total2010.dvi

Ô ØÖ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÑ Ð Ø ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ ËÓÑÑ Ö º½ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ä Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÝ ÒØÖ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ ÓÖÑÙÐ Æ ÛØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ø Ñ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÓÒÚ Ö Ò p n Ú Ö f º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ³À ÖÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒØ ÓÒ ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÜ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÕÙ ½µ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ö ÙÒ Ð ³ Ú ÓÒ ÕÙ³ÓÒ ÓÙÑ Ø Ú ÒØ ½¼ ¼ ½¼¼ ¾¼¼ Ñ» Ø ÓÒØ ÓÒ ÐÙÐ Ð ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ º ÇÒ Ú ÙØ ÚÓ Ö ÓÑÑ ÒØ ÐÐ Ö Ø Ö ÙÒ Ú ÒØ ½ ¼ Ñ» º ¾µ ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò 800 200 Ø ÓÒ Ú ÙØ Ò Ù Ö ÙÒ Ø Ñ Ø ÓÒ Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ð ½¼ ÔÖÓ Ò ÒÒ º ÍÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÓÒØ Ð ÓÙÖ ³ ÔÔÖÓ Ð ÔÐÙ ÔÓ Ð ÓÙ Ô Ô Öµ ÔÓ ÒØ Ø ÔÖ Ò Ö Ú Ð ÙÖ ÙÜ ÒÓÙÚ ÙÜ ÔÓ ÒØ º ³ Ø Ð ÙØ Ô ØÖ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð Ù Ú ÒØ ÓÒ ÓÒÒ n+ Ñ ÙÖ f 0,,f n Ò n+ ÔÓ ÒØ Ø ÒØ x 0,,x n Ø ÓÒ Ö ÐÙÐ Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ q Ö ½

Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð m Ú m n ÕÙ ÔÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ f 0,,f n º Ä ÔÖ Ñ Ö ÔÔÖÓ Ø ÕÙ Ò m = n ³ Ø Ð ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº º½ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ä Ö Ò Ì ÓÖ Ñ º½ ½µ ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÔÓÐÝÒÑ p n P n Ô Ú ØÓÖ Ð ÔÓ¹ ÐÝÒÑ Ö Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð Òµ Ø Ð ÕÙ ¾µ ÁÐ ³ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ p n (x) = i, 0 i n, p n (x i ) = f i. n f i l i (x), Ú l i (x) = j i x x j x i x j. º½µ º¾µ Ä l i ÓÒØ Ð ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ä Ö Ò º p n Ø Ð ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Ø ÓÒ ÙÜ ÔÓ ÒØ x i ÔÓÙÖ Ð Ñ ÙÖ f i º n ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ½µÆÓØÓÒ p n (x) = a k x k, x Rº Ê ÓÙ Ö º½µ Ø ÕÙ ¹ Ú Ð ÒØ Ö ÓÙ Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒØ Ð ÒÓÒÒÙ ÓÒØ Ð Ó ÒØ a k k=0 Ay = b Ú x 0 x n 0 a 0 f 0 A = º º º º, y = º, b = º, x n x n n a n f n A Ø ÙÒ Ñ ØÖ Î Ò ÖÑÓÒ º ÐÐ Ø ÒÚ Ö Ð ÕÙ ÓÒÐÙØ Ð Ô ÖØ ½µº ¾µ l i Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ P n Ø Ú Ö l i (x j ) = δ ij º ÇÒ Ú Ö ÕÙ ÔÓÐÝÒÑ ÓÒÚ Òغ ÙÖ º½ ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ¾

