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- せぴあ ふくだ
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1 数値計算入門 武尾英哉. 離散数学と数値計算 数学的解法の中には理論計算では求められないものもある. 例えば, 定積分は, まずは積分 ( 被積分関数の原始関数をみつけること できなければ値を得ることはできない. また, ある関数の所定の値における微分値を得るには, まずその関数の微分ができなければならない. さらに代数方程式の解を得るためには, 解析的に代数方程式を解く必要がある. ところが, これらは必ずしも解析的に導けるとは限らない. そこで本章では, 計算機を使って, 離散的な数値 ( とびとびの数値を扱う を扱って, 近似的に解を導く手法について説明する. このことを離散数学という. 本稿では, 連続的な数値による数学 ( これまでの解析的数学 を, 離散的な数値による数学として近似的に扱うことで解を求めることができる手法について説明する. このように, 離散数学を用いて種々の手法による近似計算により解を求めることを数値計算とよぶ.. 数値代数方程式 ( ニュートン法 数値計算を使って代数方程式を解く代表的な手法であるニュートン法について説明する. 代数方程式を解く ( f( を満足する を求める ということは, グラフにおいて 関数 f( の 軸切片を求めることと等価である. すなわち, 図 における を 求めることである. 以下, ニュートン法による手順について説明する. まず初めに, 予想される真の解に近いと思われる値をひとつとる ( の初期値. の初期値を とする. 次に, グラフの接線を考え, その 軸切片を計算する. 図 において, にお f '( ( f( であるので, この接線が 軸と交差す ける接線の方程式は る点は, が f ( f '( のときである. この を新たに f ( f '( ただし, f '( とする. とする. この 軸切片の値は, 予想される真の解により近いものとなるのが一般である. 3の手法を繰り返すと, 限りなく に近い値となる. すなわち, 一般的に n
2 から次のステップの n を求める式は次のようになる. n f( n n ただし, f '( n とする. ( f '( n 4この繰り返し計算を希望する精度の解を得るまで行う. すなわち, 実際には, 次の収束判定条件を計算し, 満足するまで繰り返すことで, 解の近似解を得る. n n または n n ( n ここで,, は収束条件である ( 例えば,. など微小な値を設定する. なお, 収束条件の詳細に関しては, 数値計算や数値解析等の関連書籍を参照されたい. ニュートン法は, 一般的に早く収束するが, 初期値 のとり方によっては収束しない こともある. また, 解が複数ある場合には, 初期値の設定により別の解に収束する場合がある. よって, 予めおおまかな解を初期値としてうまく設定する必要がある. f '( ( f( f( 図 : ニュートン法の原理 [ 例 ] を計算で求める場合として, f '( であるので, 式 ( は n n n n と書き表せる. ここで, 初期値を例えば f おくと, n は に収束していく. ( の解をニュートン法で求める. とおくと, n は に収束し, 一方, と
3 3 3. 数値微分 ( 差分法 数値計算を使って関数の所定値の微分値を求める代表的な手法である差分法について説明する. 数値計算では無限小を扱うことができないので, 小さいが有限の値を用いた微分演算の近似である差分を用いる. ここで, 微分はその点での傾き f ( f( f '( lm (3 で定義されるが, 差分では有限距離離れた 点の傾き f ( f( (4 である. 差分は下記のように, 前進差分, 後退差分, 中央差分の 3 つがある ( 図 参照. f( の における微分係数は, 微小区間 について近似的に下記のように求 めることができる. ( 前進差分 f f f( f( f '( ( 後退差分 f f f ( f( f '( (3 中央差分 f '( 3 (5 (6 f f f( f( 3 (7 f( f f f 3 図 : 数値微分の原理
4 4 4. 数値積分 ( 台形法とシンプソン法 定積分の数値計算法としては, を n 分割し各区間の両端の f ( を直線で結んで台形 の面積の総和を求める方法 ( 台形法 と, 区間を 次式で近似して面積の総和を求める方法 ( シンプソン法 などがある. 解析的に積分が不可能な場合の定積分を求めるときに有効であり, 数値積分とよばれる. ( 台形法図 3 に示すように, 区間 [,b] を n 等分して, k, k における関数 f ( の値 f (, f( を利用した微小台形を作成する. この台形の面積は, 下式で計算され, k k 微小領域の面積を近似する. f ( k f( k b f( k f( k ( k k (8 n f f は台形の上底と下底を表している. ここで, k は台形の高さ k, ( k, ( k 一方, 微小領域の面積 S は定積分を用いて下記のように表せるので, 式 (8 と併せて次式が成り立つ. k b f( k f( k S f( d (9 k n よって, 区間 [,b] の面積 S は, n b S S f( f( f( f( f( f( n f( n f( n n k b f ( f ( f ( f ( n f ( n ( n b となり, 定積分 f ( d は次式で近似できる. これを台形法とよぶ. b n b f ( d f( f( f( f( n f( n (
5 5 f( f( f ( k f ( k k n等分図 3: 台形法の原理 k k n b k k n等分 n 図 4: シンプソン法の原理 b ( シンプソン法図 4 に示すように区間 [,b] を n 等分して, 微小区間 k k で関数 f ( を, f(,, f(,, f( k k k k k k とを考える. 次曲線を gt ( p qt rt 記のように表せる. の 3 点を通る 次曲線で補間するこ と定義し, 微小区間 k k [, ] における面積 S は下 k 3 S f ( d g( t dt p qt rt dt pt qt rt k 3 p q r p q r p r 6p r ( ここで, f ( g( pq r k f ( g( p k f ( g( pq r から, k 6p r f( k 4 f( k f( k (3 式 (3 を式 ( に代入して, g( t dt f( k 4 f( k f( k 3
6 6 b であるので, n k b f( k 4 f( k f( k S f( d g( t dt k n 3 よって, b n n b S f( d S f( k 4 f( k f( k 6n k k b f( 4 f ( f ( f ( 4 f ( 3 f ( 4 6n b { f ( 4 f ( f ( 3 f ( n 6n f( f( f( f( } (4 4 n n となる. これをシンプソン法とよぶ. ただし, シンプソン法では区間を n 等分するので, 偶数分割することが前提となる. 5. 数値微分方程式 ( オイラー法 本節では, 微分方程式の数値解析の一つであるオイラー法について説明する. 次式の微分方程式を数値解析によって解くこととする. d f (, d ただし, 初期値 のとき とする ( ( (5 微分の定義から, d ( ( lm (6 d これが f (, と等しい. 一方, が十分に小さいとき, 式 (6 の右辺は ( ( に近似することから, ( ( f(, (7 すなわち, ( ( f(, (8 が成り立つ.
