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1 東京工業大学大学院経営工学専攻 2009/5/29 年金数理第 7 回 財政方式 1 講師 : 渡部善平 (Mercer Jn) 2009/5/29 年金数理第 7 回 1

2 第 7 回の目的 極限方程式を理解する 責任準備金を理解する 責任準備金と年金資産の関係を理解する 種々の財政方式を理解する 2009/5/29 年金数理第 7 回 2

3 定常状態と極限方程式 2009/5/29 年金数理第 7 回 3

4 財政計画を立てる とは 給付の発生状況を予測し それをまかなうための掛金 年金資産 利息収入に関する計画を立てること 給付算定式をひとつに決めれば 給付の発生状況の予想は一様に予測可能 これに対し これをまかなう掛金 利息 年金資産の組み合わせは無数に存在する 財政計画のパターンを決めるポイント - どのように掛金を積み立てるか - どれだけ年金資産を積み立てるか - 掛金と利息の大きさの割合をどのように設定するか 2009/5/29 年金数理第 7 回 4

5 定常状態とは 定常人口 - 財政計画を理論的に考える実験室 - 人員数の年齢分布が脱退残存表どおりの状態 定常状態 定常人口の状態にあり かつ掛金 ( 総額 ) 給付 ( 総額 ) が一定水準である状態 この結果 必然的に年金資産額も一定水準となる ( 後述 ) 定常状態では 掛金 給付 年金資産が一定 2009/5/29 年金数理第 7 回 5

6 ( 年金数理の基礎理論で ) なぜ定常状態を考えるか 理論のベースとなるモデルは極力シンプルであるほうがよい 議論をシンプルにするため なるべく変数を少なくする事業規模一定 従業員規模一定 従業員の勤続 年齢構成も一定 毎年の退職給付支払総額も一定 ( 必然 ) また一方毎年の掛金総額も一定 ( となるように財政計画を立てる ) 年金数理の技術上の要請定常状態を前提にすると 財政方式の定式化が非常に簡明になる ( もし諸々のものが一定でなければ どのように一定でないかハ ラメータが無数に必要になる ) 2009/5/29 年金数理第 7 回 6

7 定常状態では極限方程式が成立している (1) ひとりの人間の収支相等でなく 集団 ( 企業 ) 全体の収支であることに留意 定常状態では 給付額一定 掛金額一定このとき 年金資産額が際限なく増加もしくは減少しないためには その水準がある一定 ( 時間経過により変化しない ) の額に達している必要がある ( 証明 ) F n n 給付支払い 掛金額支払いは年始に発生し 利率は一定とする 年度末年金資産 B ( 一定 ) 給付額 i 利率 F ( F + B)(1 1 n i) F F ( F F )(1 + i 0 F ( 一定 ) 掛金額 + F ( F + B)(1 + i n + n + 2 n+ 1 ) > F F F F > n+ 2 n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n n+ 1 n F ( F F )(1 + i) < F F F F < 0 n+ 2 n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n n+ 1 n ( の場合 ) ( の場合 ) ) 2009/5/29 年金数理第 7 回 7

8 定常状態では極限方程式が成立している (2) 年金資産が際限なく増加することも 際限なく減少することも 好ましくない すなわち 一定の年金資産額を保つことが必要になる すなわち定常状態では 給付額一定 掛金額一定のほか - 年金資産額一定の要件が加わる F ( F + B)(1 + i) n + 1 n で F F F n +1 n とすると F ( F + B)(1 + i) ここに d より + df B i df B 1 + i + の関係式を極限方程式という 2009/5/29 年金数理第 7 回 8

9 + df B 極限方程式の意味 B F d 給付額は 人員分布と制度内容が決まれば一意的に決まるが 掛金額と年金資産水準は 互いに一方を先に決めれば 他方が自動的に決まる関係 年金資産額と掛金額はトレードオフ ( 一方が大きくなれば他方は小さくなる ) 関係 ( 例 ) 毎年の給付額 100 利率 5% の場合 - 年金資産額 525 を保つために必要な掛金額は? - 掛金額 80 で運営になる年金資産額は? 極限方程式成立時の諸数値 75 d 0.05/1. 05 F 525 B (0.05/1.05)* /5/29 年金数理第 7 回 9

