ST 第 2 次レベル補講資料第 7 巻 第 7 巻デリバティブと投資戦略 理解のポイント 現物とデリバティプ もしくはデリバティブとデリバティブの組み合わせにより 望ましいのパターンを作り出すことて リスクをコントロー ) レする デリバティブが生み出すのパターンの把握 組み合わせて 生まれるのパターンの把握 複製ポートフォリオによる 必要なデリバティブの構築 = これらが 具体的な投資戦略て どのように行われ どのように利用されているか? 2 先物を利用したヘッジ取引時点 0: 現在 時点 T: 満期 H S 戸満期日 ( 時点 T) の原資産の価格 ( 配当なし ) Fo,r: 現在 ( 時点 0) の先物価格 (T= 1 を想定する場合の ) 先物 ( 先渡し ) の満期日 ( 時点 1) の (a) 先物の売りポジション (b) 先物の買いポジション S T - F,,T ST F,T - ST 原資産 1 単位保有に対して先物 1 単位の売りヘッジを行う 時点 1の = Sr+ (Fo, r-sr) = Fo, T: 時点 1のが時点 0に確定 ここて 先物の理論価格 : Fo, r = Sre rt ( 連続複利の無リスク利子率 rは一定と仮定 ) 例えば 株式ポートフォリオを株価指数先物て ヘッジ ( 保有株式ポートフォリオキ株価指 数 ) 先物による最適ヘッジ比率? 例題 I 現在時価 10 併意円の株式ポートフォリオを運用しているが 当面の市場動向は不透明て " ぁ - 1 -
る そこて 材 6:\:! ょ売却せずに 株価指数先物の売りポジションによるヘッジを行うことに した ポートフォリオの収益率の株価指数先物の収益率に対するf3 値は0.95 現在の株価指数先物価格は13,026 円 ヘッジ期間は現在から先物の満期日まての3ヵ月とするとき ヘッジ後のの分散を最小とする最適ヘッジを達成する先物売買枚数を求めよう ただし 先物の売買単位 (1 枚 ) は先物価格 X1,000 円て ある 解答 I ポートフォリオの収益率の株価指数の収益率に対する f3 値 =0.95 最適ヘッジ : ポートフォリオの価値変動を 先物売りポジションの価値変動が最も良く相殺するヘッ ジ 最適ヘッジ先物売却枚数 N =f3x( 株式ポートフォリオのも 価値 )/( 先物価格 X1,000) = 0. 95 X 10, 000, 000, 000/ (13, 026 X 1, 000) =a: 729 よって 最適ヘッジは株価指数先物 729 枚の売り 3 オプションを利用した投資戦略 (I) 相場の変化の方向だけでなく ボラティリティの変化の方向も利用した投資 (a) 相場上昇を予想する場合の戦略 : ロング コール バーティカル ブル スプレッド ショート プット S T ( オプション購入費用を満期 BT に換算 ) ロング コールの (b) 相場下落を予想する場合の戦略 : ロング プット バーティカ ) レ ベア スプレッド ショート コール ロング プットの S T - 2 -
(c) ボラティリティ上昇を予想する場合の戦略 : ロング ストラドル ロング ストラングル ショート バタフライ ショート コンドル ロング ストラドルの s T (d) ボラティリティ下蒋筏? 予想する場合の戦略 : ショート ストラドル ショート ストラングル ロング バタフライ ロング コンドル ショート ストラングルの S r 例題 2 : 株価指数の値は現在 13,000 円て ある この株価指数の変動に関する相場観をもとにオプション取引による投機を行う ここて 以下のような相場観を持ったなら どのような取引を行うべきか 取引戦略を述べ オプションの満期におけるを図示しよう (i) 満期まてに指数は大きく上昇するか下落すると考えられるが どちらに振れるか確恰はない (ii) 満期まて 指数の値はあまり変化せず 12,000 円から14,000 円の間にとどまる可能性が高し 解答 2 : (i) 例えば K=13,000 とするロング ストラグルを実行する ((C) 図参照 ) (ii) 例えば k 戸 12,000 民 =14,000 とするショート ストラングルと実行する ((d) 図参 照 ) (2) プット コール パリティ ( 合成先物と先物の裁定取引 ) 例題 3 鴫 株価指数は 13,000 円 満期まて 3 ヵ月の株価指数先物価格は 13,026 円てある また 満期まて,,3 ヵ月 行使価格 13,000 円の株価指数 ( ヨーロピアン ) コール オプションの価格 が580 円 同条件の ( ヨーロピアン ) プット オプションの価格が 570 円てある 3ヵ月後まての金利はすべて 0.8%( 年利 ) て 一定 配当や取引コストは無視て きるものとする このと裁定のためにはどのような取き 株価指数先物とオプションの間て裁定取引が可能てある - 3 -
