Microsoft Word - 10岡部諒

CA-EO 法 とボクセル 有 限 要 素 法 を 用 いた3 次 元 構 造 物 の 位 相 最 適 化 OPOOGY OPIIZAIO OF 3D RUCURE UIG CA-EO EHOD AD VOXE FIIE EEE EHOD 岡 部 諒 * Ryo OKABE Rctly, topology optzato of thr dsoal (3D) structurs s pad attto aga by th dvlopt of aufacturg tchology usg 3D prtr. hrfor, ths papr, a ffct topology optzato thod for 3D structurs s proposd. I th proposd thod, CA-EO thod s usd for th topology optzato ad th voxl ft lt thod s usd for th strss aalyss of 3D structurs. I ths thod, th dsg doa s dvdd sa rctagular paralllppd lts (voxls), ad th optzato procss, lts wth low strss ar dltd by EO (Evolutoary tructural Optzato) thod, ad prphral lts of th lt wth hgh strss ar gratd by CA (Cllular Autoato) thod. Also, th voxl ft lt thod, th strss assud lt, CG solvr, ad lt by lt thod ar usd. vral urcal xapls ar show ordr to dostrat th ffctvss of th prst thod for 3D structurs. Kywords: opology optzato, CA-EO thod, Voxl ft lt thod, hr dsoal structur, tructural orphogss 位 相 最 適 化,CA-EO 法,ボクセル 有 限 要 素 法,3 次 元 構 造, 構 造 形 態 創 生 1. はじめに 境 界 形 状 だけでなく, 内 部 の 穴 の 数 や 穴 の 形 状 まで 最 適 化 できる 位 相 最 適 化 手 法 は, 機 械 部 品 の 軽 量 化 や 建 築 分 野 の 構 造 形 態 の 創 生 手 法 として, 幅 広 く 応 用 が 進 んでいる. 位 相 最 適 化 手 法 は, 大 きく 数 理 計 画 法 にもとづく 方 法 と 発 見 的 手 法 にもとづく 方 法 の 2 種 に 分 類 されるが, 発 見 的 手 法 である CA-EO 法 は2 次 元 の 剛 性 最 大 化 問 題 において, 数 理 計 画 法 にもとづく IP 1-3) 法 と 同 等 以 上 の 性 能 を 有 することが 示 された. ところで,BEO 法 は,IP 法 と 非 常 に 類 似 した 方 法 で,IP 法 が 要 素 密 度 を 連 続 関 数 として 各 ステップの 密 度 の 増 減 を 求 めるの に 対 して,BEO 法 は 各 ステップの 目 標 体 積 を 定 めて,ひずみエネ ルギー 感 度 の 低 い 要 素 を 除 去 し, 感 度 の 高 い 要 素 の 周 辺 要 素 を 付 加 する 発 見 的 手 法 である. 本 論 文 では, 文 献 6)で 提 案 した CA-EO 法 と Hollstr ad Kkuch 8) によって 提 案 されたボクセル(voxl) 有 限 要 素 法 を 組 み 合 わせた3 次 元 構 造 物 の 位 相 最 適 化 手 法 を 提 案 し, 数 理 計 画 法 にもとづく IP 法 及 び 発 見 的 手 法 にもとづく BEO 法 と 比 較 することにより,3 次 元 問 題 における CA-EO 法 の 有 効 性 を 検 討 する. 2.ボクセル 有 限 要 素 法 の 概 要 ボクセル 有 限 要 素 法 では, 設 計 領 域 を 包 含 する 直 方 体 領 域 を 考 え, これを 均 等 な 直 方 体 要 素 (voxl)で 分 割 する.そして, 実 際 の 設 計 領 域 はボクセルの 材 料 密 度 の 有 無 (1/)によって 与 える.