10 + df 定常状態までの道のり ( 重要 ) B 今 定常人口は達成しているが 定常状態に達していない場合を考える ( 例 ) 給付額は毎年 100 発生する 発足直後でも給付をフルに支給 しかしながら 制度発足時点では年金資産額はゼロ ( 標準 ) 掛金 75 利率 5% で制度運営したい 定常状態実現のための方法 制度発足と同時に年金資産額 525を一時に積み立てる ( 一括拠出 ) 数年かけて年金資産額が525になるように ( 特別 ) 掛金を積み立てる 標準掛金 : 定常状態の掛金 () 特別掛金 : 定常状態に達するまでの間 標準掛金に加えて積み立てる掛金 極限方程式成立時の諸数値 ( 再掲 ) 75 d 0.05/1. 05 F 525 B (0.05/1.05)* /5/29 年金数理第 7 回 10

11 定常状態までの道のり ( 重要 ) 特別掛金設定の考え方. 一度に積み立てる b. 一定年数で積み立てる ( たとえば年始払い 5 年 ) 設例の場合. の方法をとれば 発足時に 525 の特別掛金を積み立てれば定常状態達成 b. の方法をとったとき方法は あたかも最初に 525 の借金をしてそれを計画的に返済するのと同じ 525 の借金をし それを 5 年で返すためにはいくらずつ返せばよいか? 年始払い 5 年確定年金現価 525 となるような年金額と同額の特別掛金 P を求める P + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) P 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i t 0 ここに 1/(1+i),i5% これを解いて P P t /5/29 年金数理第 7 回 11

12 + df 定常状態までの道のり B 年始年金資産標準掛金特別掛金給付利息年末年金資産 初年度始において収支相等の算式 ( 制度全体で成立しているはずの収支相等!) は成立しているか ( 次式の成立を確かめる ) 標準掛金収入現価 ( 永久 )+ 特別掛金収入現価 (5 年間 ) 給付現価 ( 永久 ) 特別掛金収入現価 (5 年間 ) 給付現価 ( 永久 )- 標準掛金収入現価 ( 永久 ) 特別掛金収入現価 525; これはB / d / d F( 525) と等しい よって初年度始において 収支相等の関係は成立している 2009/5/29 年金数理第 7 回 12

13 定常状態までの道のり 演習 : 標準掛金の収入現価を求めよ 給付現価を求めよ 2009/5/29 年金数理第 7 回 13

14 責任準備金 2009/5/29 年金数理第 7 回 14

15 収支相等と責任準備金 < 収支相等の原則 > 給付 運用収益 + 掛金 掛金を積立てて そこから生まれる運用収益と合算した元利合計をもって給付を支払う という意味 : 収支相等の最も単純な形態 < 現価 で考える収支相等 > 現在ある資産で 全て将来の給付をまかなうのであれば次の関係式になる給付現価 年金資産 今ある資産だけでなく 将来の掛金の積立で将来の給付をまかなう場合は次のとおり掛金が適切に設定されていれば給付現価 掛金収入現価 + 年金資産定常状態到達前 給付現価 標準掛金収入現価 + 特別掛金収入現価 + 年金資産定常状態到達後 給付現価 標準掛金収入現価 + 年金資産 が成立している はず 2009/5/29 年金数理第 7 回 15

16 収支相等と責任準備金 前の設例でこれを検証 第 2 年度始 ( 定常状態到達前 ) 総給付現価 100 ( (1 + i) / i 2 + ) 100 (1/(1 )) 100 (1 + i) /(1 + i 1) / ,100 標準掛金収入現価 75 ( ) 75 (1/(1 )) 75 (1 + i) /(1 + i 1) 75 (1 + i) / i / ,575 特別掛金収入現価 ( ) ((1 4 )/(1 )) ( ) 430 年金資産 確かに成立している 2009/5/29 年金数理第 7 回 16

