回 帰 分 析 (その 3) 経 済 情 報 処 理 価 格 弾 力 性 の 推 定 ある 商 品 について その 購 入 量 を w 単 価 を p とし それぞれの 変 化 量 を w p で 表 ww すことにする この 時 この 商 品 の 価 格 弾 力 性 は により 定 義 される これ p p は p が 1 パーセント 変 化 した 場 合 に w が 何 パーセント 変 化 するかを 示 したものである w w dw w ここで p を 0 に 近 づけていった 極 限 を 考 えると lim となるが p 0 p p dp p dln w 1 dw dw d w ln w また w これより dw w d ln w dp p d ln p dln p 1 dp dln p dp p p である 一 方 ln w a bln p において W ln w P ln pとすると この 式 は W a bp と 表 される この 式 を P で 微 分 すると dw d a bp b dp dp ln ところで W ln w P ln pであるから dw d w dp d ln p よって b はこの 商 品 の 価 格 弾 力 性 となっている チョウ 検 定 年 次 データなどの 時 系 列 データに 関 して Yt a bx t ut t 1,, T (ここでは, 時 系 列 データなので 添 字 をt にした) の 回 帰 分 析 を 行 うということは この 期 間 ( 第 1 期 から 第 T 期 )を 通 じて Y は X の 変 化 に 対 して 同 じ 割 合 ( 具 体 的 にはb )で 変 化 しているということを 意 味 する しかしながら 期 間 の 途 中 で この 割 合 が 変 化 しているかもしれないと 考 えられる 場 合 それを 以 下 のよ うにして 検 定 することができる 今 その 変 化 がT 1 期 とT 1 1期 の 間 で 起 こった すなわち t 1,,, T1 とt T1 1, T1,, T とではb が 異 なっているかどうかを 調 べてみる これ には t 1,,, T についてY t a bx t u t の 回 帰 分 析 を 行 い その 残 差 の 二 乗 和 を 求 め (Excel では 残 差 のところの 変 動 の 項 目 の 値 が 残 差 の 二 乗 和 となっている) これを S 0 と する 次 にY t a bx t u t の 回 帰 分 析 をt 1,,, T1 とt T1 1, T1,, T のそれぞれ について 行 い 各 々の 残 差 の 二 乗 和 を 求 め その 和 を S 1 とする この 時 そうした 変 化 は 1
S ないとする 帰 無 仮 説 のもとで F S 1 S 0 1 T 4 は 自 由 度, T 4 の F 分 布 に 従 う 従 っ て 適 当 な 有 意 水 準 に 対 応 する 自 由 度, T 4 の F 分 布 の 値 F (Excel では =FINV( 有 意 水 準, 自 由 度 1, 自 由 度 )により 求 める)と F を 比 較 し F 無 仮 説 を 棄 却 し こうした 変 化 が 存 在 したと 言 える F となっていれば 帰 重 回 帰 分 析 Y a b X b X b X u i 1 1i i p pi i というように 説 明 変 数 が 複 数 となっても 係 数 の 推 定 は 可 能 Y ˆi Y i が 最 小 となる 係 数 を 求 める 最 小 二 乗 法 で 望 ましい 結 果 が 出 る 条 件 ( 重 回 帰 分 析 の 場 合 ) 単 回 帰 分 析 の 条 件 に 加 えて 説 明 変 数 の 間 に 相 関 関 係 がない 自 由 度 修 正 済 み 決 定 係 数 R データの 適 合 の 度 合 いを 示 す 決 定 係 数 R については 既 に 説 明 したが 重 回 帰 分 析 の 場 合 説 明 変 数 の 数 を 増 やすと たとえそれがどんなものであっても 決 定 係 数 を 増 加 して しまう そのため 説 明 変 数 の 数 の 違 いを 考 慮 した 自 由 度 修 正 済 み 決 定 係 数 のが 用 いられている R 1 ei n p Yi Y n1 この 値 の 最 大 値 は 1 であるが 最 小 値 は 0 とはならず 負 の 値 も 取 りうる 自 由 度 修 正 済 み 決 定 係 数 は Excel では 補 正 R として 表 示 される R というも Excel による 重 回 帰 分 析 説 明 変 数 は 隣 り 合 った 列 になくてはならない