ÄÓÖ ÕÙ Ð fi ÓÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ³ÙÒ ÖØ Ò ÓÒØ ÓÒ f ÙÜ ÔÓ ÒØ x i ÓÒ Ô ÖÐ p n ÓÑÑ Ð³ ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ f Ø ÓÒ Ð ÒÓØ Π n fº ÙÖ º¾ ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ù Ø Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ Ð Ò Ö ÔÓÙÖ ÐÙÐ Ö Ð a i ÔÙ ÐÙÐ Ö Ò ÕÙ ÒÓÙÚ Ù ÔÓ ÒØ x x p n (x) = (a 0,a,...,a n ) º Å Ð Ý Ø Ñ Ø ØÖ Ñ Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ º ÁÐ Ú ÙØ Ñ ÙÜ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ö Ø Ñ ÒØ º¾µº x n ÙÒØ ÓÒ ÝÝ Ð ÒØ Ü Ý Üܵ ± Ä ÁÆÌ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ü Ý µ ÓÖ Ø Ä Ö Ò ÓÖÑ Ó Ø ± ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ø Ú ÐÙ ± ÝÝ Ô Ò ÜÜ µ Ò Ð Ò Ø Üµ ÒÒ Ð Ò Ø Üܵ ÓÖ ½ ÒÒ ÝÝ µ ¼ ÓÖ ½ Ò ÝÝ µ ÝÝ µ Ý µ ÔÖÓ ÜÜ µ ¹ Ü ½ ¹½ ½ Ò µµµººº»ôöó Ü µ ¹ Ü ½ ¹½ ½ Ò µµµ Ò Ò

º½º½ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÖÝ ÒØÖ ÕÙ ÍØ Ð Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º¾µ Ñ Ò O(n 2 ) ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ xº ÆÓÙ ¹ Ò ÓÒ Ð Ó ÒØ λ i = j i (x i x j ). Ø ÒÓÙ Ö Ö ÚÓÒ p n (x) = ( ) n λ i (x x j )f i = j i j (x x j ) ( n λ i f i ) ÈÙ ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ Ø Ü Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ Ö ¼ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö ÔÓÙÖ f = j (x x j ) ( n λ i ) Ø ÓÒ (x x j ) = j n λ i ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÖÝ ÒØÖ ÕÙ p n (x) = n λ i f i n λ i

p n (x) = n λ i f i n λ i ÈÓÙÖ Ð³ÙØ Ð Ö ÒÓÙ ÐÙÐÓÒ ³ ÓÖ Ð λ i Ò O(n 2 ) ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ð Ñ Ó ÖÝ Üµ ± Ç Ê ÓÑÔÙØ Ø Ó ÒØ ÓÖ Ø ÖÝ ÒØÖ ± Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø ÖÓÙ ± Ø ÔÓ ÒØ Ü Ý µ Ò Ð Ò Ø Üµ Ü Ü µ ÓÖ ½ Ò Ð Ñ µ ½» ÔÖÓ Ü µ ¹ Ü ½ ¹½ ½ Ò µµ Ò ÈÙ ÔÓÙÖ ÕÙ x ÒÓÙ ÐÙÐÓÒ Ð ÔÓ µ i = λ i Ø p n (x) = ÙÐ Ñ ÒØ O(n) ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÙÒØ ÓÒ ÝÝ ÒØ ÖÝ Ü Ý Ð Ñ Üܵ ±± ÁÆÌ Ê Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ±± Ø ÖÓÙ Ü Ý µ ÓÖ Ø Ú ÐÙ ÜÜ ÝÝ È Ò Üܵ Ü Ü µ Ý Ý µ ÜÜ ÜÜ µ ÒÒ Ð Ò Ø Üܵ ÓÖ ½ ÒÒ Þ ÜÜ µ¹üµ ½ ¹ ¼ ± ÔÖ Ú ÒØ Ú ÓÒ Ý Þ ÖÓ ÑÙ Ð Ñ ³º»Þ ÝÝ µ ÑÙ ³ Ý» ÙÑ ÑÙ µ Ò n µ if i n µ i Ò º½º¾ ÓÖÑÙÐ Æ ÛØÓÒ ÇÒ ÓÒÒ Ð n+ ÔÓ ÒØ x 0,,x n º ÈÓÙÖ ØÓÙØ k ÔÐÙ Ô Ø Ø ÕÙ n ÓÒ ÒÓØ p k Ð ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ f ÙÜ ÔÓ ÒØ x 0,,x k º ÇÒ p k p k = C(x x 0 ) (x x k ) Ò Ø ÓÒ º½ ÈÓÙÖ k+ ÔÓ ÒØ y 0,,y k ÓÒ ÒÓØ f[y 0,,y k ] Ð Ó ÒØ Ö k Ù ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ f ÙÜ ÔÓ ÒØ y 0,,y k º Ä ÑÑ º½ p k p k = f[x 0,,x k ](x x 0 ) (x x k )

ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ º¾ ÓÖÑÙÐ Æ ÛØÓÒµ n p n (x) = f(x 0 )+ f[x 0,,x k ](x x 0 ) (x x k ) k=0 ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÁÐ Ù Ø ÓÑÑ Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÙÖÖ Ò ÔÖ ÒØ º º µ Ä ÑÑ º¾ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú µ k,f[x 0,,x k ] = f[x,,x k ] f[x 0,,x k ] x k x 0 º µ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ËÓ Ø q k P k Ð ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ f ÙÜ ÔÓ ÒØ x,...,x k º ÈÓ ÓÒ ÐÓÖ p k = p k º Ò Ø p k = (x x 0)q k (x x k )p k x k x 0 Ø Ð Ò Ö Ø ÔÐÙ ÕÙ³ Ð Ö Ð Ó ÒØ Ö Ø ÙÖ Ò Ð ÓÖÑÙÐ p k º Ì Ð ÐÙÐ ÙÖ º Ø Ð Ö Ò Ú

ÎÓ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ ØÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò ÛØÓÒ Ü Ýµ ± Ç Æ ÏÌÇÆ ÓÑÔÙØ Ø Ú Ö Ò Ò ÓÖ ± ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø ÖÓÙ Ü Ý µ Ò Ð Ò Ø Üµ¹½ ± Ö Ó ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ì ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ± Ú Ö Ò ÓÖ ½ Ò ½ ½µ Ý µ ÓÖ ½ ¹½ ½µ µ¹ ¹½ µµ» Ü µ¹ü ¹ µµ Ò Ò µ ÍÒ Ó Ð d i ÐÙÐ ÔÓÙÖ Ð ÙØ Ð Ö ÒÓÙ ÓÙÔÐÓÒ Ú Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ À Ö¹ Ò Ö Ò Ö Ö Ú ÒØ Ð ÔÓÐÝÒÑ p n ÓÙ Ð ÓÖÑ p n (x) = d 0 +(x x 0 )(d +(x x )(d 2 + +(x x n 2 )(d n +(x x n )d n ))) ÙÒØ ÓÒ Ý ÒØÒ ÛØÓÒ Ü Þµ ± ÁÆÌÆ ÏÌÇÆ Ú ÐÙ Ø Ø Æ ÛØÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ± Ø Ø Ò Û ÔÓ ÒØ Þ Ý È Ò Þµ Ù Ò Ø ÀÓÖÒ Ö ÓÖÑ ± Ò Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ú Ö Ò Ñ º Ò Ð Ò Ø Üµ¹½ Ý Ò ½µ ÓÖ Ò ¹½ ½ Ý Ýº Þ¹Ü µµ µ Ò Ò Å ØÐ ÓÒ ÙØ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÓÐÝ Ø ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º ØØ ÓÒØ ÓÒ ÙØ Ð ÙÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ù Ò ÑÓ Ò Ö ÖÖ Ö Ø ÚÓ Ö Ô ÖØ µº º½º Ø Ñ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ Ì ÓÖ Ñ º f C n+ ([a,b]), x [a,b], ζ x ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ù ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö¹ Ú ÐÐ ÓÙÚ ÖØ ÓÒØ Ò ÒØ x,x 0,,x n Ø Ð ÕÙ f(x) p n (x) = (n+)! f(n+) (ζ x )Π n+ (x) º µ