17 収支相等と責任準備金 検証 定常状態到達後 総給付現価 100 ( (1 + i) / i 2 + ) 100 (1/(1 )) 100 (1 + i) /(1 + i 1) / ,100 標準掛金収入現価 75 ( ) 75 (1/(1 )) 75 (1 + i) /(1 + i 1) 75 (1 + i) / i / ,575 年金資産 確かに成立している 2009/5/29 年金数理第 7 回 17

18 責任準備金とは 責任準備金 ( 定義 ): 将来発生すると見込まれる給付を賄うためにその時点で留保しておくべき金額 責任準備金 給付現価 - 掛金収入現価 一方 収支相等の関係 給付現価 掛金収入現価 + 年金資産 が成立しているのだから 理論的には責任準備金 年金資産が成立しているはず 2009/5/29 年金数理第 7 回 18

19 責任準備金と極限方程式 掛金が適切に設定されていれば年金資産額と責任準備金は等しくなる ( 逆にいえば 掛金が適正に設定されている とは年金資産と責任準備金が等しくなるように 掛金が設定されているということ ) 概念からも明らかであるが 定常状態においては これを極限方程式からでも示せる F ( B ) / d ( B ) /(1 ) B /(1 ) /(1 ) 2009/5/29 年金数理第 7 回 19

20 財政方式 2009/5/29 年金数理第 7 回 20

21 財政方式とは 年金制度から支払われる給付金 ( 年金や一時金 ) の財源を確保するための準備計画 具体的にいつ どれだけ積み立てていくか 据置 積立期間 期間 支給期間 入社 ( 加入 ) 脱退 ( 退職 ) 支給開始支給終了 完全積立方式 加入時積立方式 単位積立方式 平準積立方式 退職時年金 現価積増方式 賦課方式 事前積立方式 2009/5/29 年金数理第 7 回 21

22 モデル ( 定常人口 ) X x q x Dx Nx X x q x Dx Nx 30 10, , ,248 5, ,696 26, , , , , ,647 25, , , , , ,598 23, , , , , ,551 21, , , , , ,506 20, , ,520 99, , ,461 18, , ,343 95, , ,418 17, , ,172 90, , ,377 15, , ,009 86, , ,336 14, , ,851 82, , ,297 13, , ,700 78, , ,259 11, , ,555 75, , ,222 10, , ,416 71, , ,186 9, , ,282 68,1 73 4, ,151 8, , ,153 64, , ,117 7, , ,030 61, , ,084 6, , ,911 58, , ,052 4, , ,797 55, , ,021 3, , ,687 52, , , , ,582 50, , , , ,480 47, , , ,383 45, , ,290 42, , ,200 40, , ,114 38, , ,031 36, , ,951 34, , ,875 32, , ,801 30, , ,730 28, /5/29 年金数理第 7 回 22

23 モデル ( 制度内容と財政状態 ) 歳開始 期始払いで年金額 1( 終身年金 ) ( 次回定義するTroubridge mode) 前頁の定常人口 ある財政方式のもと 極限方程式が成立している + df B 制度全体にかかる 1 年間の掛金総額掛金は年始払い d i 1+ i 年金資産額 ( 年始 ただし掛金 給付の発生の直前 ) 制度全体の 1 年間の給付額給付額は年始払い 2009/5/29 年金数理第 7 回 23

24 給付 掛金 資産 B 80 X X 105,909 ( 制度全体の給付額 ) はモデルを設定すれば決まる, F は + df B の関係式を満たす組み合わせとして理論上は無数に解が存在する 2009/5/29 年金数理第 7 回 24

