奇数ゼータの公式

3 奇数ゼータの公式 ゼータ母関数 で得られた奇数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった 本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 3 cot 系ゼータの公式 公式 3 B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とし H t するとき 0< < について次式が成立する ( + ) () 0 +( ) 特に のとき B ( ) i ( )! /t を調和数 B H + + 0 ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! ( + ) B H + + 0 ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! ( ) 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマン ゼータが得られた ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 9 ) i 4 3! i + 6 5! i 8 7! i + 0 9! log H 3 + 4 log H 5 6 log H 7 + 8 log H 9 B + ( +3 )! k を順次下の式に代入していくと次のようになる これらの ( ) ( + ) () C i 0 () 0 + () 0 ここで C はつぎのような有理数である B +4 + () 3 ( +5 )! 3! B +6 4 + () 5 () 3 ( +7 )! 3! 5! B +8 4 6 + () 7 () 5+ () 3 ( +9 )! 3! 5! 7! C ( + )! log H + C ( ++ )! B

C 0, C, C 3! 5! 3!3! C 4 + + 9! 3!7! 5!5! 7!3! + 5!3!, C 3 7! 3!5! + + + 3!3!5! 3!5!3! 5!3!3! +, 3!3!3! 3!3!3!3! 実は これらは cc のテイラー級数の係数であり の冪と階乗とベルヌイ数とで次のように 計算できる C B 0,,, ( )! これを上式に代入すれば B ( ( + ) ) () i () 0 ( )! 0 B log H + ( )!( + )! 右辺の括弧内は次のように変形できる B 0 ( )!( + )! 0 log H + B log ( )!( + )! 0 0 ( )!( ++ )! 0 0 B B ( )!( ++ )! B B ( )!( ++ )! B H + ( )!( + )! B B + B ( )! ここで Lemma 3.4. と Lemma 3.4.c より次式が成立する 0 これらを用いれば B ( )!( + )! B ( )! B log + ( + )! B 0 ( )!( + )! i.e. log H + i 0 B B H + log ( )! 0 ( )!( + )! 0 B B + ( )!( ++ )! B 0 ( )!( + )! 0 log H + B H + ( )!( + )! 0 0 ( )!( ++ )! B ( + )! B B B i log + ( )! B B ( )!( ++ )! B B ( )!( ++ )!

これを上の括弧内に代入すれば ( + ) () 0 ここで 0 () 0 +( ) () であるから B + ( )! i B ( ) i () ( )! B H + ( )!( + )! 0 B ( ) i ( )! B B ( )!( ++ )! B i + ( )! () B ( )! i B H + + 0 ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! B i ( )! () ( + ) () 0 +( ) B ( ) i ( )! B ( ) i ( )! B H + + 0 ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! Note のとき この公式の収束速度は三角関数系中で最速である 例 5 4 69 7 B + 600 + ( +5 )! 6( +3 )! 360( + )! ( ) 例 ζ(7) の公式に従いこの計算を行った 級数を 項まで計算したところ 有効数字 0 桁が得られた 3

公式 3 調和数を H /t ( + ) + とし ベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ t B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 0< < について次式が成立する ( + ) ( ) 0 E ( ) co ( )! + E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマン ゼータが得られた ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 9 ) co 3! co + 5 4! co 7 6! co + 9 8! log H + 4 log H 4 6 log H 6 + 8 log H 8 B + ( + )! B +4 + () 3 ( +4 )!! これらの ( k) を順次下の式に代入していくと次のようになる ( + ) 0 ここで C はつぎのような有理数である C + co + () 0 C 0, C, C + 0!! 4!!! C 4 8! + + 6!! 4!4! +!6! B +6 4 + () 5 () 3 ( +6 )!! 4! B +8 4 6 + () 7 () 5+ () 3 ( +8 )!! 4! 6! () 0, C 3 そして Sugimoto 氏によればこれらは次式で計算できる C () E E 0,,, ( )! ( )! これを上式に代入すれば 6! () C ( )! log H () C B ( + )! + 4!!!4! + + 4!!!!4!!!!4! +!!! +!!!!, 4