この 直 方 体 領 域 の 各 辺 の 長 さを X, Y, Z とし, 各 辺 の 有 限 要 素 分 割 数 を X, Y, Z とすると, 直 方 体 要 素 (voxl 要 素 )の 各 辺 の 長 さ lx, ly, lz は 次 式 で 定 義 される. X Y Z lx, ly, lz (1) X Y Z この 時, 領 域 各 辺 の 節 点 数 は ( 1),( 1),( 1) であり, 全 節 点 X Y Z 数 は ( 1) ( 1) ( 1) となる.CA-EO 法 では, 各 要 素 の vo X Y Z ss 応 力 を 要 素 生 滅 の 指 標 に 用 いるため, 本 論 文 では, 応 力 の 解 析 精 度 が 高 い 8 節 点 応 力 仮 定 法 要 素 7),12) を 用 いる. 本 要 素 は, 要 素 剛 性 マトリクスの 計 算 にやや 時 間 を 要 するが,ボクセル 有 限 要 素 法 では,すべて 同 一 形 状 の 要 素 を 用 いるため,1 度 計 算 して 保 存 して おけば 良 い. 8 節 点 応 力 仮 定 法 要 素 の 剛 性 マトリクスは 次 式 で 表 される 7),1). K (2) 1 B B ここに, K は 24 24. は 18 18, は 18 24 のマトリクスで, l ly lz l ly l X X Z 2 2 2 1 2 2 2 l, X ly lz dxdydz B lx ly lz 2 2 2 2 2 2 D B dxdydz (3) ただし, 1 y z yz 1 z x zx 1 x y xy 1 z 1 x 1 y また, D (6 6)は 弾 性 マトリクス, B (6 24)は 要 素 内 変 位 u を 次 式 で 仮 定 した 場 合 の 歪 - 変 位 関 係 マトリクスである. u 1 2 8 u v dd 1 2 8 w 1 2 8 B (4) * 近 畿 大 学 大 学 院 システム 工 学 研 究 科 博 士 前 期 課 程 astr s Cours, Graduat chool of ysts Egrg, Kk Uvrsty

(2) 式 から 作 られる 全 体 剛 性 方 程 式 の 解 法 には 前 処 理 付 き 共 役 勾 配 法 11) を 用 いる.また, 反 復 計 算 においては 要 素 剛 性 マトリクスと 変 位 ベクトルのかけ 算 を 要 素 ごとに 行 い,これをベクトルとして 保 存 していく Elt-by-Elt 12) 法 を 用 いる. 以 上 の CG 法 の 反 復 計 算 によって 得 られた 解 ( 変 位 ベクトル)か ら, 各 要 素 の 応 力 は 次 式 から 計 算 される. d (5) 1 B 計 算 効 率 を 上 げるためには,(2) 式 の 要 素 剛 性 マトリクスの 他 に,(5) 式 の 1 B 3. 比 較 手 法 の 概 要 もあらかじめ 計 算 して 保 存 しておく 必 要 がある. 3.1 IP 法 による 3 次 元 構 造 の 位 相 最 適 化 IP 法 では, 要 素 の 剛 性 に 比 例 する 係 数 を 要 素 密 度 と 定 義 し, 番 目 要 素 の 剛 性 マトリクスが 次 式 で 表 されるものとする. pp ps k k k 1 (6) p s ただし, k, p ks は 番 目 要 素 の 垂 直 歪 エネルギー 成 分 とせん 断 歪 エ ネルギー 成 分 からなる 初 期 要 素 剛 性 マトリクスを 表 す.また, は 番 目 要 素 の 要 素 密 度 を 表 し, pp, ps は 要 素 密 度 をなるべく また は 1 に 近 づけるためのべき 乗 係 数 である.ここで, 要 素 剛 性 マトリ クスを 分 離 し, 別 々のべき 乗 係 数 を 設 定 するのは, と 1 の 間 の 中 間 密 度 のせん 断 剛 性 により 大 きなペナルティを 課 すためである. IP 法 では,(6) 式 の 要 素 密 度 を 設 計 変 数 として, 次 式 の 最 適 化 問 題 を 解 く. f C dkd obj 1,,,,, 1, 1,, subjct to 1 2 ここに, C はコンプライアンス, dkは, 節 点 変 位 ベクトルと 全 体 剛 性 マトリクス, は 総 密 度, は 総 密 度 の 制 約 値, は 要 素 総 数 である.なお,ここでは の 下 限 値 を 1/1 3 に 設 定 している. 3 次 元 問 題 の(7) 式 の 解 法 は 文 献 7)に 示 しているが,ここではこれ を 文 献 8)の 方 法 に 改 良 して 用 いる. 