06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を正の定数とし, 座標平面上において, 円 C : x + y, 放物線 C : y ax + C 上の点 P (, ) を考える - におけるC の接線 l は点 Q( s, t) でC に接してい る 次の問いに答えよ () s, t および a を求めよ () C, l および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ () 円 C 上の点が点 P から点 R(0, ) まで反時計回りに動いてできる円弧をC とす る C, l およびC で囲まれた部分の面積を求めよ --
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 四角形 ABCD において, DAB DBC 90, BCD 60, AB AD, BC とする 次の問いに答えよ () 対角線 BD の長さの 乗 BD を求めよ () 対角線 AC の長さの 乗 AC を求めよ () BAC, ACD とおくとき, cos, cos を求めよ --
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標空間に 点 O( 0, 0, 0 ), A ( s, s, s ), B( -,, ), C( 0, 0, ) がある ただ し, s > 0 とする t, u, v を実数とし, d OB-tOA, e OC-uOA -vob とおく 次の問いに答えよ () OA ^ d のとき, t を s を用いて表せ () OA ^ d, OA ^ e, d ^ eのとき, u, v を s を用いて表せ () () のとき, 点 D, E を, OD d, OE e となる点とする 四面体 OADE の体積が であるとき, s の値を求めよ --
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面上に原点を出発点として動く点 Q があり, 次の試行を行う 枚の硬貨を投げ, 表が出たら Q は x 軸の正の方向に, 裏が出たら y 軸の正 の方向に 動く ただし, 点 (, ) に到達したら Q は原点に戻る この試行を 回繰り返した後の Q の座標を ( x, y) とする 次の問いに答えよ () ( x, y ) (0, 0) となる確率を求めよ () ( x8, y 8) (5, ) となる確率を求めよ () x8 + y8 となる確率を求めよ () x + y kとなる確率を と k で表せ ここで k は 以下の自然数とする --
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ を 以上の自然数とする 次の問いに答えよ () 変量 x のデータの値が x, x,, る f ( a ) を最小にする a は x, x,, x,, x の分散であることを示せ x であるとし, () c を定数として, 変量 y, z の k 番目のデータの値が yk k ( k,,, ), zk ck ( k,,, ) であるとする このとき y, y,, なるための c の必要十分条件を求めよ () 変量 x のデータの値が x, x,, f ( a) ( x -a) å k とす x の平均値で, そのときの最小値は x, y の分散が z, z,, にデータを得たとし, その値を x + とする x, x,, x +, x および を用いて表せ z の分散より大きく x であるとし, その平均値を x とする 新た x, x + の平均値を () 次の 0 個のデータの平均値, 分散, 中央値を計算すると, それぞれ, ちょうど 0, 670, 5 であった 0 0 60 70 0 0 0 0 0 60 0 50 0 0 0 0 0 0 0 70 00 0 0 0 0 60 70 0 50 0 0 0 50 80 0 0 70 0 60 0 新たにデータを得たとし, その値が 0 であった このとき, 個のすべてのデータの平均値, 分散, 中央値を求めよ ただし, 得られた値が整数でない場合は, 小数第 位を四捨五入せよ -5-
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () + 上の点 P (, ) C : x y 線 l の方程式は, - におけるC の接 l : x- y, y x- C : y ax + とを連立すると, ax + x -, ax - x + 0 l とC が接することより, D - a 0, a このとき, の重解は x a よって, 接点 Q の x 座標 s となり, からt - である () C, l および y 軸で囲まれた部分の面積 S は, S ò ( x + - x+ ) dx ( ) ò x- dx () C, l および 0 ( x - ) é ù ê ë ú û 0 C で囲まれた部分の面積 T は, T S- - 0 - C POR, l の y 切片が- から, - - - y t R O - C P l s Q x [ 解説 ] 円と放物線の関係を題材にした面積に関する基本題です -- 電送数学舎 06
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 直角三角形 BCD において, A D 5 BD BCta 60, BD () 直角二等辺三角形 ABD において, AB AD BDcos5 5 ABC 5 から, ABC に余弦定理を適用すると, AC + - cos5 5 + () 条件より, BAC, ACD とおく まず, ABC に余弦定理を適用すると, + 5 5 ( + )- + cos, + - 5+ cos 0 よって, cos + + となり, 5+ 5+ (+ )(5- ) cos + 8+ 5+ 5- 次に, CD から, ACD に余弦定理を適用すると, ( ) 5 + + - 5 + cos, 5+ - 5+ cos 0 よって, cos 5+ となり, 5+ 8 0 ( + 5 )(5- ) cos + 0-8(5+ ) 5-5 B 60 C [ 解説 ] 三角比の図形への適用問題です 内容は基本事項の確認です -- 電送数学舎 06