引を行い どれだけの利益を得るか考えよう ただし オプションの取引単位 ( 1 枚 ) はオプション価格 X 1,000 先物の売買単位 (1 枚 ) は先物価格 X 1,000て あるとする 解答 3 - K 左記の満期日 T のを与えるポジション : (a) 行使価格 Kのコール買い + 行使価格 Kのプット売り (b) 原資産買い+ 金額 kを返済する借入れ (c) 先物買いポジション+ 金額 (K- 先物価格 ) を返済する借入れ フ ット コー ) レ パリティ :Co-Po = So- K Fo,T-K = 1. 002 1. 002 ( ただし 1.002 = 1 + (1/ 4) X (0. 008) かつ先物理論値 Fo,r = S X 1. 002) 現在 コー ) レ 1 枚買い プット 1 枚売り 先物 1 枚売り建て (13,026-13, 000) X 1, 000/ 1.002 円借入 = 現在の損益 : [ 一 580+ 570-0 + (13, 026-13, 000) /1. 002] X 1, 000::::,: 15,948 円 3ヵ月後 ( 満期日 ) の損益 : 0 円 ( 現在から満期日まての損益も0) よって これは裁定取引てあり その利益は約 15,948 円となる ポートフォリオ マネジメントヘのオプションの利用 オプション利用の利点 : リターンのリスク特性を望ましいように変化させられること So: 原資産の現在価格 S いオプション満期日の原資産価格 K: オプションの行使価格 4カバード コール : (I) 原資産保有十コー ) レ オフ ション売り のポジションを取る戦略 K +9 - s K s T カバード コールの 原資産の コール オプションの売り ポジションからの 全体を通じて 原資産のみ保有する場合よりも コール売却益分だけ収益が増加 ITM ( インザマネー ) の場合 コールの支払い分だけ収益が減少し 収益の増加に歯止めがかかる 原資産を保有しながらインカム ゲインを増加させる - 4 -
一定の価格上昇があったら売却する ( ターゲット セリング ) 等の投資戦略に利用 (2) プロテクティブ プット : 原資産保有 + プット オプション買い のポジションを取る戦略 k+ - S K s T 原資産のプット オプションの買い プロテクティブ プットの ポジションからの 全体を通じて 原資産のみ保有する場合よりも プット購入費用分だけ収益が減少 ITM の場合 プットの支払い分だけ収益が増加し 損失の増大に歯止めがかかる 保険料として費用を払ってて も 資産の価値の下藷 ; リスクを減少させ 保有資産の価値を 一定の水準 ( フロア ) 以上に保つ といった投資戦略に利用 例題 4 : 現在 株価指数は 13,000 円て ある この株価指数と同じ銘柄構成からなる時価 104 億円の ポートフォリオを向こう 1 年間運用するが 相場下落の懸念のため プロテクティブ プッ トによるヘッジを行うことにした 1 年後が満期て ` ある株価指数プット オプションが市場 て取引され それらの行使価格と価格が以下のように与えられるとき オプションの購人背 用を最小にしつつ 購人費用も含めた 1 年後のポートフォリオの価値を 94 億円以上に保つた めには 株価指数プット オプションを何枚購入しなければならないてあろうか ただし プットの取引単位 (1 枚 ) は プット価格 X1,000 てあり 1 年後まての金利はすべて 0.8% て " 一定 配当や取引コストは無視て きるものとする 行使価格 (K) フ ット価格 (P) 12,000 436 12,500 627 13,000 862 13,500 1,139 14,000 1,457 解答 4 : プット オプション購入枚数 = (10,400,000, 000/13, 000) /1, 000 = 800 ( フロアが指定されているため 全額オプションの対象とする ) 1 年後の株価指数の値をVとするとき プット オプションを800 枚購入した場合の 1 年後 のポートフォリオの ( オプション購入費差引後の ) 価値額 VPP は Vpp = 800,000XV +800,000XMax[K-V, 0 ]-(1.008) X 800,000XP = 800,000X (V-1.00SXP)(ifV>K), 800,000X (K-1.00SXP)(otherwise) ここて K;;.=:_12,500 ならば任意の V に対し VPP>9,400,000,000 てあることが確認される - 5 -
