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- ゆゆこ がうん
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1 平成 5 年度次世代の科学技術を担う人材育成事業 福岡県 高校生科学技術コンテスト 総合問題 数学 解答解説 受験番号 氏 名 所属校名 福岡県教育委員会 3FG- 数学 -KK_H-4.indd 3/04/08 9:36
2 第 問 ( 総合問題 ) [ 出題のねらい ] 理科は一つなのである! [ 解答 ] 問 D C A 問 問 3 E D B C F A F 問 4 問 5 問 6 問 7 問 8 A C (B D) ( ) 問 9 問 0 6 問 Si 4 O 問 問 3 SiO 問 n mol 問 n mol 問 [ 解説 ] 問 D E C B A B D C A 問 F 問 3 E D B C A G F A A F C C A E D B C F A F (G ) 問 FG- 総合 -KK_ indd 3/05/7 4:37
3 問 5 アメリカワイオミング州で採取された K-T 境界を含む岩石 中央の白い粘土層は下位の白亜紀層 上位の古第三紀層に比べて約千倍のイリジウムを含んでいる (Wikipedia より ) 問 K-T K-P 980 K-T 0% ( ) 問 7 5 A B C D 0 A 3 0 B 3 0 C D B D 0 B D B D B&D B&D B&D C 6.5 A 3 A FG- 総合 -KK_ indd 3 3/05/7 4:37
4 A B&D 3 SiO 3 B D A C Si O 問 8 4 B&D A C (B D) 問 Si 4 O (+4) 4+(-) =-6 6 Si 4 O 問 9 DNA DNA DNA 問 0 Si O 6 Si O= 6= 3 (+4) +(-) 3=- 問 Si O 図の読解能力をみる問題 G 3 問 0 問 問 FG- 総合 -KK_ indd 4 3/05/7 4:37
5 40K 問 3 O 3 Si O SiO 問 4 K K x nmol 0 x= nmol =99.6 ].0 0 nmol 問 5 40 K y nmol ( ) 40 Ar 40 K y y= + Ar Ca 00 =x+ Ar 00 = ].4 0 n mol 問 6 t t N =d n T N 0 t K 40 =d n K t. 5 =d n. 0 t ] =d n = t ] 6.3 別解. 0 ] FG- 総合 -KK_ indd 5 3/05/7 4:37-5 -
6 第 問 ( 専門問題 ) [ 出題のねらい ] [ 解答 ] A^p 0h B^p+ q ph C^q p+ qh D^0 qh O E^p+ q 0h F^p+ q p+ qh G^0 p+ qh OEFG y C(q, p+q) G(0, p+q) F(p+q, p+q) D(0, q) B(p+q, p) O A(p, 0) E(p+q, 0) x OEFG p+q OEFG ^p+ q-h H^p qh y G C F D H(p, q) B O A E x OAHD ^p-h^q-h AD q y =- x+ q p x p q x q x = n n p qx = np qx p p q x p x 0 x p p q x q y =- x+ q p y AD A D ioad ^p-h^q-h ieba ifcb igdc ^p-h^q-h ABCD ^ p+ q-h -4# ^p-h^q-h = p + q + + pq-p-q-^pq-p- q+ h = p + q - OEFG ^ p+ q+ h - 4# ^p+ h^q+ h = p + q FG- 数学 -KK_ indd 6 3/05/8 4:7
7 i b S S = i+ b- S b S = p + q b = 4 i i = S- b+ i = p + q - $ 4 + i = p + q - 第 3 問 ( 専門問題 ) [ 出題のねらい ] n n= [ 解答 ] 問 D^x y zh = x + y + z -xy-yz-zx = " ^x - xy+ y h+ ^y - yz+ z h = " ^x- yh + ^y- zh + ^z-xh, 問 n = 4 + ^z - zx+ x h, 問 3V S V S =D^n-a n -b n h + D^n-b n n -h+ D^n n - n -dh -" D^n-a n -b n -h + D^n-b n - n -dh, = " ^- a+ bh + ^- bh + a, + " ^- bh + + ^b-h, + " + ^- + dh + ^-dh, - " ^- a+ bh + ^- b+ h + ^- + ah, - " ^- b+ h + ^- + dh + ^- d+ bh, = ^a + b h+ ^b + h+ ^ + d h - 7-3FG- 数学 -KK_ indd 7 3/05/8 4:7
