2013年度信州大・医系数学

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ああすたかひ
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1 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題解答解説のページへ () 式 + + a a a3 を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, a a a3となるものをすべて求めよ () r を正の有理数とする式 r + + a a a を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, 3 a a a3となるものは有限個しかないことを証明せよただし, そのような組が存在しない場合は 0 個とし, 有限個であるとみなす --

2 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題解答解説のページへ () が- 3 を満たしながら変わるとき, si + cosの値の範囲を求めよ 4 4 () が - 3 を満たしながら変わるとき, si-si -cos の最大値と 4 4 最小値を求めよ --

3 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 3 解答解説のページへ æ 5 ö æö - 実数, q と自然数に対して, æ ö y 0 q とおく èç ø çè - ø ç çè ø () lim 0 かつ lim y 0 とするこのときと q が満たす条件を求めよ y () (, q ) ¹ ( 0, 0) とする極限 lim を求めよ -3-

4 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ a を定数とする放物線の方程式を求めよまたそのときの距離を求めよ y a- の接線のうち, 原点との距離が最小になるもの -4-

5 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ曲線 C : y e について以下の問いに答えよ () C 上の点 P(, e ) における接線 l および法線の方程式を求めよ () > 0 とする C と l および y 軸で囲まれる図形の面積を S( ) とするまた, C とおよび y 軸で囲まれる図形の面積を T( ) とするこのとき極限を求めよ lim T ( ) S ( ) -5-

6 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () 自然数の組 ( a, a, a3) に対して, 条件より, + + a a a3 ここで, a a a3より, > 0となり, から, a a a a a a a よって, a 3 から, a,, 3 となる (i) a のときより + a a3 0 となり, 不適である (ii) a のときより a a aa a + a, ( a-)( a3- ) 4 ここで, 0 a- a3-から, ( a-, a3- ) (, 4), (, ) となり, ( a, a 3) (3, 6), (4, 4) (iii) a 3 のときより a + a 3 となり, 3 aa 3 3a + 3a3, 4aa 3 6a + 6a3, (a-3)(a3-3) 9 ここで, 3 a-3 a3-3から, (a-3, a3-3) (3, 3) となり, ( a, a 3) (3, 3) (i)~(iii) より, ( a, a, a 3) (, 3, 6), (, 4, 4), (3, 3, 3) () r を正の有理数とし, a a a3である自然数の組 ( a, a, a3) に対して, r + + a a a3 () と同様にすると, から, r 3 となり, a 3 3 a r すると, 3 r < ( r > 3) のとき, 3を満たす自然数 a は存在しないまた, 3 (0 3) r < r のとき, 3を満たす自然数 a は有限個存在し, そのつを a ( 3 ) とおくと, は + r - となる r a a3 さらに, r- sとおきかえると, 有理数 s に対して, + s 4 a a3 すると, s 0 のとき, 4を満たす自然数 a, a3は存在しないまた, s > 0 のとき, と q を互いに素な自然数として, このとき, 4 は, q + と表せ, a a 3 qaa3 a + a3, qaa 3 qa + qa 3, q s とおく ( qa -)( qa - ) 3 --

7 すると, qa - と qa 3 - は 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説の約数となり, 自然数 a, a3は存在しても有限個である以上より, を満たす自然数の組 ( a, a, a3) で, a a a3であるものは有限個しかない [ 解説 ] () では, a を求めた後, a, a3を同時に求めるために, 因数分解をもとに約数倍数の関係を利用しました () も同じ方法で解答例を作りましたが, やや散漫な感じですそのため, () で a を絞り込んだ後も, 不等式で評価して a そして a 3 と順に求め, () も同じ方法にした方がスッキリしたかもしれません --

8 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () - 3 のとき, t si + cos とおくと, t si( + ) すると, 0 + から, 0 t である 4 () - 3 のとき, f ( ) si-si -cos とおくと, () から, 4 4 si si cos (si+ cos ) -(si + cos ) t - これより, f ( ) t -- t ( t- ) - (0 t ) となる 4 よって, f ( ) の最大値は- ( t ), 最小値は - 5 ( t ) である 4 5 [ 解説 ] 三角関数の最大最小問題です () の誘導のために () の結論は容易に導けます -3-