Ó Π n+ (x) = n ( )º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÇÒ Ö Ñ ÖÕÙ ³ ÓÖ Õ٠г Ð Ø Ø ÚÖ x Ø Ð³ÙÒ x i º ÇÒ ÙÔÔÓ Ò Ù Ø ÕÙ x Ø Ü ÒÓÒ Ð Ð³ÙÒ x i º ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ n+ Ó Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÔÓÙÖ x Ü Ô Ö Ó C Ø Ò Ô Ö F(x) = 0º F(t) = f(t) p n (t) CΠ n (t) ÇÒ Ù Ø Ø ÓÖ Ñ ³ ÓÖ ÕÙ Ð Ö Ò Ú ÓÒØ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ü Ø ÙÒ ξ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ (inf(x i ),sup(x i )) Ø Ð ÕÙ Ò Ø Ö ÚÓÒ ³ ÔÖ Ð Ð ÑÑ º½ f[x 0,,x n ] = f(n) (ζ) (n)! p n (x n ) p n (x n ) = f[x 0,,x n ](x n x 0 ) (x n x n ) Ø ³ ÔÖ Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ ÙÜ ÔÓ ÒØ x 0,...,x n f(x n ) p n (x n ) = (n)! f(n) (ζ)(x n x 0 ) (x n x n ). ÐÓÒ ÙÜ ÜÔÖ ÓÒ ÔÓÙÖ ÓÒÐÙÖ º ÆÓÙ Ò Ù ÓÒ Ù ÙÒ Ø Ñ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ ÖÓ Ö º ÇÒ ÒÓØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ϕ ϕ = sup x [a,b] ϕ(x) Ø ÓÒ f p n (n+)! Fn+ Π n+ º µ ÈÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f ÓÒÒ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð³ ÖÖ ÙÖ Ò Ó ÒØ Ò Ð ÔÓ ÒØ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ º ËÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] Π n+ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð Ó Ü ÔÓ ÒØ x T i = a+b + b a 2 2 yn+ i, 0 i n Ä y n+ i = cos( 2i+ 2(n+) π) ÓÒØ Ð Þ ÖÓ Ù ÔÓÐÝÒÑ Ý Ú T n+º

ÈÓÐÝÒÑ Ý Ú ÈÓÙÖ ØÓÙØ k ÓÒ Ò Ø ÙÖ [,] Ð ÓÒØ ÓÒ T k (y) = cos(karccosy). º µ T k Ø Ò Ø ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö kº ÈÓÙÖ Ð ÚÓ Ö ÓÒ Ø Ð Ø Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÙÖÖ Ò T k+ (y) = 2yT k T k, T 0 =, T = y, º µ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ò Ö ÙÖ ØÓÙØ Rº Ä Ó ÒØ ÓÑ Ò ÒØ T k Ø 2 k y k Þ ÖÓ ÓÒØ Ð yi k = cos ( 2i+ π) ÔÓÙÖ 0 i k Ø Ð ÜØÖ Ñ Ú Ð ÒØ ( )i 2k ØØ ÒØ ÙÜ ÔÓ ÒØ ỹi k = cos ( i π) ÔÓÙÖ 0 i kº k Ä ÑÑ º ÈÓÙÖ ØÓÙØ p P k ÙÒ Ø Ö º º p = y k + µ ÓÒ p T k 2 k = 2 k ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÈÓÙÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ó Ü ÔÓ ÒØ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒx 0,,x n ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð x i = a+b 2 + b a 2 y i, 0 i n, x = a+b + b a 2 2 y ÄÓÖ ÕÙ x Ú Ö Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] Ý Ú Ö Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [,] Ø ( ) n+ b a n Π n+ (x) = (y y i ) 2 Å Ò Ñ Ö Ð³ ÖÖ ÙÖ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ö Ð ÒÓÖÑ Ò Ò ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÙÒ Ø Ö ÙÖ (,] Ø inf Π n+ = ( ) n+ b a (x x T i ) = 2 {x i } 4 Ñ Ñ ÐÐÝ Ò ÐÝ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ º Ê Ñ ÖÕÙ º½ ÈÓÙÖ ÙÒ Ú ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ ÕÙ Ø ÒØ º º x j = a + b a j ÓÒ n ÑÓÒØÖ ÕÙ Π n+ (b a) n+ e n nlnn ÈÓÙÖ (a,b) = (,) Ð ÙÖ Ù Ú ÒØ ÑÓÒØÖ Ð ÐÓ Ö Ø Ñ ÖÖ ÙÖ Ò ÓÒØ ÓÒ n Ò Ð ÙÜ