8 - ^- + ah - ^- b+ h - ^- d+ bh = a+ b+ bd 問 4 a b d 4 p q r s 0 + p + p+ ^ + qh= + p+ q + p+ q+ ^ + rh= 3+ p+ q+ r 3+ p+ q+ r+ ^ + sh= 4+ p+ q+ r+ s a+ b+ bd = ^a+ b h^+ dh-ad " a b, " d, ^a+ bh^+ dh ad " a b, = " + p + p+ q, " d, = " 3+ p+ q+ r 4+ p+ q+ r+ s, ad a = + p+ q b = + p = 3+ p+ q+ r d = 4+ p+ q+ r+ s a+ b+ bd = ^+ p+ qh^3+ p+ q+ rh + ^+ ph^3+ p+ q+ rh + ^+ ph^4+ p+ q+ r+ sh =^p q r s h+ 3 ^p q r s h p q r s 0 ^p q r s h p=q=r=s=0 0 a+ b+ bd ^a b dh= ^ 3 4h 3 " a b, = " + p 3+ p+ q+ r, " d, = " + p+ q 4+ p+ q+ r+ s, ad a = 3+ p+ q+ r b = + p = + p+ q d = 4+ p+ q+ r+ s a+ b+ bd = ^3+ p+ q+ rh^+ p+ qh+ ^+ ph^+ p+ qh + ^+ ph^4+ p+ q+ r+ sh = ^p q r s h+ ^p q r s h p q r s 0 ^p q r s h p=q=r=s=0 0 a+ b+ bd ^a b dh= ^3 4h " a b, = " + p 4+ p+ q+ r+ s, " d, = " + p+ q 3+ p+ q+ r, ad a = 4+ p+ q+ r+ s b = + p = + p+ q d = 3+ p+ q+ r a+ b+ bd = ^4+ p+ q+ r+ sh^+ p+ qh + ^+ ph^+ p+ qh+ ^+ ph^3+ p+ q+ rh =^p q r s h+ 3 ^p q r s h p q r s 0 ^p q r s h p=q=r=s=0 0 a+ b+ bd ^a b dh= ^4 3h 3 ^a b dh= ^3 4h {a b} { d} ^a b dh= ^4 3h - 8-3FG- 数学 -KK_ indd 8 3/06/03 3:
9 a b d a+ b+ bd " a b d, = " 3 4, a+ bd " 3 4, a+ bd = $ + 3$ 4 = 4 a+ bd = $ 3+ $ 4 = a+ bd = $ 4+ $ 3 = 0 b b " a d, = " 4, " b, = " 3, a+ b+ bd = 7 b b " a d, = " 3 4, " b, = ", a+ b+ bd = 3 b b " a d, = " 3 4, " b, = ", a+ b+ bd = a+ b+ bd 問 5 S n ^a, n -3 n - n n - n -4, a + 0 n- = S n^a 0, n -3 n - n - n - 4, a n-h+ S n+ ^a 0, a i a j n a k a l, a n-h F S n^a 0, a i a j a k a l, an-h+ n=4 0 n=5 n= n= n= n= n= n= S n = S n^a 0 a a a n-h S 5 F S 4+ S 6 F S 5+ S 0 F S 9+ S 0 F S 4 + # 6 = 0+ # 6 = 9 S 0 9 h 第 4 問 ( 専門問題 ) [ 出題のねらい ] ABC a = bos C+ os B b = os A+ aos C = aos B+ b os A a b [ 解答 ] 問 x y z a = bz+ y * b = x+ az = ay+ bx #a a = abz+ ay #b b = bx+ abz a - b = ay-bx # = ay+ bx - a -b - =-bx b 0 b a x = + - b x"y y"z z"x a"b b" "a b a x = + - b x y a b b a a b y = + - a a b z = + - ab - 9-3FG- 数学 -KK_ indd 9 3/06/03 3:
10 - x b a = - d + - n b ^bh - ^b + -a h = ^bh " ^b a b b a b =- + - h +," ^ + - h -, ^bh " ^b a b a =- + h -," ^ - h -, ^bh " ^b a b a b a b a =- + h +," ^ + h -," ^ - h +," ^ - h -, ^bh ^a b a b b a a b = + + h^ + - h^ + - h^ + - h ^bh a+ b+ 0 a+ b- 0 b+ -a 0 + a-b 0 - x 0 x x F 0 x y z x y z b a x = + - b + a - b + = ay a 0 a b y = + - a + a -b a = bz+ $ a a + b - bz = a b 0 a b z = + - ab a 0 b 0 0 a b BC = a CA = b AB = ABC b a os A = + - b os A E 0 A 80 os A x y z 問 x y z x y z a = bz+ y * b = x+ az = ay+ bx a b+ * b + a a+ b a b a b b a = ^x+ az hz+ y ^-z ha = ^y+ zxh z - z 0 y+ zx a = - z a b = x+ ^bz+ yhz ^- z hb = ^x+ yzh z - z 0 b x + = yz z - a 0 b z 0 x+ yz 0 y+ zx FG- 数学 -KK_ indd 0 3/05/8 4:8