25 賦課方式 (Py -s You Go Method) F 0, B 演習 : ( 制度全体の ) 掛金額はいくらか? 2009/5/29 年金数理第 7 回 25

26 完全積立方式 (omete Funding Method) 0, F B / d 演習 : ( 制度全体の ) 掛金額はいくらか? 2009/5/29 年金数理第 7 回 26

27 加入時一括積立方式 (Initi Funding Method) 給付制度の前提 : 歳から年金額 1 が毎年支給される ( 以下常に同じ制度を想定 ) 制度加入時 (30 歳 ) に 将来必要な給付現価を積立てる In & && 30 ( / 30) これは毎年新規加入者が積み立てる額 In / d 30 && / d 30 & t 0 t これは今後新規加入者が積み立てる額の総収入現価 2009/5/29 年金数理第 7 回 27

28 加入時一括積立方式 (Initi Funding Method) つぎにやりたいことは この財政方式をとったときの年金資産 F の水準の計算 極限方程式 + df B / d + F B / d より給付現価 B / d の分析 分解を行う 2009/5/29 年金数理第 7 回 28

29 B / d ( ( B( ( 初年度始給付 + ( 第 30年目給付 + f )(1 + + ) + ( 給付現価の分解 + ) + 現在 -80歳 現在 30-50歳 2 61 ) + ) + + ) + )( + 第 1年目給付 現在 歳 + ( 第 31年目給付 ) + 現在 29-49歳 ) 31 + : 年金受給者の給付現価 : 現加入者の給付現価 : 将来加入者の給付現価 初年度始において年金受給中の者 (-80 歳 ) 加入者 (30-59 歳 ) も 将来加入してくる者 (0-29 歳およびまだ生まれていない者も!!) 上記算式に網羅されている B && B / d + + f 2009/5/29 年金数理第 7 回 29

30 2009/5/29 年金数理第 7 回 30 給付現価の分解 x x x && && && && ) / ( ) / ( ) / ( x x && && && && d In In In In f / ) /( ) ( t t t t f && & &

31 加入時一括積立方式 f In x / d && 59 x x & x x 今後新規に制度に加入する者 現在加入中の者 現在受給中の者 B / d 2009/5/29 年金数理第 7 回 31

32 F 加入時一括積立方式 加入時一括積立方式による掛金を毎年積立てて 定常状態が成立している場合の 年金資産額はつぎのとおり ( 極限方程式による ) B / d + + In / d + In In + / d In + f / d In / d + (1 ) In / d ( 加入時一括積立方式による財政運営が成立させるために 最初に積み立てる資産額 ) In F + + 加入時一括積立方式の年金資産額 ( 責任準備金 ) は年金受給者給付現価 + 加入者給付現価マイナス初年度新規加入者の給付現価 (1 年分の掛金 ) 年度始の ( 掛金積立直前の ) 年金資産に掛金を積み立てた直後の年金資産は年金受給者および加入者全員の給付現価になっている 2009/5/29 年金数理第 7 回 32

33 加入時一括積立方式 In F + + 年度始の ( 掛金積立直前の ) 年金資産に掛金を積み立てた直後の年金資産は年金受給者および加入者全員の給付現価になっている 加入と同時に自分たちに必要な給付の現価のみ積み立てる これによって 制度全体に積み立てられた年金資産は年金受給者および加入者の給付を将来十分まかなえる状態になる 2009/5/29 年金数理第 7 回 33