文 献 8)の 方 法 では,(7) 式 の 目 的 関 数 fobj を 次 式 のように 書 き 換 える. 1 (7) f obj C wc G (8) ここに, w は 重 み 係 数, C は 初 期 ( 均 等 密 度 )のコンプライアン ス, G は 次 式 で 定 義 されるフィルタリング 関 数 である. 11 G (9) j j 1 j1 1 ただし, は 番 目 要 素 と 面 を 共 有 する 要 素 の 数 である.(9) 式 の G は G 1の 範 囲 で,グレースケールやチェッカーボード 状 の 密 度 分 布 が 増 えると 値 が 小 さくなる. 目 的 関 数 を(8) 式 とした(7) 式 の 最 適 化 問 題 は,COI 法 を 用 いた 非 線 形 計 画 法 で 解 かれる. 3.2 BEO 法 による3 次 元 構 造 の 位 相 最 適 化 BEO 法 における 要 素 のひずみエネルギー 感 度 の 計 算 では,まず, IP 法 と 同 様 に, 要 素 の 剛 性 に 比 例 する 係 数 を 要 素 密 度 と 定 義 し, 番 目 要 素 の 剛 性 マトリクスが 次 式 で 表 されるものとする. k K 1 (1) ただし, は 番 目 要 素 の 要 素 密 度 を 表 し, K は 番 目 要 素 の 初 期 剛 性 マトリクスを 表 す.ただし,ここでは, 密 度 にべき 乗 のペナ ルティは 課 さない. また, 最 適 化 問 題 も,IP 法 と 同 様, 質 量 制 約 下 でのコンプラ イアンスの 最 小 化 とする. f C dkd obj 1,,,,, 1, 1,, subjct to 1 2 (11) ここに, C はコンプライアンス, dkは, 節 点 変 位 ベクトルと 全 体 剛 性 マトリクス, は 総 密 度, は 総 密 度 の 制 約 値, は 要 素 総 数 である.このとき,コンプライアンス C の 設 計 変 数 に 関 する 感 度 は 次 式 により 計 算 される. C k d d d Kd (12) したがって,EO 法 1) では, 次 式 の 値 を 要 素 のひずみエネルギー 感 度 として,これを 要 素 の 除 去 復 活 の 指 標 に 用 いている. (1 2) d K d (13) しかし,BEO 法 2,3) では,チェッカーボード 状 の 密 度 分 布 を 防 ぐた め,まず,(13) 式 の 感 度 から 次 式 により 節 点 の 感 度 を 求 める. j V V (14) 1 1 ここに, は j 番 目 節 点 のひずみエネルギー 感 度, は j 番 目 節 j 点 に 繋 がる 要 素 数, V は j 番 目 節 点 に 繋 がる 要 素 の 体 積 を 表 す.た だし,ボクセル 有 限 要 素 法 では, 要 素 体 積 は 均 一 であるため, 実 際 には 次 式 で 計 算 される. j (15) 1 さらに,(15) 式 から 要 素 の 除 去 復 活 の 指 標 に 用 いる 要 素 のひずみ エネルギー 感 度 は 次 式 により 計 算 される. wr j j wr j (16) j1 1 ここに, は 番 目 要 素 のひずみエネルギー 感 度, は 番 目 要 素 の 要 素 中 心 から 影 響 半 径 r の 球 体 内 に 含 まれる 節 点 数, r j は 要 素 中 心 から j 番 目 節 点 までの 距 離, wr j は 要 素 中 心 からの 距 離 に 比 例 する 重 みで, 次 式 で 表 される. wr j r rj j1, 2,, (17) なお,BEO 法 では, 除 去 要 素 の 急 激 な 感 度 低 下 を 防 ぐために, 現 更 新 ステップと 1 つ 前 の 更 新 ステップの 感 度 との 平 均 値 をとり, 最 終 的 に 次 式 により 要 素 の 感 度 を 評 価 している. (k) (k 1) (18) 2 BEO 法 では, 以 上 の 感 度 計 算 法 により, 残 存 要 素, 除 去 要 素 両 方 の 感 度 を 求 めている. 4.CA-EO 法 による3 次 元 構 造 の 位 相 最 適 化 CA-EO 法 による 位 相 最 適 化 では, 設 計 領 域 における 各 有 限 要 素 の 応 力 を 指 標 として 要 素 密 度 の 除 去 () 復 活 (1)を 繰 返 し, 最 終 的 に 目 的 の 位 相 ( 構 造 形 態 )を 求 める.この 場 合,IP 法 等 の 数 理 計 画 法 にもとづく 方 法 と 比 較 して 感 度 解 析 の 必 要 がなく,また, 除 去 要 素 の 密 度 を 完 全 に にできるため, 特 に3 次 元 問 題 では 最 適 化 が 進 むほど 計 算 効 率 が 良 くなる.