(K=l2,500 の場合 VPP 9,494,387,200) よって 最小費用て フロアを達成するために K=l2,500 のオプションを 800 枚購入する 保有するポートフォリオが オプションの原資産てある株価指数とは異なる場合 先物の場合 ( 例題 1) と同様 株価指数オプションてヘッジてきるリスクを ( 部分的に ) ヘッジ 必要なオプションが存在しない場合: オプションのを複製する 複製ポートフォリオ を構築することて 必要な オプションを実質的に作り出す 5 複製ポートフォリオのアイディア 複製ポートフォリオのアイディア : 無裁定 (no aribitrage) による価格決定の発想 の転換 無裁定による価格決定 = 裁定の機会がなければ同じを生み出す資産の価格は同じ オプションの複製ポートフォリオ = オプションのと同じを生み出すオプ (I) 単純な例 原資産の価値 : <10 時点 0 2 時点 1 ー - P,o無リスク利子率r複製ポートフォリオ : 3 2-2 無裁定価格 : (100)+ (1) = 3 33 ションの原資産と無リスク資産のポートフォリオ プット オプションの価値 ( 行使価格 K=llO) 時点 0 時点 1 < 凡 MM[K-120, O] 0 [ ]+ 誓0 [ : ] = し ]=[ り :J 800 200 11 (2) 2 項 2 期間モデルの例 原資産の価値 : くslusく時点 0 時点 1 / \時点 s2uu2s2udsdu2slds2ddプット オプションの価値 : くpluく時点 0 時点 1 時点 2 凡 =Max[K- 90, O] = 20 PZuu/\Po pldzudppzduzddp- 6 -
各時点間の無リスク利子率 : r 複製ポートフォリオ : Xlu [ ::] +y 1u [ : ]=[ :::] ぶ l d[ ::J +y 1 d [! ] = [ :::J, xo [t:j + yo G!;J = [;::] = 価値変動を一致させ常にオフ ションと同じ価値を持つ原資産と無リスク資産のポート フォリオ オプションの無裁定価格 : P1u = x1us1u 十 Jlul, P1d = X1dS1d 十 J1dl, (3) 連続時間モデルの例 : Po = xoso 十 yol 原資産の時点 t の価値 : S 原資産の価値変動 : ds = µsdt 十びS dw 無リスク資産の時点 t の価値 B: 無リスク資産の価値変動 : db = rbdt オプションの時点 t の価値 : P (t, S) ap ap I a 2 P ap オプションの価値変動 : dp = ( at + s+as µ がSりdt 十硲 dw 2 as 2 as ap 各時点 tにおいて オプションを1 単位保有し 同時に原資産を as ( デルタ ) 単位空売り するポートフォリオの瞬時の価値変動は無リスク よって そのリターンは無リスク利子率 に等しい ap I a 2 P ap + at 2 as 2 がS 三 r(p- S): オプ 3/ ョン価格が満たす偏微分方程式 at これは オプションと原資産のポートフォリオて無リスク資産を作り出したことを意味す るが 逆に 原資産と無リスク資産のポートフォリオて 常にオプションと同じ価値を持つオ プションの複製ボートフォリオを作り出せることも意味する 発想の転換 : 必要なオプションが存在しないなら その複製ポートフォリオを作って利用すれば良 し! 6 ポートフォリオ インシュランス 必要なプット オプションを複製ポートフォリオによって作り出す プロテクティブ プッ ト投資戦略 オプションを完全に複製するためには 原理上 連続的なポートフォリオのリバランスが 必要 原資産の価値変動 : ds = µsdt 十び SdW 無リスク資産の価値変動 : db = rbdt オプションの価値変動 : dp = ( ap ap 1がP ap S 十一がSりdt 十ぷ,dW at as µ 2 as 2 as - 7 -
1 単位のオプションを複製するためには 各時点において原資産をオプションのデル ap 夕単位保有する必要がある as 例題 5 例題 4 と同じ状況を考える 1 年後の資産価値をフロアの94 億円以上に保つため 例題 4 に与えられる市場て可又引されているオフ ションて,' プロテクティブ プットを行うと 費用最小化のために行使価格 12,500 円のオプションを購入した場合 1 年後の資産価値は必ず94 億 9,438 万円以上となる これは 目標フロアの94 億円よりも9,438 万円以上高く その分余計な費用がかかっていることになる ここて 仮に行使価格 12,300 円の株価指数フ ット オプションが取引されていたなら