7 7 初期値を, ( とすれば,, ( f(,,, ( f(,, と順 次に ( を計算できる. 微分方程式の数値解析とは, これらの点 (, の集まり を求めることであり, さらに平面上に (, をプロットすると求める関数 のグラフが 描ける. このようにして, 微分方程式の解 ( 関数 がグラフ上に得られることになる. オイラー法をまとまると, 以下の手順になる. 初期値を与え, 漸化式 ( (, 初期値, ( を決める. k k f k k を順に計算すればよいので, ( ( ( f(, f(, を計算する. ( ( ( f(, f(, を計算する. 3 ( ( ( f(, f(, を計算する f f を計算す 5 順次, k ( k ( k ( k ( k, k k ( k, k る. d [ 例 ] 微分方程式 d, 初期値を,,.5 とするとき, オイラー法により微分方程式の解を求める. f (,, 前記オイラー法の手順より, (.5 (.5 f(,.5 f(,.5.5 (.5.5 ( f(,.5 f(, (.5 (.5 f(,.5 f(, となり, (, (.5.5, (.5, ( , となる. 一方, 与式の微分方程式の解析解は, ( eより, (, (.5.649, (.78, ( , となり, 誤差は図 5 のように変化する.
8 8 また, 刻み幅 によっても解析解との誤差に大きく影響を与える. しかし, 刻み幅 を細かくすることは計算時間を増加することになるので, 設定には留意する必要がある (, 数値解 (, 解析解 (, 図 5: オイラー法の誤差の変化 さらに, オイラー法は, 区間 [ k, k ] d における傾き ( 微分係数 d ( k ( k を一定 ( 直線 と仮定して計算するので, ( の微分係数が大きい場合にも誤差が大き くなりやすい. 本節で説明したオイラー法は一般的には前進オイラー法とよばれる. 他にも後退オイラー法や前述のような誤差を小さくするために改良された修正オイラー法や改良オイラー法などが存在する. また, 非常に精度が高く実用的にも最も広く使われているルンゲ クッタ法などもある. これら手法の詳細に関しては, 数値計算, 数値解析, 回路シミュレーション等の関連書籍を参照されたい.
NumericalProg09
数値解析および プログラミング演習 [08 第 9 回目 ] の解法 - 4. Ruge-Kua( ルンゲ クッタ 法 Ruge-Kua-Gill( ルンゲ クッタ ジル / ギル 法 5. 多段解法 解法の対象 常微分方程式 d( d 初期値条件 (, の変化に応じて変化する の値を求める. ( 0 ( 0 と 0 は,give 0 常微分方程式の初期値問題 と言う. 3 Ruge-Kua 法の導出
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演算子の行列表現 > L いま 次元ベクトル空間の基底をケットと書くことにする この基底は完全系を成すとすると 空間内の任意のケットベクトルは > > > これより 一度基底を与えてしまえば 任意のベクトルはその基底についての成分で完全に記述することができる これらの成分を列行列の形に書くと M これをベクトル の基底 { >} による行列表現という ところで 行列 A の共役 dont 行列は A
数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ
数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュレーションによって計算してみる 4.1 放物運動一様な重力場における放物運動を考える 一般に質量の物体に作用する力をとすると運動方程式は
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きょうの講義 数値 記号処理 2003.2.6 櫻井彰人 NumSymbol@soft.ae.keo.ac.jp http://www.sakura.comp.ae.keo.ac.jp/ 数値計算手法の定石 多項式近似 ( 復習 )» 誤差と手間の解析も 漸化式» 非線型方程式の求解 数値演算上の誤差 数値計算上の誤差 打ち切り誤差 (truncaton error)» 使う公式を有限項で打ち切る
パソコンシミュレータの現状
第 2 章微分 偏微分, 写像 豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分 工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分 積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小な に対して傾きを表し, を無限に
Microsoft Word - thesis.doc
剛体の基礎理論 -. 剛体の基礎理論初めに本論文で大域的に使用する記号を定義する. 使用する記号トルク撃力力角運動量角速度姿勢対角化された慣性テンソル慣性テンソル運動量速度位置質量時間 J W f F P p .. 質点の並進運動 質点は位置 と速度 P を用いる. ニュートンの運動方程式 という状態を持つ. 但し ここでは速度ではなく運動量 F P F.... より質点の運動は既に明らかであり 質点の状態ベクトル
DVIOUT-SS_Ma
第 章 微分方程式 ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した という有名な逸話があります 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると 重力が働くと始め静止しているものが動き出して そのスピードはどんどん大きくなる つまり速度の変化が現れることがわかります 速度は一般に時間と共に変化します 速度の瞬間的変化の割合を加速度といい で定義しましょう 速度が変化する, つまり加速度がでなくなるためにはその原因があり
4STEP 数学 Ⅲ( 新課程 ) を解いてみた関数 1 微分法 1 微分係数と導関数微分法 2 導関数の計算 272 ポイント微分法の公式を利用 (1) ( )( )( ) { } ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
微分法 微分係数と導関数微分法 導関数の計算 7 ポイント微分法の公式を利用 () 7 8 別解 [ ] [ ] [ ] 7 8 など () 6 6 など 7 ポイント微分法の公式を利用 () 6 6 6 など () 9 など () þ î ì など () þ î ì þ î ì þ î ì など 7 () () 左辺を で微分すると, 右辺を で微分すると, ( ) ( ) ( ) よって, (
Autodesk Inventor Skill Builders Autodesk Inventor 2010 構造解析の精度改良 メッシュリファインメントによる収束計算 予想作業時間:15 分 対象のバージョン:Inventor 2010 もしくはそれ以降のバージョン シミュレーションを設定する際
Autodesk Inventor Skill Builders Autodesk Inventor 2010 構造解析の精度改良 メッシュリファインメントによる収束計算 予想作業時間:15 分 対象のバージョン:Inventor 2010 もしくはそれ以降のバージョン シミュレーションを設定する際に 収束判定に関するデフォルトの設定をそのまま使うか 修正をします 応力解析ソルバーでは計算の終了を判断するときにこの設定を使います
横浜市環境科学研究所
周期時系列の統計解析 単回帰分析 io 8 年 3 日 周期時系列に季節調整を行わないで単回帰分析を適用すると, 回帰係数には周期成分の影響が加わる. ここでは, 周期時系列をコサイン関数モデルで近似し単回帰分析によりモデルの回帰係数を求め, 周期成分の影響を検討した. また, その結果を気温時系列に当てはめ, 課題等について考察した. 気温時系列とコサイン関数モデル第 報の結果を利用するので, その一部を再掲する.