ここでは,ボクセル 解 析 のメリットを 生 かすため, 最 適 化 の 過 程 でリメッシュ( 節 点 の 再 番 号 付 け)は 行 わず, 存 在 要 素 (または 生 成 要 素 )の 密 度 を 1, 除 去 要 素 の 密 度 を とすることで 各 ステップ の 設 計 領 域 を 定 義 する.そして, 除 去 要 素 ( 密 度 の 要 素 )は,Elt- by-elt 法 の 計 算 から 除 外 する. 4.1 EO 法 による 要 素 の 除 去 CA-EO 法 では, 要 素 除 去 に 関 しては, 拡 張 EO 法 のルールを 用 いる. 拡 張 EO 法 16),17) では, 各 要 素 の vo ss 応 力 を 要 素 除 去 に 関 する 指 標 とし,この 応 力 が 閾 値 以 下 になると 要 素 が 除 去 される. すなわち, V f Xcr ; 1,, (19) ここに, は 残 存 要 素 数, は 番 目 要 素 の 材 料 密 度, V は 番 目 要 素 の vo ss 応 力 で, 次 式 により 計 算 される. V 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 6xy yz zx (2) 2 また,(19) 式 の X cr は 閾 値 で, 次 式 で 定 義 される. を 満 足 する 解 が 見 つかりにくいためである. ( 繰 り 制 約 条 件 を 満 たす 返 目 的 関 数 最 小 解 の 保 存 し 計 算 制 約 値 以 上 ) 総 密 度 制 約 の 判 定 EO 法 による 要 素 の 除 去 データ 入 力 諸 定 数 の 計 算 更 新 有 限 要 素 法 による 応 力 計 算 FE 制 約 値 以 下 CA 法 による 要 素 の 生 成 X (21) cr ただし, と は 残 存 要 素 の vo ss 応 力 の 平 均 値 と 偏 差 平 均 で あり, 次 式 から 計 算 される. V 2 1 (22) V 1 1 最 終 ステップ 未 満 ステップ 数 の 判 定 最 終 ステップ 目 的 関 数 最 小 解 の 出 力 ここに, は 要 素 の 除 去 量 を 制 御 する 制 御 変 数 であり, が 大 きい と 要 素 が 除 去 されにくく, が 小 さいと 除 去 されやすくなる. 4.2 CA 法 による 要 素 の 生 成 CA-EO 法 では, 要 素 の 生 成 ( 付 加 )を CA 法 のルールにもとづ いて 行 う. 本 論 文 では, 番 目 要 素 の ua 近 傍 要 素 ( 面 を 共 有 する 要 素 )に 対 して, 次 式 の 簡 単 なルールを 採 用 する. V CA s 1 f ; 1,,, 1,, j j (23) ただし, CA は 残 存 要 素 の 応 力 平 均 値 で(21) 式 の と 同 様 に 計 算 さ れる.また, s j と は 番 目 要 素 と 面 を 共 有 する 要 素 (ノイマン 近 傍 要 素 )の 要 素 番 号 と 要 素 数 である. 4.3 感 度 計 算 の 概 要 本 論 文 では, 要 素 感 度 を 節 点 感 度 に 置 き 換 える,BEO 法 の 感 度 計 算 の 考 え 方 を 導 入 する.また,BEO 法 においては, 要 素 感 度 と してひずみエネルギー 感 度 を 用 いているが, 本 方 法 では vo ss 応 力 を 用 いるものとする. 