1 1.1 ( ) ö t 1 (1 +ö) Ä1 2 (1 +ö=2) Ä2 ö=2 n (1 +ö=n) Än n t (1 +ö=n) Änt t nt n t lim (1 n!1 +ö=n)änt = n!1 lim 2 4 1 + 1 n=ö! n=ö 3 5 Äöt = î lim s!1 í 1 + 1 ì s ï Äöt =e Äöt s e eëlim s!1 (1 + 1=s) s 1 ö t V t V t e Äöt n N t N t t N t n N N =N t e Änt N t =e nt N (1) (dn t =dt)=n t (1) dn t =dt =ne nt N (dn t =dt)=n t = nent N e nt N =n (1) (dn t =dt)=n t = n 1.2 ( ) r t e Ärt ( ) t 1
ú r(ú) t n [;t] [;t=n]; (t=n; 2t=n]; (2t=n; 3t=n];:::; ((nä 1)t=n;t] n t 1 (nä1)t=n e Är(t)=n (nä 2)t=n e Är(t)=n e Är((nÄ1)t=n)=n t e Är(t)=n e Är((nÄ1)t=n)=n :::e Är(t=n)=n =e ÄP n i=1 r(it=n) 1 n [;t] ( n ) t lim eäp n P R i=1 r(it=n) 1 n n =e Ä lim n!1 i=1 r(it=n) 1 t n =e Ä r(ú)dú n!1 lim n!1 P ni=1 r(it=n)=n = R t r(ú)dú 1 2 t V t V t e ÄR(t) R(t)ë R t r(ú)dú i=1 r(it=n) 1 r(ú) [;t] n 1 P n 2
2 2.1 U = u(c t )e Äöt dt (2) c t t u(å) ö u(å) 1 u (Å)>; u (Å)<; u () =1; u (1) = : 2 y t =f(k t ) y t t k t 2 f (Å)>; f (Å)<; f () =1; f (1) = : ( ) t k t N t K t = k t N t _ K t 3 I t I t = _ K t = _ k t N t +k t _K t i t =I t =N t N t i t = _ k t +k t _N t N t = _ k t +nk t _ k t t (k t _ k t =dk t =dt) 2 3 X t dx t =dt _ X t 3
2.2 : ( ) c t + _ k t +nk t =f(k t ) (3) (3) k (2) c t c t k t t k t _k t =f(k t )Äc t Änk t k t (current value Hamiltonian) c t k t H t H t ëu(c t ) +ï t [f(k t )Äc t Änk t ] (4) ( ) _ k t ï t c t k t 4 @H t = @c t (5) @H t = @k t öï t Ä ï _ t (6) @H t = @ï t k _ t (7) lim tk t e Äöt = t!1 (8) (5) (8) (5) u (c t ) =ï t (5 ) (5) (7) H t ï t f(k t )Äc t Änk t (5') ( ) 4
( ) ( ) t (6) _ï t ï t +f (k t ) =ö+n (6 ) t t t (6') t (7) (8) ï t k t e Äöt t t t t t (8) (5) (6) ï t (7) (5') (5") (5') (6') ï t _c t = " u (c t )_c t = _ ï t (5 ) Ä u (c t ) u (c t ) # (f (k t )ÄöÄn) (9) 1 Äu (c t )=u (c t ) 4 (9) _c t > _c t = _c t <, f (k t )>ö+n, f (k t ) =ö+n, f (k t )<ö+n 4 Äu (c t )=u (c t ) u(å) 5
_c t c t Äk t k É f (k É ) =ö+n k É k É 1 (7) _k t > _k t = _k t <, f(k t )>c t, f(k t ) =c t, f(k t )<c t c t Äk t c t =f(k t ) 2 (5) (6) (7) E AB E AB 3 ( - ) k ( k É ) c (3)( (7)) (8) k OE - E( _ k t = _c t = ) f (k t ) =ö+n é 6
c t 6 f (k t ) =ö+n _c t > 6? _c t < - k t 1. c t c t 6 _k t < õ _k t > - f(k t ) =c t +nk t r - k t 2. k t 7
- 6 c t k t r f (k t ) =ö+n u E f(k t ) =c t +nk t 3. â â â â é é é é é é ó ó ó ó s s k O A B M W I W 8