0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生
0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生まれ, コンピューテーショナルフォトグラフィ ( 計算フォトグラフィ ) と呼ばれている.3 次元画像認識技術の計算フォトグラフィへの応用として,
スライド 1
数値解析 平成 24 年度前期第 7 週 [2012 年 5 月 30 日 ] 静岡大学創造科学技術大学院情報科学専攻工学部機械工学科計測情報講座 三浦憲二郎 講義アウトライン [5 月 30 日 ] 数値積分 ニュートン コーツ公式 台形公式 シンプソン公式 多積分 数値積分の必要性 p.135 初等関数 ( しょとうかんすう ) とは 複素数を変数とする多項式関数 指数関数 対数関数主値の四則演算
微分方程式による現象記述と解きかた
微分方程式による現象記述と解きかた 土木工学 : 公共諸施設 構造物の有用目的にむけた合理的な実現をはかる方法 ( 技術 ) に関する学 橋梁 トンネル ダム 道路 港湾 治水利水施設 安全化 利便化 快適化 合法則的 経済的 自然および人口素材によって作られた 質量保存則 構造物の自然的な性質 作用 ( 外力による応答 ) エネルギー則 の解明 社会的諸現象のうち マスとしての移動 流通 運動量則
座標軸以外の直線のまわりの回転体の体積 ( バウムクーヘン分割公式 ) の問題の解答 立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 に
立体の体積の求め方 図 1 の立体の体積 V を求める方法を考えてみる 図 1 図 1 のように 軸の から までの長さを 等分する そして とおく とすると となる 図 1 のように のときの 軸に垂直な平面 による立体の断面積を とする 図 1の から までの斜線部分の立体 の体積を とすると, 図 2のように は 底面積 高さ の角柱の体積とみなせる よって 図 2 と表せる ただし とすると,
2014年度 センター試験・数学ⅡB
第 問 解答解説のページへ [] O を原点とする座標平面において, 点 P(, q) を中心とする円 C が, 方程式 y 4 x で表される直線 l に接しているとする () 円 C の半径 r を求めよう 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は, y - ア ( x- ) + qなので, P イ から l に引いた垂線と l の交点 Q の座標は ( ( ウ + エ q ), 4 (
数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 ) 1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期
数学 Ⅲ 微分法の応用 大学入試問題 ( 教科書程度 )1 問 1 (1) 次の各問に答えよ (ⅰ) 極限 を求めよ 年会津大学 ( 前期 ) (ⅱ) 極限値 を求めよ 年愛媛大学 ( 前期 ) (ⅲ) 無限等比級数 が収束するような実数 の範囲と そのときの和を求めよ 年広島市立大学 ( 前期 ) (2) 次の関数を微分せよ (ⅰ) を正の定数とする (ⅱ) (ⅳ) (ⅵ) ( 解答 )(1) 年群馬大学
2011年度 大阪大・理系数学
0 大阪大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を自然数とする O を原点とする座標平面上で行列 A= a の表す 次変換 を f とする cosθ siθ () >0 および0θ
計算機シミュレーション
. 運動方程式の数値解法.. ニュートン方程式の近似速度は, 位置座標 の時間微分で, d と定義されます. これを成分で書くと, d d li li とかけます. 本来は が の極限をとらなければいけませんが, 有限の小さな値とすると 秒後の位置座標は速度を用いて, と近似できます. 同様にして, 加速度は, 速度 の時間微分で, d と定義されます. これを成分で書くと, d d li li とかけます.
Microsoft Word - 微分入門.doc
基本公式 例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい 基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,
構造力学Ⅰ第１２回
第 回材の座屈 (0 章 ) p.5~ ( 復習 ) モールの定理 ( 手順 ) 座屈とは 荷重により梁に生じた曲げモーメントをで除して仮想荷重と考える 座屈荷重 偏心荷重 ( 曲げと軸力 ) 断面の核 この仮想荷重に対するある点でのせん断力 たわみ角に相当する曲げモーメント たわみに相当する ( 例 ) 単純梁の支点のたわみ角 : は 図 を仮想荷重と考えたときの 点の支点反力 B は 図 を仮想荷重と考えたときのB
解析力学B - 第11回: 正準変換
解析力学 B 第 11 回 : 正準変換 神戸大 : 陰山聡 ホームページ ( 第 6 回から今回までの講義ノート ) http://tinyurl.com/kage2010 2011.01.27 正準変換 バネ問題 ( あえて下手に座標をとった ) ハミルトニアンを考える q 正準方程式は H = p2 2m + k 2 (q l 0) 2 q = H p = p m ṗ = H q = k(q
DVIOUT-SS_Ma
第 章 テイラー展開 次の図のように関数のグラフをのグラフ ( 積み木のようなものと考えます ) を積み重ねて作ってみましょう ただ単純に足すだけではうまく作れません 色々と削ることが必要になります 次のように半分にしたり, 分のに削らなくてはなりません どうですか? たった枚の積み木を積み重ねただけで, ほぼのグラフに近づきまし たね これから学ぶのがこのテイラー展開のお話です 初等関数の微分 初等関数の微分まずは
2018年度 東京大・理系数学
08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母
2018年度 岡山大・理系数学
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 関数 f ( x) = ( + x) x について, 以下の問いに答えよ () f ( x ) = 0 を満たす x の値を求めよ () 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通るすべての接線の方程式を求めよ (3) 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通る接線のうち, 接点の x 座標が最大のものを L とする
１．民営化
参考資料 最小二乗法 数学的性質 経済統計分析 3 年度秋学期 回帰分析と最小二乗法 被説明変数 の動きを説明変数 の動きで説明 = 回帰分析 説明変数がつ 単回帰 説明変数がつ以上 重回帰 被説明変数 従属変数 係数 定数項傾き 説明変数 独立変数 残差... で説明できる部分 説明できない部分 説明できない部分が小さくなるように回帰式の係数 を推定する有力な方法 = 最小二乗法 最小二乗法による回帰の考え方
Chap3.key
区分求積法. 面積 ( )/ f () > n + n, S 長方形の和集合で近似 n f (n ) リーマン和 f (n ) 区分求積法 リーマン和 S S n n / n n f ()d リーマン積分 ( + ) + S (, f ( )) 微分の心 Zoom In して局所的な性質を調べる 積分の心 Zoom Ou して大域的な性質を調べる 曲線の長さ 領域の面積や体積 ある領域に含まれる物質の質量