( + ) 0 0 E ( ) + ( )! E ( )!( )! 右辺の括弧内は次のように変形できる 0 E ( )!( )! log H 0 0 E log co + () log H 0 ( )!( )! 0 E ( )!( + )! 0 E ( )!( + )! E ( )!( + )! E H ( )!( )! B B E + ( )! ここで Lemma 3.4. と Lemma 3.4.c より次式が成立する 0 これらを用いれば 0 E E ( )!( )! ( )! B log + ( )! E ( )!( )! log H co 0 E log ( )! 0 0 H 0 であるから 0 E ( )!( )! 0 log H E ( )!( + )! 0 E H ( )!( )! 0 ( ) これを上の括弧内に代入すれば ( + ) ここで であるから ( ) 0 E ( ) + ( )! E ( )!( + )! E H ( )!( )! E ( )!( + )! B B + ( )! E!( + )! co () E + ( )! B ( )! B E co log + B B E co + ( )! co E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! () E ( )! co E ( ) ( )! co + 5

( + ) ( ) 0 E ( ) co ( )! + E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! 例 ζ(7) /64 としてこの計算を行った 級数を4 項まで計算したところ 有効数字 0 桁が得られた 6

3 ta 系ゼータの公式 公式 3 ベルヌイ数 B 及びタンジェント数 T をそれぞれ B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, T, T 3, T 5 6, T 7 7, T 9 7936, とするとき 0< について次式が成立する ( + ) 特に のとき ( + ) 0 () 0 () ( ) () B ( ) () i ( )! B B ( )!( ++ )! 0 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレ イータが得られた ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 7 ) ( ) i + i 4 i 6 + i 8 ( )!( ++ )! B ( + )! B T B + + () ( +3 )! 3! これらの ( k) を順次下の式に代入していくと次のようになる ( + ) () C () i 0 B +4 4 + () 3 () ( +5 )! 3! 5! B +6 4 6 + () 5 () 3+ () ( +7 )! 3! 5! 7! () 0 C ( ++ )! B ここで C は公式 3 と同じ係数であり C B で与えら得れる よって ( )! ( + ) 0 () B ( ) () i ( )! 7

これに ( + ) () 0 ( + ), T B ( )!( ++ )! B B を適用して与式を得る 例 6 4 ( 5 ) 5 ( +5 )! + 6( +3 )! 7 360( + )! B 例 ζ(7) の公式に従いこの計算を行った 級数を3000 項まで計算したところ 有効数字 4 桁が得られた 例 で見たように の公式の収束は非常に遅い そこで Lemma3.4.t より T ( + )! B log ( + )! これを用いて の公式を次のように変形すれば 収束は速くなる 公式 3 ( + ) ( ) ( ) 0 B ( )!( ++ )! B B + log ( )! 例 ζ(7) 例 と同じ計算をこの公式で行った 級数を 55 項まで計算したところ 有効数字 6 桁が得られた 8

公式 3 ベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 0< について次式が成立する ( + ) 0 () 0 E ( ) () co ( )! + E ( )!( + )! 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレ イータが得られた B ( ) () ( 3 ) () ( 5 ) () ( 7 ) () co + co 3 co 5 + co 7 ( )! B + + () ( + )!! これらの ( k) を順次下の式に代入していくと次のようになる B B +4 4 + () 3 () ( +4 )!! 4! B +6 4 6 + () 5 () 3+ () ( +6 )!! 4! 6! ( + ) C () co +( ) 0 + B 0( ) C ( + )! E ここで C は公式 3 と同じ係数であり C () E ( )! ( )! よって ( ) + 0 + () 0 E ( ) () co ( )! + E ( )!( + )! これに ( + ) ( +) を適用して与式を得る B で与えられる 9

3 3 cc 系ゼータの公式 公式 3 3 B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とし H t とするとき 0< について次式が成立する + ( + ) + + 特に のとき () ( ) + ( + ) () ( ) + 0 0 0 () B H + ( )!( + )! B H + ( )!( + )! /t を調和数 B ( ) i( ) ( )! ( ) + 0 0 B ( )!( ++ )! B B ( )!( ++ )! 証明公式 6 3 ( 6 ) からシコシコと導出するのが本来であるが ここでは前 節から導く 公式 3 と公式 3 より ( + ) () B ( ) i 0 ( )! B H + +( ) + 0 ( )!( + )! B B 0 ( )!( ++ )! ( + ) 辺々足せば 0 ( + ) +( ) 0 () B ( ) () i ( )! () 0 + + () 0 () 0 0 B B ( )!( ++ )! B () B ( ) i( ) i ( )! B H + ( )!( + )! B B ( )!( ++ )! ここで ( + ) +( + ) + ( + ) () B ( ) i () i ( )! 0 + ( +) () B ( ) i( ) ( )! ( ) + 0

