2015年度岡山大・理系数学

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としはるひめい
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1 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへを以上の自然数とし, からまでの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意するこれらすべてを箱に入れ, 箱の中から枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード枚の番号が両方とも k である確率をと k の式で表せ () 引いたカード枚の番号が一致する確率をの式で表せ (4) 引いたカード枚の番号が連続している確率 ( すなわち, つの番号の差の絶対値がである確率 ) をの式で表せ --

2 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ座標空間内に点 A (,, ), B(,, ), C(,, ) をとり, つのベクトル AP と BP + CP の内積がになるような点 P( x, y, z) の集合を S とする点 A, B, C を通る平面をとするとき, 次の問いに答えよ () 集合 S は球面であることを示し, その中心 Q の座標と半径 r を求めよ () 原点 O から最も遠い距離にある S 上の点の座標を求めよ () () で求めた点 Q は, 平面上にあることを示せ (4) () で求めた点 Q を通って平面に垂直な直線を l とする球面 S と直線 l のすべての共有点について, その座標を求めよ --

3 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ自然数,,, に対して, 関数 f( x) x (-x) を考える () 曲線 y f ( x ) 上の点 ( a, f ( a)) における接線が原点を通るとき, a をの式で表せただし, a > とする () x の範囲で, 曲線 y f( x ) と x 軸とで囲まれた図形の面積を B とするまた, () で求めた a に対して, x a の範囲で, 曲線 y f ( x ), x 軸, および直線 x a で囲まれた図形の面積をC とする B およびC をの式で表せ C () () で求めた B およびC に対して, 極限値 lim ( ) B lim + が自然対数の底 e であることを用いてよいを求めよただし, --

4 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ座標空間内の 8 点 (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,,), (,,), (,,) を頂点とする立方体を考える < < のとき, 点 (,,), (,, ), (,, ) を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を f ( ) とし, f ( ) f () とする関数 f ( ) について, 次の問いに答えよ () ののとき, f ( ) をの式で表せ () 関数 f ( ) のにおける最大値を求めよ () 定積分 ò f ( ) d の値を求めよ -4-

5 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () 番号 k のカードは k 枚なので, 用意したカードを N 枚とすると, N å k ( ) () N 枚のカードから枚のカードを引く N C 通りが同様に確からしく, N C N( N- ) ( ) { ( ) - } ( )( ) ( ) ( )( ) 8 - k このとき, 引いた枚のカードの番号がともに k である場合は, k では, C k( k- ) 通りより, 求める確率は, k ( k- ) 4 k( k-) ( - ) ( )( ) ( - ) ( + )( + ) 8 なお, この式は k のときも成立している () 引いたカード枚の番号が一致する確率を q とおくと, () より, 4 k( k-) q å 4 ( k -k) ( - ) ( )( ) ( - ) ( )( + ) å 4 { ( )( ) - ( ) } ( - ) ( )( ) 6 { ( ) } ( - )( ) ( + ) (4) 引いたカード枚の番号が k と k + のとき, その確率は, kc k+ C 8 k( k+ ) ( - ) ( )( ) ( - ) ( + )( + ) 8 すると, 引いたカード枚の番号が連続している確率 p は, - 8 k( k+ ) 8( k-) k p å å ( - ) ( )( ) ( - ) ( )( ) 8( k-) k å q 8 ( - ) ( )( ) ( + ) [ 解説 ] 確率についての基本的な問題です () までは文理共通です -- 電送数学舎 5