9 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 3 問題のページへ æ 5 ö - () A æ とおくと, 条件より ö æ ö A ç - 0 ç è y ø çèq ø となり, æö æ ö A ç è y ø çèq ø から, を çè ø 0 以上の整数として, 0, y0 q とする æ また, + ö A + æ ö æ ö æ ö AA A ç è y ø çèqø çèqø èç y ø より, y, y + - より y となり, に代入すると, , を変形すると, ( ) となり, q から, + + ( + 0 )(- ) (- + q)( - ) ( q)( ) 同様に3を変形し, ( + + ) から, + + ( + 0) ( - ) ( - + q )( - ) + ( -4 q) ( - ) 5 45より, ( -4 q) ( - ) -( -q)( -) となり, + + ( -4 q) ( - ) - ( -q)( - ) より, y ( -4 q) ( - ) + ( -q)( - ) 以上より, 与えられた lim 0 かつ lim y 0 を, と q が満たす条件に言い換えると, 67から q である () (i) q のとき 67より, + ( 4 ) 3 3 y すると, yとなり, (, q ) ¹ ( 0, 0) から, lim である - ( - ) (- ), y - ( -4 ) ( - ) ( - ) (ii) ¹ q のとき 67より, ( 4 )( y - - q - ) + ( -q)( -) ( 4 ) - - q - + ( -q)( -) + ( ) ( ) ( ) -( -4 q) - + ( -q) -( -4 q) - + 4( -q) -4-

10 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 y すると, - q¹ 0 より, lim である 4 [ 解説 ] 与えられた条件式を漸化式として表し, それを解くという流れで記していますなお, 誘導はありませんが, 直接的に A を求めるという方法もありますただ, 予備知識が必要ですが -5-

11 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ放物線 y a- に対して y - となり, 点 (, t a-t ) における接線の方程式は, y -( a- t ) - t( - t), -6- t + y -t - a 0 ここで, 接線と原点との距離の乗を D として, u t 0 とおくと, -t -a ( t + a) ( u+ a) D ( ) 4t + 4t + 4u + dd ( u+ a)(4u+ ) - 4( u+ a) ( u+ a)(u- a+ ) du (4u+ ) (4u+ ) このとき, dd 0 du とすると, u-a, a - となるさて, u 0 における u- a, u a - の大小関係を調べるために, グラフを書 u くと右図のようになり, a a < 0 のとき u a- a - < 0 <- a b 0 a < のとき a - <-a O c a < a のとき -a a - < u -a d a のとき -a < 0 a - これより, 次の 3 つの場合で, u 0 において D が最小になる場合を考える (i) a < 0 のとき右の増減表より, D は u- a ( t -a) で最 u 0 - a 小になるこのとき, 接線の方程式は, より, dd du a + y 0 また, 原点との距離は, より D 0 である (ii) 0 a < のとき右の増減表より, D は u 0 ( t 0) で最小になるこのとき, 接線の方程式は, より, y - a 0 また, 原点との距離は, より D a である (iii) a のとき右の増減表より, D は u a - ( t a - ) で最小になるこのとき, 接線の方程式は, より, D u 0 a 0 u 0 dd du + D a a - dd du D a 4a - 4

12 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 a- + y- a- - a 0, 4a- + y- 4a - 0 4a - また, 原点との距離は, より D である [ 解説 ] 微分と増減についての問題です非常に単純な設定にもかかわらず, 内容は驚くほど豊富です要演習の題ですなお, 増減表を作る前に, 大小関係を把握するためにグラフを描いていますが, このときの場合分けbとcは, u 0 での D の増減については同じなので, まとめて記しています -7-

13 03 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () C : y e に対して y e より, C 上の点 P(, e ) における接線 l の方程式は, y - e e ( - ), y e - e + e また, 点 P における法線の方程式は, y - e -e ( - ), y - e + e + e () > 0 S( ) は, のとき, C と l および y 軸で囲まれる図形の面積 ò 0 S( ) ( e - e + e -e ) d e é e e ( e e ) ù êë úû e -- + ( e - e ) 0 ( - + ) e - また, C とおよび y 軸で囲まれる図形の面積 T( ) は, ( ) - T {( e + e )-(- e + e )} - S( ) - e + ( ) e + e - + ( - ) e + これより, T ( ) 3 e - ( ) e となり, 3 T ( ) e ( - ) e + e + ( - ) + e S( ) - ( - + ) e - ( - + ) -e e + ( - ) + e (- + )- e すると, のとき e - 0 となるので, - - T ( ) lim である S( ) y e O C l P [ 解説 ] 接線法線と面積計算に極限が付加された微積分の総合問題ですなお, 最後の行の e - 0 ( ) については, 証明なしで利用しています -8-

2015年度信州大・医系数学

2015年度信州大・医系数学 05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題解答解説のページへ放物線 y = a + b + c ( a > 0) を C とし, 直線 y = -を l とする () 放物線 C が点 (, ) で直線 l と接し, かつ軸と共有点をもつための a, b, c が満たす必要十分条件を求めよ () a = 8 のとき, () の条件のもとで, 放物線 C と直線 l および軸とで囲まれた部

2013年度 信州大・医系数学

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