238 愛 知 工 業 大 学 研 究 報 告 第 40 号 B 平 成 17 年 VoL40 B Mar 2 05 tupie の 推 移 を 行 興 M で 表 す [ 2. 行 と 列 の 番 兮 を と し て T そ れ を tuple の 2 進 数 の 値 に 対 応 させ

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1 愛 鍛 工 業 大 学 研 究 報 告 第 40 号 B 平 成 17 年 237 ス イ ッ チ 項 を 持 つ M 系 列 の 統 計 的 性 質 に つ い て On Staもistical PropertiesforM Sequegcewith a Swiもchirlg Term 小 泡 一 慎 t lll 住 窟 也 Shin ichlkoike Tomiya YAMAZUMI Abs もract Aorder n s M sequence has T 2n 1 ) }s n tuples say M sequencc is n tuplげ s sequence.by ad ( 慧 ng 2nd order tevm on the sequence we take a nonline 謎 seqllence.when the 211d order 宅 ern 主 } s value ls 1the following tuple 誌 ( kiangedso we call 撫 e 襯 m as switchi 丑 9 もerm.Th 圭 s sequence is nonlineax the 装 di 鑷 cult もo e$tima もe itin 亀 his paper we show some statis もic 譲 Cha :acteristics Uni 郵 Or 一 } POker 一 ゾ 繍 SIILもheSe 鳳 もhe Ch 匍 lacteristlc8 arel ゴも significant ZLt5%. 1 は じめ に 先 に 2 次 M 系 列 と して M 系 列 の 式 に 積 の 項 を 追 加 した も の が 葬 線 形 で あ る 故 にBarlekamp の 樵 定 式 で は 生 成 式 が 推 灘 さ れ な い こ とを 示 し た 叫 ま た 2 次 の 項 の 働 きを よ く 見 る と 7 系 列 を ri tupleの 列 に 置 き 換 え て 見 た 場 合 系 列 を ス キ ッ プす る こ とに 注 爼 し て こ の 2 次 の 項 の 働 きをス イ ッ チ と 見 な し ス イ ッ チ 付 きM 系 列 と し て 報 告 し た こ こ で は き M 系 列 の 統 壽 的 性 質 を 調 べ て 報 告 す る. 2 ス イ ッ チ 項 付 きM 系 列 3 項 Pt M 系 列 は で 与 え ら れ る こ こ に IXi こ の ス イ ッ チ 付 Xn = Xg 十 Xe ( 1 > は GF ( 2 ) の 要 素 で あ り 0 ま た は 1 の 値 を と る 舶 算 は mod2 で 行 わ れ る. M 系 列 は よ く 知 られ て い る ように 周 期 は T =2n 1 で あ り 幽 簸 _ 妬 癩 の 系 列 の 中 で す べ て が 0 の n tuple を 除 い た す べ て の n tuple が 出 現 す る. こ の 系 列 に 2 次 の 積 の 項 を 追 加 し た す る.す な わ ち す る と 積 oじ 鞠 Xn 置 鞠 十 Xo 十 XiXj i ゴ 9ゆ ゴ η 一 1 ゴ ゴ 1 ) が 1 の 値 を 取 る 場 合 に 本 来 の 系 列 の ( 2 ) 式 の 誉 辺 に 1 が 加 わ る こ と に な る の で 次 の 値 の 0 1 愛 知 工 業 大 学 経 営 欝 報 科 学 部 ( 豊 隰 市 ) 名 古 膿 文 理 大 学 情 報 文 化 学 部 ( 稲 沢 市 ) が 反 対 に な る ユ1 tuple で 鬣 え ば Sljの n tuple と な る. 系 列 を n tuple を 並 べ た もの で 考 え る と 系 列 の 流 れ が 不 連 続 に 分 岐 す る こ と に な る こ の 分 岐 を ス イ ッ チ ( switch ) と 見 な し ス イ ッ チ 項 付 き M 系 列 と 呼 ぶ. 以 降 単 に ス イ ッ チ 曾 き M 系 列 と 睡 ぶ. 3 tuple の 系 列 と して 見 た 場 合 の 系 列 と 推 移 行 列 M 系 列 を n tuple( 以 下 n tuple を 単 t:tuple と 呼 ぶ の 系 列 で 考 え て み る. 例 えば n = 4 の M 系 列 x4 = x3 十 Xo は 系 列 OOO を 生 成 す る.tuple で 表 す とOOOI / _ と な る.こ こ で tuple の 数 字 の 並 び を 2 進 数 と して 読 む と と な る.tuple の 誰 移 は とな る. な お tuple 0000 は 2 進 数 で は 0 で tuple の 推 移 は 0 0 で あ る. 式 (1) で 表 され る M 系 歹 蕁 に お い く n 1 欄 の て 先 頭 bitが 1 続 bitが 0 か らなる tup }e 例 え ば n =4 の 場 合 は OOO1 か ら 出 発 し て tuple の 列 に 順 に 01 2_ と 番 号 を 振 る. 系 興 の 初 期 値 を 表 す の に こ の 加 p 圭 e 列 の 番 号 を 用 い る. 例 えば 3 番 目 の tuple が 1111 で あ れ ば 初 期 値 と して li11 を 用 い 6 ) と 誉 う 代 わ り に 3 番 目 の tuple を 初 期 値 とす る と 欝 う.