6 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () B(,, ), C(,, ) に対し, 線分 BC の中点 M は M (,, ) となり, BP + CP MP, BP + CP MP また, A (,, ) に対し, 条件より AP ( BP + CP), AP MP すると, AP または MP または AP^ MPとなり, 点 P は点 A, M を直径の両端とする球面を描くよって, その中心 Q は線分 AM の中点より, Q (,, ) 4 4 であり, 半径 r は, ( ) ( ) ( ) 6 r AQ () OQ ( ) ( ) ( ) より, 球面 S は原点 O を通るこれより, O から最も遠い距離にある S 上の点を R とすると, OR OQ より, R (,, ) である () () より, OQ OA + OB + OC と表せる 4 4 すると, + + から, 点 Q は点 A, B, C を通る平面上にある 4 4 S : x- + y- + z また, 平面に垂直な直線の方向ベクトルを u ( a, b, c) とおくと, u AB ( a, b, c) ( -,, ), u AC ( a, b, c) ( -,, ) (4) () より, ( ) ( ) ( ) ( ) すると, a bかつ a cより, u a(,, ) ( ) となり, 直線 l は, ( x, y, z),, + (,,) ( は実数 ) 4 4 より, + + からとなり, 8 8 よって, S と l の共有点の座標は, 複号同順で, x y z ( ) (,, ) (,, ),, (,, ) [ 解説 ] 空間図形の問題ですなお, 平面の方程式は x+ y+ z ですので, これを利用すると, 後半の記述量を圧縮できます -- 電送数学舎 5

7 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () f( x) x (- x) x -x に対して, f ( x) ( ) x -( ) x + さて, 点 ( a, f ( a )) における曲線 y f ( x ) の接線の方程式は, y - f ( a ) f ( a )( x-a ) 原点を通ることより, - f ( a ) f ( a )(-a ), f ( a ) a f ( a ) となり, a - a a {( ) a -( ) a }, すると, a > より - ( ) a となり, () x において, f ( x ) より, () ò f x dx ò a a -( + ) a である + B ( ) ( x -x ) dx é x x ù êë - úû - + ( + )( + ) また, () より < a < なので, x a において f( x ) となり, a ò C ò f( x) dx ( x -x ) dx é x x ù ê ë - úû ( ) - ( ) ( )( ) -( ) ( ) ( )( )( ) ( + )( + )( + ) C ( ) + B ( ) ( + ) + + ( ) ( + ) C よって, lim である B e e [ 解説 ] 微積分の総合問題です () の後半の計算がやや面倒ですが, 全体的には標準レベルです e の定義式も問題文中にありますし -- 電送数学舎 5

8 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () まず, 辺の長さがの立方体に対して, < < において, 点 A (,,), B(,, ), C(,, ) を通る平面で切断したとき, 切り口は右図の網点部にようになり, その面積を f ( ) とすると, (i) < のとき切り口は辺の長さがの正三角形 ABC なので, f ( ) ( ) si6 (ii) < < のとき切り口は六角形となるまた, 平面上の立方体の外部のつの正三角形は, 正三角形 ABC と相似になり, その相似比は ( -): から, - { ( ) } f ( ) - { ( ) } ( ) (iii) < のとき切り口は正三角形となり, その面積は (i) の f ( ) とについて対称になるので, x x z z O y y f ( ) (-) (i)~(iii) より, f ( ) f () も合わせると, f ( ) - ( - 6+ ) (<< ), () () から, < < のとき, ( ) f ( ) ( 7 ) f ( ) ( ), f ( ) (-) ( ) 4 すると, において, y f ( ) のグラフをかくと, 右図のようになり, f ( ) はのとき最 O 大となり, 最大値はである 4 () I ò f ( ) d d- ( - 6+ ) d+ (-) d ò ò ò ( ) - é ù é ù é ù êë úû êë úû êë úû y x -4- 電送数学舎 5

9 [ 解説 ] 5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説まったく同じ問題が繰り返し出題されている超有名問題ですまた, 点 A, B, C を通る平面の方程式は x+ y+ z より, この式を用いて立方体の辺との交点の座標を求めても構いませんなお, () と () の設問は付録扱いでしょう -5- 電送数学舎 5

2018年度岡山大・理系数学

2018年度岡山大・理系数学 08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ関数 f ( x) = ( + x) x について, 以下の問いに答えよ () f ( x ) = 0 を満たす x の値を求めよ () 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通るすべての接線の方程式を求めよ (3) 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通る接線のうち, 接点の x 座標が最大のものを L とする

2015年度 岡山大・理系数学

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