2.3 (2) ( ) a t s t t a t t t r t t w t r t a t c t _a t +na t ( t ) _a t =da t =dt na t t ( n ) _a t c t + _a t +na t =w t +r t a t c t + _a t =w t + (r t Än)a t (1) t w t ( ) (r t Än)a t r t Än r t Än (1) (c t + _a t )e ÄR t r úändú = [w t + (r t Än)a t ]e ÄR t r úändú ( ) ( ) (c t + _a t )e ÄR t Är úändú dt = [w t + (r t Än)a t ]e ÄR t r úändú dt c t e ÄR t r úändú dt = w t e ÄR t r úändú dt + 9 [(r t Än)a t Ä _a t ]e ÄR t r úändú dt
d(äa t e ÄR t rúändú )=dt = [(r t Än)a t Ä_a t ]e ÄR t r úändú c t e ÄR t r úändú dt = = w t e ÄR t r úändú dt + îäa t e ÄR ï t 1 r úändú w t e ÄR t rúändú dtä lima t e ÄR t rúändú +a t!1 lim t!1 a t e ÄR t rúändú lim t!1 a t e ÄR t rúändú î no-ponzi ( ) lim a te ÄR t rúändú = (11) t!1 c t e ÄR t r úändú dt = w t e ÄR t r úändú dt +a (12) ( ) ( ) (12) (2) L = î u(c t )e Äöt dt +ï w t e ÄR Z t 1 rúändú dt +a Ä c t e ÄR ï t rúändú dt w t e ÄR t r úändú dt +a Ä u (c t )e Äöt Äïe ÄR t rúändú = (13) c t e ÄR t r úändú dt = (14) (13) (13) ï " u # (c t ) _c t =Ä (r u t ÄöÄn) (15) (c t ) (14) (15) 1
R t [f(k t )Är t k t Äw t ]e rúändú dt f(k t )Är t k t Äw t ( r t t ) 5 f (k t ) = r t (16) f(k t )Äf (k t )k t = w t (17) r t w t _ k t +nk t =i t t c t +i t = f(k t ) _k t = f(k t )Äc t Änk t (18) 6 (18) a t =k t c (15) (16) (17) (18) c t k t r t w t ( k k =a ) (16) (15) (9) (18) (7) 5 (16) (17) k t (16) (17) k t w t =r t 6 c t +i t =f(k t ) i t =f(k t )Äc t f(k t ) =f(k t )Äf (k t )k t =w t +r t k t i t =w t Är t k t Äc t = _a t +na t 11
no-ponzi (11) R lim k t te rúändú = t!1 R t (13) e rúändú lim t!1 u (c t )k t e Äöt = (8) 7 3 (11) 1 ( ) 2 2.4 : ( ) (R. Bellman) (Dynamic Programming) v(å) k t v(k t ) ë max u(c ú )e Äöú dú fc ú g 1 t t s.t. kú _ =f(k ú )Äc ú Änk ú for all ú and given k t 7 (8) ï t (5 ) u (c t ) 12
fc É úg 1 t (3) k É ú t [t;t + Åt] [t + Åt;1] v(k t ) öv(k t ) ô u(c É t )Åt +e ÄöÅt v(k t + Åt) ô u(c É t )Åt + (1ÄöÅt)[v(k t ) +v (k t )Åk t ] ô u(c É t ) +v (k t ) Åk t Åt ô u(c É t ) +v (k t ) _ k É t ô u(c É t ) +v (k t )[f(k t )Äc É tänk t ] e ÄöÅt e ÄöÅt = 1ÄöÅt +O(Åt) O(Åt) t k t t c É t öv(k t ) =u(c É t ) +v (k t )[f(k t )Äc É tänk t ] (19) v (k t ) ï t ö ö c É t c É t =u (c É t )Äv (k t ) (2) v (k t ) ï t (2) (5) (19) 8 k t öv (k t ) =v (k t )[f(k t )Äc É t ] +v (k t )(f (k t )Än) (21) v (k t )[f(k t )Äc É t ] =v (k t ) _ k t _ ï t (21) (6) 8 v(k) Benveniste and Scheinkman(1979), "On the Diãerentiablity of the Value Function in Dynamic Models of Economics", Econometrica, vol 47, no. 3, pp. 727-732. 13