0 5 points de Chebyshev 0 0 points équidistants 0 5 0 0 0 5 0 20 0 25 0 30 0 35 0 20 40 60 80 00 ÙÖ º ÓÑÔ Ö ÓÒ Π n+ ÔÓÙÖ ÙÜ Ò Ñ Ð ÔÓ ÒØ º½º ÓÒÚ Ö Ò p n Ú Ö f ÓÒ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ f(x) = x+ 5 sin(x) ÙÖ ¼ Ü ÉÙ ÖØ ÖÓÒ µº 0.8 0.6 0.4 fn 2 n = 36 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2 0 2 3 4 5 6 ÙÖ º ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ ÇÒ ÓÒ Ø Ø Ò ÕÙ Ð Ù Ø Π n (f) ÓÒÚ Ö Ú Ö fº Ò³ Ø Ô ÚÖ Ò Ò Ö Ðº Ä ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐ Ð ÕÙ Ø ÐÙ Ð ÓÒØ ÓÒ ÊÙÒ f(x) = +5x 2 ½¼

8 7 6 f n = 2 n = 4 n = 4 5 4 3 2 0 0.5 0 0.5 ÙÖ º ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ Ò ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ó Ø ØÓÙØ Ø Ö ÙÐ Ö ÓÒ ÚÓ Ø Õ٠г ÖÖ ÙÖ Ò ½ Ø Ò Ú Ö Ð³ Ò Ò º º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ³À ÖÑ Ø f Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ù ÑÑ ÒØ Ö ÙÐ Ö ÙÖ Ð Ñ ÒØ [a,b]º ÇÒ ÓÒÒ k + ÔÓ ÒØ x 0,,x k Ò [a,b]º Ì ÓÖ Ñ º ÈÓ ÓÒ n = 2k + º ÁÐ Ü Ø ÙÒ Ø ÙÒ ÙÐ ÔÓÐÝÒÑ p n P n Ø Ð ÕÙ j, 0 j k, p n (x j ) = f(x j ) Ø p n(x j ) = f (x j ). Ì ÓÖ Ñ º f C n+ ([a,b]), x [a,b], ζ x ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ù ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö¹ Ú ÐÐ ÓÙÚ ÖØ ÓÒØ Ò ÒØ x,x 0,,x k Ø Ð ÕÙ f(x) p n (x) = (n+)! Fn+ (ζ x )Π n+ (x) º µ Ó Π n+ (x) = k ( ) 2 º p n Ô Ò 2k +2 Ó ÒØ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ð³ ÜÔÖ Ñ Ö ÓÙ Ð ÓÖÑ p n (x) = k f(x i )q i (x)+ k f (x i )r i (x) º½¼µ ½½

Ó Ð ÔÓÐÝÒÑ q i Ø r i ÓÒØ Ò Ô Ö q i(x j ) = δ ij, q i (x j) = 0, r i (x j ) = 0, r i (x j) = δ ij. º½½µ ÇÒ Ô ÙØ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÓÒØ ÓÒ ÔÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ä Ö Ò l i q i (x) = (+2(x i x)l i (x i))l 2 i (x), r i(x) = ( )l 2 i (x). º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ ËÓ ÒØ a a 0 < a < < a N b ÔÓ ÒØ ÕÙ Ú ÒØ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ I = [a,b] Ò ÓÙ ¹ ÒØ ÖÚ ÐÐ I j = [a j,a j+ ] ÐÓÒ Ù ÙÖ H = b a N Ó Ø a j = a+jhº º º½ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò ËÙÖ ÕÙ ÒØ ÖÚ ÐÐ I j ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ f Ô Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ö Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð ½º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ ÒÓØ Π H fº ÁÐ ³ Ö Ø Π H f(x) = f(a j)+f[a j,a j+ ](x a j ), x I j Π H f f a H b ÙÖ º ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ Ì ÓÖ Ñ º Ë f C 2 (I) ÐÓÖ sup f(x) Π H x I H2 f(x) 8 sup f (x). x I º½¾µ ½¾

ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÁÐ Ù Ø ³ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ º µº Ê Ñ ÖÕÙ º¾ Ë f C n+ (I) ÓÒ Ô ÙØ Ö Ñ Ñ ÙÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÔÓÐÝÒÑ Ö Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ð n Ò ÕÙ ÓÙ ¹ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð³ Ø Ñ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ sup f(x) Π H n f(x) Hn+ x I 4(n+) sup x I f (n+) (x). º½ µ º º¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒØ ÓÒ ÔÐ Ò Ä³ ÒÓÒÚ Ò ÒØ Ð Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ø Õ٠г ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ f Ñ ÒÕÙ Ö ÙÐ Ö Ø º Á ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÒÒÓÒ y i = f(a i ) Ø Ù Ú Ð ÙÖ y i ÕÙ ÒÓÙ Ó ÖÓÒ Ò Ù Ø º Ò ÕÙ ÓÙ ¹ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÓÙ ÒØ ÖÔÓÐÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ô Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ p i P 3 Ø Ð ÕÙ p i (a i ) = y i, p i (a i+ ) = y i+, p i (a i) = y i, p i (a i+) = y i+, ÓÒ Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð y = (x a i )/H Ø ÔÓ ÓÒ p(x) = P(y)º ÇÒ Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ö P i (0) = y i, P i () = y i+ ;P i(0) = Hy i, P i() = Hy i+; ÆÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ ³À ÖÑ Ø º P i = y i q 0 +y i+ q +y ir 0 +y i+r Ä ÔÓÐÝÒÑ Ä Ö Ò ÙÜ ÔÓ ÒØ 0 Ø ÓÒØ l 0 = y l = y Ø Ð ÔÓÐÝÒÑ q i Ø r i ÓÒØ ÓÒÒ Ô Ö q 0 (y) = (2y )( y) 2, q 0 (y) = (2y )y 2, r 0 (y) = y( y) 2, r i (y) = ( y)y 2. ÓÑÑ ÒØ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÐÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ p i Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ x ½º Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a i,a i+ ] Ó ØÖÓÙÚ xº ¾º ÐÙÐ Ö Ð Ú Ö Ð ÐÓ Ð y = (x a i )/Hº º Ú ÐÙ Ö P i (y) ÔÖ Ö Ò Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ À ÖÒ Öº ÈÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó ØÖÓÙÚ x ÓÒ ÙØ Ð Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ò Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÓÒØ Ô Ñ Ñ Ø ÐÐ º Ë ÒÓÒ Ò Ö ÓÒ ÔÖ Ò Ð Ô ÖØ ÒØ Ö x/hº Ä y i Ó Ú ÒØ ÔÔÖÓ Ö Ð Ö Ú f (a i ) ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ÓÒÒ Ò Ò Ö Ðº ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ ÔÔÖÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ f (a i ) Ô Ö Ö Ò Ú y i = f[a i,a i+ ] ÔÓÙÖ i N º ÙÜ ÙÜ ÜØÖ Ñ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö Ö Ú ÒØÖ y 0 = f[a 0,a ] Ø y N = f[a N,a N ]º È ÙعÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ð y i ÓÒ ØÖ ÒÓÖ ÔÐÙ Ö ÙÐ Ö È Ö Ü ÑÔÐ ÕÙ Ð Ö Ú ÓÒ Ó ÒØ Ù ÓÒØ ÒÙ Ä Ö ÔÓÒ Ø ÓÙ ÓÒØ Ð ÚÖ ÔÐ Ò Ù ÕÙ ØÓÖ ÕÙ º ½