その価格とデルタは以下のように与えられるとしよう もしもこれを利用することがてきるなら 目標最低水準の94 億円をちょうど達成するプロテクティブ プットが可能てあることがわかっている 戸 そこて 行使価格 12,300 のプット オプションを複製ポートフォリオて作り出すポート フォリオ インシュランスを行うことにする このとき 以下の問題を考えよう (i) このプット オプションを 1 枚複製するために 現在 原資産をどのように取引するべ (ii) (ii り きか 原資産の取引ては流動性が十分には確保てきないのて 代わりに原資産て ある株価指数 の先物を利用して複製ポートフォリオを作ることにした 1 年後を満期とする先物が取引 されているならば このプット オプションを 1 枚複製するために 現在 この先物をどの ように取引するべきてあろうか ただし オプション同様 先物の 1 取引単位は先物価格 x 1,000 てあり 1 年後まての金利はすべて 0.8% て 一定 配当や取引コストは無視てきるも のとする (ii) における複製ポートフォリオのための先物のポジションを取った数日後 突然株価指 数が大幅に上昇した このとき 先物のいかなるリバランスを行うべきてあるか 解答 5 ap (i) プット オプションのデルタ X 1, 000=-0. 32X 1,000だけ原資産を保有する as すなわち 原資産を0.32X 1, 000X 13, 000=4, 160,000 円分売却する (ii) 先物価格 (F)=l.008X 原資産価格 (S) なのて af 先物の原資産に対するデルタ = 1.008 as - 8 -
ap ap af オプションの先物に対するデルタ = / = ー 0.32X (1 /1.008) =-0.3175 af as as よって 先物を 0.3175 枚売り建てる (iii) 先物を買い戻し 売りポジションを縮小させる 7 まとめ デリバティブを使った投資戦略 : 望ましいのパターンを作り出し リスクをコントロールする 一晃なるデリバティブ もしくはデリバティブと原資産の組み合わせ ーダイナミックな取引による複製ポートフォリオの構築 一あらゆるリスクに応用可能な般性 - 9 -
付録 代表的なオプション戦略図 ( 合成方法は代表的なもの ) ( 注 : K, く氏 < 氏 <K4) 名称令 1.nンク )-/ 2. ショート J-J 令 3.llンク プット 二 損益パターン 三 合成方法一 J J (K i )l 単位買い J-J 川 (K 1 )l 単位売りプット (K,)1 単位買い 4. ショート プット 5.11' ーティカ ) し フウル スフ レット * 令 6. I\ ーティカI ヘ. 7 スプレッド 7.[I ング }\' タフうイ 8. ショート J\' タフうイ 9.D: ノグ 入卜うド )V / 戸 ーン - 一 K 2 でこ 二 ブ心/ \ プット (K 1 )1 単位売り J-J (K 1 )1 単位買い J-/ (K 2 )l 単位売り プット (K 1 )1 単位売りプット (K 2 )l 単位買い J-Jl,(K,)1 単位買い J 哺 (K 2 )2 単位売り J ール (K 3 )1 単位買い J-/ 川 (K,)1 単位売り J ー l (Kz)2 単位買い J-/ (K 3 )l 単位売り ] 哺 (K i )l 単位買いプット (K 1 )1 単位買い - 10 -
名称 10. ショ 虞 } 損益パターン 合成方法 J-J し (K,)1 単位売りプット (K,)l 単位売り 11.ll ンク ストうンク. I プット (K,)l 単位買い ] ール (KJl 単位買い 12. シ 3 ート ストうンゲ Jl, プット (K,)l 単位売り J-J (K 2 )1 単位売り 令 13.llンク. Jンドル 14. シ 3- ト J ンドル 15.J ン /\'- シ. 3 ン 16. リ /\ 令ーサ, ニ \ こ一 : 口ロ戸 K1 J-) 氾 (K 1 )1 単位買い J-J 川 (K 2 )1 単位売りプット (K 3 )l 単位売りプット (K 4 )1 単位買い プット (K 1 )1 単位売りプット (K 2 )1 単位買い J-J 川 (K 3 )1 単位買い J- ル (K 4 )1 単位売り J-J (K 1 )1 単位売りプット (K 1 )1 単位買い先物 l 単位買い J-J 川 (K,)l 単位買い 7 ット (K,)l 単位売り先物 1 単位売り 17. ホ令ックス ス7 Vッド K1 K1 K2 J-J 川 (K 1 )l 単位買いプット (K 1 )1 単位売り J ー ) 川 (Kz)l 単位売りプット (K 2 )1 単位買い - 11 -