1 n で F F F n +1 n とすると F ( F + C B)(1 + i) ここに d より C + df B i C df B 1 + i + の関係式を極限方程式という年金数理第 6 回 27

28 C + df B 極限方程式の意味 B C d 給付額は人員分布と制度内容が決まれば一意的に決まるが F 掛金額と年金資産水準は互いに一方を先に決めれば他方が自動的に決まる関係年金資産額と掛金額はトレードオフ ( 一方が大きくなれば他方は小さくなる ) 関係 ( 例 ) 毎年の給付額 100 利率 5% の場合 - 年金資産額 525 を保つために必要な掛金額は? - 掛金額 80 で運営になる年金資産額は? 極限方程式成立時の諸数値 C 75 d 0.05/1. 05 F 525 B (0.05/1.05)* 年金数理第 6 回 28

29 C + df 定常状態までの道のり ( 重要 ) B 今定常人口は達成しているが定常状態に達していない場合を考える ( 例 ) 給付額は毎年 100 発生する発足直後でも給付をフルに支給しかしながら制度発足時点では年金資産額はゼロ ( 標準 ) 掛金 75 利率 5% で制度運営したい定常状態実現のための方法制度発足と同時に年金資産額 525を一時に積み立てる ( 一括拠出 ) 数年かけて年金資産額が525になるように ( 特別 ) 掛金を積み立てる標準掛金 : 定常状態の掛金 (C) 特別掛金 : 定常状態に達するまでの間標準掛金に加えて積み立てる掛金極限方程式成立時の諸数値 ( 再掲 ) C 75 d 0.05/1. 05 F 525 B (0.05/1.05)* 年金数理第 6 回 29

30 定常状態までの道のり ( 重要 ) 特別掛金設定の考え方 a. 一度に積み立てる b. 一定年数で積み立てる ( たとえば年始払い 5 年 ) 設例の場合 a. の方法をとれば発足時に 525 の特別掛金を積み立てれば定常状態達成 b. の方法をとったとき方法はあたかも最初に 525 の借金をしてそれを計画的に返済するのと同じ 525 の借金をしそれを 5 年で返すためにはいくらずつ返せばよいか? 年始払い 5 年確定年金現価 525 となるような年金額と同額の特別掛金 P を求める P + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) P 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i t 0 ここに 1/(1+i),i5% これを解いて P115.5 t 5 1 P 1 年金数理第 6 回 30

31 C + df 定常状態までの道のり B 年始年金資産標準掛金特別掛金給付利息年末年金資産初年度始において収支相等の算式 ( 制度全体で成立しているはずの収支相等!) は成立しているか ( 次式の成立を確かめる ) 標準掛金収入現価 ( 永久 )+ 特別掛金収入現価 (5 年間 ) 給付現価 ( 永久 ) 特別掛金収入現価 (5 年間 ) 給付現価 ( 永久 )- 標準掛金収入現価 ( 永久 ) 特別掛金収入現価 525; これはB / d C / d F( 525) と等しいよって初年度始において収支相等の関係は成立している年金数理第 6 回 31

32 定常状態までの道のり演習 : 標準掛金の収入現価を求めよ給付現価を求めよ年金数理第 6 回 32

33 質問 ( 講義の内容およびアクチュアリーの件でもOK) はつぎのメールアドレスおよび電話へ株式会社 IICパートナーズ渡部善平 z.watanabe@iicp.co.jp 電話 : ( 直通 )

Microsoft PowerPoint - 年金数理第7回.ppt

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