であるから + ( + ) + + () ( ) + 0 0 () B H + ( )!( + )! B ( ) i( ) ( )! ( ) + 0 B ( )!( ++ )! Note 証明から明らかなように これらは公式 3 と公式 3 の加重平均であり 固有の公式ではない これらは煩雑なだけであまり価値がない 公式 3 3 調和数を H /t ( + ) + とし ベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ t B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 0< について次式が成立する + ( + ) + 特に / のとき ( + ) 0 () ( ) + E ( ) co( ) ( )! ( ) + 0 ( )!( )! E H 0 B E B ( )!( + )! () E H E + 0 ( )!( )! B 0 ( )!( + )! 証明公式 3 と公式 3 より ( + ) ( ) ( ) 辺々足せば 0 E ( ) co ( )! + E H E 0 ( )!( )! + B 0 ( )!( + )! + 0 ( + ) +( ) E ( ) () co ( )! + + () 0 + 0 E ( )!( + )! E ( ) ( )! B co () co +

ここで E H E 0 ( )!( )! B 0 ( )!( + )! ( ) ( + ) +( + ) 0 であるから Note E ( ) ( )! + ( + ) + + ( +) co () co + 0 () ( ) + 0 E {( ) } co {( ) } ( ) + ( )! E ( ) co( ) ( )! ( ) + 0 E H ( )!( )! 0 E B ( )!( + )! これらも公式 3 と公式 3 の加重平均であるが / の式は固有の式であり 価値がある 例 4 ( 5 ) 3 83 + 88 ( 4+ )! 5 + ( + )! 4( )! B 例 ζ(7) / の公式に従いこの計算を行った 級数を 3 項まで計算したところ 有効数字 0 桁が得られた

3 4 補助公式 Lemma 3.4. ベルヌイ数 B 及びオイラー数 E をそれぞれ B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, B 8 /30, E 0, E, E 4 5, E 6 6, E 8 385, とするとき 自然数 について次式が成立する 0 B 0 ( )!( + )! 0 E 0 ( )!( )! 証明 i.e. cch e e B ( )! < 0 B 0 B 0!! ここで C B と置けば e e C 0 C C + 4 C + 4 6 + 6 + 0!! 4! 6! e e + + 4 + 6 + 8 +! 3! 5! 7! 9! コーシー積を採れば C 0 +!! C 0 +!3! 4 B 4 4 4! C C 0 + 0!3! C + + 0!5! 4!! これが任意の について成立するためには 即ち 次に より C 0, 0 C 0 C + 0, 0!3!!! C ( )!( + )! 0 ech 0 e + e E < ( )! C 4 4 + C 0 C C 4 + + 0, 0!5!!3! 4!! B 0 ( )!( + )! E 0 E E + E + 3 E + 3 4 + 4 + 0!!! 3! 4! 3

e + e + + + 3 + 4 + 0!!! 3! 4! コーシー積を採れば E 0 +!0! E E 0 + 0!! E 0 E + + + 0!!!!!0! これが任意の について成立するためには E + 即ち E 0, 0 E 0 E + 0, 0!!!0! E 0!( )! E E 3 E 5 0 であるから E 0 E E + + 0, 0!!!!!0! 0 を得る E 0 ( )!( )! Lemma 3.4.c B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とするとき 0< < に ついて次式が成立する 特に のとき B ( )! B ( + )! B log ( )! co + log i + log B log ( + )! 証明 cot のテイラー級数とフーリエ級数の 階積分は次のようであった (05 項別高階積分 ) cot d log これらより cot d 0 B 0< < ( )! i log 0< < 4

B ( )! を / に置換すれば B ( )! co( ) + log co + log 次に cot のテイラー級数とフーリエ級数の 階積分は次のようであった これらより cot d cot d ( log ) 0 と置けば よって これより ( log ) B + ( + )! log B ( + )! + ( + )! i log B + log B + ( + )! i( ) log log B ( + )! ( log ) B + ( + )! B log( ) + ( + )! を / に置換すれば B log + ( + )! + i( ) log i( ) log i( ) Lemma 3.4.t B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とするとき に ついて次式が成立する B ( )! () co + log 5

特に のとき B ( + )! B log ( + )! () i + log 証明 ta のテイラー級数とフーリエ級数の 階積分は次のようであった ( 05 項別高階積分 ) これらより ta d 0 ta d 0 0 ( )! を / に置換すれば B < ( )! i ( ) B B ( )! + log < () co( ) + log () co + log 次に ta のテイラー級数とフーリエ級数の 階積分は次のようであった これらより 0 ta d 0 0 ta d 0 B + ( + )! i + log ( ) B ( + )! を / に置換すれば B ( + )! () i( ) + log () i + log 0.0.5 0..05 リニューアル 宇宙人の数学 K. Koo 6