4.4 CA-EO 法 の 計 算 フロー 図 1 は CA-EO 法 の 計 算 フローを 示 したものである. 図 に 示 すよ うに, 本 方 法 では, 総 密 度 が 与 えた 制 約 値 より 大 きい 場 合 は EO 法 による 要 素 除 去 を 行 い, 小 さい 場 合 は CA 法 による 要 素 生 成 を 行 う.そして, 各 ステップで 制 約 条 件 を.95 1.5 の 範 囲 で 満 たし,(22) 式 の と が 共 に 小 さくなる 解,すなわち 次 式 の 値 が 最 小 となる 解 を 最 適 解 として 保 存 する 6). 2 2 f (24) obj ただし, は 初 期 構 造 ( stp)の 値 である.なお, 制 約 条 件 を 5% 緩 和 しているのは,CA-EO 法 では, 総 密 度 の 増 減 を(21) 式 のパラメータ のみで 制 御 しているため, 厳 密 に 制 約 条 件 および 図 1 CA-EO 法 の 計 算 フロー 以 上 の 計 算 において, 問 題 によっては 同 じ 解 が 繰 り 返 し 現 れたり, 要 素 が 除 去 されすぎて 解 が 発 散 する 場 合 があるため,プログラム 内 に 以 下 の 方 法 を 組 み 込 むことでこのような 問 題 を 回 避 する 6). (a) CA 法 において, 応 力 平 均 値 が 変 化 せず,ステップが 進 んでも 要 素 生 成 が 行 われない 場 合 があるため, 総 密 度 が 制 約 値 CA 以 下 になる 場 合, 各 ステップで 1%ずつ 応 力 平 均 値 の 値 を 減 少 させる.ただし, 総 密 度 が 制 約 値 を 超 えた 時 点 で 元 に 戻 し, 再 び, 制 約 値 以 下 になると 同 様 な 操 作 を 加 える. (b) EO 法 による 要 素 除 去 量 が 多 く 解 が 発 散 する 場 合, 逆 に EO 法 による 要 素 除 去 量 が 少 なく 目 的 の 総 密 度 まで 減 少 しない 場 合 があるため, 前 ステップからの 要 素 除 去 量 が 3%を 超 えた 場 合 は 3% 以 下,1% 未 満 になる 場 合 は 1% 以 上 となるようにプ ログラム 内 で を 調 整 する.ただし, 総 密 度 が 制 約 値 の 1.2 倍 以 内 になった 場 合 は, 除 去 量 の 上 限 を 1%, 下 限 を %となる ように を 調 整 する.なお, の 調 整 は 1/1 単 位 で 行 う. (c) EO 法 による 要 素 除 去 量 が 多 く, 解 の 収 束 が 遅 くなる 場 合 があ るため,CA 法 を 経 て EO 法 による 要 素 除 去 を 行 う 場 合,まず, (d) (21) 式 の を 1.5 まで 上 昇 させ,その 後,EO の 要 素 除 去 が 繰 り 返 されるごとに を.1 刻 みで 減 少 させる.ただし, の 下 限 値 は 初 期 データ 値 とし,CA 法 を 経 るごとに 1.5 に 戻 す. 総 密 度 制 約 を 満 足 する 解 を 得 やすくするために,CA 法 を 経 て EO 法 による 要 素 除 去 を 行 う 場 合, 除 去 量 の 上 限 を 2%, 下 限 を 5%(ただし, 総 密 度 が 制 約 値 の 1.2 倍 以 内 になった 場 合 は, 除 去 量 の 上 限 を 3%, 下 限 を %)となるように を 調 整 する. なお, の 調 整 は 1/1 単 位 で 行 う.