データ解析
データ解析 ( 前期 ) 最小二乗法 向井厚志 005 年度テキスト 0 データ解析 - 最小二乗法 - 目次 第 回 Σ の計算 第 回ヒストグラム 第 3 回平均と標準偏差 6 第 回誤差の伝播 8 第 5 回正規分布 0 第 6 回最尤性原理 第 7 回正規分布の 分布の幅 第 8 回最小二乗法 6 第 9 回最小二乗法の練習 8 第 0 回最小二乗法の推定誤差 0 第 回推定誤差の計算 第
4 月 東京都立蔵前工業高等学校平成 30 年度教科 ( 工業 ) 科目 ( プログラミング技術 ) 年間授業計画 教科 :( 工業 ) 科目 :( プログラミング技術 ) 単位数 : 2 単位 対象学年組 :( 第 3 学年電気科 ) 教科担当者 :( 高橋寛 三枝明夫 ) 使用教科書 :( プロ
4 東京都立蔵前工業高等学校平成 30 年度教科 ( 工業 ) 科目 ( プログラミング技術 ) 年間授業計画 教科 :( 工業 ) 科目 :( プログラミング技術 ) 単位数 : 2 単位 対象学年組 :( 第 3 学年電気科 ) 教科担当者 :( 高橋寛 三枝明夫 ) 使用教科書 :( プログラミング技術 工業 333 実教出版 ) 共通 : 科目 プログラミング技術 のオリエンテーション プログラミング技術は
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m u. 固有値とその応用 8/7/( 水 ). 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 行列による写像から固有ベクトルへ m m 行列 によって線形写像 f : R R が表せることを見てきた ここでは 次元平面の行列による写像を調べる とし 写像 f : を考える R R まず 単位ベクトルの像 u y y f : R R u u, u この事から 線形写像の性質を用いると 次の格子上の点全ての写像先が求まる
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- = 4 = 4 = - y = x y = x y = x + 4 y = x 比例は y = ax の形であらわすことができる 4 - 秒後 y = 5 y = 0 (m) 5 秒後 y = 5 5 y = 5 (m) 5 0 = 05 (m) 05 5 = 5 (m/ 秒 ) 4 4 秒後 y = 5 4 y = 80 (m) 5-80 5 4 = 45 (m/ 秒 ) 5 v = 0 5
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制御工学 I 第二回ラプラス変換 平成 年 4 月 9 日 /4/9 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し
第3章図形と方程3章図形と方程式18 三平方の定理 直角三角形の斜辺の長さの 2 乗は 残る 2 辺の長さの 2 乗の和に 等しい このことから 一般の直角三角形でも その斜辺 ( 一番長い辺 ) を一辺とする正方形の面積 S 1 は 残りの 2 辺を一辺とする正方形の面積 S 2 と S 3 の和
第章図形と方程章図形と方程式8 三平方の定理 直角三角形の斜辺の長さの 乗は 残る 辺の長さの 乗の和に 等しい このことから 一般の直角三角形でも その斜辺 ( 一番長い辺 ) を一辺とする正方形の面積 S は 残りの 辺を一辺とする正方形の面積 S と S の和に等しいと思われます つまり S = S = = + ( 注 ) 逆も成立します つまり 三角形に おいて 辺の長さの 乗の和が残りの
Chap2
逆三角関数の微分 Arcsin の導関数を計算する Arcsin I. 初等関数の微積分 sin [, ], [π/, π/] cos sin / (Arcsin ) 計算力の体力をつけよう π/ π/ E. II- 次の関数の導関数を計算せよ () Arccos () Arctan E. I- の解答 不定積分あれこれ () Arccos n log C C (n ) n e e C log (log
モデリングとは
コンピュータグラフィックス基礎 第 5 回曲線 曲面の表現 ベジェ曲線 金森由博 学習の目標 滑らかな曲線を扱う方法を学習する パラメトリック曲線について理解する 広く一般的に使われているベジェ曲線を理解する 制御点を入力することで ベジェ曲線を描画するアプリケーションの開発を行えるようになる C++ 言語の便利な機能を使えるようになる 要素数が可変な配列としての std::vector の活用 計算機による曲線の表現
PowerPoint プレゼンテーション
反応工学 Reacio Egieerig 講義時間 場所 : 火曜 限 8- 木曜 限 S- 担当 : 山村 補講 /3 木 限 S- ジメチルエーテルの気相熱分解 CH 3 O CH 4 H CO 設計仕様 処理量 v =4.8 m 3 /h 原料は DME のみ 777K 反応率 =.95 まで熱分解 管型反応器の体積 V[m 3 ] を決定せよ ただし反応速度式反応速度定数 ラボ実験は自由に行ってよい
2016年度 筑波大・理系数学
06 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ k を実数とする y 平面の曲線 C : y とC : y- + k+ -k が異なる共 有点 P, Q をもつとする ただし点 P, Q の 座標は正であるとする また, 原点を O とする () k のとりうる値の範囲を求めよ () k が () の範囲を動くとき, OPQ の重心 G の軌跡を求めよ () OPQ の面積を S とするとき,
FEM原理講座 （サンプルテキスト）
サンプルテキスト FEM 原理講座 サイバネットシステム株式会社 8 年 月 9 日作成 サンプルテキストについて 各講師が 講義の内容が伝わりやすいページ を選びました テキストのページは必ずしも連続していません 一部を抜粋しています 幾何光学講座については 実物のテキストではなくガイダンスを掲載いたします 対象とする構造系 物理モデル 連続体 固体 弾性体 / 弾塑性体 / 粘弾性体 / 固体
2018年度 ２次数学セレクション（微分と積分）
08 次数学セレクション問題 [ 東京大 ] > 0 とし, f = x - x とおく () x で f ( x ) が単調に増加するための, についての条件を求めよ () 次の 条件を満たす点 (, b) の動きうる範囲を求め, 座標平面上に図示せよ 条件 : 方程式 f = bは相異なる 実数解をもつ 条件 : さらに, 方程式 f = bの解を < < とすると > である -- 08 次数学セレクション問題
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最適レギュレータ 松尾研究室資料 第 最適レギュレータ 節時不変型無限時間最適レギュレータ 状態フィードバックの可能な場合の無限時間問題における最適レギュレータについて確定系について説明する. ここで, レギュレータとは状態量をゼロにするようなコントローラのことである. なぜ, 無限時間問題のみを述べるかという理由は以下のとおりである. 有限時間の最適レギュレータ問題の場合の最適フィードバックゲインは微分方程式の解から構成される時間関数として表現される.