11 y+ zx x+ yz = $ y + $ x - z - z x + xyz+ y = -z 0 x + xyz+ y = -z x + y + z + xyz- = 0 y+ zx x+ yz a+ b - = z - z y+ zx+ x+ yz-^-z h a+ b+ = -z ^+ zh^x+ yh-^ + zh^-zh a + b + = ^+ zh^-zh x+ y+ z- a+ b+ = -z a+ b- 0 -z 0 0 x+ y+ z a b a 0 b 0 a + b b a x + yz z y = + - zx z - - x+ yz+ -z -y-zx b + - a = -z x-y-z^x-yh+ ^+ zh^-zh b+ -a = ^+ zh^-zh ^x-yh^- zh+ ^+ zh^-zh b+ -a = ^+ zh^-zh x- y+ z+ b+ -a = + z - y 0 x- y+ z+ -y 0 b+ -a 0 b+ a + a b x+ yz -y- z+ yz x+ yz = ^-yh^-zh 0 y+ zx 0 x y z x + y + z + xyz- = 0 x+ y+ z - - 3FG- 数学 -KK_ indd 3/06/03 3:
12 3FG- 数学 -KK_H-4.indd 4 3/04/08 9:36
76 3 B m n AB P m n AP : PB = m : n A P B P AB m : n m < n n AB Q Q m A B AQ : QB = m : n (m n) m > n m n Q AB m : n A B Q P AB Q AB 3. 3 A(1) B(3) C(
3 3.1 3.1.1 1 1 A P a 1 a P a P P(a) a P(a) a P(a) a a 0 a = a a < 0 a = a a < b a > b A a b a B b B b a b A a 3.1 A() B(5) AB = 5 = 3 A(3) B(1) AB = 3 1 = A(a) B(b) AB AB = b a 3.1 (1) A(6) B(1) () A(
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x, y x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = 15 1 1977 x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = 15 xy (x y) (x + y) xy (x y) (x y) ( x 2 + xy + y 2) = 15 (x y) ( x 2 y + xy 2 x 2 2xy y 2) = 15 (x y) (x + y) (xy
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1 1.0 16 1 ( 1 1 ) 1 466 1.1 1.1.1 4 O E ( ) A a A A(a) O ( ) (1) O O () 467 ( ) A(a) O A 0 a x ( ) A(3), B( ), C 1, D( 5) DB C A x 5 4 3 1 0 1 3 4 5 16 A(1), B( 3) A(a) B(b) d ( ) A(a) B(b) d AB d = d(a,
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4 1.. 3. 4. 1. 1 3 4 5 6 1 3 4 5 6. 1 1 1 A B P (A B) = P (A) + P (B) P (C) = P (A) P (B) 3. 1 1 P (A) = 1 P (A) A A 4. A B P A (B) = n(a B) n(a) = P (A B) P (A) 50 015 016 018 1 4 5 8 8 3 T 1 3 1 T T
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?? A AB A B C AB A B A B A B A A B A 98 A B A B A B A B B A A B AB AB A B A BB A B A B A B A B A B A AB A B B A B AB A A C AB A C A A B A B B A B A B B A B A B B A B A B A B A B A B A B A B
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0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,
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ABCDEF a = AB, b = a b (1) AC (3) CD (2) AD (4) CE AF B C a A D b F E (1) AC = AB + BC = AB + AO = AB + ( AB + AF) = a + ( a + b) = 2 a + b (2) AD = 2 AO = 2( AB + AF) = 2( a + b) (3) CD = AF = b (4) CE