回 帰 分 析 (その 3) 上 記 より 鰯 の 価 格 弾 力 性 はほぼ 1 で あると 推 定 される( 価 格 が 1% 上 昇 する と 購 入 量 は 1% 減 少 する) 左 図 は 1975~004 年 における 牛 肉 の 価 格 と 購 入 量 をプロットしたものであ る この 場 合 一 貫 した 関 係 があるとは 言 えそうに 無 いことから 1975~1990 年 と 1991~004 年 について 構 造 変 化 が 存 在 したかどうか( 日 本 国 内 において BSE の 発 生 が 確 認 されたのが 001 年 ) についてチョウ 検 定 を 行 った( 次 ペー ジ) その 結 果 有 意 水 準 1%で F 値 = 61.14>5.53 となっており 構 造 変 化 が 起 こったと 言 える 3
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回 帰 分 析 (その 3) 確 率 分 布 統 計 学 について 学 んだ 際 その 中 の 重 要 な 手 法 として 区 間 推 定 や 検 定 がある こうした 手 法 では 正 規 分 布 や t- 分 布 などを 利 用 するが 従 来 はこうした 連 続 確 率 分 布 に 関 する 確 率 などを 求 める 際 には 該 当 する 確 率 分 布 表 を 用 いるのが 一 般 的 であった しかし Excel を 用 いれば 確 率 分 布 表 を 利 用 せずに 直 接 求 めることが 可 能 である NORMSDIST 標 準 正 規 累 積 分 布 関 数 の 値 を 求 める この 分 布 は 平 均 が 0(ゼロ) で 標 準 偏 差 が 1 であ る 正 規 分 布 に 対 応 する 書 式 NORMSDIST(z) z 関 数 に 代 入 する 値 を 指 定 する z に 数 値 以 外 の 値 を 指 定 すると エラー 値 #VALUE! となる 標 準 正 規 分 布 で 1.33 となる 確 率 NORMSDIST(1.333333) 標 準 正 規 分 布 で 1. 0.5 となる 確 率 NORMSDIST(0.5)-NORMSDIST(-1.) NORMDIST 指 定 した 平 均 と 標 準 偏 差 に 対 する 正 規 分 布 関 数 の 値 を 求 める この 関 数 を 用 いれば 標 準 正 規 分 布 に 変 換 しなくても 直 接 確 率 を 求 めることができる 書 式 NORMDIST(x, 平 均, 標 準 偏 差, 関 数 形 式 ) x 平 均 標 準 偏 差 関 数 形 式 関 数 に 代 入 する 数 値 を 指 定 する 分 布 の 平 均 を 指 定 する 分 布 の 標 準 偏 差 を 指 定 する ここを TRUE とすると 累 積 分 布 関 数 の 値 が 計 算 され FALSE を 指 定 すると 確 率 密 度 関 数 の 値 が 計 算 される 平 均 標 準 偏 差 に 数 値 以 外 の 値 を 指 定 すると エラー 値 #VALUE! となる 標 準 偏 差 0 の 場 合 エラー 値 #NUM! となる 平 均 40 標 準 偏 差 1.5 の 正 規 分 布 で 4 となる 確 率 NORMDIST(4,40,1.5,TRUE) 平 均 -3 分 散 1 の 正 規 分 布 で 4 0となる 確 率 NORMDIST(0,-3,SQRT(1),TRUE)-NORMDIST(-4,-3,SQRT(1),TRUE) 注.SQRT は 正 の 平 方 根 を 求 める 関 数 5
NORMSINV 標 準 正 規 累 積 分 布 関 数 の 逆 関 数 の 値 を 求 める 書 式 NORMSINV( 確 率 ) 確 率 標 準 正 規 分 布 における 確 率 を 指 定 する 確 率 に 数 値 以 外 の 値 あるいは 負 や 1 より 大 きい 値 を 指 定 すると エラーとなる NORMSINV 関 数 では 関 数 値 の 計 算 に 反 復 計 算 の 手 法 が 利 用 され 確 率 の 値 が 指 定 されると 計 算 結 果 の 精 度 が ±3 10-7 以 内 になるまで 反 復 計 算 が 行 われる 100 回 反 復 計 算 を 繰 り 返 しても 計 算 結 果 が 収 束 しない 場 合 エラー 値 #N/A が 返 される 標 準 正 規 分 布 において からの 確 率 が 0.908789 となる 点 NORMSINV(0.908789) 標 準 正 規 分 布 において 0 からの 確 率 が 0.5 となる 点 NORMSINV(0.5)-0.5 NORMINV 指 定 した 平 均 と 標 準 偏 差 に 対 する 正 規 累 積 分 布 関 