Taro-数値計算の基礎Ⅱ（公開版）
0. 目次 1. 2 分法 2. はさみうち法 3. 割線法 4. 割線法 ( 2 次曲線近似 ) 5. ニュートン法 ( 接線近似 ) - 1 - 1. 2 分法 区間 [x0,x1] にある関数 f(x) の根を求める 区間 [x0,x1] を xm=(x0+x1)/2 で 2 等分し 区間 [x0,xm],[xm,x1] に分割する f(xm) の絶対値が十分小さい値 eps より小さいとき
例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X (
第 週ラプラス変換 教科書 p.34~ 目標ラプラス変換の定義と意味を理解する フーリエ変換や Z 変換と並ぶ 信号解析やシステム設計における重要なツール ラプラス変換は波動現象や電気回路など様々な分野で 微分方程式を解くために利用されてきた ラプラス変換を用いることで微分方程式は代数方程式に変換される また 工学上使われる主要な関数のラプラス変換は簡単な形の関数で表されるので これを ラプラス変換表
<4D F736F F D2097CD8A7793FC96E582BD82ED82DD8A E6318FCD2E646F63>
- 第 章たわみ角法の基本式 ポイント : たわみ角法の基本式を理解する たわみ角法の基本式を梁の微分方程式より求める 本章では たわみ角法の基本式を導くことにする 基本式の誘導法は各種あるが ここでは 梁の微分方程式を解いて基本式を求める方法を採用する この本で使用する座標系は 右手 右ネジの法則に従った座標を用いる また ひとつの部材では 図 - に示すように部材の左端の 点を原点とし 軸線を
Chap2.key
. f( ) V (V V ) V e + V e V V V V ( ) V V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) () V (0 ) (4) V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) O r θ ( ) ( ) : (r θ) : { r cos θ r sn θ { r + () V (0 ) (4) V ( ) θ θ arg( ) : π π
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)
微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 () 関数 ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか ( 1, ( 1) ) と ( 1 + h, ( 1 + h) ) の傾き= ( 1 + h ) - ( 1 ) ( 1 + ) - ( 1) = ( 1 + h) - 1 h ( 1) = lim h ( 1 + h) - ( 1) h ( 1, ( 1) ) と ( 1 - h,
3 数値解の特性 3.1 CFL 条件 を 前の章では 波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めた ここでは このようにして得られた数値解の性質を 考
![3 数値解の特性 3.1 CFL 条件 を 前の章では 波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めた ここでは このようにして得られた数値解の性質を 考](/thumbs/103/158269281.jpg "3 数値解の特性 3.1 CFL 条件 を 前の章では 波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めた ここでは このようにして得られた数値解の性質を 考")
3 数値解の特性 3.1 CFL 条件 を 前の章では 波動方程式 f x= x = f x= x t f c x f = [1] c f x= x f x= x 2 2 t [2] のように差分化して数値解を求めた ここでは このようにして得られた数値解の性質を 考える まず 初期時刻 t=t に f =R f exp [ik x ] [3] のような波動を与えたとき どのように時間変化するか調べる
相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を
台形に潜むいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 台形に調和平均 相加平均をみる 右図の台形 において = = とする の長さを, を用いて表してみよう = x = y = c とすると であることから : = : より c y = x + y であることから : = : より c x = x + y を辺々加えると x + y c + = より + = x + y c となる ここで = = c =
Microsoft Word - 1B2011.doc
第 14 回モールの定理 ( 単純梁の場合 ) ( モールの定理とは何か?p.11) 例題 下記に示す単純梁の C 点のたわみ角 θ C と, たわみ δ C を求めよ ただし, 部材の曲げ 剛性は材軸に沿って一様で とする C D kn B 1.5m 0.5m 1.0m 解答 1 曲げモーメント図を描く,B 点の反力を求める kn kn 4 kn 曲げモーメント図を描く knm 先に得られた曲げモーメントの値を
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/9/5 FD( 計算流体力学 ) の基礎理論 性能 運動分野 夏の学校 神戸大学大学院海事科学研究科勝井辰博 流体の質量保存 流体要素内の質量の増加率 [ 単位時間当たりの増加量 ] 単位時間に流体要素に流入する質量 流体要素 Fl lm (orol olm) v ( ) ガウスの定理 v( ) /9/5 = =( ) b=b =(b b b ) b= b = b + b + b アインシュタイン表記
重要例題113
04_ 高校 数学 Ⅱ 必須基本公式 定理集 数学 Ⅱ 第 章式の計算と方程式 0 商と余り についての整式 A をについての整式 B で割ったときの商を Q, 余りを R とすると, ABQ+R (R の次数 ) > 0
§６
6. 代数方程式 [ 第 回 ] 6. ベアストウ法 3 の代数方程式の数値解を求める方法の一つにベアストウ法がある. fz () z + az +! + a z+ a 0 この式を 次式 : z + pz +q で割ると一般に, 3 fz () ( z + pz+ q)( "###############$# z + bz +! ############## + b 3z+ b ) + #%# Rz
曲線 = f () は を媒介変数とする自然な媒介変数表示 =,= f () をもつので, これを利用して説明する 以下,f () は定義域で連続であると仮定する 例えば, 直線 =c が曲線 = f () の漸近線になるとする 曲線 = f () 上の点 P(,f ()) が直線 =c に近づくこ
伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 漸近線の求め方に関する考察 たまい玉井 かつき克樹 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊. 漸近線についての生徒からの質問 数学において図を使って直感的な説明を与えることは, 理解を深めるのに大いに役立つ
公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? 8 和積の公式 A + B A B si A + si B si os A + B A B si A si B os si A + B A B os A + os B os os A + B A B os A os B si si 9 三角関数の合成 si
公式集 数学 Ⅱ B 頭に入っていますか? < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, B x, のとき x x + : に分ける点 A x, B x, のとき 線分 AB を:に分ける点 æ x + x + ö は ç, è + + ø 注 < のとき外分点 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : x 点 x, x, を通る : x 注 分母が のとき は座標軸と平行な直線 x x 4 直線の位置関係
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第 3 章 フーリエ変換 3.1 フーリエ積分とフーリエ変換 第 章では 周期を持つ関数のフーリエ級数について学びました この章では 最初に 周期を持つ関数のフーリエ級数を拡張し 周期を持たない ( 一般的な ) 関数のフーリエ級数を導きましょう 具体的には 関数 f(x) を区間 L x L で考え この L を限りなく大きくするというアプローチを取ります (L ) なお ここで扱う関数 f(x)
航空機の運動方程式
可制御性 可観測性. 可制御性システムの状態を, 適切な操作によって, 有限時間内に, 任意の状態から別の任意の状態に移動させることができるか否かという特性を可制御性という. 可制御性を有するシステムに対し, システムは可制御である, 可制御なシステム という言い方をする. 状態方程式, 出力方程式が以下で表されるn 次元 m 入力 r 出力線形時不変システム x Ax u y x Du () に対し,
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第 章 離散フーリエ変換 離散フーリエ変換 これまで 私たちは連続関数に対するフーリエ変換およびフーリエ積分 ( 逆フーリエ変換 ) について学んできました この節では フーリエ変換を離散化した離散フーリエ変換について学びましょう 自然現象 ( 音声 ) などを観測して得られる波 ( 信号値 ; 観測値 ) は 通常 電気信号による連続的な波として観測機器から出力されます しかしながら コンピュータはこの様な連続的な波を直接扱うことができないため
7 章問題解答 7-1 予習 1. 長方形断面であるため, 断面積 A と潤辺 S は, 水深 h, 水路幅 B を用い以下で表される A = Bh, S = B + 2h 径深 R の算定式に代入すると以下のようになる A Bh h R = = = S B + 2 h 1+ 2( h B) 分母の
7 章問題解答 7- 予習. 長方形断面であるため, 断面積 と潤辺 S は, 水深, 水路幅 B を用い以下で表される B, S B + 径深 R の算定式に代入すると以下のようになる B R S B + ( B) 分母の /B は河幅が水深に対して十分に広ければ, 非常に小さな値となるため, 上式は R ( B) となり, 径深 R は水深 で近似できる. マニングの式の水深 を等流水深 0 と置き換えると,
Microsoft Word - K-ピタゴラス数.doc
- ピタゴラス数の代数と幾何学 津山工業高等専門学校 菅原孝慈 ( 情報工学科 年 ) 野山由貴 ( 情報工学科 年 ) 草地弘幸 ( 電子制御工学科 年 ) もくじ * 第 章ピタゴラス数の幾何学 * 第 章ピタゴラス数の代数学 * 第 3 章代数的極小元の幾何学の考察 * 第 章ピタゴラス数の幾何学的研究の動機 交点に注目すると, つの曲線が直交しているようにみえる. これらは本当に直交しているのだろうか.