なお,(b)と(d)は,3 次 元 解 析 に 対 して 新 たに 加 えたものである. 以 上 の 計 算 において, 最 適 化 に 関 する 入 力 データは, 繰 返 し 計 算 回 数 (ステップ 数 ), 総 密 度 制 約 値 ( は 初 期 総 密 度 : 設 計 対 象 要 素 の 密 度 をすべて 1 とした 場 合 の 総 密 度 ),(21) 式 の のみで ある.このように, 本 手 法 の 計 算 アルゴリズムは 非 常 に 簡 単 である ため,プログラムの 実 装 も 極 めて 容 易 である. 5. 解 析 例 5.1 基 本 的 な 例 題 まず, 文 献 1) 等 で 取 り 上 げられている 片 持 梁 例 題 の 解 析 を 行 う. 図 2 は, 設 計 領 域 および 荷 重 条 件 境 界 条 件 を 示 す.ただし, 長 さ, 幅 B, 高 さ H の 比 は 1.6:.4:1 とし, 設 計 領 域 の 要 素 分 割 数 は 8 2 5 としている.また, 応 力 集 中 を 防 ぐため, 荷 重 は 9 節 点 に 均 等 に 与 えている.また, 総 密 度 制 約 値 は.2, 最 適 化 ステップ 数 は 5 とした. 図 3 は, 各 ステップの 総 密 度 比 と(24) 式 の 目 的 関 数 の 推 移 を 示 し たものである( 図 の 縦 の 点 線 は, 制 約 条 件 を 満 たす 目 的 関 数 最 小 解 が 得 られたステップ).また, 図 4 は, 総 密 度 制 約 を.95 1.5 の 範 囲 で 満 たす 解 の 側 面 図 と 透 視 図 を 示 したものである.ただし, (12) 式 の は.7 としている.なお, 図 3 中 には,コンプライアン ス 比 CC ( C は 初 期 コンプライアンス)も 示 している.これらの 図 に 示 すように,EO 法 と CA 法 の 繰 り 返 しにより, 目 的 関 数 値 お よび 構 造 形 態 がより 剛 性 の 高 いものに 改 善 されて 行 くことがわかる. 11stp.2 f 4.11 CC 3.5 bj 13stp.24 f 4.6 CC 3.42 bj 15stp.29 f 4.2 CC 3.35 bj 図 4 制 約 条 件 を 満 たす 解 の 要 素 分 布 B H P CC 3.35 図 2 解 析 例 1 IP法 CC 3.44 図 3 各 ステップにおける 総 密 度 比 ( )と 目 的 関 数 fobj の 推 移 CC 2.96 図 5 IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 解 の 比 較

図 5 は,IP 法,BEO 法 の 解 と CA-EO の 解 ( 図 4 の 15stp の 解 )を 比 較 したものである.ただし,IP 法 では,(6) 式 の pp を 2, ps を 2.5( 以 下 の 解 析 例 も 同 じ 設 定 ),(8) 式 の w を 2. とし, 最 適 化 ステップ 数 5 として 解 析 している.また,BEO 法 では, 各 ス テップの 体 積 減 少 率 を 1%, 要 素 の 最 大 付 加 比 率 を 5%, 最 適 化 ステ ップ 数 1 として 解 析 を 行 った. 図 より,IP 法 BEO 法 の 解 は, 内 部 構 造 が 板 ( 面 )となっているのに 対 し,CA-EO 法 では 骨 組 的 な 構 造 となっていることがわかる.なお,IP 法 では,(8) 式 の w の 値 をさらに 増 加 させれば 内 部 構 造 に 穴 を 空 けることもできるが,コ ンプライアンス 比 が 高 くなり 局 所 解 となる. 5.2 橋 梁 モデルの 解 析 橋 梁 モデルの 解 析 例 として, 文 献 5)に 掲 載 されているイタリアフ ィレンツェ 新 駅 コンペ 案 の 構 造 形 状 決 定 に 用 いられた 解 析 例 を 取 り 上 げる. 図 6 は, 文 献 に 示 されている 条 件 をもとに 作 成 した 設 計 領 域 である. 解 析 は 対 称 性 を 利 用 して 1/4 領 域 で 行 い, 要 素 分 割 数 は 15 42 3 の 189 要 素 としている.ただし, 長 手 方 向 中 央 の 高 さ 6 の 空 間 と 短 手 方 向 中 央 の 2 6 のスリット( 通 路 )は 密 度 に 固 定 し,また, 分 布 荷 重 が 加 わる 上 面 一 層 は 密 度 1 に 固 定 する. また, 総 密 度 制 約 値 は.1, 最 適 化 ステップ 数 は 1 とし, 支 持 点 は 応 力 集 中 を 避 けるため 9 節 点 の 正 方 形 領 域 で 固 定 する. 図 7 は,IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 1/4 領 域 及 び 全 領 域 の 透 視 図 を 比 較 したものである.ただし,IP 法 では(8) 式 の w を 1. とし, 最 適 化 ステップ 数 5 としている.