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () s > 0 で, O( 0, 0, 0 ), A ( s, s, s ), B( -,, ), C( 0, 0, ) に対して, OA s + s + s s, OB + +, OC OA OB - s+ s+ s s, OA OC s, OB OC さて, OA ^ d より, OA d OA ( OB- toa ) 0 となり, - s t 0, s t s より, OA e OA ( OC-uOA - vob ) 0 となり, () まず, OA ^ e s-s u- sv 0, -su - v 0 また, d ^ e より, d e ( OB-tOA ) ( OC-uOA - vob ) 0 となり, -su -v - st + s tu + stv 0 より, -su -v - + su + v 0, 8 0 - v, v より, - su 0, u 5 s () より, OD d (-,, ) - (,, ) s s s s ( -,, ) 5より, OE e ( 0, 0, ) - ( s, s, s) -(-,, ) (0, -, ) s ここで, OD ^ OE より ODE は直角三角形となり, また OA ^ OD, OA ^ OE より OA は ODE に垂直である これより, 四面体 OADE の体積 V は, V OD OE OA + + + s s 6 よって, 条件からV なので, s すなわち s 6 である [ 解説 ] 空間ベクトルの基本的な問題です 成分表示して計算していくと, スムーズに結論まで導けます -- 電送数学舎 06
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 原点から出発した点 Q は, 表が出たら x 軸の正の方向に, 裏が出たら y 軸の正の方向に 動く そして, この試行を 回繰り返したとき, その到達点 ( x, y) は, 点 (, ) を通らないときは線分 x+ y ( x 0, y 0) 上の点, また点 (, ) を通るといったん 原点に戻り, 続けて残りの試行を繰り返す O 5 x さて, ( x, y ) (0, 0) となるのは, 回目の試行で 点 (, ) に到達したときより, その確率は, C( ) ( ) である () ( x8, y 8) (5, ) となるのは, 8 回目の試行で点 (5, ) に到達し, しかも 回目の試行では点 (, ) を通らないときより, その確率は, () を利用すると, 5 8 8C ( )( ) - C( )( ) 56 ( ) - 6 ( ) 8 () 試行を 8 回行い, 回目の試行で点 (, ) を通らないときは x 8 + y 8 8 となる また, 回目の試行で点 (, ) を到達し原点に戻った後, 8 回目の試行で点 (, ) に到達しないときは x 8 + y 8 となり, 8 回目の試行で点 (, ) に到達するときは ( x8, y 8) (0, 0) である したがって, x8 + y8 となるのは 回目の試行で点 (, ) に到達するときであ り, その確率は, () から である () 試行を 回行うとき, 到達点 ( x, y) を考える まず, 回目の試行で点 (, ) を通らないときは, つねに x + y となる 次に, 回目の試行で点 (, ) に到達し原点に戻った後, 試行を続けるときは x + y ( -) となり, その確率は である さらに, 回目と 8 回目に点 (, ) に到達し原点に 回戻った後, 試行を続けるときは x + y ( -) となり, その確率は ( ) である 6 同様に考えて, l を整数 (0 l -) とし, 回目, 8 回目,, l 回目に点 (, ) に到達し原点に l 回戻った後, 試行を続けるときは x + y ( -l) となり, そ l の確率は ( ) である そこで, k -lとおくと k となり, x + y k となる確率は l -k ( ) ( ) である y [ 解説 ] 確率の頻出問題ですが, 振り出しに戻るというひねりが加えられています -- 電送数学舎 06
06 広島大学 ( 文系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () x, x,, x の平均値を x, 分散を s とすると, f ( a) å ( xk -a) åxk a xk a - å + å x - ax+ a k k k ( a- x) + x -( x) ( a- x) + s よって, f ( a ) は a x のとき最小となり, 最小値は s である () zk cyk で, y, y,, () zk z å また, y, y,, s z 条件 s cyk å y の平均を y, z, z,, yk c å cy z の平均を z とすると, y の分散を s y, z, z,, z の分散を sz とすると, z -( z) ( cy ) -( cy ) c y -c ( y) å k y sz xk + xk k > から, x å より, å k sy c sy å xk x となり, k xk x+ k å k cs y > となり c <, すなわち- < c < である + å ( + ) x, x,, x, + å ( x + x + ) + x + の平均値は, () 与えられた 0 個のデータに, 値 0 のデータを新たに加えたときを考える 0 個のデータの平均値は 0 なので, 個のデータの平均値は, (0 0 + 0) 0 0 個のデータの分散は 670 なので, 個のデータの分散は, {670 0 (0 0) + - } 65.6 よって, 小数第 位を四捨五入すると, 65 である 0 個のデータの中央値は, 小さい方から 0 番目 (0) と 番目 (0) の平均値から 5 なので, 個のデータの中央値は 番目より 0 である [ 解説 ] データの分析に関して, 平均値や分散などの定義の確認問題です -5- 電送数学舎 06