受信機時計誤差項の が残ったままであるが これをも消去するのが 重位相差である. 重位相差ある時刻に 衛星 から送られてくる搬送波位相データを 台の受信機 でそれぞれ測定する このとき各受信機で測定された衛星 からの搬送波位相データを Φ Φ とし 同様に衛星 からの搬送波位相データを Φ Φ とす
RTK-GPS 測位計算アルゴリズム -FLOT 解 - 東京海洋大学冨永貴樹. はじめに GPS 測量を行う際 実時間で測位結果を得ることが出来るのは今のところ RTK-GPS 測位のみである GPS 測量では GPS 衛星からの搬送波位相データを使用するため 整数値バイアスを決定しなければならず これが測位計算を複雑にしている所以である この整数値バイアスを決定するためのつの方法として FLOT
2017年度 長崎大・医系数学
07 長崎大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () 0 のとき, si + cos の最大値と最小値, およびそのときの の値 をそれぞれ求めよ () e を自然対数の底とする > eの範囲において, 関数 y を考える この両 辺の対数を について微分することにより, y は減少関数であることを示せ また, e< < bのとき, () 数列 { } b の一般項が,
2015年度 岡山大・理系数学
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を 以上の自然数とし, から までの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意する これらすべてを箱に入れ, 箱の中から 枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード 枚の番号が両方とも k である確率を と k の式で表せ () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を
2015年度 信州大・医系数学
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 y = a + b + c ( a > 0) を C とし, 直線 y = -を l とする () 放物線 C が点 (, ) で直線 l と接し, かつ 軸と共有点をもつための a, b, c が満 たす必要十分条件を求めよ () a = 8 のとき, () の条件のもとで, 放物線 C と直線 l および 軸とで囲まれた部
2014年度 筑波大・理系数学
筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f ( x) = x x とする y = f ( x ) のグラフに点 P(, ) から引いた接線は 本あるとする つの接点 A (, f ( )), B(, f ( )), C(, f ( )) を頂点とする三角形の 重心を G とする () + +, + + および を, を用いて表せ () 点 G の座標を, を用いて表せ () 点 G
Microsoft Word - 16wakui
平成 22 年度高等学校授業力向上研修実践記録 Excel を利用した区分求積法の指導 ( 視覚的効果を用いた指導 ) - 数学 Ⅱ 積分の応用 ( 面積 ) の指導を通して - 県立長岡高等学校涌井英幸 Ⅰ 指導構想本単元における 研究テーマ に迫るための視点定積分が 単に面積を求めるためだけに用いられるのではなく 積分 という演算が グラフ上で f(x) の連続した和であることを意識できるよう
20～22.prt
[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点
線積分.indd
線積分 線積分 ( n, n, n ) (ξ n, η n, ζ n ) ( n-, n-, n- ) (ξ k, η k, ζ k ) ( k, k, k ) ( k-, k-, k- ) 物体に力 を作用させて位置ベクトル A の点 A から位置ベクトル の点 まで曲線 に沿って物体を移動させたときの仕事 W は 次式で計算された A, A, W : d 6 d+ d+ d@,,, d+ d+
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電磁波工学 第 5 回平面波の媒質への垂直および射入射と透過 柴田幸司 Bounda Plan Rgon ε μ Rgon Mdum ( ガラスなど ε μ z 平面波の反射と透過 垂直入射の場合 左図に示す様に 平面波が境界面に対して垂直に入射する場合を考える この時の入射波を とすると 入射波は境界において 透過波 と とに分解される この時の透過量を 反射量を Γ とおくと 領域 における媒質の誘電率に対して透過量
学習指導要領
(1) いろいろな式 学習指導要領紅葉川高校学力スタンダードア式と証明展開の公式を用いて 3 乗に関わる式を展開すること ( ア ) 整式の乗法 除法 分数式の計算ができるようにする 三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し そ 3 次の因数分解の公式を理解し それらを用いて因数れらを用いて式の展開や因数分解をすること また 分解することができるようにする 整式の除法や分数式の四則計算について理解し
数学の学び方のヒント
数学 Ⅱ における微分単元の 指導法の改善に関する研究 2017 年 10 月北数教旭川大会で発表した内容です 北海道札幌国際情報高等学校和田文興 1 Ⅰ. 研究の動機と背景 高校では極限を厳密に定義できず, 曖昧でわかりにくい. 私自身は, はじめて微分と出会ったとき, 極限の考え方等が納得できなかった. y () a h 接線 a 傾き (a) 2 Ⅰ. 研究の動機と背景 微分の指導改善に関する優れた先行研究がいくつかあるが,
p tn tn したがって, 点 の 座標は p p tn tn tn また, 直線 l と直線 p の交点 の 座標は p p tn p tn よって, 点 の座標 (, ) は p p, tn tn と表され p 4p p 4p 4p tn tn tn より, 点 は放物線 4 p 上を動くこと
567_ 次曲線の三角関数による媒介変数表示 次曲線の三角関数による媒介変数表示 次曲線 ( 放物線 楕円 双曲線 ) の標準形の, についての方程式と, 三角関数による媒介変数表示は次のように対応している.. 放物線 () 4 p (, ) ( ptn, ptn ) (). 楕円. 双曲線 () () (, p p ), tn tn (, ) ( cos, sin ) (, ), tn cos (,
2011年度 筑波大・理系数学
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ
Microsoft Word - 非線形計画法 原稿
非線形計画法条件付き最適化問題は目的関数と制約条件で示すが この中に一つでも 次式でないものが含まれる問題を総称して非線形計画法いう 非線形計画問題は 多くの分野で研究されているが 複雑性により十分汎用的なものは確立されておらず 限定的なものに限り幾つかの提案がなされている ここでは簡単な解法について紹介する. 制約なし極値問題 単純問題の解法 変数で表される関数 の極値は を解くことによって求められる
Microsoft Word - スーパーナビ 第６回 数学.docx
1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16