2 238 愛 知 工 業 大 学 研 究 報 告 第 40 号 B 平 成 17 年 VoL40 B Mar 2 05 tupie の 推 移 を 行 興 M で 表 す [ 2. 行 と 列 の 番 兮 を と し て T そ れ を tuple の 2 進 数 の 値 に 対 応 させ る.tuple i か ら tuple ゴ へ の 撫 移 を 行 列 の ee 素 mi ゴ =1 とす る. 推 移 の な い 要 素 の 場 合 に は rno = 0 とす る. 上 の 例 を 行 列 で 表 せ ば 以 下 の ように な る. M1 =: eOOGOOoO OOOO GOOOO OOOOOOO ( ooeooo100d OOOOOOOOOOGOO GO OOOOOO eG OOO } }01GO OOOGOOOO M2 =: G } 00 10eoOOOOOOOOG OOOO10000 OOOOoO GOOOOOOO }( G } 0 ( 100eoOOOOOOOOO OOOOOlOOOOOOOOOG GooeoOlOOOOOOOOO OOOOOOOO }loooooo GOOOOOOOOOlOOOGO OOOOOOOOOOOO fiOOO1 こ の 行 列 M の 行 6 と 12 列 6 と 12 行 5 と 14 列 5 と 14 を 入 れ 替 え る と 以 下 の 行 列 輪 を 得 る. わ ち こ の 行 列 を 15 圓 掛 け る と 単 伎 行 列 Z に な る.す な 形 式 的 に と 書 け る. 系 列 が LFSR tllp}e M15 = M = / 15 で 生 成 される 場 合 推 移 可 能 な 撫 ple は の 値 2 ( rnod 2n > に 0 また は 1 を 掬 えた tui)le で あ る した が っ は 制 限 が あ る. て 行 列 の ee 素 Xij =1 とな る 位 遣 に 次 に ス イ ッ チ 付 き M 系 列 の 例 と し て 上 の 系 列 に.Xlx2 を 茄 え た も の を 調 べ る. x4 = x3 十 Xo + X IX2 M3 = 1000 OOGOOOOOiOOO OOOlOOOGOOOOOOOO }Oee100G し) (} eOOG OOOOOOOO GOOOOOOO GOOOOO 00100GOGO O eOGOOOOOioOO OOlOOOOOOOOOGiOOO OOOOOOOOOOOOOOlO OOOOOOOO } GOOOOOOOOOO GO GOOlO こ の 系 列 は 長 さ 9 の ftさ 5 の OIOII N さ 1 の 1 の 3 個 の 異 な る 周 期 を 持 つ 系 列 を 生 成 す る. こ れ を 行 列 で 0000 の tuple を 加 え て 行 列 で 表 す と 以 下 の ように な る. こ れ を よ く 見 る と 対 角 要 素 が 1 で あ る もの を 別 にす れ ば 非 0 の 要 素 を 持 つ 以 下 の 2 個 の 部 分 行 列 が 見 ら れ る.