数 の 逆 関 数 の 値 を 求 める 書 式 NORMINV( 確 率, 平 均, 標 準 偏 差 ) 確 率 正 規 分 布 における 確 率 を 指 定 する 平 均 分 布 の 平 均 を 指 定 する 標 準 偏 差 分 布 の 標 準 偏 差 値 を 指 定 する 確 率 に 数 値 以 外 の 値 あるいは 負 や 1 より 大 きい 値 を 指 定 すると エラーとなる 標 準 偏 差 0 の 場 合 エラー 値 #NUM! となる NORMSINV と 同 様 反 復 計 算 が 行 われ 収 束 しない 場 合 エラー 値 #N/A が 返 される 平 均 40 標 準 偏 差 1.5 の 正 規 分 布 において からの 確 率 が 0.908789 となる 点 NORMINV(0.908789,40,1.5) TDIST スチューデントの t 分 布 の 確 率 を 求 める 書 式 TDIST(x, 自 由 度, 尾 部 ) x t 分 布 を 計 算 する 数 値 を 指 定 する 自 由 度 分 布 の 自 由 度 を 整 数 で 指 定 する 尾 部 1 ならば 片 側 分 布 の 値 が 計 算 され ならば 両 側 分 布 の 値 が 計 算 される 6
回 帰 分 析 (その 3) 引 数 に 数 値 以 外 の 値 を 指 定 すると エラー 値 #VALUE! となる 自 由 度 < 1 の 場 合 エラー 値 #NUM! となる 自 由 度 尾 部 に 小 数 点 以 下 の 値 を 指 定 しても 切 り 捨 てられる 尾 部 に 1 または 以 外 の 数 値 を 指 定 すると エラー 値 #NUM! となる TDIST(1.96,60,) = 0.054645 または 5.46% 自 由 度 10 の t 分 布 において 1(または1 )の 確 率 TDIST(1,10,1) 自 由 度 15 の t 分 布 において 1.3 及 び1.3 の 確 率 TDIST(1.3,15,) TINV スチューデントの t 分 布 の t 値 を 確 率 と 自 由 度 から 求 める 書 式 TINV( 確 率, 自 由 度 ) 確 率 スチューデントの 両 側 t 分 布 に 従 う 確 率 を 指 定 する 自 由 度 分 布 の 自 由 度 を 指 定 する 確 率 に 数 値 以 外 の 値 あるいは 負 や 1 より 大 きい 値 を 指 定 すると エラーとなる 自 由 度 に 小 数 点 以 下 の 値 を 指 定 しても 切 り 捨 てられる 自 由 度 < 1 の 場 合 エラー 値 #NUM! となる NORMSINV と 同 様 反 復 計 算 が 行 われ 収 束 しない 場 合 エラー 値 #N/A が 返 される 自 由 度 10 の t 分 布 において 両 側 確 率 が 0.05 となる 正 の 点 TINV(0.05,10) 自 由 度 15 の t 分 布 において 片 側 確 率 が 0.01 となる 正 の 点 TINV(*0.01,15) CHIDIST 片 側 カイ 乗 (χ ) 分 布 の 確 率 を 求 める 書 式 CHIDIST(x, 自 由 度 ) x 分 布 を 評 価 する 値 を 指 定 する 自 由 度 自 由 度 を 指 定 する 自 由 度 10 のχ 分 布 において 18.3 の 確 率 CHIDIST(18.3,10) CHIINV カイ 乗 (χ ) 分 布 の 逆 関 数 を 求 める 7
書 式 CHIINV( 確 率 自 由 度 ) 確 率 χ 分 布 に 従 う 確 率 を 指 定 する 自 由 度 自 由 度 を 指 定 する 自 由 度 10 のχ 分 布 において 上 側 確 率 が 0.05 となる 点 CHIINV(0.05,10) FDIST F 確 率 分 布 を 求 める 書 式 FDIST(x, 自 由 度 1, 自 由 度 ) x F 分 布 を 計 算 する 数 値 を 指 定 する 自 由 度 1 自 由 度 の 分 子 を 指 定 する 自 由 度 自 由 度 の 分 母 を 指 定 する 自 由 度 (6,4)の F 分 布 において 5.4 より 上 側 の 確 率 FDIST(5.4,6,4) FINV F 確 率 分 布 の 逆 関 数 を 求 める 書 式 FINV( 確 率, 自 由 度 1, 自 由 度 ) 確 率 F 分 布 に 従 う 確 率 を 指 定 する 自 由 度 1 自 由 度 の 分 子 を 指 定 する 自 由 度 自 由 度 の 分 母 を 指 定 する 自 由 度 (6,4)の F 分 布 において 上 側 確 率 が 0.01 となる 点 FINV(0.01,6,4) 8