2019年度 千葉大・理系数学
9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a, a とし, のとき, a+ a + a - として数列 { a } () のとき a+ a a a - が成り立つことを証明せよ () åai aaa + が成り立つような自然数 を求めよ i を定める -- 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 三角形 ABC は AB+ AC BCを満たしている また,
OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 富山富山県立大学中川慎二
OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 勉強会 @ 富山富山県立大学中川慎二 * OpenFOAM のソースコードでは, 基礎式を偏微分方程式の形で記述する.OpenFOAM 内部では, 有限体積法を使ってこの微分方程式を解いている. どのようにして, 有限体積法に基づく離散化が実現されているのか,
差分スキーム 物理 化学 生物現象には微分方程式でモデル化される例が多い モデルを使って現実の現象をコンピュータ上で再現することをシミュレーション ( 数値シミュレーション コンピュータシミュレーション ) と呼ぶ そのためには 微分方程式をコンピュータ上で計算できる数値スキームで近似することが必要
差分スキーム 物理 化学 生物現象には微分方程式でモデル化される例が多い モデルを使って現実の現象をコンピュータ上で再現することをシミュレーション ( 数値シミュレーション コンピュータシミュレーション ) と呼ぶ そのためには 微分方程式をコンピュータ上で計算できる数値スキームで近似することが必要になる その一つの方法が微分方程式を差分方程式におき直すことである 微分方程式の差分化 次の 1 次元境界値問題を考える
社会保険料の賃金への影響について
社会保険料の賃金への影響について Borja,G. Labor economic, 3r e McGraw-Hill, Chapter, -3: Policy Application: payroll taxe an ubiie N グレゴリー マンキュー マンキュー経済学 Ⅰミクロ編 足立他訳 東洋経済新報社 2000 年 68-78 ページただし 保険料 ( 税金 ) のかかり方は 教科書のものと以下で扱うものとでは異なっていることに注意.
周期時系列の統計解析 (3) 移動平均とフーリエ変換 nino 2017 年 12 月 18 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ( ノイズ ) の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分の振幅
周期時系列の統計解析 3 移動平均とフーリエ変換 io 07 年 月 8 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ノイズ の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分のがどのように変化するのか等について検討する. また, 気温の実測値に移動平均を適用した結果についてフーリエ変換も併用して考察する. 単純移動平均の計算式移動平均には,
喨微勃挹稉弑
== 全微分方程式 == 全微分とは 変数の関数 z=f(, ) について,, の増分を Δ, Δ とするとき, z の増分 Δz は Δz z Δ+ z Δ で表されます. この式において, Δ 0, Δ 0 となる極限を形式的に dz= z d+ z d (1) で表し, dz を z の全微分といいます. z は z の に関する偏導関数で, を定数と見なし て, で微分したものを表し, 方向の傾きに対応します.
Microsoft Word - ８章（ＣＩ）.doc
8 章配置間相互作用法 : Configuration Interaction () etho [] 化学的精度化学反応の精密な解析をするためには エネルギー誤差は数 ~ kcal/mol 程度に抑えたいものである この程度の誤差内に治まる精度を 化学的精度 と呼ぶことがある He 原子のエネルギーをシュレーディンガー方程式と分子軌道法で計算した結果を示そう He 原子のエネルギー Hartree-Fock
以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ
以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する
項別超微分
13 項別超微分本章では 2 階以上の高階導関数を簡単な一般式で表すことが困難な関数について これら を級数に展開した上項別に超微分するものである 従って 12 超微分 で扱った e x, logx, sinx, cosx, sinhx, coshx の各関数は本章では扱わない 13 1 三角関数 双曲線関数の項別超微分 公式 13 1 1 ベルヌイ数とオイラー数をそれぞれ B 0 =1, B 2
<4D F736F F D A CF95AA B B82CC90CF95AA8CF68EAE2E646F63>
/8 平成 年 月 日午後 時 6 分 複素積分 : コーシーの積分公式 複素積分 : コーシーの積分公式 Ⅰ. 閉じた積分経路と円周 積分しなくても線積分の結果が分かる場合の第 弾です それは ( ( π d は正則関数 d! d 積分経路は を囲む (. になります これを コーシーの積分公式といいます 複素積分 : コーシーの積分定理 -Ⅰ. 線積分の実技での線積分では 半径 r の円 周上の閉じた経路
DVIOUT-n_baika
1 三角関数の n 倍角の公式とその応用について述べます. なお Voyage 200 の操作の詳細は http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~yamane にある はじめての数式処理電卓 Voyage 200 をご覧下さい. 2 倍角の公式 cos 2x =2cos 2 x 1=1 2sin 2 x sin 2x =2sinxcos x はよく知られています.3 倍角の公式
2013年度 信州大・医系数学
03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ () 式 + + a a a3 を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, a a a3とな るものをすべて求めよ () r を正の有理数とする 式 r + + a a a を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, 3 a a a3となるものは有限個しかないことを証明せよ ただし, そのよう な組が存在しない場合は 0 個とし,
Microsoft Word 浜松TH数３Cロピタルネタ.doc
ロピタルの定理 で白紙答案撲滅 0. 初めに今回は 数学 Ⅲ が必要な受験生を対象に ロピタルの定理 について解説します. ロピタルの定理は極限を求めるのに強力な定理ですが 極限を求められなくてこれ以上答案を続けられない と言うときに使ってください. 使わずに済むならその方が安全です. 何故ならロピタルの定理を使うと減点すると言う大学の教官が存在するからです.( 何故減点するのか理由は知りません.)