3 ス イ ッ チ 項 を 持 つ M 系 列 の 統 計 的 性 質 に つ い て 239 Pl = 馬 = } } GO ヱ oeoo GelG 1 {} 部 分 列 に 分 解 され る 系 列 は 椎 移 行 列 で 表 せ ば 上 の うに 分 解 され る こ とが わか る. よ 4.1 系 列 の 生 成 方 法 調 査 した の は n 10 お よび n 11 = = = : の 2 種 類 の ス イ ッ チ 付 M 系 列 で あ る.す な わ ち 鰹 0 = X2 十 Z 0 十 XiX Xll = T3 十 = 0 十 MiX ゴ ゴ (3 ) 具 体 的 な 系 窮 の 生 成 方 式 を n = ll の 場 合 に つ い て 以 下 に 述 べ る.η 10 = の 場 会 も 同 様 で あ る. まず 式 (4 ) に お い て 初 catuple を ラ ン ダ ム に 与 え る. ス イ ッ チ 項 飭 賜 は 初 め に i = 1 ゴ = 2 とし 1 周 期 生 成 され た 時 点 す な わ ち 属 じ tuple が 出 現 し た と こ ろ で ゴを 1 ず つ 2 10 (ゴ g = 3 ) の 範 囲 で 書 き 換 えな が ら 系 列 を 発 生 す る. こ こ で ユ つ の ス イ ッ チ に 対 し 隅 じ tuple が 系 列 の P1 を 9 回 掛 け る と 単 位 彳 テ 列 gl : P2 を 5 回 撥 け る と 単 位 行 列 5 を 得 る.したが っ て 形 式 的 に と な る. Pt 59 乃 4 ポ 5 推 移 行 列 か ら rni ゴ の 値 を 書 き 換 え て Rfn = と な る よ うな 行 列 に 作 りか えれ ば そ の tuple の 系 列 は 行 列 の 大 きさの 周 期 を 持 つ.しか しそ れ は LFSR で 実 現 で き る と は 隈 ら な い.ま た ス イ ッ チ 項 鞠 鞠 が 異 な れ ば 携 移 行 列 は 洌 の 値 を 取 る. 4 統 言 十 白 勺 検 定 ス イ ッ チ 項 を 彎 加 したM 系 列 の 周 期 は 最 大 周 期 2n 1 よ り 小 さ い.したが っ て 2 次 の 牲 質 を 持 ち 生 成 式 を 誰 測 され に くい と 醤 う 利 点 は あ るが 周 期 が 短 い 部 分 列 が 含 ま れ る こ とが 欠 点 で あ る そ こ で 生 成 され た 系 歹 導 が 一 圓 りした ら ス イ ッ チ 項 自 体 を 切 り 替 える 方 法 を 考 えた [31.そ の 周 期 に つ い て は お お むね 10 倍 程 度 に な る こ とが 実 験 的 に 確 か め ら れ た ( 本 論 文 で 用 い た データで は 後 の 表 に 示 され る よ う に お お むね 倍 で あ る ) 0 と 1 の 出 現 頻 度 に つ い て もほぼ 半 々 で 満 足 す べ きもの で あ っ た しか し そ の 他 の 統 計 的 性 質 に つ い て は 調 べ られ て い な か っ た の で 次 節 に 示 す よ うな 方 法 で 発 生 さ せ た 系 列 に つ い て ポ ーカー 検 定 連 の 検 定 に よ る 調 査 を 行 っ た. 以 下 に そ の 結 果 を 述 べ る. 中 で 初 期 値 と 1 周 期 発 生 時 点 の 2 疫 出 覲 す る.そ こ で ス イ ッ チ 項 賜 賜 を 書 き 換 え る と きに 最 後 の tuple は 捨 て そ の 直 前 の 発 生 す る tuple を 初 期 値 と し て 改 め て 系 列 を ゴ = 1 ま で 生 成 し た と こ ろ で i =:2 ゴ = 3 と し 同 様 に 3 ゴ 1G (ゴ 3 ) の 範 囲 で 書 き 換 え る. 以 LF i 篇 9 ゴ = 10 ま で ス イ ッ チ 項 の す べ て の 組 み 合 わ せ に つ 期 とす る. い て 連 続 的 に 生 成 し ス イ ッ チ 付 M 系 列 の 1 周 4.2 検 定 に つ い て ス イ ッ チ 付 M 系 列 の 統 謙 的 性 質 を 謂 べ る た め 3 種 類 の 検 定 (ユ 次 元 度 数 検 定 ポ ーカ ー 検 定 連 の 検 建 ) を 行 う. 