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1 応用数学 Ⅱ (7) 7 連立微分方程式の立て方と解法. 高階微分方程式による解法. ベクトル微分方程式による解法 3. 演算子による解法

2 連立微分方程式 未知数が複数個あり, 未知数の数だけ微分方程式が与えられている場合, これらを連立微分方程式という. d d 解法 () 高階微分方程式化による解法 つの方程式から つの未知数を消去して, 未知数が つの方程式に変換 のみの方程式にするために, 式 () から a b c d b d a 0 () 0 () d d d b a (3) t 0 にて, a,b,c, d: 定数 (4) 0 0

3 解法 () 高階微分方程式化による解法 式 (3), 式 (4) を式 () に代入すると, d d d d a c a b b 0 整理して d d a d ad c 0 b b b b d d a d ad bc 0 (5) 上式は, に関する 階の微分方程式であり, これまでの方法で解を求めることができる. 式 (5) の特性方程式 : e t とおいて ( a d) ( ad bc) 0 (6) 3

4 4 7 一階定係数連立微分方程式の解法 解法 () 連立微分方程式 d d 高階微分方程式化による解法 d d a d ad bc 0 (5) a b c d 0 () 0 () a,b,c, d: 定数 元一階連立微分方程式 元 階微分方程式 一般に,n 元連立の微分方程式は,n 階の一本の微分方程式にすることができる. 逆も成立する. n 元連立 ( 階 ) 微分方程式 n 階微分方程式

5 例題 () 高階微分方程式化による解法 d d 未知数を減らす. : 元一階連立微分方程式 元 階微分方程式 d 4 d d 4 d 0 0 d d d 0 d d ( 4 3) [4( 3) 0( 9)] 0 d d 0 5

6 例題 () d d 斉次形の線形 階定係数常微分方程式の解を求める. 特性方程式 一般解 高階微分方程式化による解法 ( )( ) 0, e e t d e t t 4 e t 4( e t t t t t 5 e e e e d d t 3 4 e 3 5 ) 0 6

7 7 7 一階定係数連立微分方程式の解法 例題 () 高階微分方程式化による解法 d d 5 未知数を減らす. : d 3 d 7 () 3 () d 4 0 3t e () () d t 9 3 e t d t 4 (3 t e ) 0 0 t e t () () 元一階連立微分方程式 元 階微分方程式 t d d d t 4 (3 e ) 0 0 第 式に代入すると, d d t 4 (3 ) 9 e d t t 4 (3 t e ) e t 0

8 8 7 一階定係数連立微分方程式の解法 例題 () 高階微分方程式化による解法 d d 5 d 3 d 7 t e () () 未知数を減らす. : 元一階連立微分方程式 元 階微分方程式 d d (4 3) [4 ( 3) 0 ( 9)] (3 e t ) 3(3 t e t ) 0( e t t) t d d 6e t t 3

9 例題 () 高階微分方程式化による解法 d d 5 d 3 d 7 t e t () () d d 6e t t 3 非斉次形の線形 階定係数常微分方程式の解を求める. i) 斉次解を求める. 一般解 d d 0 t z e e t t 余関数 z t z t 主要解 ii) 非斉次解を求める ( 定数変化法 ). t 7 3e t 特解 4 z Fd z t z z z z z t Fd z t z z z z D z t D z t 特解余関数 9

10 0 7 一階定係数連立微分方程式の解法 例題 () 高階微分方程式化による解法 d d 5 d 3 d 7 t e t () () 非斉次形の線形 階定係数常微分方程式の解を求める. d d i) 斉次解を求める. e e t 6e t t t 3 余関数 ii) 非斉次解を求める ( 定数変化法 ). t 7 3e t 特解 4 一般解 t t t 7 e e 3e t 4 d t 4 (3 t e ) t 3 t t 5 e e e t 4 5 4

11 連立微分方程式 d d a b c d 0 () 0 () t 0 にて, a,b,c, d: 定数 0 0 解法 () ベクトル微分による解法 式 (), 式 () を行列表示すると, d a b 初期条件 0 (7) c d (8) ベクトルの導関数は, 各成分ごとの導関数で与えられる. d d d

12 解法 () ここで, ベクトル微分による解法 Y a b 0, A, Y0 c d 0 という置き換えを行うと, 式 (7), 式 (8) は, dy AY 0, Y (0) Y0 (9) と表すことができる. これは斉次形方程式であり, 式形から判断して, t t Y e e (0) という解を有している可能性がある. そこで, 式 (0) を式 (9) に代入すると, e t t Ae a b c d 0 () 0 () 高階微分方程式化による解法では, 斉次形の線形 階定係数常微分方程式この場合の一般解の形は t e e t

13 解法 () ベクトル微分による解法 式 () をまとめると, a b c d or 0 (3) 0 ( E A) 0 (4) ここに E 0 式 (4) を満足するの値を, 固有値という. この場合, 式 (4) においてがゼロ以外の値をとるためには, a b 0 (5) c d 正則条件 : 逆行列をもつような n 次正方行列を正則であるという. Ax 0 det A 0 なら行列 A は正則である. 3 が 0 でない解をもつための必要十分条件は, 正方行列 A が 正則でないことである. 3

14 解法 () ベクトル微分による解法 したがって, 固有方程式 式 (6) は, 式 (6) に一致する. 式 (5) の特性方程式 : 解を求めると, a d bc 0 a d ad bc 0 (6) ( a d) ( ad bc) 0 (6), a d a d 4 ad bc (7) の場合について固有ベクトルを求める. 式 (3) より a b c d 0 (8) 上式を解いて得られる, は に対する値なので, とおく. 4