また,BEO 法 では, 各 ス テップの 体 積 減 少 率 を 1%, 要 素 の 最 大 付 加 比 率 を 5%, 最 適 化 ステ ップ 数 1 とした. 図 より,IP 法,BEO 法,CA-EO 法 のコン プライアンス 比 を 比 較 した 場 合,CA-EO 法 の 解 で 最 も 低 くなって おり,IP 法 に 比 較 して 樹 木 を 連 想 させるより 自 然 な 形 態 となっ ていることがわかる. 5.3 建 築 モデルの 解 析 建 築 モデルの 解 析 例 として, 文 献 4)に 示 される 例 題 ( 図 8)の 解 析 を 行 う. 解 析 は, 対 称 性 を 利 用 して 1/4 領 域 で 行 い, 要 素 分 割 数 は,6 6 4 の 144 要 素 (1/4 領 域 )としている.また, 総 密 度 制 約 値 は.5, 最 適 化 ステップ 数 は 5 としている.ただし, 応 力 集 中 を 避 けるため, 支 持 点 の 拘 束 は 4 節 点 で 与 えている. 図 9 は,IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 1/4 領 域 及 び 全 領 域 の 透 視 図 を 比 較 したものである.ただし,IP 法 では,(8) 式 の w を.5 とし, 最 適 化 ステップ 数 5 として 解 析 している.また,BEO 法 では, 各 ステップの 体 積 減 少 率 を 1%, 要 素 の 最 大 付 加 比 率 を 5%, 最 適 化 ステップ 数 1 として 解 析 を 行 った. 4 3 4 図 6 解 析 例 2 図 8 解 析 例 3 上 方 から 上 方 から CC 2.46 CC 3.14 IP法 CC 3.4 IP法 CC 2.67 下 方 から 下 方 から CC 2.38 図 7 IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 解 の 比 較 CC 3.14 図 9 IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 解 の 比 較

図 9 より,IP 法,BEO 法,CA-EO 法 において 同 様 の 位 相 が 得 られているが,CA-EO 法 では,ヒトデを 連 想 させるより 自 然 な 形 態 が 得 られていることがわかる. 図 1 は, 図 8 の 解 析 例 3 を 自 重 問 題 として 解 いた 場 合 の,IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 1/4 領 域 及 び 全 領 域 の 透 視 図 を 比 較 した ものである.ただし,IP 法 では,(8) 式 の w を.5 とし, 最 適 化 ステップ 数 5 として 解 析 している.また,BEO 法 では, 各 ステッ プの 体 積 減 少 率 を 1%, 要 素 の 最 大 付 加 比 率 を 5%, 最 適 化 ステップ 数 1 として 解 析 を 行 った. CC 2.38 IP法 CC 28.6 6.まとめ 本 論 文 では, 発 見 的 手 法 である CA-EO 法 とボクセル(voxl) 有 限 要 素 法 を 組 み 合 わせた3 次 元 構 造 物 の 位 相 最 適 化 手 法 を 提 案 し, 既 往 の 文 献 に 示 される 解 析 モデルで 解 析 を 行 い,その 有 効 性 を 検 討 した.その 結 果, 以 下 のことが 明 らかになった. (1) 提 案 手 法 (CA-EO 法 )では, 最 適 化 の 過 程 で 解 析 対 象 要 素 数 が 減 少 して 行 くため 計 算 効 率 が 良 い. (2) 提 案 手 法 では, 連 立 方 程 式 の 解 法 として 反 復 解 法 ( 前 処 理 付 共 役 勾 配 法 )を 用 いているため, 剛 性 マトリクスが 特 異 となる 場 合 も 安 定 的 に 解 が 求 まる. (3) 提 案 手 法 では,lt by lt 法 により 全 体 剛 性 マトリクス を 構 成 せずに 連 立 方 程 式 を 解 くため,4GB のメモリで 数 十 万 要 素 の 問 題 が 容 易 に 解 析 できる. (4) 提 案 手 法 では,EO 法 と CA 法 の 繰 り 返 しの 過 程 で 最 小 解 が 更 新 ( 改 善 )され,より 剛 性 の 高 い 解 が 得 られる. (5) 提 案 手 法 では,フィルタリング 等 の 特 別 の 操 作 をしなくてもパ ラメータ の 設 定 でシンプルな 形 態 が 得 られる. (6) 提 案 手 法 の 解 と IP 法 及 び BEO 法 の 解 を 比 較 した 結 果,いず れの 場 合 も CA-EO 法 の 方 がより 自 然 に 近 い 形 態 (ヒトデや 樹 木 のような 形 態 )となる. ただし, 以 上 の 結 果 は,あくまで 応 力 を 指 標 とする 剛 性 最 大 化 問 題 に 対 して 言 えることで, 他 の 最 適 化 問 題 への 適 用 性 についてはさ らに 検 証 を 行 っていく 必 要 がある.