各 検 窺 に お い て 初 期 値 の 異 な る 系 列 100 通 り を 発 盗 し それぞ れ x2 値 の 適 合 度 検 定 侑 意 水 準 5%) を 行 う. 1 次 光 度 数 検 定 1 周 期 全 体 に つ い て 0 1 の 謁 現 頻 度 を 数 え 上 げ X2 値 を 求 め て 適 合 度 検 定 を 行 う. x2 値 は 以 下 の 式 で 計 算 す る. 逆 響 2 ( (5 ) i= 1 こ こ で ク ラ ス 数 k = 2 自 由 度 は k 1m1 で 5% 有 意 水 準 α o.05 = 3.84 n は サ ン プ ル 数 (1

4 240 愛 知 工 業 大 学 醗 究 報 轡 第 40 号 B 平 成 17 年 Vo 正.4 LB Mar2005 表 一 1: 次 元 度 数 検 定 ( α e.os = 常 ) η g = 2 NG 開 始 搬 ple 周 期 実 測 値 の X2 値 Ol o.ol 遵 o }.Ol o o o.77 圭 o15 招 菫 三 玉 o 表 2 : ポ ーカ ー 検 定 ( CYo.Oor = 5.99 ) n =ll q = 2 No 開 始 tuple 周 期 実 灘 値 の X 硅 G o 三 婆 O お1 婆 三 α09 17 鷲 藁 229 王 O.88 三 o 艇 荏 半 7.04 周 期 )p 簿 =01 ) は 0.5ni は O1 の 幽 塊 頻 度 で あ る. ポ ーカ ー 検 定 系 列 の 連 続 す る 5 個 を 1 つ の 組 み と し ポーカ ーの 手 役 の 出 環 獲 度 を 数 えx2 値 を 求 め て 適 合 度 検 定 を 行 う.5 纒 の 値 は す べ て 0 か 1 な の で 手 役 は 5 eards ( aaaaa ) 4 cards ( aaaab > ful1 house ( aaabb ) の 3 種 類 と な り ク ラ ス 数 k = 3 で あ る. 各 手 役 の 出 親 率 Pi(i ; 123 ) は 順 に Pi = 6.25% p2 = 31.25% p3 詆 62.5% 自 由 度 は k 1 = 2 で 5% 有 意 水 準 α o.05 =599 で あ る. X2 値 は 式 に お い て 5bitl 組 な の で サ ン プ ル 数 n は ユ 周 期 の 1 /5 ni は 各 手 役 の 出 現 度 数 と な る. 連 の 検 定 ス イ ッ チ 韓 M 系 列 の 値 16 側 を 叢 べ て i つ の 鰲 数 を 生 成 す る.た だ し 整 数 の 隣 り 合 う bit は 位 栢 差 を そ れ ぞ れ 16bit と な る よ うに す る.こ の よ うに し て 作 ら れ た 整 数 の 上 昇 連 ( 遣 前 の 値 よ り 大 き い 艫 とな る ) の 長 さ を 調 べ る. 連 の 長 さ は 12β お よ び 4 以 上 の 4 種 類 と し 出 現 頻 度 を 数 えx2 値 を 求 め て 適 合 度 検 定 を 行 う. 長 さ i の 連 の 出 現 率 Pi( i = } 4 } は. 長 さ 1 の 達 力 ら!i 匱 iこ4pl = 33.4% P2 = 41.7% P3 = 18.3% 自 劇 斐 は 鈎 置 6.6%で あ る.ク ラ ス 数 h = 4 で fu 1 = 3 5% 有 意 水 準 α == o で あ る. X2 値 は 式 (5 ) に お い て 16bit1 組 な の で サ ン プ ル 数 n は 1 周 期 の 1 / 16 ni は 長 さ iの 遵 の 漁 環 度 数 と な る. 4.3 検 定 の 結 果 は じめ に 周 期 に つ い て 検 討 す る. 表 1 よ りn =11 の 場 合 周 期 の 最 小 =34182 鬨 期 の 最 大 =39564 で あ り