15 解法 () ベクトル微分による解法 の場合について固有ベクトルを求める. 式 (8) から, c a b 0 d 0 について解くと, a d b d 0 bc b d 0 a d bc 0 a d ad bc 0 したがって, は定まらない. 一方, から a b (9) このため, を媒介変数として, 固有値 に対する固有ベクトルが式 (0) のように求まる. a b (0) 5

16 解法 () ベクトル微分による解法 の場合について固有ベクトルを求める. 式 (3) から, 上式を解いて得られる, は に対する値なので, とおく. と同様に解いて, a b c d a b 0 c d 0 d c 0 (8)' を媒介変数として, 固有値 に対する固有ベクトルが式 () のように求まる. () d c () 6

17 7 7 一階定係数連立微分方程式の解法 解法 () ベクトル微分による解法 3 Yの一般解を求める., の一般解は, 固有ベクトルにより定まるつの解の線形和で表される. 一般解 t t Y e e a e t d c b e d t c e t a e b t (3)

18 解法 () ベクトル微分による解法 3 初期条件を満たす Y の一般解を求める. 初期条件を用いると, d 0 c 0 Y (0) 0 a 0 b d a c 0 b 0 a 0 H d 0 b c a H b d H c ここに H a b 一般解式 (3) に, 上の 式を代入して最終解が得られる. d c ( )( ) 8

19 例題 () ベクトル微分による解法 d 0 d 0 t 0, 4 ベクトル表示をする. d Y dy 0, 0 0, A 0 AY 初期条件 0 Y( 0) Y0 4 とおくと 9

20 0 7 一階定係数連立微分方程式の解法 例題 () ベクトル微分による解法 d 0 d 0 t 0, 4 固有方程式の解を求める. Y e e t t とおいて原式に代入 Ae t 0 E A 0 ( E A) 0 固有値 0 がゼロ以外の値をもつためには

21 例題 () ベクトル微分による解法 d 0 d 0 t 0 のとき, 4 3 固有ベクトルを求める. のときの固有値ベクトル これより のときの固有値ベクトル 0 これより 0

22 例題 () ベクトル微分による解法 d d 0 t のとき 0 0, 4 4 一般解を求める. 以上から 初期条件からしたがって e e e t t t t t t e e e e e t t t t 3e e 3

23 例題 () ベクトル微分による解法 d d ベクトル表示をする. d 固有方程式の解を求める. Y e t とおいて原式に代入 t t Y e e がゼロ以外の値をもつためには ( 4)( 3) ( )( ) 0, 固有値 3

24 例題 () ベクトル微分による解法 d d 固有ベクトルを求める. に対する解をとし, ( E A) これより 0 に代入すると これより

25 例題 () ベクトル微分による解法 d d 固有ベクトルを求める これより に対する解をとし, ( E A) 0 に代入すると これより

26 6 7 一階定係数連立微分方程式の解法 例題 () ベクトル微分による解法 d d 一般解を求める. 以上から t t Y e e t 3 e 3 e 4 5 t

27 連立微分方程式 演算子による解法 d D ( D a) b ( t) c ( D d ) ( t) 解法 (3) d d a c b d ( t) ( t) a,b,c, d: 定数 演算子を用いると, 原式は次のように表される. D a b () t c D d () t () t A () t 7

28 連立微分方程式 解法 (3) d d a c b ( t) 演算子による解法 ここで, 行列 A の行列式を L とすると, d ( t) L ( D a)( D d) bc 左側から行列 A の逆行列をかけると, a,b,c, d: 定数 したがって, L ( D d) ( t) b ( t) L ( D a) ( t) c ( t) () t 未知数が減った!! A () t 元一階連立微分方程式 個の 元 階微分方程式 D d b () t L c D a () t 8

29 例題 () 演算子による解法 d d t 演算子を用いて原式を表す. このとき, 式 左辺の行列 A の行列式 L は e 3t e t d D t ( D 4) 0 3t e t 9 ( D 3) e t t t t t t D 4 0 3t e 3t e 9 D 3 e t A e t L ( D 4)( D 3) 80 9

30 30 7 一階定係数連立微分方程式の解法 例題 () 演算子による解法 d 4 0 3t e d t 9 3 e t 式 の左側から行列 A の逆行列をかけると, 3t e t t A e t t D 3 0 3t e L 9 D 4 e t t ここで, t L ( D 4)( D 3) 80

31 例題 () 演算子による解法 d 4 0 3t e d t 9 3 e t 未知数を減らす. : したがって, t t t ( D 4)( D 3) 80 ( D 3)(3 t e ) 0( e t) t t t ( D D ) (3 e ) 3(3 t e ) 0( e t) d d 元一階連立微分方程式 元 階微分方程式 t 6e t 3 t t ( D 4)( D 3) 80 ( D 4)( e t) 9(3 t e ) t t t ( D D ) ( e ) 4( e t) 9(3 t e ) d d t 4e t 3

32 問題 () 次の微分方程式を解きなさい dx x 0 ( x(0) 3, (0) 3) d x 3 0 () 高次の微分方程式 d n n n n d d d a a... a a ( t) n n n n dz dz dzn z, z, z3,..., zn と置き換えることによってn 元の 階連立微分方程式となること示せ d d 3 0 の微分方程式を連立微分方程式として表しなさい ベクトル微分法を用いて解を求めなさい ただし 初期値は ( 0) 3, (0) 3