また,IP 法 については, 本 論 文 に 示 すペナルティのかけ 方 およびフィルタリング 法 を 用 いた 場 合 の 結 果 であることを 付 記 しておく. CC 3.51 図 9 IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 解 の 比 較 5.4 IP 法,BEO 法,CA-EO 法 の 計 算 時 間 等 の 比 較 最 後 に 表 1 は, 以 上 3 つの 解 析 例 の 計 算 時 間 を 比 較 したものである. なお, 最 適 化 ステップ 数 は,IP 法 及 び CA-EO 法 では 5 とし, BEO 法 では 1 とする. 表 より,CA-EO 法 の 計 算 時 間 は IP 法 及 び BEO 法 に 比 較 して 短 いことがわかる.また,BEO 法 の 計 算 時 間 が IP 法 及 び CA-EO 法 と 比 較 して 長 いのは, 各 ステップ における 要 素 の 除 去 率 が 小 さく 収 束 までに 時 間 がかかるためである. 表 1 計 算 時 間 の 比 較 CA-EO 法 IP 法 BEO 法 解 析 例 1 7 分 1 分 19 分 解 析 例 2 4 時 間 4 分 5 時 間 19 分 5 時 間 46 分 解 析 例 3 17 分 36 分 55 分 解 析 例 3( 自 重 ) 6 時 間 21 分 6 時 間 59 分 7 時 間 41 分 プロセッサ:Itl Cor 5-377CPU@3.6GHz メモリ:4GB 参 考 文 献 1) Bdsø,. P. : Optal shap dsg as a atral dstrbuto probl, tructual Optzato, Vol.1, pp.193-22, 1989 2) Zhou,. ad Rozvay, G.I.. : h COC algorth, Part Ⅱ, opologcal, gotrcal ad gralzd shap optzato, Coputr thods Appld chacs ad Egrg, 89, pp.39-336, 1991 3) Yag, R. J. ad Chuag, C. H. : Optal topology dsg usg lar prograg, Coputrs & tructurs, Vol.52, o.2, pp.265-275, 1994 4) 大 森 博 司, 崔 昌 禹 : 等 値 線 を 利 用 した 拡 張 EO 法 による 構 造 形 態 の 創 生, 日 本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 集, 第 539 号,pp.87-94,21.1 5) 崔 昌 禹, 大 森 博 司, 佐 々 木 睦 朗 : 拡 張 EO 法 による 構 造 形 態 の 創 生 - 三 次 元 構 造 への 拡 張 -, 日 本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 集, 第 576 号,pp.79-86, 24.2 6) 藤 井 大 地, 真 鍋 匡 利 :CA-EO 法 による 構 造 物 の 位 相 最 適 化, 日 本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 集,Vol.78, 第 691 号,pp.1569-1574,213.9 7) 藤 井 大 地 :パソコンで 解 く 構 造 デザイン, 丸 善,22 8) Hollstr,.J. ad Kkuch,., Hoogzato thory ad dgtal agg: a bass for studyg th chacs ad dsg prcpls of bo tssu, Botchology ad Bogrg, 43, o.7, pp.586-596, 1994 9) 藤 井 大 地, 鈴 木 克 幸, 大 坪 英 臣 :ボクセル 有 限 要 素 法 を 用 いた 構 造 物 の 位 相 最 適 化, 日 本 計 算 工 学 会 論 文 集,Vol.2,pp.87-94,2 1) 鈴 木 克 幸 分 担 執 筆, 計 算 力 学 ハンドブック(Ⅰ 有 限 要 素 法 構 造 編 ), 日 本 機 械 学 会,pp.23-31,1998 11) Wgt, J.., Hughs,.J.R. : oluto Algorths for olar rast Hat Coducto Aalyss Eployg Elt-by- Elt Itratv tratgs, Coputr thods Appld chacs ad Egrg, pp.711-815, 1985 12) 関 口 美 奈 子, 菊 池 昇, 混 合 的 な 有 限 要 素 剛 性 マトリックスの 導 き 方 に 関 する 一 考 察 -Clough 196 年 の 論 文 を 中 心 として-, 計 算 工 学 講 演 会 論 文 集,Vol.4,o.1,pp.131-134, 1999