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1 1 1.1 64 A6, 1) B1, 1) 65 C A, 1) B, ) C 66 + 1 = 0 A1, 1) B, 0) P 67 A, ) B1, ) C4, 0) 1) ABC G ) A B C P 64 A 1, 1) B, ) AB AB = 1) + 1) A 1, 1) 1 B, ) 1 65 66 65 C0, k) 66 1 p, p) 1 1 A B AB A 67
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22 9 8 5 22 9 29 0 2 2 5 2.............................. 5 2.2.................................. 6 2.3.............................. 8 3 8 4 9 4............................. 9 4.2 S(, a)..............................
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2012 A, N, Z, Q, R, C 1 2009 9 2 2011 2 3 2012 9 1 2 2 5 3 11 4 16 5 22 6 25 7 29 8 32 1 1 1.1 3 1 1 1 1 1 1? 3 3 3 3 3 3 3 1 1, 1 1 + 1 1 1+1 2 2 1 2+1 3 2 N 1.2 N (i) 2 a b a 1 b a < b a b b a a b (ii)
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1907(40) 100 100 21 1 1 21 21 21 21 21 1891(M24) 1920(T9)1 2 1932(S7) 1947(S22) 1968(S43)12 2001(H13) 1955(S30) 1 24 9 7 22 43 13 2 100 6 200300t 1896M29 3876 1536 1 15 1907(M7) 11 6 1898(M31) 5 6 2 1912(M45)
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B. 41 II: ;; 4 B [] S 1 S S 1 S.1 O S 1 S 1.13 P 3 P 5 7 P.1:.13: 4 4.14 C d A B x l l d C B 1 l.14: AB A 1 B 0 AB 0 O OP = x P l AP BP AB AP BP 1 (.4)(.5) x l x sin = p l + x x l (.4)(.5) m d A x P O
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26 11 5 1 ( 2 2 2 3 5 3.1...................................... 5 3.2....................................... 5 3.3....................................... 6 3.4....................................... 7
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Part2 47 Example 161 93 1 T a a 2 M 1 a 1 T a 2 a Point 1 T L L L T T L L T L L L T T L L T detm a 1 aa 2 a 1 2 + 1 > 0 11 T T x x M λ 12 y y x y λ 2 a + 1λ + a 2 2a + 2 0 13 D D a + 1 2 4a 2 2a + 2 a
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1 2 27 6 1 1 m-mat@mathscihiroshima-uacjp 2 http://wwwmathscihiroshima-uacjp/~m-mat/teach/teachhtml 2 1 3 11 3 111 3 112 4 113 n 4 114 5 115 5 12 7 121 7 122 9 123 11 124 11 125 12 126 2 2 13 127 15 128
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.1 n.1 1 A T ra A A a b c d A 2 a b a b c d c d a 2 + bc ab + bd ac + cd bc + d 2 a 2 + bc ba + d ca + d bc + d 2 A a + d b c T ra A T ra A 2 A 2 A A 2 A 2 A n A A n cos 2π sin 2π n n A k sin 2π cos 2π
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