5 ス イ ッ チ 項 を 持 つ M 系 列 の 統 計 的 牲 質 に つ い て 241 表 3; 連 の 検 定 ( α o.05 =7.81 > n = 11g == 2 No 醐 始 もuple 周 期 実 灘 窿 の X2 値 α o o o 嬲 o.go G 表 4 : 一 次 元 度 数 検 定 ( α o.05 = 3.84 ) n =10 q = 3 No. 開 始 tuple 周 期 実 測 値 の X2 値 G 廴 ア o. 岨 雑 王 毳 o o δ o.54 巴 元 の M 系 列 の 周 期 2048 の 倍 で あ る. 他 方 表 4 よ りn nt 10 の 場 合 周 期 の 最 小 = 周 期 の 最 大 =15962で あ り も と の M 系 列 の 周 期 1024 の 倍 で あ る.n = 11 の 方 が 倍 率 が 大 きい の は ス イ ッ チ 項 が π IO の 場 合 よ り 多 い こ と に 寄 る 妥 当 な 結 果 で あ る. 1 次 元 度 数 検 定 の 結 果 ( 始 め の 25 個 を 表 1 と 表 4 に 示 す.こ こ で 開 始 tuple と は 式 (3 ) の 初 期 値 で あ り 3 簽 で 定 義 した tuple 列 の 番 号 で あ る. n =11n =10 い ずれ の 場 合 も X2 値 は 5% 有 意 水 準 α.05 =3.84 以 内 に 収 ま っ て い る の で O1 の 出 現 頻 度 に つ い て 偏 りは 見 られ な い. 次 に ポーカー 検 定 の 結 果 を 表 2 と 表 5 に 示 す.100 個 の X2 値 の うち 5% 有 意 水 準 α o.q5 = 5.99 を 越 えた も の は n =11 の 場 合 7 繼 (7%)n = 10 の 場 合 2 燗 ( 2 %) で 5bitご との 組 み 含 わ せ の 検 定 に つ い て も 蒋 に 有 意 差 は 見 ら れ な い. 連 の 検 定 の 結 果 を. 表 3 と 表 6 に 示 す n 11 の 場 合 100 個 の X2 値 の うち 5% 有 意 水 準 α o.05 需 7.81 を 越 え た も の は な く 時 系 列 の 出 現 パ タ ーン に つ い て も 有 意 差 は 見 ら れ な い. 対 し て n = 10 の 場 合 5% 有 意 水 準 を 越 え た もの が 18 懼 (18%) 検 出 さ れ た. 命 後 の 検 討 課 題 で あ る. 5 ま と め ス イ ッ チ 付 M 系 列 を 系 歹 彗 が 一 懸 り し た ら ス イ ッ チ 項 を 次 々 と 書 き 換 え る こ と に よ り 得 ら れ る 長 属 期 の 系 列 に つ い て 性 質 を 調 べ た. そ の 結 果 1 次 元 痩 数 検 定 ポーカ ー 検 定 に つ い て は 有 意 差 は 見 られ なか っ た. 連 の 検 定 に つ い て は n 1 の 場 合 に つ い て 有 意 差 が 認 め られ た の で 検 討 課 題 で あ る.

6 242 愛 知 工 業 大 学 研 究 報 告 第 崕 0 暑 B 平 成 17 年 Vol.40 B Mar 表 5: ポーカ ー 検 楚 ( α o.05 =:: 5.99 > n = = 10 g = 3 No. 颶 蜘 UPle 周 期 実 測 値 の x2 値 婆 o 盈 廴 焉 支 烹 騒 / U 三 U 表 6: 連 の 検 定 ( α o.05 = 7.81 ) n =10q = 3 No. 開 始 tuple 周 期 実 測 値 の x 1 工 至 * 護 [ * o 王 3745 ユ γ 圭 * ξ } また 今 後 は 系 列 を 発 生 す る ス イ ッ チ 項 の 書 き 換 え 方 法 に つ い て も 検 討 す る. 参 考 文 献. 一 田 小 池 慎 山 往 富 也 2 次 M 系 列 の 線 形 複 雑 度 に つ い て 愛 知 工 業 大 学 研 究 報 嵜 No.39 pp (2004 ) [ 21D.Ferreo R.Gonzalo M.Soriano Some Proper ties ofnon LinearFeedback ShiftRegisterswith Max 重 uxll Period SixthInternntiorxal Conf r elace ott Telecommuni tiollssysもe s.nashville ( 1998 ) [3 ] II.1 住 富 也 小 池 慎 一 ス イ ッ チ 滑 M 系 列 に つ い て 電 子 髑 係 学 会 東 海 支 部 o 351(2004 > ( 受 理 平 成 :[7 年 3 月 17E )

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