34 i d 2.0% X x q x Dx Nx X x q x Dx Nx x x*x 30 10, , ,248 5, ,696 26, , , , , , ,647 25, , , , , , ,598 23, , , , , , ,551 21, , , , , , ,506 20, , , ,520 99, , ,461 18, , , ,343 95, , ,418 17, , , ,172 90, , ,377 15, , , ,009 86, , ,336 14, , , ,851 82, , ,297 13, , , ,700 78, , ,259 11, , , ,555 75, , ,222 10, , , ,416 71, , ,186 9, , , ,282 68,1 73 4, ,151 8, , , ,153 64, , ,117 7, , , ,030 61, , ,084 6, , , ,911 58, , ,052 4, , , ,797 55, , ,021 3, , , ,687 52, , , , , ,582 50, , , , , ,480 47, , , , ,383 45, , ,290 42, , ,200 40,566 B , , ,114 38,366 x x 55 6, ,031 36, , ,951 34,222 5,401, , ,875 32, , ,801 30,396 B / d 59 5, ,730 28,595 In f 59 x x In + + && & / d 1,974,139 2,481, x 48, ,084 In 2,433,118 2,919,5 2,919,5 5,401,340 f 2009/5/29 年金数理第 7 回 34 In / d + x & F B / d / d In x

35 退職時年金現価積立方式 退職時 ( 歳 ) に80 歳までに必要な掛金を積み立てる T & & 退職時年金現価積立方式による掛金を毎年積立てて 定常状態が成立している場合の 年金資産額はつぎのとおり ( 極限方程式による ) F B / d T / d + + f && t 0 t f f && && ( t 1 t + f t 31 t ) && T 80 x 61 x && x 2009/5/29 年金数理第 7 回 35

36 退職時年金現価積立方式 T & & F 80 x 61 F & x T x 年金資産額は昨年以前に年金受給者になった者の給付現価に等しい T F + 年度始の ( 掛金積立直前の ) 年金資産に掛金を積み立てた直後の年金資産は年金受給者給付現価になっている 2009/5/29 年金数理第 7 回 36

37 退職時年金現価積立方式 T F + 年度始の ( 掛金積立直前の ) 年金資産に掛金を積み立てた直後の年金資産は年金受給者給付現価になっている 退職と同時に自分たちに必要な給付の現価のみ積み立てる これによって 制度全体に積み立てられた年金資産は年金受給者の給付を将来十分まかなえる状態になる 2009/5/29 年金数理第 7 回 37

38 i d 2.0% X x q x Dx Nx X x q x Dx Nx x x*x 30 10, , ,248 5, ,696 26, , , , , , ,647 25, , , , , , ,598 23, , , , , , ,551 21, , , , , , ,506 20, , , ,520 99, , ,461 18, , , ,343 95, , ,418 17, , , ,172 90, , ,377 15, , , ,009 86, , ,336 14, , , ,851 82, , ,297 13, , , ,700 78, , ,259 11, , , ,555 75, , ,222 10, , , ,416 71, , ,186 9, , , ,282 68,1 73 4, ,151 8, , , ,153 64, , ,117 7, , , ,030 61, , ,084 6, , , ,911 58, , ,052 4, , , ,797 55, , ,021 3, , , ,687 52, , , , , ,582 50, , , , , ,480 47, , , , ,383 45, , ,290 42, , ,200 40,566 B , , ,114 38,366 x x 55 6, ,031 36, , ,951 34,222 5,401, , ,875 32, , ,801 30,396 B / d 59 5, ,730 28,595 T f 59 x x 30 && In + + & / d T 1,974,139 4,495,402 / d 80 x 88, ,084 2,433,118 T 905,938 5,401,340 f 2009/5/29 年金数理第 7 回 38 x & F B / d / d T x 905,938

39 加入時一括積立方式と 退職時年金現価積立方式比較 項目掛金 年金資産 ( 責任準備金 ) 掛金積立直後の年金資産 (1 年あたり ) 給付額 掛金額 年金資産額 加入時一括積立方式 109, ,084 1,974,139 48,662 2,919,5 退職時年金現価積立方式 30 & T && In 30 T F In + F T + 109, ,084 1,974,139 88, , /5/29 年金数理第 7 回 39

40 質問 ( 講義の内容およびアクチュアリーの件でもOK) はつぎのメールアドレスおよび電話へマーサージャパン株式会社渡部善平 zemei.wtnbe@mercer.com 電話 : ( 直通 ) 2009/5/29 年金数理第 7 回 40

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