問 題
数学 出題のねらい 数と式, 図形, 関数, 資料の活用 の 4 領域について, 基礎的な概念や原理 法則の理解と, それらに基づき, 数学的に考察したり, 表現したり, 処理したりする力をみることをねらいとした () 数と式 では, 数の概念についての理解の程度, 文字を用いた式を処理したり, 文字を用いて式に表現したりする力, 目的に応じて式を変形する力をみるものとした () 図形 では, 平面図形や空間図形についての理解の程度,
Microsoft Word - 【確定版】H27都道府県別生命表作成方法
平別生命表の作成方 Ⅰ 平成 7 年都道府県別生命表の作成方法 生命関数の定義 生存率 死亡率ちょうど歳に達した者が + 歳に達するまで生存する確率を歳以上 + 歳未満における生存率といい これをで表し + 歳に達しないで死亡する確率を歳以上 + 歳未満における死亡率といい これをで表す 特に を歳における生存率 死亡率といい これらを で表す 生存数生命表上で一定の出生者人 ( 通常 00,000
数学 ⅡB < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 1 大小関係の公理 順序 (a > b, a = b, a > b 1 つ成立 a > b, b > c a > c 成立 ) 順序と演算 (a > b a + c > b + c (a > b, c > 0 ac > bc) 2 図
数学 Ⅱ < 公理 > 公理を論拠に定義を用いて定理を証明する 大小関係の公理 順序 >, =, > つ成立 >, > > 成立 順序と演算 > + > + >, > > 図形の公理 平行線の性質 錯角 同位角 三角形の合同条件 三角形の合同相似 量の公理 角の大きさ 線分の長さ < 空間における座漂とベクトル > ベクトルの演算 和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル
2015年度 金沢大・理系数学
05 金沢大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ四面体 OABC において, 3 つのベクトル OA, OB, OC はどの つも互いに垂直で あり, h > 0 に対して, OA, OB, OC h とする 3 点 O, A, B を通る平面上の点 P は, CP が CA と CB のどちらとも垂直となる点であるとする 次の問いに答えよ () OP OA + OB とするとき, と
2014年度 東京大・文系数学
014 東京大学 ( 文系 ) 前期日程問題 1 解答解説のページへ以下の問いに答えよ (1) t を実数の定数とする 実数全体を定義域とする関数 f ( x ) を f ( x) =- x + 8tx- 1x+ t - 17t + 9t-18 と定める このとき, 関数 f ( x ) の最大値を t を用いて表せ () (1) の 関数 f ( x ) の最大値 を g( t ) とする t が
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No. 基礎 ~ マクスウェルの方程式 ~ t t D H B E d t d d d t d D l H B l E 微分形積分形 電磁気学の知識からマクスウェルの方程式を導く No. ファラデーの法則 V d dt E dl t B d ストークスの定理を使って E d E ファラデー : 近接作用 界の概念を提唱 B t t B d アンペアの法則 I H rh I H dl d r dl V
Microsoft PowerPoint - 基礎・経済統計6.ppt
. 確率変数 基礎 経済統計 6 確率分布 事象を数値化したもの ( 事象ー > 数値 の関数 自然に数値されている場合 さいころの目 量的尺度 数値化が必要な場合 質的尺度, 順序的尺度 それらの尺度に数値を割り当てる 例えば, コインの表が出たら, 裏なら 0. 離散確率変数と連続確率変数 確率変数の値 連続値をとるもの 身長, 体重, 実質 GDP など とびとびの値 離散値をとるもの 新生児の性別
OCW-iダランベールの原理
講義名連続体力学配布資料 OCW- 第 2 回ダランベールの原理 無機材料工学科准教授安田公一 1 はじめに今回の講義では, まず, 前半でダランベールの原理について説明する これを用いると, 動力学の問題を静力学の問題として解くことができ, さらに, 前回の仮想仕事の原理を適用すると動力学問題も簡単に解くことができるようになる また, 後半では, ダランベールの原理の応用として ラグランジュ方程式の導出を示す
測量試補 重要事項
用地測量面積計算 < 試験合格へのポイント > 座標法による面積計算に関する問題は その出題回数からも定番問題と言えるが 計算自体はさほど難しいものではなく 計算表を作成しその中に数値を当てはめていくことで答えを導くことができる 過去問をしっかりとこなし 計算手順を覚えれば点の取りやすい問題と言える 士補試験に出題される問題は過去の例を見ても 座標が簡単な数値に置き換えることができるようになっている
<4D F736F F D B4389F D985F F4B89DB91E88250>
電気回路理論 II 演習課題 H30.0.5. 図 の回路で =0 で SW を on 接続 とする時 >0 での i, 並びに を求め 図示しなさい ただし 0 での i, 並びに を求めなさい ただし 0 とする 3. 図 3の回路で =0 で SW を下向きに瞬時に切り替える時 >0 での i,
2017年度 神戸大・理系数学
7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ を自然数とする f ( si + とおく < < 4 であることを用い て, 以下の問いに答えよ ( < < のとき, f ( < であることを示せ ( 方程式 f ( は < < の範囲に解をただ つもつことを示せ ( ( における解を とする lim であることを示し, lim を求めよ 7 神戸大学 ( 理系 前期日程問題 解答解説のページへ
(Microsoft PowerPoint - \221\34613\211\361)
計算力学 ~ 第 回弾性問題の有限要素解析 (Ⅱ)~ 修士 年後期 ( 選択科目 ) 担当 : 岩佐貴史 講義の概要 全 5 講義. 計算力学概論, ガイダンス. 自然現象の数理モデル化. 行列 場とその演算. 数値計算法 (Ⅰ) 5. 数値計算法 (Ⅱ) 6. 初期値 境界値問題 (Ⅰ) 7. 初期値 境界値問題 (Ⅱ) 8. マトリックス変位法による構造解析 9. トラス構造の有限要素解析. 重み付き残差法と古典的近似解法.
今後の予定 6/29 パターン形成第 11 回 7/6 データ解析第 12 回 7/13 群れ行動 ( 久保先生 ) 第 13 回 7/17 ( 金 ) 休講 7/20 まとめ第 14 回 7/27 休講?
今後の予定 6/29 パターン形成第 11 回 7/6 データ解析第 12 回 7/13 群れ行動 ( 久保先生 ) 第 13 回 7/17 ( 金 ) 休講 7/20 まとめ第 14 回 7/27 休講? 数理生物学演習 第 11 回パターン形成 本日の目標 2 次元配列 分子の拡散 反応拡散モデル チューリングパタン 拡散方程式 拡散方程式 u t = D 2 u 拡散が生じる分子などの挙動を記述する.
05 年度センター試験数学 ⅡB () において,cos q 0 であるから,P ( cos q, sin q) より, 直線 OP を表す方程式は y sin q sin q x cos q cos q x すなわち, (sin q) x - (cos q) y 0 ( ) ク 点 O,P,Q が
05 年度大学入試センター試験解説 数学 ⅡB 第 問 []() 点間の距離の公式から, OP ( cos q ) + ( sin q ) ( cos q + sin q ) ア PQ { ( cos q + cos 7q ) - cos q } + { ( sin q + sin 7q ) - sin q } cos q + sin q 7 7 イ である また, OQ ( cos q + cos
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数理情報工学特論第一 機械学習とデータマイニング 4 章 : 教師なし学習 3 かしまひさし 鹿島久嗣 ( 数理 6 研 ) kashima@mist.i.~ DEPARTMENT OF MATHEMATICAL INFORMATICS 1 グラフィカルモデルについて学びます グラフィカルモデル グラフィカルラッソ グラフィカルラッソの推定アルゴリズム 2 グラフィカルモデル 3 教師なし学習の主要タスクは